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L’épreuve de Mathématiques C de la Banque PT 2026 dure 4 heures, sans calculatrice, avec une feuille de papier millimétré à rendre. Elle se compose d’un préambule et de trois parties progressivement plus exigeantes. Le fil conducteur est la quantité \(u_n = \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\right)\), dont la convergence est explorée sous des angles variés : séries numériques, intégrales à paramètre, calcul différentiel multivariable. La difficulté est soutenue, avec un préambule abordable servant de socle technique et une Partie II nettement discriminante.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Préambule (Q1-9) | Fonctions rationnelles et développements limités | Accessible | Dérivées successives, tableau de variations, formule de Taylor-Young |
| Partie I (Q1-7) | Intégrales généralisées et séries numériques | Élevé | Éléments simples, intégrales impropres, convergence de séries |
| Partie II (Q1-8) | Intégrales à paramètre et produits infinis | Très élevé | Théorèmes sous le signe intégral, changement de variable, fonction Gamma |
| Partie III (Q1-5) | Optimisation et estimation asymptotique | Élevé | Hessienne, points critiques, minimum local, notation de Landau |
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Structure et thèmes du sujet
Préambule (Questions 1 à 9)
Le préambule introduit deux fonctions \(f(t) = \displaystyle\frac{t}{t_0 – t}\) et \(g(t) = \displaystyle\frac{t_0}{t_0 – t}\) pour un paramètre \(t_0\) strictement positif. Les premières questions couvrent l’étude classique de \(f\) : domaine de dérivabilité, tableau de variations, équation de la tangente en 0 et tracé graphique pour \(t_0 = 1\). La question 5 demande la dérivée \(n\)-ième de \(f\) par récurrence. Les questions 6 à 9 préparent le terrain pour la suite : primitives de \(f\) et \(g\), énoncé de la formule de Taylor-Young, puis développements limités de \(t \mapsto \displaystyle\frac{1}{1-t}\) et \(t \mapsto \ln(1-t)\).
Partie I (Questions 1 à 7)
La Partie I s’ouvre par la décomposition en éléments simples de \(h(t) = \displaystyle\frac{1}{t + t^2}\) et le calcul d’une intégrale généralisée. La question 3 est la clé : elle introduit \(u_n\) comme combinaison d’une intégrale trigonométrique et d’une intégrale impropre, et demande de montrer l’expression en logarithme. Les questions 4 à 6 étudient la convergence de la série \(\displaystyle\sum u_n\) via le développement limité et la combinaison linéaire de séries convergentes. La question 7 calcule les sommes partielles par un mécanisme télescopique et conclut sur la valeur de la somme totale.
Partie II (Questions 1 à 8)
On étudie l’intégrale à paramètre \(G_n(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} x^{-nt}\, t^n\, dt\) pour \(n \geq 1\) et \(x\) > \(1\). Après l’analyse de la convergence, la continuité et la dérivabilité de \(x \mapsto G_n(x)\) sont établies à l’aide des théorèmes classiques sous le signe intégral. La question 4 démontre une relation de récurrence entre \(G_{n+1}(x)\) et \(G_n(x)\) par changement de variable, permettant d’exprimer \(G_n(x)\) en forme close via des produits successifs. La question 7 étudie la convergence d’une série faisant intervenir \(G_n(x)\), et la question 8 relie le tout aux résultats de la Partie I à travers un produit infini.
Partie III (Questions 1 à 5)
On pose \(\varphi(x, y) = x^2 + y^2 – \ln|x – y|\) pour \(x \neq y\). La matrice hessienne est calculée, les points critiques sont déterminés, et leur nature est identifiée (minimum local). La question 5, originale, relie cette analyse aux sommes partielles \(\displaystyle\sum_{n=2}^{N} \left|\ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\right)\right|\) et montre que la minoration obtenue donne seulement un \(\mathcal{O}(N)\), insuffisant pour conclure sur la convergence absolue.
Notions et chapitres testés
- Analyse de fonctions d’une variable réelle : domaine de définition et de dérivabilité, dérivées successives par récurrence, tableau de variations complet avec limites aux bornes, branches infinies.
- Formule de Taylor-Young et développements limités : DL classiques de \(\displaystyle\frac{1}{1-t}\) (série géométrique) et \(\ln(1-t)\) au voisinage de 0, intégration de DL.
- Intégrales généralisées : convergence en \(+\infty\), calcul explicite via primitives et décomposition en éléments simples.
- Séries numériques : critère de Leibniz (série alternée), convergence absolue vs convergence simple, combinaison linéaire de séries convergentes, sommes partielles télescopiques.
- Intégrales dépendant d’un paramètre : théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe intégral (hypothèse de domination), changement de variable dans une intégrale à paramètre.
- Calcul différentiel à plusieurs variables : gradient, matrice hessienne, points critiques, nature d’un extremum local via les valeurs propres de la hessienne.
- Produits infinis : passage logarithmique entre produits infinis et séries.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Le sujet est globalement exigeant, sensiblement au-dessus de la moyenne des épreuves de Maths C de la Banque PT des sessions 2022 à 2025. Le préambule reste très classique et constitue une source de points assurée : un candidat bien préparé peut le traiter intégralement en 40 à 50 minutes. La Partie I est de difficulté standard pour un concours PT, à l’exception de la question 3 qui nécessite un changement de variable astucieux dans une intégrale trigonométrique.
La Partie II constitue le cœur discriminant du sujet. Les intégrales à paramètre, chapitre traditionnellement redouté en filière PT, sont mobilisées de façon soutenue sur huit questions. La relation de récurrence de la question 4 et la simplification en série géométrique de la question 7 exigent à la fois rigueur technique et recul. La Partie III, plus courte, se distingue par son originalité : le calcul différentiel multivariable (hessienne, extrema locaux) est rarement central dans cette épreuve, et la question 5 qui relie l’optimisation à l’étude de séries est une conclusion élégante mais exigeante.
Par rapport aux sujets récents, on note un accent renforcé sur l’analyse (au détriment de l’algèbre linéaire) et une structure interconnectée — la quantité \(u_n\) revient dans les Parties I, II et III — qui récompense la vision d’ensemble et pénalise les candidats qui sautent des questions.
Pièges et points techniques délicats
Préambule Q1 — Relation entre f et g : Ne pas voir que \(f(t) = g(t) – 1\) (car \(\displaystyle\frac{t}{t_0 – t} = \displaystyle\frac{t_0}{t_0 – t} – 1\)) conduit à calculer séparément deux dérivées alors qu’une seule suffit. Cette relation donne immédiatement \(f^\prime = g^\prime\) et simplifie toute la suite du préambule.
Préambule Q5 — Récurrence sur la dérivée n-ième : L’expression attendue est \(f^{(n)}(t) = \displaystyle\frac{n!\, t_0}{(t_0 – t)^{n+1}}\). Lors du passage de rang \(n\) à \(n+1\), une erreur de signe ou un oubli du facteur \((n+1)\) issu de la dérivation de la puissance est fréquente. Vérifie systématiquement avec \(n = 1\).
Partie I Q3 — Le changement de variable trigonométrique : C’est le point névralgique de la Partie I. En posant \(u = n + \cos(nt)\), on a \(du = -n\sin(nt)\,dt\), et les bornes deviennent \(u(0) = n + 1\) et \(u(\pi) = n + (-1)^n\). Le signe \((-1)^n\) dans la borne est la clé de la démonstration. Une erreur de borne est fatale.
Partie I Q6 — Convergence non absolue : Il faut écrire \(u_n = \displaystyle\frac{(-1)^n}{n} – \displaystyle\frac{1}{2n^2} + \mathcal{O}\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right)\) via le DL du logarithme, puis séparer la série en une série alternée convergente (Leibniz) et un reste absolument convergent. C’est la question 5 (combinaison linéaire de séries) qui justifie le passage. Pour la non-convergence absolue, l’équivalent \(|u_n| \sim \displaystyle\frac{1}{n}\) donne la divergence par comparaison à la série harmonique.
Partie II Q4 — Application du changement de variable : Le changement \(u = \displaystyle\frac{(n+1)\,t}{n}\) est donné par l’énoncé, mais il faut l’appliquer sans erreur dans tous les termes : \(t^{n+1}\) produit le facteur \(\left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\), le \(dt\) produit \(\displaystyle\frac{n}{n+1}\), et \(x^{-(n+1)t}\) se simplifie en \(x^{-nu}\). Vérifier la cohérence dimensionnelle est indispensable.
Partie III Q5 — Lien entre minimum et convergence : La minoration \(\varphi(x,y) \geq \displaystyle\frac{1}{2}\) au voisinage du minimum donne une borne sur \(\ln|x-y|\), mais cette borne linéaire en \(x^2 + y^2\) ne fournit qu’un \(\mathcal{O}(N)\) pour la somme des valeurs absolues — insuffisant pour trancher la convergence. Le sujet souligne ainsi les limites du calcul différentiel face à un problème d’analyse fine de séries.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Préambule
Q1 : Remarquer \(f = g – 1\), en déduire \(f^\prime(t) = g^\prime(t) = \displaystyle\frac{t_0}{(t_0 – t)^2}\) par dérivation du quotient ou d’une composée.
Q2-4 : La dérivée est toujours strictement positive, donc \(f\) est strictement croissante sur chaque intervalle. Limites aux bornes, asymptotes verticale et oblique, tracé classique.
Q5 : Récurrence. Initialisation avec \(f^\prime\) déjà calculée. Hérédité : dériver \(\displaystyle\frac{n!\, t_0}{(t_0 – t)^{n+1}}\) en utilisant la dérivée d’une puissance composée.
Q6-9 : Primitive de \(g\) : \(G(t) = -t_0 \ln|t_0 – t|\). Primitive de \(f\) : \(F(t) = G(t) – t\) (grâce à \(f = g – 1\)). Les DL classiques s’obtiennent par Taylor-Young puis intégration terme à terme.
Partie I
Q1-2 : Décomposer \(h(t) = \displaystyle\frac{1}{t} – \displaystyle\frac{1}{1+t}\), intégrer pour obtenir \(H(t) = \ln\displaystyle\frac{t}{1+t}\). L’intégrale impropre se calcule par passage à la limite et vaut \(\ln\displaystyle\frac{n+1}{n}\).
Q3 : Changement de variable \(u = n + \cos(nt)\) dans l’intégrale trigonométrique, regroupement avec le résultat de Q2, simplification logarithmique.
Q5-6 : Utiliser le DL de \(\ln(1+h)\) avec \(h = \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\). Séparer en série alternée convergente plus reste absolument convergent. Appliquer Q5 pour conclure.
Q7 : Observer que \(u_{2k} + u_{2k+1} = 0\) pour tout \(k \geq 1\) : les sommes partielles se télescopent. On obtient \(S_{2N} = \ln\displaystyle\frac{2N+1}{2N}\) et \(S_{2N+1} = 0\), d’où une somme totale nulle.
Partie II
Q1 : Écrire \(x^{-nt} = e^{-nt \ln x}\) et reconnaître une intégrale de type Gamma, convergente pour \(\ln x\) > \(0\).
Q2-3 : Théorèmes de continuité et dérivabilité sous le signe intégral avec domination par une fonction intégrable indépendante de \(x\) sur \([a, +\infty[\).
Q4-6 : Le changement de variable indiqué mène à la récurrence, dont l’itération (produits en cascade) donne \(G_n(x) = \displaystyle\frac{n!}{n^{n+1}(\ln x)^{n+1}}\).
Q7 : Après simplification, le terme général se réduit à \(\displaystyle\frac{1}{(\ln x)^{n+1}}\) : c’est une série géométrique, convergente si et seulement si \(x\) > \(e\).
Q8 : Calculer \(\ln \Pi_N = 1 + S_{2N}\) grâce aux résultats de la Partie I, en déduire \(\Pi_N \to e\), puis évaluer la limite de \(G_n(\Pi_N)\).
Partie III
Q1-3 : Gradient et hessienne par calcul direct des dérivées partielles. Les points critiques vérifient \(x_0 = -y_0\) puis \(x_0 = \pm\displaystyle\frac{1}{2}\).
Q4 : Aux points critiques, la hessienne a pour valeurs propres 2 et 4, toutes deux strictement positives : c’est un minimum local.
Q5 : Exploiter la minoration \(\varphi \geq \displaystyle\frac{1}{2}\) pour borner \(\ln|x-y|\), puis montrer que cette estimation ne donne que \(\mathcal{O}(N)\) pour la somme des valeurs absolues.
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme plusieurs tendances des épreuves de la Banque PT et offre des enseignements clairs pour ta préparation :
- Maîtrise des développements limités : le DL de \(\ln(1+h)\) intervient dans trois des quatre parties. Entraîne-toi à passer du DL à l’étude de séries (convergence simple et absolue, équivalents). C’est un réflexe incontournable.
- Intégrales à paramètre : c’est le chapitre le plus discriminant. Les théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe intégral doivent être sus par cœur, avec leurs hypothèses de domination. Travaille aussi les changements de variable dans ce contexte — la question 4 de la Partie II est un modèle du genre.
- Calcul différentiel multivariable : la Partie III montre que la hessienne et la classification des points critiques peuvent apparaître même dans une épreuve centrée sur l’analyse. Révise ce chapitre, souvent négligé au profit de l’algèbre linéaire.
- Enchaînement des questions : le sujet est très structuré — chaque résultat prépare le suivant. Ne saute pas les questions faciles du préambule, car elles sont réutilisées plus loin. Si tu bloques sur une question, note le résultat admis et avance.
- Gestion du temps : sur 4 heures, consacre environ 45 minutes au préambule (points assurés), 1 h 15 à la Partie I, 1 h 15 à la Partie II et 45 minutes à la Partie III. Ne reste pas bloqué sur une question technique isolée.
Réflexe à automatiser : pour toute intégrale de la forme \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, t^n\, dt\) avec \(\alpha\) > \(0\), le résultat est \(\displaystyle\frac{n!}{\alpha^{n+1}}\). C’est la fonction Gamma évaluée en \(n+1\). Ce résultat est omniprésent dans les épreuves de concours et permet de gagner un temps précieux en Partie II.
