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Tu dois calculer le périmètre d’un triangle rectangle, mais on ne te donne que deux côtés ? Pas de panique : c’est l’une des situations les plus fréquentes au collège, et il existe une méthode simple pour t’en sortir à tous les coups. Dans cette fiche, tu vas apprendre la formule du périmètre, savoir quand utiliser le théorème de Pythagore pour retrouver un côté manquant, et t’entraîner sur des exercices corrigés pas à pas.
La formule du périmètre d’un triangle rectangle
Le périmètre d’une figure, c’est la longueur totale de son contour. Pour un triangle, il suffit donc d’additionner ses trois côtés. C’est exactement pareil pour un triangle rectangle : il n’y a pas de formule magique, juste une addition.
Formule — Périmètre d’un triangle rectangle
Si un triangle rectangle a pour côtés \(a\), \(b\) et \(c\), alors son périmètre \(P\) est :
\(P = a + b + c\)
Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité (par exemple toutes en cm).
Dans un triangle rectangle, les trois côtés ont des noms précis. Les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit. Le troisième côté, le plus long, celui qui est en face de l’angle droit, est l’hypoténuse.
Le bon réflexe : pour calculer un périmètre, tu as besoin des trois longueurs. Si une seule te manque, tu pourras presque toujours la retrouver avec le théorème de Pythagore. C’est tout le secret de cette fiche.
Quel calcul utiliser ? Périmètre, aire ou Pythagore
Avant de te lancer, assure-toi de bien savoir ce qu’on te demande. Beaucoup d’élèves confondent le périmètre avec l’aire, ou se demandent quand utiliser Pythagore. Ce tableau t’aide à choisir le bon outil.
| Tu veux trouver… | L’outil à utiliser | Formule |
|---|---|---|
| Le tour du triangle (longueur du contour) | Le périmètre | \(P = a + b + c\) |
| La surface intérieure du triangle | L’aire | \(A = \displaystyle\frac{a \times b}{2}\) |
| Un côté manquant (souvent l’hypoténuse) | Le théorème de Pythagore | \(a^2 + b^2 = c^2\) |
La fiche-méthode « Périmètre du triangle rectangle » en PDF
La formule, les 4 étapes et les pièges à éviter sur une fiche recto-verso à imprimer et à glisser dans ton classeur.
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Retiens cette logique simple : si tu connais les trois côtés, tu additionnes directement. Si un côté manque, tu commences par Pythagore, puis tu additionnes. Pour calculer l’aire, regarde plutôt la fiche dédiée sur l’aire d’un triangle rectangle.
La méthode en 4 étapes
Voici la marche à suivre, valable dans tous les cas. Suis-la dans l’ordre et tu ne pourras pas te tromper.
- Repère les trois côtés. Identifie les deux côtés de l’angle droit et l’hypoténuse, puis note les longueurs que tu connais déjà.
- Vérifie s’il manque un côté. Si les trois longueurs sont données, passe directement à l’étape 4.
- Calcule le côté manquant avec Pythagore. Le plus souvent c’est l’hypoténuse : tu l’obtiens en calculant la racine carrée de \(a^2 + b^2\).
- Additionne les trois longueurs et ajoute l’unité. Le résultat de \(a + b + c\) est ton périmètre.
Astuce de rédaction : écris toujours la formule \(P = a + b + c\) avant de remplacer par les nombres. Ça rapporte des points au contrôle et ça t’évite les erreurs de calcul.
Cette méthode te montre que le périmètre et le théorème de Pythagore travaillent souvent ensemble. Pour maîtriser cette étape clé, tu peux revoir comment calculer l’hypoténuse en détail.
Exemples résolus pas à pas
Place à la pratique. On commence par le cas le plus simple, puis on monte en difficulté.
Exemple 1 — Les trois côtés sont connus.
Un triangle rectangle a pour côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm. Quel est son périmètre ?
On applique directement la formule :
\(P = 3 + 4 + 5 = 12\) cm.
Le périmètre vaut \(12\) cm.
Exemple 2 — L’hypoténuse manque.
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l’angle droit qui mesurent \(6\) cm et \(8\) cm. Calcule son périmètre.
Étape 1 : on cherche l’hypoténuse \(c\) avec le théorème de Pythagore :
\(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Donc \(c = \sqrt{100} = 10\) cm.
Étape 2 : on additionne les trois côtés :
\(P = 6 + 8 + 10 = 24\) cm.
Le périmètre vaut \(24\) cm.
Exemple 3 — Un côté de l’angle droit manque.
Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(13\) cm et un côté de l’angle droit de \(5\) cm. Calcule son périmètre.
Étape 1 : ici c’est un côté de l’angle droit qui manque. On utilise Pythagore en isolant ce côté :
\(b^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\)
Donc \(b = \sqrt{144} = 12\) cm.
Étape 2 : on additionne :
\(P = 5 + 12 + 13 = 30\) cm.
Le périmètre vaut \(30\) cm.
Exemple 4 — Le cas du triangle rectangle isocèle.
Un triangle rectangle isocèle a ses deux côtés de l’angle droit égaux à \(5\) cm. Calcule son périmètre (valeur arrondie au dixième).
Étape 1 : on cherche l’hypoténuse :
\(c^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\)
Donc \(c = \sqrt{50} \approx 7{,}1\) cm.
Étape 2 : on additionne :
\(P \approx 5 + 5 + 7{,}1 = 17{,}1\) cm.
Le périmètre vaut environ \(17{,}1\) cm. Tu veux tout savoir sur ce cas particulier ? Va voir la fiche triangle rectangle isocèle.
Les erreurs fréquentes à éviter
La plupart des erreurs au contrôle ne viennent pas de la formule, mais d’inattentions. Les voici, avec comment les corriger.
Erreur n°1 — Confondre périmètre et aire.
❌ Copie fautive : « Le périmètre du triangle de côtés 6 et 8 est \(\displaystyle\frac{6 \times 8}{2} = 24\). »
🔎 Diagnostic : l’élève a utilisé la formule de l’aire (multiplication des deux côtés divisée par 2), pas celle du périmètre.
✅ Correction : le périmètre est une addition des trois côtés, pas une multiplication. Ici il faut d’abord trouver l’hypoténuse, puis faire \(6 + 8 + 10 = 24\) cm.
Erreur n°2 — Oublier de calculer le côté manquant.
❌ Copie fautive : « Côtés 6 cm et 8 cm, donc \(P = 6 + 8 = 14\) cm. »
🔎 Diagnostic : l’élève n’a additionné que deux côtés. Un triangle en a trois !
✅ Correction : trouve d’abord l’hypoténuse avec Pythagore (\(c = 10\) cm), puis additionne les trois côtés.
Erreur n°3 — Oublier l’unité.
Écrire « \(P = 24\) » sans préciser « cm » coûte souvent un demi-point. Un périmètre est une longueur : il a toujours une unité (cm, m, km…). Pense aussi à convertir si les côtés sont donnés dans des unités différentes.
Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice seul avant de cliquer sur la correction.
Exercice 1 ★
Un triangle rectangle a pour côtés \(9\) cm, \(12\) cm et \(15\) cm. Calcule son périmètre.
Voir la correction de l'exercice 1
Les trois côtés sont connus, on additionne directement :
\(P = 9 + 12 + 15 = 36\) cm.
Le périmètre vaut \(36\) cm.
Exercice 2 ★★
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l’angle droit qui mesurent \(9\) cm et \(40\) cm. Calcule son périmètre.
Voir la correction de l'exercice 2
Étape 1 : on cherche l’hypoténuse :
\(c^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681\)
Donc \(c = \sqrt{1681} = 41\) cm.
Étape 2 : on additionne :
\(P = 9 + 40 + 41 = 90\) cm.
Le périmètre vaut \(90\) cm.
Exercice 3 ★★ (raisonnement)
Léa affirme : « Mon triangle rectangle a une hypoténuse de \(7\) cm et un périmètre de \(24\) cm. » Théo répond : « C’est impossible ! » Qui a raison, et pourquoi ?
Voir la correction de l'exercice 3
Théo a raison. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long. Si l’hypoténuse mesure \(7\) cm, alors chacun des deux autres côtés mesure moins de \(7\) cm.
Donc la somme des trois côtés est forcément inférieure à \(7 + 7 + 7 = 21\) cm. Un périmètre de \(24\) cm est impossible : c’est plus grand que \(21\) cm.
Cet exercice montre une propriété utile : le périmètre d’un triangle rectangle est toujours strictement inférieur au triple de son hypoténuse.
Exercice 4 ★★★ (problème)
Un jardinier veut clôturer un parterre en forme de triangle rectangle. Les deux côtés de l’angle droit mesurent \(12\) m et \(16\) m. La clôture coûte \(8\) € le mètre. Combien va-t-il payer ?
Voir la correction de l'exercice 4
Étape 1 : la longueur de clôture, c’est le périmètre. On cherche d’abord l’hypoténuse :
\(c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\)
Donc \(c = \sqrt{400} = 20\) m.
Étape 2 : on calcule le périmètre :
\(P = 12 + 16 + 20 = 48\) m.
Étape 3 : on calcule le prix :
\(48 \times 8 = 384\) €.
Le jardinier va payer \(384\) €.
Tu veux plus d’entraînement ? Retrouve une série complète dans les exercices corrigés sur Pythagore en 4ème.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le périmètre et l'aire d'un triangle rectangle ?
Le périmètre est la longueur du contour : on additionne les trois côtés avec \(P = a + b + c\), et le résultat est en cm (ou m). L’aire est la surface intérieure : on calcule \(A = \displaystyle\frac{a \times b}{2}\) avec les deux côtés de l’angle droit, et le résultat est en cm². Le périmètre est une addition, l’aire est une multiplication.
Comment calculer le périmètre si je n'ai que deux côtés ?
Si un côté manque, tu utilises d’abord le théorème de Pythagore pour le retrouver. Si c’est l’hypoténuse, tu calcules \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Si c’est un côté de l’angle droit, tu calcules \(\sqrt{c^2 – a^2}\). Ensuite seulement, tu additionnes les trois longueurs.
La formule du périmètre est-elle différente pour un triangle rectangle ?
Non, la formule \(P = a + b + c\) est la même pour tous les triangles. Ce qui est particulier au triangle rectangle, c’est que tu peux souvent retrouver un côté manquant grâce au théorème de Pythagore, ce qui n’est pas possible avec un triangle quelconque.
Faut-il toujours arrondir le périmètre ?
Pas toujours. Si l’hypoténuse tombe sur un nombre entier (comme \(\sqrt{100} = 10\)), tu donnes la valeur exacte. Mais si elle tombe sur un nombre comme \(\sqrt{50} \approx 7{,}1\), tu arrondis selon ce que l’énoncé demande (souvent au dixième ou au centième).
En quelle classe apprend-on le périmètre du triangle rectangle ?
La notion de périmètre est vue dès la 6ème et la 5ème. Le lien avec le théorème de Pythagore pour retrouver un côté manquant apparaît en 4ème, puis se consolide en 3ème, notamment pour le brevet.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le périmètre d’un triangle rectangle dans toutes les situations. Pour continuer à progresser sur ce chapitre :
- Calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle — l’étape clé pour retrouver un côté manquant.
- L’aire d’un triangle rectangle — à ne pas confondre avec le périmètre.
- Le théorème de Pythagore — le cours complet avec la formule \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Le triangle rectangle — toutes les propriétés à connaître.
