Tu cherches des exercices de Pythagore pour t’entraîner avant un contrôle de 4ème ? Tu es au bon endroit. Voici 12 exercices classés du plus simple au plus difficile, tous corrigés étape par étape. Tu vas apprendre à calculer une hypoténuse, à retrouver un côté de l’angle droit, à reconnaître les triplets utiles, et même à vérifier si un triangle est rectangle. Chaque correction est rédigée comme tu dois le faire sur ta copie : on commence par justifier, on écrit l’égalité de Pythagore, puis on calcule. Prends une feuille, un crayon et une calculatrice — c’est parti.
Rappel express : la formule à connaître
Avant de te lancer, voici l’essentiel à avoir en tête. Tout le reste découle de cette seule égalité.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Comment l’utiliser dans les deux sens :
- Pour trouver l’hypoténuse : on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit.
- Pour trouver un côté de l’angle droit : on soustrait (carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu).
Besoin du détail de la méthode ? File voir la fiche complète pour calculer un côté.
Exercices d’application directe (★)
On commence en douceur : des triangles simples où il suffit d’appliquer la formule. Essaie d’abord seul, puis compare avec la correction.
Exercice 1 (★) — Calculer une hypoténuse
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On donne \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Calcule la longueur \(BC\).
Correction. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc d’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Donc \(BC = \sqrt{25} = 5\) cm.
👉 On reconnaît le triplet 3 – 4 – 5, le plus célèbre de tous.
Exercice 2 (★) — Une autre hypoténuse
Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(D\) avec \(DE = 6\) cm et \(DF = 8\) cm. Calcule \(EF\).
Correction. Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(D\), donc :
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Donc \(EF = \sqrt{100} = 10\) cm.
Exercice 3 (★) — Calculer un côté de l’angle droit
Le triangle \(GHI\) est rectangle en \(G\). On sait que \(HI = 13\) cm (l’hypoténuse) et \(GH = 5\) cm. Calcule \(GI\).
Correction. Attention : ici on cherche un côté de l’angle droit, donc on soustrait. Le triangle est rectangle en \(G\), donc :
\(HI^2 = GH^2 + GI^2\)
\(13^2 = 5^2 + GI^2\)
\(169 = 25 + GI^2\)
\(GI^2 = 169 – 25 = 144\)
Donc \(GI = \sqrt{144} = 12\) cm.
Ta fiche de révision Pythagore prête à imprimer
Formule, méthode (hypoténuse / côté de l’angle droit) et triplets pythagoriciens réunis sur une seule page claire.
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Exercice 4 (★) — Valeur arrondie
Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(K\) avec \(KL = 5\) cm et \(KM = 7\) cm. Calcule \(LM\) et arrondis au millimètre (un chiffre après la virgule).
Correction. Le triangle est rectangle en \(K\), donc :
\(LM^2 = KL^2 + KM^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
Donc \(LM = \sqrt{74} \approx 8{,}6\) cm.
👉 Comme 74 n’est pas un carré parfait, on garde \(\sqrt{74}\) comme valeur exacte, puis on donne l’arrondi.
Exercice 5 (★) — À toi de choisir l’opération
Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). On donne \(RT = 20\) cm et \(ST = 16\) cm. Calcule \(RS\).
Correction. Repère d’abord l’hypoténuse : l’angle droit est en \(S\), donc l’hypoténuse est \(RT\). On cherche un côté de l’angle droit, on soustrait :
\(RT^2 = RS^2 + ST^2\)
\(20^2 = RS^2 + 16^2\)
\(400 = RS^2 + 256\)
\(RS^2 = 400 – 256 = 144\)
Donc \(RS = \sqrt{144} = 12\) cm.
Exercices d’approfondissement (★★)
Maintenant, on corse un peu : il faut réfléchir avant de calculer, lire une figure, ou reconnaître un cas particulier.
Exercice 6 (★★) — Les triplets pythagoriciens
Parmi ces triangles rectangles, lesquels font partie d’un triplet « tout rond » (sans racine à calculer) ? Vérifie pour chacun :
- (a) côtés de l’angle droit 8 et 15
- (b) côtés de l’angle droit 5 et 12
- (c) côtés de l’angle droit 2 et 3
Correction.
(a) \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) : hypoténuse = 17. ✔ Triplet 8 – 15 – 17.
(b) \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) : hypoténuse = 13. ✔ Triplet 5 – 12 – 13.
(c) \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\) : hypoténuse = \(\sqrt{13} \approx 3{,}6\). ✘ Pas un triplet.
👉 Connaître les triplets 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 te fait gagner du temps aux contrôles.
Exercice 7 (★★) — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB = 9\) cm, \(AC = 12\) cm et \(BC = 15\) cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Correction. On utilise la réciproque de Pythagore. On repère le plus long côté : c’est \(BC = 15\). On calcule séparément les deux membres :
D’un côté : \(BC^2 = 15^2 = 225\)
De l’autre : \(AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle. L’angle droit est opposé au plus grand côté \(BC\), donc il est en \(A\).
Exercice 8 (★★) — Un triangle qui n’est pas rectangle
Un triangle \(MNP\) a pour côtés \(MN = 4\) cm, \(NP = 5\) cm et \(MP = 6\) cm. Est-il rectangle ?
Correction. Le plus long côté est \(MP = 6\). On compare :
\(MP^2 = 6^2 = 36\)
\(MN^2 + NP^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\)
Comme \(36\) ≠ \(41\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. Donc le triangle \(MNP\) n’est pas rectangle.
👉 Il faut conclure clairement : pas d’égalité = pas rectangle.
Exercice 9 (★★) — L’échelle contre le mur
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au centimètre.
Correction. On modélise par un triangle rectangle : le mur et le sol forment l’angle droit, l’échelle est l’hypoténuse. On note \(h\) la hauteur cherchée.
D’après le théorème de Pythagore :
\(5^2 = 1{,}5^2 + h^2\)
\(25 = 2{,}25 + h^2\)
\(h^2 = 25 – 2{,}25 = 22{,}75\)
Donc \(h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m, soit environ 4,77 m.
Exercices de synthèse et type brevet (★★★)
Ces derniers exercices ressemblent à ce que tu pourras voir en fin de 4ème et, plus tard, au brevet. Il faut combiner plusieurs étapes et bien rédiger.
Exercice 10 (★★★) — La diagonale d’un rectangle
Un terrain rectangulaire \(ABCD\) mesure \(AB = 12\) m de long et \(BC = 9\) m de large. Calcule la longueur de la diagonale \(AC\).
Correction. Dans un rectangle, tous les angles sont droits. Le triangle \(ABC\) est donc rectangle en \(B\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\)
Donc \(AC = \sqrt{225} = 15\) m.
👉 La clé était de repérer que la diagonale crée un triangle rectangle.
Exercice 11 (★★★) — Deux triangles à la suite
On a une figure formée de deux triangles. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) avec \(AB = 8\) cm et \(BC = 6\) cm. Le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\) avec \(CD = 24\) cm.
1) Calcule \(AC\). 2) Calcule \(AD\).
Correction.
1) Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\)
Donc \(AC = \sqrt{100} = 10\) cm.
2) Le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\), et on connaît maintenant \(AC = 10\) cm. Ici \(AD\) est l’hypoténuse :
\(AD^2 = AC^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\)
Donc \(AD = \sqrt{676} = 26\) cm.
👉 On a réutilisé le résultat de la question 1 dans la question 2 : c’est typique des problèmes en plusieurs parties.
Exercice 12 (★★★) — Problème de rédaction type brevet
Un mât vertical \(AB\) est maintenu par un câble tendu \(BC\). Le câble est fixé au sol au point \(C\), à 9 m du pied \(A\) du mât. Le câble mesure 15 m. Quelle est la hauteur \(AB\) du point d’attache sur le mât ? Rédige ta réponse comme au brevet.
Correction rédigée (modèle attendu).
Le mât est vertical et le sol horizontal, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
D’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(15^2 = AB^2 + 9^2\)
\(225 = AB^2 + 81\)
\(AB^2 = 225 – 81 = 144\)
\(AB = \sqrt{144} = 12\) m.
Le point d’attache est donc à 12 m de hauteur. ∎
Barème type brevet (sur 4 points) :
- Justifier que le triangle est rectangle : 1 pt
- Écrire l’égalité de Pythagore correcte : 1 pt
- Calcul de \(AB^2\) (soustraction) : 1 pt
- Résultat avec l’unité : 1 pt
👉 Beaucoup d’élèves perdent le premier point en oubliant de justifier « rectangle en A ». Pour t’entraîner sur des sujets de brevet complets, va voir les exercices Pythagore niveau 3ème.
Les erreurs fréquentes à éviter
Les correcteurs voient toujours les mêmes fautes. Repère-les maintenant pour ne plus les faire.
Erreur 1 — Additionner alors qu’il faut soustraire.
❌ Copie fautive : pour trouver un côté de l’angle droit, l’élève écrit \(GI^2 = 13^2 + 5^2\).
Diagnostic : il a additionné, mais \(13\) est l’hypoténuse, c’est le plus grand. On ne peut pas additionner pour trouver un côté plus petit.
✅ Correction : \(GI^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\), donc \(GI = 12\). Règle : on additionne pour l’hypoténuse, on soustrait pour un côté de l’angle droit.
Erreur 2 — Confondre la longueur et son carré.
❌ Copie fautive : « \(BC^2 = 25\) donc \(BC = 25\) ».
Diagnostic : on a trouvé le carré de \(BC\), pas \(BC\). Il manque l’étape de la racine carrée.
✅ Correction : \(BC = \sqrt{25} = 5\) cm.
Erreur 3 — Se tromper d’hypoténuse.
L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit, et c’est le plus long. Avant de calculer, repère bien le sommet de l’angle droit : c’est lui qui te dit quel côté est l’hypoténuse.
Questions fréquentes
En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore est introduit en 4ème. On apprend d’abord à calculer une longueur (l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit), puis sa réciproque pour prouver qu’un triangle est rectangle. En 3ème, on le consolide et on le retrouve dans des problèmes du brevet.
Comment savoir si je dois additionner ou soustraire ?
Tout dépend de ce que tu cherches. Si tu cherches l’hypoténuse (le plus grand côté), tu additionnes les carrés des deux autres côtés. Si tu cherches un côté de l’angle droit, tu soustrais : carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème direct sert à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. La réciproque fait l’inverse : à partir des trois longueurs, elle permet de prouver qu’un triangle est rectangle (ou non). On compare alors le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
Que faire quand le résultat n'est pas un nombre entier ?
C’est très fréquent ! Si le carré n’est pas un carré parfait (par exemple \(BC^2 = 74\)), tu écris d’abord la valeur exacte avec la racine, \(BC = \sqrt{74}\), puis tu donnes la valeur arrondie à la calculatrice : \(\sqrt{74} \approx 8{,}6\) cm. Respecte bien l’arrondi demandé dans l’énoncé.
Faut-il connaître les triplets pythagoriciens par cœur ?
Ce n’est pas obligatoire, mais c’est un vrai gain de temps. Connaître 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17 (et leurs multiples comme 6-8-10) te permet de repérer un résultat sans tout recalculer. C’est aussi utile pour vérifier rapidement tes calculs.
Pour aller plus loin
Tu as terminé ces 12 exercices ? Bravo ! Voici comment continuer à progresser :
- Revoir la théorie avec le cours complet sur le théorème de Pythagore.
- Maîtriser la technique avec la méthode pour calculer l’hypoténuse et un côté.
- Approfondir avec la réciproque pour prouver un angle droit.
- Passer au niveau supérieur avec les exercices Pythagore 3ème et brevet.
- Ne pas confondre les deux grands théorèmes du collège : Thalès ou Pythagore ?
- S’entraîner aussi sur le chapitre voisin avec les exercices sur le théorème de Thalès en 4ème.
