Analyse et Correction du Sujet Maths 1 Centrale-Supélec PSI 2026

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Ce sujet de Maths 1 Centrale-Supélec PSI 2026, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, est un problème unique de probabilités discrètes : on étudie le temps d’attente avant l’apparition de n côtés pile consécutifs lors de lancers successifs d’une pièce (non nécessairement équilibrée). Les 45 questions s’articulent en quatre parties de difficulté croissante, mêlant probabilités, algèbre linéaire et séries entières. Le sujet est ambitieux par sa longueur et par la diversité des outils mobilisés, mais les premières questions de chaque partie offrent des points accessibles à tout candidat bien préparé.

Structure et thèmes du sujet

Le sujet s’organise autour d’une variable aléatoire \(X_n\) qui représente le numéro du lancer où l’on obtient pour la première fois n côtés pile consécutifs. La pièce a une probabilité \(p \in \,]0,1[\) de tomber sur pile et \(q = 1-p\) de tomber sur face. L’étude se fait par complexité croissante du paramètre n.

Partie A – Les cas n = 1 et n = 2

La sous-partie I (Q1–Q3) traite le cas \(n = 1\) : on reconnaît immédiatement une loi géométrique de paramètre \(p\). L’objectif est de donner la loi, la fonction génératrice, l’espérance et la variance de \(X_1\), puis de les démontrer.

La sous-partie II (Q4–Q13) est nettement plus riche. Pour \(n = 2\), on établit une relation de récurrence d’ordre 2 sur \(P(X_2 = k)\), on étudie les racines du trinôme caractéristique \(X^2 – qX – pq = 0\), on détermine le rayon de convergence de la série associée, on exprime \(P(X_2 = k)\) en forme close, puis on calcule la fonction génératrice, l’espérance et la variance.

Partie B – Le cas n = 3

La sous-partie I (Q14–Q25) passe à \(n = 3\) et mobilise l’algèbre linéaire. La récurrence d’ordre 3 est mise sous forme matricielle \(U_{k+1} = MU_k\) avec \(M \in M_3(\mathbb{R})\). On étudie le polynôme caractéristique de \(M\), on montre qu’il admet une unique racine réelle dans \(]0,1[\) et deux racines complexes conjuguées de module strictement inférieur. La diagonalisation dans \(\mathbb{C}\) permet d’obtenir un équivalent de \(P(X_3 = k)\) quand \(k \to +\infty\).

La sous-partie II (Q26–Q28) applique ces résultats au cas particulier \(p = \displaystyle\frac{3}{4}\), où l’on détermine explicitement les racines et un équivalent numérique.

Partie C – Étude générale par le calcul de la fonction génératrice

Les questions Q29 à Q35 traitent le cas général (n quelconque). On établit la récurrence d’ordre \(n\) sur \(P(X_n = k)\), on étudie la fonction \(f(t) = t^n – q\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p^{i-1}t^{n-i}\) pour montrer l’existence d’une borne \(t \in \,]p,1[\) telle que \(P(X_n = k) \leq t^k\), puis on en déduit la fonction génératrice et l’espérance de \(X_n\).

Partie D – Obtenir une succession de pile dans une suite de lancers

Les questions Q36 à Q45 changent de perspective : on s’intéresse à l’événement \(A_{n,k}\) « obtenir au moins \(n\) côtés pile consécutifs en \(k\) lancers ». On établit une récurrence, on écrit une fonction Python, on montre la convergence de \(P(A_{n,k})\) vers 1, et on termine par une application numérique et une esquisse de méthode générale inspirée de la partie B.

Notions et chapitres testés

• Probabilités discrètes : loi d’une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\), système complet d’événements, formule des probabilités totales, fonction génératrice, espérance, variance, convergence presque sûre.
• Séries entières : rayon de convergence (par les racines du polynôme caractéristique), dérivation terme à terme, lien avec les fonctions génératrices.
• Algèbre linéaire : matrices \(3 \times 3\), polynôme caractéristique, valeurs propres réelles et complexes, diagonalisation dans \(\mathbb{C}\), puissances de matrices.
• Polynômes : trinôme du second degré, racines rationnelles, factorisation, théorème des valeurs intermédiaires pour localiser les racines.
• Suites récurrentes linéaires : récurrence d’ordre 2 et 3, résolution par l’équation caractéristique, comportement asymptotique dominé par la racine de plus grand module.
• Analyse : étude de fonctions sur \([0,1]\), majoration de suites par récurrence, convergence monotone.
• Informatique (Python) : implémentation d’une récurrence d’ordre \(n\), gestion de listes.

Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes

Ce sujet se situe dans la tranche haute de difficulté pour une épreuve de Maths 1 Centrale-Supélec PSI. La longueur (45 questions) est inhabituellement élevée et impose un rythme soutenu : environ 5 minutes par question en moyenne, ce qui laisse très peu de marge pour la réflexion sur les questions les plus techniques.

Le caractère monothématique est à double tranchant : si tu maîtrises bien les probabilités et les fonctions génératrices, la progression est naturelle et les raisonnements se renforcent d’une partie à l’autre. En revanche, un candidat peu à l’aise avec les probabilités discrètes risque de se retrouver bloqué dès la partie A.II.

Par rapport aux sujets des années 2022 à 2025, on note un retour marqué de l’algèbre linéaire appliquée aux probabilités (la partie B rappelle les sujets Mines-Ponts 2023 qui mélangeaient matrices et processus). La partie D, qui introduit un problème d’optimisation combinatoire avec Python, est typique de l’évolution récente vers des sujets à composante informatique intégrée.

Pièges et points techniques délicats

Q5 – Détermination des résultats possibles pour les deux premiers lancers

Le piège classique est d’oublier un cas. Si \(X_2 = k\) avec \(k > 2\), les deux premiers lancers ne peuvent être « pile-pile » (sinon \(X_2 = 2\)). Il faut distinguer : le premier lancer est face (probabilité \(q\)), ou le premier est pile et le deuxième est face (probabilité \(pq\)). C’est l’exhaustivité du système complet d’événements qui justifie la récurrence de Q6.

Q7 – Racines du trinôme caractéristique

Le trinôme \(X^2 – qX – pq\) a un discriminant \(\Delta = q^2 + 4pq = q(q + 4p)\). Vérifie que \(\Delta > 0\) (car \(p, q > 0\)), puis montre que les deux racines sont dans \(]-1, 1[\) en évaluant le polynôme en \(-1\) et \(1\). L’erreur fréquente est d’oublier de montrer que \(|r_2| < |r_1|\), ce qui nécessite une analyse de signe soignée.

Q10 – L’événement \((X_2 = +\infty)\)

Cet événement s’écrit comme l’intersection \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{+\infty}(X_2 \geq k)\). Pour montrer que \(P(X_2 = +\infty) = 0\), il faut utiliser la continuité décroissante de la mesure de probabilité et le fait que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}P(X_2 = k) = 1\). Attention à ne pas confondre cet argument avec un simple « la série converge ».

Q16 – Construction de la matrice M

L’ordre des composantes du vecteur \(U_k\) est imposé par l’énoncé : \(U_k = \begin{pmatrix} P(X_3 = k+2) \\ P(X_3 = k+1) \\ P(X_3 = k) \end{pmatrix}\). Le piège est d’inverser l’ordre ou de se tromper dans les indices lors de l’écriture de la relation \(U_{k+1} = MU_k\). Relis la récurrence de Q15 et identifie systématiquement chaque coefficient.

Q19 – Factorisation \((X – p)\chi_M(X) = X^4 – X^3 + qp^3\)

Cette question demande d’abord de vérifier une identité algébrique, puis de l’exploiter pour montrer que \(\chi_M\) n’a qu’une seule racine réelle. Le point délicat est l’étude de la fonction \(g(x) = x^4 – x^3 + qp^3\) : il faut montrer que \(g\) n’admet que deux racines réelles (dont \(p\)), ce qui impose que \(\chi_M\) n’en a qu’une seule.

Q31 – Étude de la fonction f et existence de t

Il faut calculer \(f(1)\) (qui dépend de la somme géométrique \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p^{i-1}\)), montrer que \(f(1) > 0\), puis analyser \(f\) sur \(]p, 1[\) pour exhiber un zéro par le théorème des valeurs intermédiaires. La difficulté réside dans le calcul propre de \(f(p)\) et le contrôle du signe.

Q38 – Fonction Python

L’implémentation demande de stocker les \(n\) dernières valeurs de \(P(A_{n,l})\) pour calculer la suivante. Attention aux indices : la récurrence de Q37 fait intervenir \(P(A_{n,k-1}), \ldots, P(A_{n,k-n})\), et les conditions initiales (Q36) doivent être correctement initialisées.

Méthodes attendues et stratégies de résolution

Partie A – Reconnaissance et récurrence

Q1–Q3 : La loi de \(X_1\) est une loi géométrique : \(P(X_1 = k) = q^{k-1}p\). La fonction génératrice s’écrit \(G_{X_1}(z) = \displaystyle\frac{pz}{1-qz}\) pour \(|z| < \displaystyle\frac{1}{q}\). L’espérance \(\displaystyle\frac{1}{p}\) et la variance \(\displaystyle\frac{q}{p^2}\) se retrouvent par dérivation de \(G\).

Q4–Q9 : Conditionne par les deux premiers lancers pour établir la récurrence. Résous l’équation caractéristique pour exprimer \(P(X_2 = k)\) comme combinaison linéaire de \(r_1^{k-1}\) et \(r_2^{k-1}\), en utilisant les conditions initiales \(P(X_2 = 1) = 0\) et \(P(X_2 = 2) = p^2\).

Q10–Q13 : Pour la fonction génératrice, multiplie la récurrence par \(z^k\) et somme. L’espérance se calcule via \(E(X_2) = G_{X_2}^\prime(1)\) et la variance via la formule \(\mathrm{Var}(X_2) = G_{X_2}^{\prime\prime}(1) + G_{X_2}^\prime(1) – (G_{X_2}^\prime(1))^2\).

Partie B – Algèbre linéaire et asymptotique

Q14–Q16 : Les valeurs \(P(X_3 = 1) = P(X_3 = 2) = 0\) et \(P(X_3 = 3) = p^3\) servent de conditions initiales. La matrice \(M\) se déduit directement de la récurrence d’ordre 3.

Q17–Q21 : Calcule \(\chi_M\) par développement du déterminant, utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour la racine réelle, puis la factorisation avec \((X-p)\) pour l’unicité. La diagonalisation dans \(\mathbb{C}\) donne \(M = QDQ^{-1}\) d’où \(M^k = QD^kQ^{-1}\) et l’expression de \(P(X_3 = k)\).

Q22–Q25 : Détermine \(A\) en utilisant la condition \(\displaystyle\sum_{k \geq 1} P(X_3 = k) = 1\) et les sommes géométriques. L’équivalent asymptotique repose sur la domination de \(\lambda_1\) (seule racine réelle, de module maximal) sur les racines complexes \(\lambda_2, \overline{\lambda_2}\).

Partie C – Généralisation

Q29–Q32 : La récurrence d’ordre \(n\) se démontre par un système complet d’événements (conditionner sur les premiers lancers). La majoration \(P(X_n = k) \leq t^k\) par récurrence garantit l’existence de la fonction génératrice.

Q33–Q35 : La fonction génératrice se calcule en multipliant la récurrence par \(z^k\) et en sommant. La décomposition en éléments simples de \(G_{X_n}\) fournit l’expression de \(P(X_n = k)\) en fonction des pôles.

Partie D – Probabilité d’occurrence

Q36–Q38 : Les valeurs initiales de \(P(A_{n,k})\) sont connues (\(P(A_{n,k}) = 0\) pour \(k < n\), \(P(A_{n,n}) = p^n\)). La fonction Python implémente la récurrence de Q37 de façon itérative.

Q39–Q43 : On identifie une suite constante vérifiant la même récurrence que \(P(A_{n,k})\), on en déduit que \(P(A_{n,k}) = 1 – u_k\) avec \((u_k)\) décroissante et convergente vers 0, ce qui prouve que \(P\left(\displaystyle\bigcup_{k \geq 1} A_{n,k}\right) = 1\) : on finit presque sûrement par obtenir \(n\) piles consécutifs.

Conseils pour les futurs candidats

Ce sujet illustre une tendance forte des épreuves Centrale-Supélec récentes : un problème long, progressif et monothématique qui teste la capacité à articuler plusieurs domaines du programme autour d’un même objet mathématique. Voici les points clés à travailler si tu vises cette épreuve.

1. Maîtrise les fonctions génératrices

C’est le fil rouge du sujet. Tu dois savoir dériver une fonction génératrice, en déduire espérance et variance, et manipuler les séries entières associées. Ce chapitre est souvent négligé au profit des lois classiques, mais il est central dans les problèmes de Centrale-Supélec.

2. Entraîne-toi aux récurrences linéaires d’ordre supérieur

Les récurrences d’ordre 2 et 3 avec résolution par l’équation caractéristique sont omniprésentes. Travaille la méthode matricielle (mise sous forme \(U_{k+1} = MU_k\)) et la diagonalisation dans \(\mathbb{C}\) lorsque les racines sont complexes.

3. Consolide l’algèbre linéaire dans le contexte probabiliste

La partie B montre que la diagonalisation n’est pas un exercice abstrait : elle permet d’obtenir des résultats asymptotiques concrets. Révise le calcul du polynôme caractéristique pour des matrices \(3 \times 3\) et la manipulation des valeurs propres complexes conjuguées.

4. Ne néglige pas Python

La question Q38 demande une implémentation simple mais correcte. Entraîne-toi à écrire des fonctions Python qui implémentent des récurrences avec stockage des termes précédents dans une liste. Les erreurs d’indice sont les plus fréquentes et coûtent cher.

5. Travaille la rédaction des raisonnements par récurrence

Plusieurs questions (Q15, Q30, Q32, Q41, Q42) demandent des récurrences. L’initialisation et l’hérédité doivent être rédigées avec soin, en particulier pour les récurrences fortes (d’ordre \(n\)) où l’initialisation porte sur plusieurs valeurs.

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