Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
En prépa ECG, les probabilités sont un réservoir de points… ou un champ de mines. La plupart des erreurs que je vois en copie ne viennent pas d’un manque de connaissances, mais de réflexes mal ancrés : un univers oublié, une conditionnelle inversée, une loi jamais vérifiée. Dans cet article, tu vas identifier les 8 fautes les plus fréquentes et, surtout, le geste précis qui les corrige. Objectif : que ces points arrêtent de partir bêtement au concours.
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1. Ne pas définir l’univers ni les événements
C’est l’erreur qui coûte le plus de points en début de copie. Tu te lances dans un calcul de probabilité sans avoir posé l’univers ni nommé les événements. Le correcteur ne sait plus de quoi tu parles, et il ne peut pas valoriser un raisonnement flou.
Exemple typique : « On tire deux boules dans une urne… ». Avant tout calcul, écris explicitement l’événement.
Notation propre : « Soit A l’événement la première boule est rouge et B l’événement la seconde boule est rouge. » Puis seulement : \(P(A \cap B)\).
Ce réflexe est explicitement récompensé par les correcteurs : une phrase de définition par événement, systématiquement. Vu chez nos élèves, poser les événements en toutes lettres réduit nettement les fautes de calcul qui suivent, parce que tu sais exactement ce que tu manipules. Entraîne-toi sur les exercices de probabilités à commencer chaque question par cette ligne.
2. Confondre incompatible et indépendant
C’est le grand classique. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble ; deux événements indépendants n’ont aucune influence l’un sur l’autre. Ce ne sont pas du tout les mêmes formules.
- Incompatibles : \(P(A \cap B) = 0\)
- Indépendants : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Le piège : croire qu’incompatible entraîne indépendant. C’est faux, et même l’inverse. Si A et B sont incompatibles avec \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\), alors \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B)\) : ils sont dépendants. Savoir que A s’est réalisé t’apprend que B est impossible.
Le bon geste : avant d’écrire une formule, demande-toi laquelle des deux propriétés te donne l’énoncé, ou si tu dois la démontrer. Ne suppose jamais l’indépendance : elle est soit donnée, soit à prouver.
3. Un système complet d’événements mal posé
La formule des probabilités totales est l’outil roi de l’ECG, mais elle exige un système complet d’événements : une partition de l’univers, avec des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est certaine.
La formule s’écrit :
\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)\)Erreur fréquente : oublier un cas. Si tu conditionnes par « la machine A produit la pièce », il faut aussi le cas « la machine B produit la pièce », et vérifier que ces cas couvrent 100 % des situations. Un système incomplet fausse tout le résultat.
Vérifie toujours que \(\sum_{i=1}^{n} P(A_i) = 1\). Si la somme ne fait pas 1, ta partition oublie un événement.
Pour ancrer la méthode complète, révise la fiche dédiée sur la formule des probabilités totales et pense à modéliser par un arbre de probabilité quand l’énoncé s’y prête.
4. Inverser la formule de Bayes
Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) est une faute qui change complètement le sens du problème. « La probabilité d’être malade sachant que le test est positif » n’est pas « la probabilité que le test soit positif sachant qu’on est malade ».
La formule de Bayes relie les deux :
\(P_B(A) = \displaystyle\frac{P_A(B) \times P(A)}{P(B)}\)Vu chez nos élèves, l’erreur vient presque toujours d’une lecture trop rapide de l’énoncé. Le mot « sachant » indique la condition : ce qui suit est l’événement déjà réalisé, celui qui va en indice.
Souligne dans l’énoncé ce qui vient après « sachant que ». C’est ton événement conditionnant, donc l’indice de la probabilité conditionnelle. Le reste est l’événement dont tu cherches la probabilité.
Cette distinction est le cœur de la probabilité conditionnelle : maîtrise-la avant les concours, elle tombe chaque année.
5. Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1
Quand tu détermines la loi d’une variable aléatoire discrète, tu obtiens des \(P(X = k)\). La vérification obligatoire, trop souvent zappée, c’est :
\(\sum_{k} P(X = k) = 1\)Ce contrôle a deux vertus. D’abord, il te dit si ta loi est correcte : une somme différente de 1 signale une erreur. Ensuite, il rapporte des points, car le barème valorise souvent explicitement cette vérification.
Exemple concret : pour une loi géométrique de paramètre p, tu dois retrouver \(\sum_{k=1}^{+\infty} p(1-p)^{k-1} = 1\) via une série géométrique. Si ce n’est pas le cas, tu as mal calculé un \(P(X=k)\).
Le réflexe à installer : après chaque détermination de loi, écris une ligne de vérification de la somme. C’est le filet de sécurité le plus rentable de tout le chapitre. Garde les formules de probabilités sous la main pour reconnaître vite les sommes usuelles.
6. Confondre loi binomiale et tirages sans remise
La loi binomiale modélise n épreuves indépendantes, donc des tirages avec remise (ou une population très grande). Sa formule :
\(P(X = k) = C_{n}^{k} \, p^{k} (1-p)^{n-k}\)L’erreur classique : appliquer la binomiale à un tirage sans remise, où les tirages ne sont plus indépendants et où p change à chaque étape. Dans ce cas, la loi n’est pas binomiale.
Question-réflexe avant d’écrire une binomiale : les épreuves sont-elles indépendantes et de même probabilité de succès ? Si tu tires des boules sans remise dans une petite urne, la réponse est non.
Autre confusion voisine : la binomiale, la loi de Poisson (comme approximation) et la loi géométrique (rang du premier succès) n’ont pas le même support ni le même cadre. Identifie d’abord la situation, ensuite la loi. Un tableau des conditions d’application dans ton cours te fera gagner un temps précieux le jour J.
7. Se tromper sur le support de la variable aléatoire
Avant tout calcul de loi, tu dois déterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre X, c’est-à-dire son support \(X(\Omega)\). L’oublier, ou le poser trop large, fausse la loi et l’espérance.
Exemple : on lance un dé jusqu’au premier 6. La variable X = rang du premier 6 prend ses valeurs dans \(\{1, 2, 3, \dots\}\), pas dans \(\{0, 1, 2, \dots\}\) : on ne peut pas obtenir le premier 6 au rang 0.
Autre cas fréquent : le maximum de deux dés. Beaucoup oublient que X ne peut pas valoir 1 avec une probabilité identique aux autres, et que le support va de 1 à 6 avec des probabilités croissantes. Sans support propre, la loi entière est décalée.
Écris systématiquement la ligne « \(X(\Omega) = \dots\) » en premier. Teste les valeurs extrêmes : la plus petite et la plus grande valeur atteignables. C’est là que se cachent les erreurs de bord.
8. Manipuler espérance et variance sans précaution
Deux erreurs reviennent constamment. La première : appliquer König-Huygens de travers. La formule correcte est :
\(V(X) = E(X^2)- E(X)^2\)Attention, \(E(X^2) \neq E(X)^2\) en général. Beaucoup calculent \(E(X)\) puis l’élèvent au carré en croyant obtenir \(E(X^2)\) : c’est faux. Il faut calculer \(E(X^2) = \sum_k k^2 P(X=k)\) séparément.
La seconde : additionner les variances sans indépendance. La linéarité de l’espérance est toujours vraie, \(E(X+Y) = E(X) + E(Y)\). Mais pour la variance :
\(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\)n’est valable que si X et Y sont indépendantes. Sinon, un terme \(2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\) apparaît (l’égalité reste vraie dès que la covariance est nulle). Vu chez nos élèves, cette confusion coûte cher dans les problèmes de sommes de variables. Vérifie toujours l’hypothèse d’indépendance avant d’écrire cette égalité.
Comment progresser au-delà de ces erreurs
Repérer ces 8 pièges ne suffit pas : il faut transformer les corrections en automatismes. Voici le plan d’action concret à démarrer dès aujourd’hui.
- Crée ta check-list de début de question : définir l’univers, nommer les événements, poser le support de X. Trois lignes réflexes avant tout calcul.
- Refais tes DS de probabilités en surlignant chaque faute selon ces 8 catégories. Tu verras vite laquelle revient le plus chez toi.
- Vérifie systématiquement deux choses en fin de question : la somme des probabilités vaut 1, et les hypothèses d’indépendance sont bien justifiées.
- Distingue toujours situation et loi : décris le mécanisme avant de nommer la loi, pour ne plus confondre binomiale et tirage sans remise.
Pour consolider les bases, reprends la fiche complète sur les probabilités et la synthèse des formules de probabilités. Si tes points partent aussi en rédaction, la fiche sur les erreurs de rédaction en DS est un complément précieux. Et pour garder ta motivation orientée résultats, jette un œil au classement des prépas ECG : ces points de probabilités sont exactement ceux qui font la différence au concours.
L’action de ce soir : reprends ta dernière copie de probabilités et attribue à chaque perte de point l’un des 8 numéros ci-dessus. En dix minutes, tu sauras où concentrer tes efforts.
Questions fréquentes
Quelle est l’erreur la plus sanctionnée en probabilités en ECG ?
Ne pas définir l’univers ni les événements avant de calculer. Le correcteur ne peut pas valoriser un raisonnement dont il ignore les objets. Commence chaque question par une phrase qui nomme les événements en jeu, avant toute formule.
Comment ne plus confondre événements incompatibles et indépendants ?
Incompatibles signifie qu’ils ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection a une probabilité nulle. Indépendants signifie que la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre : la probabilité de l’intersection est le produit des probabilités. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont d’ailleurs toujours dépendants.
Quand puis-je additionner les variances de deux variables ?
Si les deux variables sont indépendantes (ou, plus généralement, de covariance nulle). La linéarité de l’espérance, elle, est toujours vraie. Pour la variance d’une somme, vérifie l’indépendance dans l’énoncé avant d’écrire l’égalité, sinon un terme de covariance manque.
Comment savoir si une situation suit une loi binomiale ?
Il faut un nombre fixé d’épreuves, indépendantes, avec la même probabilité de succès à chaque fois. Un tirage avec remise convient, un tirage sans remise dans une petite population non, car les tirages ne sont plus indépendants. Décris le mécanisme avant de nommer la loi.
Pourquoi vérifier que la somme des probabilités vaut 1 ?
C’est un contrôle de cohérence : si la somme des probabilités d’une loi discrète ne vaut pas 1, ta loi contient une erreur. En plus, cette vérification est souvent explicitement notée au barème. Ajoute-la en fin de chaque détermination de loi.
Comment retenir le sens de la formule de Bayes ?
Repère dans l’énoncé ce qui suit le mot « sachant » : c’est l’événement déjà réalisé, celui qui va en indice de la probabilité conditionnelle. La formule de Bayes te permet ensuite d’inverser le conditionnement en pondérant par les probabilités de chaque événement.
