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Les coordonnées sphériques repèrent un point de l’espace par sa distance à l’origine et deux angles ; les coordonnées cylindriques combinent un repérage polaire dans un plan et une hauteur. Ces deux systèmes exploitent les symétries de révolution ou centrale et transforment des intégrales triples inextricables en calculs élémentaires. C’est un outil central du calcul différentiel et intégral en prépa.
I. Définition et notations
Un point de l’espace se repère classiquement par ses coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\). Mais dès qu’un problème possède une symétrie — un axe privilégié, un centre — ces coordonnées deviennent lourdes. Deux systèmes adaptés prennent alors le relais : les coordonnées cylindriques (symétrie autour d’un axe) et les coordonnées sphériques (symétrie autour d’un point).
A. Les coordonnées cylindriques
Définition — Coordonnées cylindriques
Un point \(M\) de l’espace est repéré par le triplet \((\rho, \theta, z)\) où :
- \(\rho \geq 0\) est la distance de \(M\) à l’axe \(Oz\) ;
- \(\theta \in [0, 2\pi[\) est l’angle polaire (azimut) mesuré dans le plan \(xOy\) à partir de \(Ox\) ;
- \(z\) est la cote (la même qu’en cartésien).
Le passage vers le cartésien s’écrit : \(x = \rho\cos\theta\), \(y = \rho\sin\theta\), \(z = z\).
Autrement dit, on garde le repérage polaire du plan et on empile la hauteur \(z\). C’est exactement pour cela que les coordonnées cylindriques sont la version spatiale des coordonnées polaires : le plan \(z = 0\) redonne le repérage polaire habituel.
B. Les coordonnées sphériques
Définition — Coordonnées sphériques
Un point \(M\) de l’espace est repéré par \((r, \theta, \varphi)\) où :
- \(r \geq 0\) est la distance de \(M\) à l’origine \(O\) ;
- \(\theta \in [0, 2\pi[\) est la longitude (azimut), angle dans le plan \(xOy\) ;
- \(\varphi \in [0, \pi]\) est la colatitude, angle entre \(\vec{OM}\) et l’axe \(Oz\).
Le passage vers le cartésien s’écrit :
\(x = r\sin\varphi\cos\theta\), \(\quad y = r\sin\varphi\sin\theta\), \(\quad z = r\cos\varphi\).
La logique est géométrique : le rayon \(r\) fixe une sphère, la colatitude \(\varphi\) fixe un parallèle sur cette sphère (un cône d’axe \(Oz\)), et la longitude \(\theta\) fixe un méridien. Trois surfaces qui se coupent en un unique point.
Attention à la convention. Il existe deux traditions : la convention « mathématicien » (adoptée ici) où \(\varphi\) est la colatitude, et la convention « physicien ISO » où les rôles de \(\theta\) et \(\varphi\) sont échangés. Le jacobien change alors d’apparence : \(r^2\sin\varphi\) devient \(r^2\sin\theta\). La règle absolue en copie : toujours définir sa convention avant de calculer.
C. Latitude, longitude : la passerelle avec la géographie 🟢
🟢 Section accessible dès la Terminale. Avant d’aborder le formalisme prépa, une image concrète. Sur le globe terrestre, un point se repère par sa longitude et sa latitude : ce sont exactement les deux angles des coordonnées sphériques, à un détail près.
- La longitude correspond directement à \(\theta\) (méridien).
- La latitude \(\ell\) est mesurée depuis l’équateur, alors que la colatitude \(\varphi\) est mesurée depuis le pôle Nord : \(\varphi = \displaystyle\frac{\pi}{2}- \ell\) (en radians).
Le rayon \(r\) étant fixé (le rayon terrestre), un point de la surface ne dépend que de deux angles : une sphère est une surface de dimension 2. Cette intuition topographique éclaire tout le reste du cours.
D. Le tableau des conversions à retenir
Voici, réunies, toutes les formules de passage. C’est la première chose à savoir reproduire sans hésiter.
| Système | Coordonnées (domaines) | Passage vers cartésien | Jacobien |
|---|---|---|---|
| Cartésien | \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\) | — | \(1\) |
| Cylindrique | \(\rho \geq 0\), \(\theta \in [0, 2\pi[\), \(z \in \mathbb{R}\) | \(x=\rho\cos\theta\)\(y=\rho\sin\theta\)\(z=z\) | \(\rho\) |
| Sphérique | \(r \geq 0\), \(\theta \in [0, 2\pi[\), \(\varphi \in [0, \pi]\) | \(x=r\sin\varphi\cos\theta\)\(y=r\sin\varphi\sin\theta\)\(z=r\cos\varphi\) | \(r^2\sin\varphi\) |
Toutes les conversions et jacobiens sur une seule fiche
Formules de passage, bases locales, éléments de volume et méthode d’intégration : l’essentiel du cours condensé pour tes révisions et tes colles.
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Pour le passage inverse (cartésien vers sphérique), on utilise \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\), \(\varphi = \arccos\!\left(\displaystyle\frac{z}{r}\right)\) et \(\theta\) déterminé par \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) (jamais par \(\arctan\) seul, voir la section des pièges). Ces formules reposent entièrement sur le cosinus et le sinus.
II. Interprétation géométrique et bases locales
Comprendre un système de coordonnées, ce n’est pas mémoriser des formules : c’est visualiser comment se déplace le point quand on fait varier une coordonnée. C’est là que se construit la base locale, l’objet clé pour tout le calcul différentiel qui suivra.
A. La base locale cylindrique
On introduit la base mobile \((\vec{e}_\rho, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z)\) :
\(\vec{e}_\rho = (\cos\theta, \sin\theta, 0)\), \(\quad \vec{e}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)\), \(\quad \vec{e}_z = (0,0,1)\).
Cette base est orthonormée directe. Le vecteur position s’écrit simplement \(\vec{OM} = \rho\,\vec{e}_\rho + z\,\vec{e}_z\). Point crucial : \(\vec{e}_\rho\) et \(\vec{e}_\theta\) dépendent de \(\theta\). On vérifie que \(\displaystyle\frac{d\vec{e}_\rho}{d\theta} = \vec{e}_\theta\) et \(\displaystyle\frac{d\vec{e}_\theta}{d\theta} = -\vec{e}_\rho\).
B. La base locale sphérique
De même, on définit \((\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_\theta)\) :
- \(\vec{e}_r = (\sin\varphi\cos\theta,\ \sin\varphi\sin\theta,\ \cos\varphi)\)
- \(\vec{e}_\varphi = (\cos\varphi\cos\theta,\ \cos\varphi\sin\theta,\ -\sin\varphi)\)
- \(\vec{e}_\theta = (-\sin\theta,\ \cos\theta,\ 0)\)
On vérifie sans peine que ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et unitaires : c’est une base orthonormée mobile. Le vecteur position se réduit à \(\vec{OM} = r\,\vec{e}_r\) — d’où la puissance du système pour les problèmes à symétrie centrale.
À retenir : ces vecteurs de base ne sont pas les vecteurs cartésiens exprimés dans les coordonnées d’un vecteur fixes. Ils tournent avec le point. C’est précisément ce caractère mobile qui produira le facteur \(\sin\varphi\) dans l’élément de volume.
Ces bases locales sont aussi le socle de l’écriture des opérateurs différentiels (gradient, divergence, laplacien). Nous ne les développons pas ici : elles font l’objet de la page dédiée aux opérateurs dans ces systèmes.
III. Éléments différentiels et jacobien
Toute la valeur pratique de ces coordonnées se joue ici : quelle « brique élémentaire » de volume balaie-t-on quand on fait varier chaque coordonnée d’un infinitésimal ? La réponse — le jacobien — est ce qui rend possible le calcul des intégrales triples.
A. Le déplacement élémentaire
Différentions le vecteur position sphérique \(\vec{OM} = r\,\vec{e}_r(\theta, \varphi)\) :
\(d\vec{OM} = dr\,\vec{e}_r + r\,d\vec{e}_r\)Or \(\displaystyle\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \varphi} = \vec{e}_\varphi\) et \(\displaystyle\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} = \sin\varphi\,\vec{e}_\theta\), donc \(d\vec{e}_r = d\varphi\,\vec{e}_\varphi + \sin\varphi\,d\theta\,\vec{e}_\theta\). On obtient :
Déplacement élémentaire — sphérique
\(d\vec{OM} = dr\,\vec{e}_r + r\,d\varphi\,\vec{e}_\varphi + r\sin\varphi\,d\theta\,\vec{e}_\theta\)
Les coefficients \(h_r = 1\), \(h_\varphi = r\), \(h_\theta = r\sin\varphi\) sont les facteurs d’échelle (coefficients de Lamé).
En cylindrique, le même calcul donne \(d\vec{OM} = d\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,d\theta\,\vec{e}_\theta + dz\,\vec{e}_z\), soit les facteurs \((1, \rho, 1)\).
B. Éléments de longueur, surface et volume
Les facteurs d’échelle donnent immédiatement tous les éléments différentiels. Comme la base est orthonormée, on multiplie simplement les longueurs élémentaires selon chaque direction.
| Élément | Cylindrique | Sphérique |
|---|---|---|
| Longueur au carré \(ds^2\) | \(d\rho^2 + \rho^2 d\theta^2 + dz^2\) | \(dr^2 + r^2 d\varphi^2 + r^2\sin^2\!\varphi\, d\theta^2\) |
| Surface (sur \(\rho\) ou \(r\) constant) | \(dS = \rho\, d\theta\, dz\) | \(dS = r^2\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta\) |
| Volume \(dV\) | \(dV = \rho\, d\rho\, d\theta\, dz\) | \(dV = r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\) |
C. Démonstration du jacobien sphérique
La lecture géométrique donne déjà le résultat : le pavé élémentaire a pour arêtes \(dr\), \(r\,d\varphi\) et \(r\sin\varphi\,d\theta\), donc son volume vaut leur produit, \(r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\). Confirmons-le rigoureusement par le calcul du déterminant jacobien, comme l’attend un correcteur de concours.
Théorème — Jacobien du passage en sphériques ⋆
Le déterminant de la matrice jacobienne du changement de variables \((r, \varphi, \theta) \mapsto (x, y, z)\) vaut \(r^2\sin\varphi\). Comme \(\sin\varphi \geq 0\) pour \(\varphi \in [0, \pi]\), la valeur absolue du jacobien est \(r^2\sin\varphi\).
Démonstration. La matrice jacobienne, colonnes ordonnées selon \((r, \varphi, \theta)\), est :
\(J = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \end{pmatrix}\)On développe le déterminant selon la troisième ligne. Le cofacteur associé à \(\cos\varphi\) est :
\(\begin{vmatrix} r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \\ r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta \end{vmatrix} = r^2\sin\varphi\cos\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2\sin\varphi\cos\varphi\)Le cofacteur associé à \(-r\sin\varphi\) (signe \((-1)^{3+2} = -1\)) est :
\(-\begin{vmatrix} \sin\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta \end{vmatrix} = -\,r\sin^2\!\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -r\sin^2\!\varphi\)D’où, en sommant les contributions de la ligne :
\(\det J = \cos\varphi \cdot r^2\sin\varphi\cos\varphi + (-r\sin\varphi)\cdot(-r\sin^2\!\varphi) = r^2\sin\varphi\cos^2\!\varphi + r^2\sin^3\!\varphi\)\(\det J = r^2\sin\varphi(\cos^2\!\varphi + \sin^2\!\varphi) = r^2\sin\varphi\). ∎
La même méthode donne \(\det J = \rho\) pour le passage cylindrique. Ce déterminant est un cas particulier de la matrice jacobienne d’un changement de variables, dont le rôle général est démontré dans la page dédiée. Il intervient à chaque calcul d’intégrale triple en sphériques.
IV. Méthode : passer en coordonnées sphériques
Face à une intégrale triple ou à un domaine spatial, voici le réflexe méthodique en quatre étapes. C’est cette rigueur d’exécution qui distingue une copie propre d’un calcul brouillon.
Étape 1 — Repérer la symétrie. Le domaine ou la fonction fait-il apparaître \(x^2+y^2+z^2\) (symétrie centrale → sphérique) ou \(x^2+y^2\) avec un \(z\) indépendant (symétrie axiale → cylindrique) ?
Étape 2 — Annoncer la convention et les bornes. Écrire explicitement le domaine dans les nouvelles variables : \(r\) varie sur un intervalle, \(\varphi\) sur un sous-intervalle de \([0,\pi]\), \(\theta\) sur un sous-intervalle de \([0, 2\pi[\).
Étape 3 — Substituer sans oublier le jacobien. Remplacer \(x, y, z\) et surtout ne jamais omettre le facteur \(r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\).
Étape 4 — Séparer les variables si possible. Quand l’intégrande et les bornes se factorisent, l’intégrale triple devient un produit de trois intégrales simples (théorème de Fubini).
Le réflexe qui fait gagner du temps : si l’intégrande ne dépend que de \(r\) et si le domaine est une boule ou une couronne, l’intégration sur \(\theta\) donne \(2\pi\) et sur \(\varphi\) donne \(2\) (car \(\int_0^\pi \sin\varphi\, d\varphi = 2\)). Il reste \(4\pi \int r^2 f(r)\, dr\).
V. Exemples résolus
Passons à la pratique, du calcul de conversion direct jusqu’au raisonnement sur un domaine. Cherche à traiter chaque exemple seul avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Cartésien vers sphérique ★
Déterminer les coordonnées sphériques du point \(M(1,\ \sqrt{3},\ 2)\).
Voir la correction de l’exercice 1
Le rayon : \(r = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
La colatitude : \(\cos\varphi = \displaystyle\frac{z}{r} = \displaystyle\frac{2}{2\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\varphi = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
La longitude : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r\sin\varphi} = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}} = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r\sin\varphi} = \displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}\), d’où \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Résultat : \(M\left(2\sqrt{2},\ \displaystyle\frac{\pi}{3},\ \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) en sphériques. On vérifie : \(x = 2\sqrt2 \sin\displaystyle\frac\pi4 \cos\displaystyle\frac\pi3 = 1\) ✓.
Exercice 2 — Cylindrique vers cartésien ★
Un point a pour coordonnées cylindriques \(\left(4,\ \displaystyle\frac{2\pi}{3},\ -1\right)\). Donner ses coordonnées cartésiennes.
Voir la correction de l’exercice 2
\(x = \rho\cos\theta = 4\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3} = 4\times\left(-\displaystyle\frac12\right) = -2\).
\(y = \rho\sin\theta = 4\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3} = 4\times\displaystyle\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\).
\(z = -1\) (inchangé).
Résultat : \(M(-2,\ 2\sqrt3,\ -1)\).
Exercice 3 — Volume de la boule ★★
Retrouver le volume de la boule de centre \(O\) et de rayon \(R\) par une intégrale triple en sphériques.
Voir la correction de l’exercice 3
Le domaine est \(r \in [0, R]\), \(\varphi \in [0, \pi]\), \(\theta \in [0, 2\pi]\). On intègre \(1\cdot dV\) :
\(V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{R} r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\)Les variables se séparent :
\(V = \left(\displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_0^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_0^{R} r^2\, dr\right) = 2\pi \times 2 \times \displaystyle\frac{R^3}{3}\)Résultat : \(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\). On retrouve la formule bien connue — sans effort géométrique.
Exercice 4 — Décrire un cône (raisonnement) ★★
On considère la partie de la boule unité située « au-dessus » du cône d’équation \(z = \sqrt{x^2+y^2}\). Décrire ce domaine en coordonnées sphériques, sans calculer d’intégrale.
Voir la correction de l’exercice 4
La boule unité impose \(0 \leq r \leq 1\) ; l’espace complet impose \(\theta \in [0, 2\pi[\).
La condition \(z \geq \sqrt{x^2+y^2}\) se traduit en sphériques par \(r\cos\varphi \geq r\sin\varphi\) (car \(\sqrt{x^2+y^2} = r\sin\varphi\) avec \(\sin\varphi \geq 0\)). Pour \(r > 0\), cela équivaut à \(\cos\varphi \geq \sin\varphi\), soit \(\tan\varphi \leq 1\).
Comme \(\varphi \in [0, \pi]\), on obtient \(\varphi \in \left[0, \displaystyle\frac{\pi}{4}\right]\).
Résultat : le domaine est \(\big\{ (r,\theta,\varphi) : 0 \leq r \leq 1,\ 0 \leq \theta < 2\pi,\ 0 \leq \varphi \leq \displaystyle\frac{\pi}{4} \big\}\). Le cône se lit directement comme une borne sur la colatitude — c’est tout l’intérêt du système.
Exercice 5 — Un moment d’inertie ★★★
Calculer \(I = \displaystyle\iiint_{B} (x^2+y^2+z^2)\, dV\) où \(B\) est la boule de centre \(O\) et de rayon \(R\).
Voir la correction de l’exercice 5
En sphériques, \(x^2+y^2+z^2 = r^2\). L’intégrande devient \(r^2\) et l’élément de volume \(r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\), soit \(r^4\sin\varphi\) au total :
\(I = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{R} r^4\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\)Séparation des variables :
\(I = 2\pi \times 2 \times \displaystyle\frac{R^5}{5} = \displaystyle\frac{4\pi R^5}{5}\)Résultat : \(I = \displaystyle\frac{4\pi R^5}{5}\). La fonction à symétrie centrale rend le calcul immédiat, là où le cartésien mènerait à des intégrales inextricables.
Pour t’entraîner davantage, la page d’exercices corrigés d’analyse vectorielle propose une série complète en accordéon, cotée par difficulté.
VI. Pièges classiques
Trois erreurs reviennent inlassablement en copie et en colle. Les connaître à l’avance, c’est déjà les éviter.
Piège n°1 — Écrire \(\sin\theta\) au lieu de \(\sin\varphi\) dans le jacobien. Le facteur trigonométrique porte sur la colatitude, l’angle qui « ouvre » depuis l’axe \(Oz\). Diagnostic de l’erreur : elle vient d’un mélange entre convention physicien et mathématicien. Correction : dans notre convention (\(\varphi\) = colatitude), c’est toujours \(r^2\sin\varphi\). Vérification mentale : au pôle (\(\varphi = 0\)), l’élément de volume doit s’annuler car les méridiens se rejoignent — et \(\sin 0 = 0\) ✓.
Piège n°2 — Traiter la base locale comme constante. Écrire naïvement \(\displaystyle\frac{d}{dt}(r\,\vec{e}_r) = \dot r\,\vec{e}_r\) est faux : \(\vec{e}_r\) dépend de \(\theta\) et \(\varphi\). Copie fautive : « \(\vec{v} = \dot r\, \vec{e}_r\) ». Correction : il faut différentier aussi le vecteur de base, \(\vec{v} = \dot r\,\vec{e}_r + r\dot\varphi\,\vec{e}_\varphi + r\dot\theta\sin\varphi\,\vec{e}_\theta\). C’est l’erreur la plus fréquente en mécanique du point.
Piège n°3 — Déterminer \(\theta\) par \(\arctan(y/x)\) seul. L’arctangente renvoie une valeur dans \(\left]-\displaystyle\frac\pi2, \displaystyle\frac\pi2\right[\) et perd le quadrant. Correction : déterminer \(\theta\) à partir du couple \((\cos\theta, \sin\theta)\), jamais du seul rapport. Un point avec \(x < 0\) exige un ajustement de \(\pi\). Ce piège est traité en détail sur la page des coordonnées polaires.
VII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur un calcul d’intégrale multiple, les points se gagnent moins sur le résultat que sur la rigueur de la mise en place. Le plan attendu tient en quatre lignes :
- Annoncer la convention : « on note \(\varphi\) la colatitude » — une phrase qui évite toute ambiguïté sur le jacobien.
- Décrire le nouveau domaine explicitement, bornes par bornes, avant toute substitution.
- Justifier l’application du théorème du changement de variables : difféomorphisme sur l’ouvert considéré, valeur absolue du jacobien.
- Invoquer Fubini (continuité ou positivité) avant de séparer les variables.
Les formulations qui coûtent des points : « on passe en sphériques » sans écrire le jacobien, ou une séparation des variables sans justifier que bornes et intégrande se factorisent.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Usage attendu |
|---|---|
| MPSI / PCSI (1re année) | Repérage en physique (cinématique, champs), déplacement élémentaire, base locale |
| MP / PC / PSI (2e année) | Changement de variables dans les intégrales doubles et triples, jacobien, Fubini |
| ECG2 | Passage en polaires pour les calculs d’intégrales doubles (cas plan) |
Ces coordonnées débouchent naturellement sur le calcul des intégrales doubles et triples, où l’élément de volume \(r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta\) devient l’outil de travail quotidien.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre coordonnées cylindriques et sphériques ?
Les coordonnées cylindriques \((\rho, \theta, z)\) gardent une hauteur cartésienne \(z\) et repèrent la projection dans le plan par un rayon et un angle : elles conviennent aux symétries autour d’un axe. Les coordonnées sphériques \((r, \theta, \varphi)\) utilisent la distance à l’origine et deux angles : elles conviennent aux symétries autour d’un point. Le cylindrique a un jacobien \(\rho\), le sphérique \(r^2\sin\varphi\).
Pourquoi le jacobien sphérique fait-il intervenir sin phi et non sin theta ?
Parce que le facteur trigonométrique mesure l’ouverture du méridien depuis l’axe \(Oz\), donc dépend de la colatitude \(\varphi\). Géométriquement, l’arête azimutale du pavé élémentaire vaut \(r\sin\varphi\, d\theta\) : elle rétrécit près des pôles (où \(\sin\varphi \to 0\)). Écrire \(\sin\theta\) provient d’une confusion avec la convention physicien, où les rôles de \(\theta\) et \(\varphi\) sont inversés.
Comment convertir un point cartésien en coordonnées sphériques ?
On calcule d’abord \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\), puis la colatitude par \(\varphi = \arccos(z/r)\), et enfin la longitude \(\theta\) à partir du couple \((\cos\theta, \sin\theta)\) où \(\cos\theta = x/(r\sin\varphi)\). Il ne faut jamais déterminer \(\theta\) par \(\arctan(y/x)\) seul, qui perd l’information de quadrant.
Les coordonnées polaires sont-elles un cas particulier des cylindriques ?
Oui. En restreignant les coordonnées cylindriques au plan \(z = 0\), on retrouve exactement le repérage polaire \((\rho, \theta)\) du plan. Les cylindriques sont donc « les polaires plus une hauteur ». C’est pourquoi le passage en polaires dans une intégrale double, avec son jacobien \(\rho\), est le cas plan du passage en cylindriques.
La base locale sphérique est-elle orthonormée ?
Oui : les trois vecteurs \(\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_\theta\) sont unitaires et deux à deux orthogonaux en tout point. En revanche, contrairement à la base cartésienne, elle est mobile : ses vecteurs dépendent de la position du point. C’est cette dépendance qui doit être prise en compte dès qu’on dérive un vecteur exprimé dans cette base.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le repérage cylindrique et sphérique, la base locale et le jacobien. Pour consolider et prolonger :
- Tableau de variation d’une fonction
- Diagonalisation d’une Matrice : Cours et Méthodes
- Développements limités des fonctions usuelles
- Exercices Dérivées 1ère Corrigés (PDF)
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