Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur

En Terminale, la plupart des limites « complexes » cachent une composition : \(e^{u(x)}\), \(\ln(v(x))\), \(\sqrt{w(x)}\)… Le théorème de composition des limites est la clé pour les calculer, à condition de bien identifier la fonction « extérieure » et la fonction « intérieure ». Voici la méthode pas à pas, 5 exemples résolus et 4 exercices corrigés — conforme au programme de Terminale spé maths 2025-2026.

📚 Tout le cours « Limites de fonctions »

I. Le théorème de composition des limites

A. Rappel — Qu’est-ce qu’une fonction composée ?

Une fonction composée est une fonction obtenue en « emboîtant » deux fonctions l’une dans l’autre. Si \(h\) et \(g\) sont deux fonctions, la composée \(g \circ h\) est définie par :

\((g \circ h)(x) = g\bigl(h(x)\bigr)\)

Concrètement, tu appliques d’abord \(h\) à \(x\), puis tu appliques \(g\) au résultat. Par exemple :

  • \(e^{x^2 + 1}\) est la composée de \(g(X) = e^X\) (extérieure) et \(h(x) = x^2 + 1\) (intérieure).
  • \(\ln(\cos x)\) est la composée de \(g(X) = \ln(X)\) et \(h(x) = \cos x\).

La question est : comment calculer la limite d’une telle expression ? C’est exactement ce que permet le théorème suivant.

B. Énoncé du théorème

Théorème — Composition des limites

Soient \(h\) et \(g\) deux fonctions. Si :

  • \(\lim_{x \to a} h(x) = \ell\)
  • \(\lim_{X \to \ell} g(X) = L\)

alors \(\lim_{x \to a} g\bigl(h(x)\bigr) = L\).

Ici \(a\), \(\ell\) et \(L\) peuvent être des réels, \(+\infty\) ou \(-\infty\).

Intuition : pour calculer la limite de \(g(h(x))\), on suit la chaîne :

\(x \to a \quad \Longrightarrow \quad h(x) \to \ell \quad \Longrightarrow \quad g\bigl(h(x)\bigr) \to L\)

On calcule d’abord la limite de la fonction « intérieure », puis on injecte le résultat dans la fonction « extérieure ».

Condition indispensable : le théorème ne s’applique que si \(g\) admet bien une limite en \(\ell\). Si \(g\) n’a pas de limite en \(\ell\) (par exemple, \(\sin\) en \(+\infty\)), le théorème est muet — et la limite de \(g(h(x))\) peut ne pas exister.

C. Quand utiliser la composition ?

Avant de te lancer, vérifie que la composition est bien la technique adaptée. Ce tableau t’aide à t’orienter :

Quelle technique pour calculer une limite ?
Tu observes… Technique à utiliser Exemple type
\(f(x) = g(h(x))\) et les deux limites existent Composition (cette page) \(e^{2x+1}\), \(\ln(x^2+1)\)
Substitution directe possible Évaluation directe \(\lim_{x \to 1}(2x+3) = 5\)
Forme indéterminée « \(\displaystyle\frac{0}{0}\) », « \(\infty – \infty\) », « \(0 \times \infty\) »… Levée de formes indéterminées \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\), \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x}\)
Encadrement par deux fonctions de même limite Théorème des gendarmes \(x\,\sin\!\Bigl(\displaystyle\frac{1}{x}\Bigr)\)
Polynôme ou fraction rationnelle en \(\pm\infty\) Monôme de plus haut degré \(\displaystyle\frac{3x^2 – x}{x^2 + 1}\)

Règle rapide : si tu vois une fonction « emboîtée » — exponentielle d’un polynôme, logarithme d’une expression, racine de quelque chose — pense immédiatement composition.

Voyons maintenant comment appliquer ce théorème de manière systématique.

II. Méthode pas à pas en 4 étapes

A. Étape 1 — Identifier la composition \(g \circ h\)

Repère les deux fonctions \(g\) (extérieure) et \(h\) (intérieure) telles que \(f(x) = g\bigl(h(x)\bigr)\).

  • La fonction extérieure \(g\) est celle que tu « vois en premier » : \(\exp\), \(\ln\), \(\sqrt{\phantom{x}}\), \(\cos\)…
  • La fonction intérieure \(h\) est l’expression qui sert d’argument à \(g\).

Astuce : pose \(u = h(x)\) pour clarifier la décomposition. Par exemple, si \(f(x) = e^{x^2+1}\), pose \(u = x^2+1\). Alors \(f(x) = e^u\) : la fonction extérieure est \(g(u) = e^u\), l’intérieure est \(h(x) = x^2+1\).

B. Étape 2 — Calculer la limite intermédiaire

Calcule \(\lim_{x \to a} h(x) = \ell\) en utilisant les outils classiques : opérations sur les limites, monôme de plus haut degré, limites de référence…

C’est cette valeur \(\ell\) (finie ou infinie) qui va servir de « point d’entrée » pour \(g\) à l’étape suivante.

C. Étape 3 — Appliquer le théorème

Calcule \(\lim_{X \to \ell} g(X) = L\). Pour cela, utilise les limites des fonctions usuelles : limites de l’exponentielle, du logarithme, de la racine carrée, des fonctions trigonométriques…

Si cette limite existe (finie ou infinie), le théorème de composition donne directement :

\(\lim_{x \to a} g\bigl(h(x)\bigr) = L\)

D. Étape 4 — Conclure et rédiger

Sur ta copie, adopte cette rédaction en trois lignes — propre, complète, et attendue par le correcteur :

Modèle de rédaction (à reproduire tel quel) :

  1. « Posons \(u = h(x)\). Quand \(x \to a\), on a \(u \to \ell\). »
  2. « Or \(\lim_{X \to \ell} g(X) = L\). »
  3. « Par composition des limites, \(\lim_{x \to a} g\bigl(h(x)\bigr) = L\). »

Cette rédaction en trois temps est suffisante pour obtenir tous les points au bac.

Voici les compositions que tu rencontreras le plus souvent :

Les 5 compositions les plus fréquentes au bac :

  • \(e^{u(x)}\) — exponentielle d’un polynôme ou d’une fraction (de loin la plus courante)
  • \(\ln\bigl(u(x)\bigr)\) — logarithme d’un polynôme ou d’une expression positive
  • \(\sqrt{u(x)}\) — racine carrée d’une expression positive
  • \(\bigl(u(x)\bigr)^n\) — puissance d’une expression
  • \(\cos\bigl(u(x)\bigr)\) ou \(\sin\bigl(u(x)\bigr)\) — composition avec une fonction trigonométrique
🎁 EN BONUS

La méthode complète en fiche recto-verso

Les 4 étapes, les 5 compositions clés du bac et les pièges à éviter — tout sur une seule fiche à glisser dans ton classeur.

📄 Télécharger la fiche méthode (PDF)

Utilisée par plus de 2 000 élèves pour le bac et les concours.

Pour bien ancrer cette méthode, rien ne vaut des exemples complets.

III. 5 exemples résolus

Chaque exemple est résolu en suivant les 4 étapes. La difficulté monte progressivement.

Exemple 1 — 🔵 Lycée (★)

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x + 1}\).

Étape 1 : \(g(X) = e^X\) et \(h(x) = 2x + 1\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} (2x + 1) = +\infty\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\) (limite de référence de l’exponentielle).

Conclusion : par composition, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x+1} = +\infty\).

Exemple 2 — 🔵 Lycée (★)

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1)\).

Étape 1 : \(g(X) = \ln(X)\) et \(h(x) = x^2 + 1\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1) = +\infty\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty\) (limite de référence du logarithme).

Conclusion : par composition, \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty\).

Exemple 3 — 🔵 Lycée (★★)

Calculer \(\lim_{x \to 0} \sqrt{\cos x}\).

Étape 1 : \(g(X) = \sqrt{X}\) et \(h(x) = \cos x\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to 1} \sqrt{X} = \sqrt{1} = 1\).

Conclusion : par composition, \(\lim_{x \to 0} \sqrt{\cos x} = 1\).

Attention : la composition ne donne pas toujours \(+\infty\) ! Ici, le résultat est une limite finie.

Exemple 4 — 🔵 Lycée (★★)

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}\).

Étape 1 : \(g(X) = e^X\) et \(h(x) = -x^2\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} (-x^2) = -\infty\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\) (limite de référence de l’exponentielle en \(-\infty\)).

Conclusion : par composition, \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0\).

Remarque : \(e^{-x^2}\) tend vers \(0\) beaucoup plus vite que \(e^{-x}\). Ce type de « décroissance ultra-rapide » apparaît souvent dans les sujets de bac.

Courbe de f(x) = exp(-x²) tracée sur [-3 ; 3]. Couleur de la courbe : bleu #1f4acc, trait épais 2.5px. Asymptote horizon

Exemple 5 — 🟠 Avancé (★★★)

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + e^{-x})\).

Étape 1 : on décompose en deux temps. D’abord, posons \(u = e^{-x}\). Quand \(x \to +\infty\), on a \(u \to 0\). Ensuite, \(f(x) = \ln(1 + u)\) : la fonction extérieure est \(g(U) = \ln(1 + U)\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\) (on compose \(e^X\) avec \(X = -x \to -\infty\)).

Étape 3 : \(\lim_{U \to 0} \ln(1 + U) = \ln(1) = 0\).

Conclusion : par composition, \(\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + e^{-x}) = 0\).

🟠 En prépa : on précise la vitesse de convergence grâce aux équivalents. Comme \(\ln(1 + U) \sim U\) quand \(U \to 0\), on obtient \(\ln(1 + e^{-x}) \sim e^{-x}\) quand \(x \to +\infty\).

Logo-excellence-maths
Progresse rapidement en maths avec un prof d'élite
Cours particuliers avec un professeur diplômé de Polytechnique, exigeant et bienveillant. Résultats visibles en quelques semaines. Premier cours satisfait ou remboursé.
Découvrir les cours de Terminale

IV. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Maintenant que tu as vu la méthode en action, voici les trois pièges dans lesquels tombent le plus souvent les élèves — avec à chaque fois une copie fautive commentée.

A. Erreur 1 — Confondre composition et produit

❌ Copie fautive :

« Soit \(f(x) = e^x \times \sin x\). On pose \(h(x) = \sin x\) et \(g(X) = e^X\). Par composition des limites… »

Diagnostic : \(e^x \times \sin x\) est un produit de deux fonctions, pas une composition. On ne peut pas écrire \(f(x) = g(h(x))\) pour cette expression.

✅ Correction : utiliser la règle du produit des limites, pas le théorème de composition. En revanche, \(e^{\sin x}\) est bien une composition (l’exponentielle de sin x, pas l’exponentielle fois sin x).

B. Erreur 2 — Inverser les fonctions \(g\) et \(h\)

❌ Copie fautive :

« Pour \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\), je pose \(h(x) = \sqrt{x}\) et \(g(X) = X^2 + 1\)… »

Diagnostic : les rôles sont inversés ! La fonction qu’on « voit en premier » (ici \(\sqrt{\phantom{x}}\)) est la fonction extérieure \(g\), pas l’intérieure.

✅ Correction : \(h(x) = x^2 + 1\) (intérieure : c’est « ce qui est sous la racine ») et \(g(X) = \sqrt{X}\) (extérieure : c’est la racine). Alors \(f(x) = g(h(x)) = \sqrt{x^2 + 1}\).

C. Erreur 3 — Composer malgré une forme indéterminée intermédiaire

❌ Copie fautive :

« Soit \(f(x) = \ln(x – \sqrt{x})\). On a \(h(x) = x – \sqrt{x}\). Comme \(x \to +\infty\) et \(\sqrt{x} \to +\infty\), on a \(h(x) \to +\infty – \infty\)… Euh… Je compose quand même avec ln… »

Diagnostic : la limite de \(h(x)\) est une forme indéterminée \(\infty – \infty\). On ne peut pas composer tant que cette FI n’est pas levée.

✅ Correction : lever d’abord la FI en factorisant : \(x – \sqrt{x} = \sqrt{x}\,(\sqrt{x} – 1) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\). Ensuite seulement, composer avec \(\ln\) : \(\ln\bigl(\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)\bigr) \to +\infty\).

À toi de jouer maintenant ! Teste ta maîtrise avec ces 4 exercices.

V. 4 exercices d’application corrigés

Essaie chaque exercice avant de consulter la correction (clic sur « Voir la correction »).

Exercice 1 (★) — Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x + 3}\).

Voir la correction

Étape 1 : \(g(X) = \sqrt{X}\) et \(h(x) = 2x + 3\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} (2x + 3) = +\infty\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty\).

Conclusion : par composition des limites, \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x + 3} = +\infty\).

Exercice 2 (★★) — Calculer \(\lim_{x \to 0^+} e^{1/x}\).

Voir la correction

Étape 1 : \(g(X) = e^X\) et \(h(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\).

Étape 2 : quand \(x \to 0^+\), \(\displaystyle\frac{1}{x} \to +\infty\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\).

Conclusion : par composition des limites, \(\lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty\).

Exercice 3 (★★) — Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \cos\!\Bigl(\displaystyle\frac{1}{x}\Bigr)\).

Voir la correction

Étape 1 : \(g(X) = \cos(X)\) et \(h(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\).

Étape 3 : \(\lim_{X \to 0} \cos(X) = \cos(0) = 1\).

Conclusion : par composition des limites, \(\lim_{x \to +\infty} \cos\!\Bigl(\displaystyle\frac{1}{x}\Bigr) = 1\).

Exercice 4 (★★) — La fonction \(f(x) = \sin(\ln x)\) admet-elle une limite quand \(x \to 0^+\) ? Justifier.

Voir la correction

Étape 1 : \(g(X) = \sin(X)\) et \(h(x) = \ln(x)\).

Étape 2 : \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\).

Étape 3 : \(\sin(X)\) n’a pas de limite quand \(X \to -\infty\) — elle oscille indéfiniment entre \(-1\) et \(1\).

Conclusion : le théorème de composition ne s’applique pas. La fonction \(\sin(\ln x)\) oscille de plus en plus vite quand \(x \to 0^+\) : elle n’a pas de limite.

Cet exercice illustre un cas fondamental : si la fonction extérieure \(g\) n’a pas de limite au point \(\ell\), on ne peut rien conclure par composition.

Tu maîtrises maintenant le théorème de composition au niveau Terminale. Si tu vises la prépa, voici comment ce théorème se précise et se complexifie.

VI. Pour aller plus loin — Le théorème rigoureux en CPGE

🔴 Section prépa — En classe préparatoire, le théorème de composition est énoncé avec davantage de rigueur, en faisant intervenir la notion de continuité. Voici les deux formulations que tu rencontreras en sup.

Théorème (version CPGE — avec continuité)

Si \(\lim_{x \to a} h(x) = \ell\) et si \(g\) est continue en \(\ell\), alors :

\(\lim_{x \to a} g\bigl(h(x)\bigr) = g(\ell)\)

En Terminale, tu utilises en fait cette version sans le savoir : quand tu écris « \(\lim_{X \to 1} \sqrt{X} = 1\) », tu utilises la continuité de \(\sqrt{\phantom{x}}\) en \(1\). Les fonctions du programme (exp, ln, racine, sin, cos…) sont toutes continues sur leur domaine de définition, ce qui rend le théorème « automatique » au lycée.

Pourquoi la continuité est-elle importante ? Voici un contre-exemple classique de prépa qui montre ce qui peut mal tourner sans elle :

Contre-exemple (CPGE) :

Soit \(g\) définie par : \(g(X) = 0\) si \(X \neq 0\) et \(g(0) = 1\).

Soit \(h(x) = 0\) pour tout \(x\).

  • \(\lim_{x \to 0} h(x) = 0\) ✓
  • \(\lim_{X \to 0} g(X) = 0\) (car \(g(X) = 0\) pour tout \(X \neq 0\)) ✓

Application « naïve » du théorème : \(\lim_{x \to 0} g(h(x)) = 0\).

Or \(g\bigl(h(x)\bigr) = g(0) = 1\) pour tout \(x\), donc \(\lim_{x \to 0} g(h(x)) = 1 \neq 0\). Contradiction !

Explication : \(g\) n’est pas continue en \(0\) (sa limite en \(0\) vaut \(0\), mais \(g(0) = 1\)). Et \(h(x)\) vaut exactement \(\ell = 0\) au voisinage de \(0\), ce qui « piège » la composition. En imposant la continuité de \(g\) en \(\ell\), le théorème CPGE élimine ce problème.

En prépa, tu apprendras aussi à préciser la vitesse de convergence d’une composition grâce aux développements limités et aux équivalents : si \(h(x) \to 0\) et \(\ln(1+U) \sim U\) quand \(U \to 0\), alors \(\ln(1+h(x)) \sim h(x)\). C’est un outil puissant pour les calculs de concours.

VII. Questions fréquentes

Comment calculer la limite d'une fonction composée ?

Applique la méthode en 4 étapes : (1) identifie les fonctions \(g\) (extérieure) et \(h\) (intérieure) telles que \(f(x) = g(h(x))\) ; (2) calcule la limite de \(h(x)\), notée \(\ell\) ; (3) calcule la limite de \(g(X)\) quand \(X \to \ell\) ; (4) conclus par le théorème de composition : \(\lim g(h(x)) = L\).

Quelle est la différence entre limite d'une composée et limite d'un produit ?

Une composée est une fonction « emboîtée » : \(g(h(x))\), par exemple \(e^{\sin x}\) (l’exponentielle de sin x). Un produit est \(g(x) \times h(x)\), par exemple \(e^x \times \sin x\) (l’exponentielle fois sin x). Pour une composée, on utilise le théorème de composition ; pour un produit, la règle du produit des limites. Les confondre est l’erreur n°1 sur ce chapitre.

Peut-on toujours appliquer le théorème de composition des limites ?

Non. Le théorème exige que la fonction extérieure \(g\) admette une limite au point \(\ell = \lim h(x)\). Si \(g\) n’a pas de limite en \(\ell\) (par exemple \(\sin\) ou \(\cos\) en \(\pm\infty\)), le théorème ne s’applique pas — et la limite de \(g(h(x))\) peut ne pas exister (cf. exercice 4 ci-dessus).

Que faire si la limite intermédiaire est une forme indéterminée ?

Il faut d’abord lever la forme indéterminée sur \(h(x)\) — par factorisation, expression conjuguée, croissances comparées ou toute autre technique adaptée (voir la page formes indéterminées). Ce n’est qu’une fois la limite de \(h(x)\) déterminée qu’on peut appliquer le théorème de composition.

Quelles sont les compositions les plus fréquentes au bac ?

Les cinq compositions les plus courantes au bac de Terminale sont : \(e^{u(x)}\) et \(\ln(u(x))\) (avec \(u\) polynôme ou fraction rationnelle), \(\sqrt{u(x)}\), \((u(x))^n\) et les fonctions trigonométriques composées \(\cos(u(x))\), \(\sin(u(x))\). Retrouve toutes les valeurs de référence dans le tableau des limites usuelles.

VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le théorème de composition des limites. Pour approfondir tes compétences sur les limites de fonctions :

Logo-excellence-maths
Tu vises la prépa ? Prends de l'avance dès maintenant
Un professeur diplômé de Polytechnique t'accompagne vers les concours. Cours sur-mesure, rigueur et bienveillance. Premier cours satisfait ou remboursé.
Découvrir la prépa scientifique
—