Ce tableau regroupe toutes les limites de fonctions usuelles au programme de Terminale, avec conditions d’utilisation et comportement graphique. Tu y trouveras aussi les démonstrations clés, les règles d’opérations sur les limites de fonctions et des exemples pas à pas. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Tableau des limites de fonctions usuelles (Terminale)
Le tableau ci-dessous rassemble toutes les limites de référence exigibles au bac. La colonne Remarques précise le comportement graphique et les conditions d’utilisation — une information que tu ne trouveras pas dans les formulaires classiques.
| Fonction \(f(x)\) | \(x \to \ldots\) | Limite | Remarques |
|---|---|---|---|
| Fonctions puissances (\(n\) entier naturel non nul) | |||
| \(x^n\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | |
| \(x^n\) (\(n\) pair) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | Branche parabolique |
| \(x^n\) (\(n\) impair) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | |
| Fonction inverse | |||
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(+\infty\) | \(0\) | Par valeurs positives |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(-\infty\) | \(0\) | Par valeurs négatives |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(0^+\) | \(+\infty\) | Asymptote verticale \(x = 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(0^-\) | \(-\infty\) | Asymptote verticale \(x = 0\) |
| Racine carrée | |||
| \(\sqrt{x}\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | Croissance plus lente que \(x\) |
| Fonction exponentielle | |||
| \(e^x\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | Croissance plus rapide que tout polynôme |
| \(e^x\) | \(-\infty\) | \(0\) | Asymptote horizontale \(y = 0\) — par valeurs positives |
| Fonction logarithme népérien | |||
| \(\ln(x)\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | Croissance plus lente que tout polynôme |
| \(\ln(x)\) | \(0^+\) | \(-\infty\) | Asymptote verticale \(x = 0\) |
| Croissances comparées (résultats fondamentaux) | |||
| \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) — l’exponentielle « l’emporte » |
| \(x^n \, e^x\) | \(-\infty\) | \(0\) | Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) |
| \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x}\) | \(+\infty\) | \(0\) | Se généralise : \(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^\alpha} \to 0\) pour tout \(\alpha\) > \(0\) |
| \(x \, \ln(x)\) | \(0^+\) | \(0\) | Se généralise : \(x^\alpha \ln(x) \to 0\) pour tout \(\alpha\) > \(0\) |
| Limites remarquables en 0 | |||
| \(\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}\) | \(0\) | \(1\) | Démo par encadrement — base de la dérivée de \(\sin\) |
| \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x}\) | \(0\) | \(1\) | = taux d’accroissement de \(e^x\) en \(0\) (lien avec la dérivée) |
Comment utiliser ce tableau : identifie la fonction et la direction de \(x\), puis lis directement le résultat. Si tu obtiens une combinaison absente du tableau (par exemple \(+\infty – \infty\)), c’est une forme indéterminée — consulte les règles d’opérations (section III) et les techniques de formes indéterminées.
Toutes les limites usuelles sur une seule fiche A4
Tableau complet + croissances comparées + règles d’opérations. À glisser dans ton classeur ou à afficher au-dessus de ton bureau.
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II. Comprendre ces limites : démonstrations et intuitions graphiques
Connaître le tableau par cœur, c’est bien. Comprendre pourquoi chaque limite vaut ce qu’elle vaut, c’est ce qui te permettra de les retrouver le jour du bac. Voici les justifications essentielles, accompagnées du comportement graphique de chaque fonction.
A. Fonction inverse : \(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Quand \(x\) devient très grand, \(\displaystyle\frac{1}{x}\) devient très petit : on divise 1 par un nombre de plus en plus grand. La fraction se rapproche de 0 sans jamais l’atteindre — d’où l’asymptote horizontale \(y = 0\).
Quand \(x\) se rapproche de 0 par la droite (\(x \to 0^+\)), on divise 1 par un nombre de plus en plus petit et positif : le résultat « explose » vers \(+\infty\). Par la gauche (\(x \to 0^-\)), le signe s’inverse et la fonction plonge vers \(-\infty\). C’est l’asymptote verticale \(x = 0\).
![Courbe de 1/x sur [-5;-0.2] et [0.2;5]. Couleur principale #1f4acc. Asymptotes en pointillés rouges #e15a4f (x=0 et y=0)](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_fonction_inverse.png)
B. Fonction exponentielle
La fonction exponentielle vérifie \((e^x)^\prime = e^x\) : sa vitesse de croissance est égale à sa propre valeur. Plus elle est grande, plus elle accélère — c’est pourquoi elle dépasse tout polynôme en \(+\infty\).
En \(-\infty\), on pose \(X = -x \to +\infty\) et on obtient \(e^x = \displaystyle\frac{1}{e^X} \to 0\) puisque \(e^X \to +\infty\). La courbe se rapproche de l’axe des abscisses sans le toucher. Pour approfondir, consulte la page dédiée aux limites de la fonction exponentielle.
![Courbe de e^x sur [-4;3]. Couleur #1f4acc. Asymptote y=0 en pointillés rouges #e15a4f. Grille #e6e8ee. Annotation](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_fonction_exponentielle.png)
C. Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est la réciproque de l’exponentielle. Dire « \(\ln(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\) » revient à dire que l’exponentielle atteint toute valeur. Mais \(\ln\) croît très lentement : par exemple, \(\ln(10\,000) \approx 9{,}2\) seulement.
En \(0^+\), si \(x \to 0^+\) alors \(X = \displaystyle\frac{1}{x} \to +\infty\) et \(\ln(x) = -\ln(X) \to -\infty\). D’où l’asymptote verticale. Le cours complet est sur la page limites de la fonction logarithme.
![Courbe de ln(x) sur [0.05;10]. Couleur #1f4acc. Asymptote x=0 en pointillés rouges #e15a4f. Grille #e6e8ee. Points remar](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_fonction_logarithme.png)
D. Croissances comparées : qui « gagne » en l’infini ?
La hiérarchie de croissance en \(+\infty\) est :
\(\ln(x) \ll x^\alpha \ll e^x\) (pour tout \(\alpha\) > \(0\))
Concrètement : l’exponentielle finit toujours par dépasser n’importe quel polynôme, et tout polynôme finit par dépasser le logarithme. Ces résultats sont admis au programme de Terminale (la démonstration de \(\displaystyle\frac{e^x}{x} \to +\infty\) est toutefois un classique de ROC).
Astuce pour retenir : pense aux croissances comparées comme une « règle de priorité ». Quand tu tombes sur \(\displaystyle\frac{e^x}{x^{100}}\) en \(+\infty\), c’est \(e^x\) qui l’emporte, même face à \(x^{100}\).
E. Limite de \(\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}\) en 0
C’est la limite remarquable la plus célèbre. Pour \(x\) proche de 0, la courbe de \(\sin\) « ressemble » à la droite \(y = x\). La démonstration classique utilise un encadrement géométrique (aire d’un triangle ⩽ aire d’un secteur ⩽ aire d’un triangle) combiné au théorème des gendarmes. Détails sur la page limites des fonctions trigonométriques.
![Courbes superposées de sin(x) (#1f4acc) et y=x (#caa85a) sur [-π;π]. Grille #e6e8ee. Annotation](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graphe_sin_x_sur_x.png)
III. Règles d’opérations sur les limites
Le tableau précédent donne les limites des fonctions isolées. Mais dans un exercice, tu calcules la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions. Les tableaux ci-dessous te donnent le résultat dans chaque cas — et signalent les cas où le résultat n’est pas déterminé : ce sont les formes indéterminées (notées ⚠️ FI).
A. Limite d’une somme
| Limite de \(f\) | Limite de \(g\) | Limite de \(f + g\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell^\prime\) | \(\ell + \ell^\prime\) |
| \(\ell\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | ⚠️ FI |
B. Limite d’un produit
| Limite de \(f\) | Limite de \(g\) | Limite de \(f \times g\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell^\prime\) | \(\ell \times \ell^\prime\) |
| \(\ell\) > \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell\) < \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | ⚠️ FI |
C. Limite d’un quotient
| Limite de \(f\) | Limite de \(g\) | Limite de \(\displaystyle\frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell^\prime \neq 0\) | \(\displaystyle\frac{\ell}{\ell^\prime}\) |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell^\prime \neq 0\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) |
| \(0\) | \(0\) | ⚠️ FI |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | ⚠️ FI |
Attention au cas \(\ell \neq 0\) divisé par \(0\) : ce n’est pas une forme indéterminée, mais il faut étudier le signe du dénominateur au voisinage du point considéré (\(0^+\) ou \(0^-\)). La limite est \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon ce signe.
D. Limite d’une fonction composée
Théorème — Limite d’une composée
Si \(\lim_{x \to a} f(x) = b\) et si \(g\) admet une limite en \(b\), alors :
\(\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = \lim_{u \to b} g(u)\)
En pratique : on calcule d’abord la limite « intérieure » (\(f\)), puis on « compose » avec la limite de \(g\) au point obtenu.
Ce théorème est l’outil central pour calculer des limites comme \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}\) ou \(\lim_{x \to 0^+} \ln(\sin x)\). Pour la méthode détaillée, consulte la page limites des fonctions composées.
IV. Compléments prépa — Équivalents usuels 🟠
En classe préparatoire, on utilise les équivalents pour simplifier les calculs de limites et lever les formes indéterminées. Quand on écrit \(f(x) \sim g(x)\) au voisinage d’un point \(a\), cela signifie que \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \to 1\) quand \(x \to a\). Autrement dit, \(f\) et \(g\) « se comportent pareil » au voisinage de \(a\).
| Fonction | Équivalent quand \(x \to 0\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\sim x\) | |
| \(\tan x\) | \(\sim x\) | |
| \(1 – \cos x\) | \(\sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) | |
| \(e^x – 1\) | \(\sim x\) | |
| \(\ln(1 + x)\) | \(\sim x\) | |
| \((1 + x)^\alpha – 1\) | \(\sim \alpha x\) | \(\alpha \in \mathbb{R}\) |
| \(\arcsin x\) | \(\sim x\) | |
| \(\arctan x\) | \(\sim x\) |
Lien avec le tableau Terminale : l’équivalent \(\sin x \sim x\) en 0 est exactement la reformulation de \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\). De même, \(e^x – 1 \sim x\) traduit \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} \to 1\). Les équivalents sont la version « prépa » des limites remarquables de Terminale.
V. Exemples d’application
Voici comment utiliser concrètement le tableau pour calculer des limites, de la lecture directe aux cas qui nécessitent une transformation.
Exemple 1 ★ — Lecture directe du tableau
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} (3x^2 – 5x + 1)\).
Solution : c’est un polynôme. En \(+\infty\), le terme de plus haut degré domine : \(3x^2 – 5x + 1 = x^2\!\left(3 – \displaystyle\frac{5}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2}\right)\). Or \(x^2 \to +\infty\) (tableau, fonctions puissances) et le facteur entre parenthèses \(\to 3\). Par produit : limite = \(+\infty\).
Exemple 2 ★ — Quotient de polynômes
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x + 1}{x – 3}\).
Solution : numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) — c’est la forme indéterminée \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par le terme de plus haut degré :
\(\displaystyle\frac{2x + 1}{x – 3} = \displaystyle\frac{x\!\left(2 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x\!\left(1 – \displaystyle\frac{3}{x}\right)} = \displaystyle\frac{2 + \displaystyle\frac{1}{x}}{1 – \displaystyle\frac{3}{x}} \to \displaystyle\frac{2}{1} = 2\)
La droite \(y = 2\) est asymptote horizontale.
Exemple 3 ★★ — Croissance comparée (exp vs polynôme)
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} x \, e^{-x}\).
Solution : on réécrit \(x \, e^{-x} = \displaystyle\frac{x}{e^x}\). C’est la forme \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Par croissance comparée (tableau, ligne \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) avec \(n = 1\)) : \(\displaystyle\frac{e^x}{x} \to +\infty\), donc \(\displaystyle\frac{x}{e^x} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{e^x}{x}} \to 0\).
Exemple 4 ★★ — Croissance comparée (ln vs puissance)
Calculer \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)\).
Solution : quand \(x \to 0^+\), on a \(x^2 \to 0\) et \(\ln(x) \to -\infty\) — c’est la forme \(0 \times \infty\). Le tableau donne directement \(x \, \ln(x) \to 0\) quand \(x \to 0^+\). Or \(x^2 \ln(x) = x \cdot \bigl(x \, \ln(x)\bigr)\), et par produit \(x \to 0\) et \(x\,\ln(x) \to 0\), donc :
\(\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0\)
VI. Pièges à éviter
Voici les trois erreurs que les correcteurs voient le plus souvent dans les copies sur les limites.
Piège 1 — Écrire \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) sans préciser le côté
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{1}{x} \to +\infty\) quand \(x \to 0\) »
Diagnostic : la limite à gauche est \(-\infty\) et la limite à droite est \(+\infty\). Elles sont différentes, donc \(\displaystyle\frac{1}{x}\) n’a pas de limite en 0.
✅ Correction : il faut toujours préciser \(0^+\) ou \(0^-\) quand le signe change. Écris : « \(\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) et \(\lim_{x \to 0^-} \displaystyle\frac{1}{x} = -\infty\) ».
Piège 2 — Conclure que \(+\infty – \infty = 0\)
❌ Copie fautive : « \(x^2 – x \to +\infty – \infty = 0\) quand \(x \to +\infty\) »
Diagnostic : \(+\infty – \infty\) est une forme indéterminée. On ne peut pas « soustraire des infinis ». Ici, \(x^2 – x = x(x – 1) \to +\infty\) (produit de deux facteurs tendant vers \(+\infty\)).
✅ Correction : dès que tu obtiens \(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), c’est une FI. Il faut transformer l’expression (factorisation, croissance comparée, conjugué…). Consulte la page formes indéterminées pour la méthode complète.
Piège 3 — Affirmer que \(\sin(x)\) a une limite en \(+\infty\)
❌ Copie fautive : « \(\lim_{x \to +\infty} \sin(x) = 0\) car \(\sin\) oscille autour de 0 »
Diagnostic : \(\sin(x)\) prend indéfiniment les valeurs \(-1\) et \(1\) — la fonction ne se stabilise jamais. Elle n’a pas de limite en \(+\infty\) (ni en \(-\infty\)).
✅ Correction : écris « \(\sin(x)\) n’admet pas de limite en \(+\infty\) ». Ce n’est pas une honte — certaines fonctions n’ont tout simplement pas de limite !
VII. Questions fréquentes
Faut-il connaître toutes ces limites par cœur pour le bac ?
Oui, les limites du tableau principal (fonctions puissances, inverse, exponentielle, logarithme, croissances comparées, limites remarquables en 0) sont des résultats à connaître en Terminale spé maths. Tu peux les utiliser directement dans une copie sans les redémontrer, sauf si l’énoncé le demande explicitement (exercice de type ROC).
Comment savoir si un calcul de limite donne une forme indéterminée ?
Applique les règles d’opérations (section III) à la limite de chaque composante. Si tu obtiens l’un de ces cas : \(+\infty – \infty\), \(0 \times \pm\infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\), \(\displaystyle\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\), \(1^{\pm\infty}\) ou \(0^0\), alors c’est une forme indéterminée. Il faut transformer l’expression avant de conclure. La page dédiée aux formes indéterminées détaille toutes les techniques.
Quelle est la différence entre les limites de fonctions et les limites de suites ?
Le principe est le même (étudier le comportement quand la variable « grandit »), mais la variable est différente : continue pour les fonctions (\(x \in \mathbb{R}\)) et discrète pour les suites numériques (\(n \in \mathbb{N}\)). Les résultats de croissance comparée et les opérations sur les limites s’appliquent dans les deux cas. En revanche, une fonction peut avoir des limites à gauche et à droite d’un point, ce qui n’a pas de sens pour une suite.
Pourquoi l'exponentielle domine-t-elle toujours les polynômes ?
Parce que la vitesse de croissance de \(e^x\) est proportionnelle à sa propre valeur : \((e^x)^\prime = e^x\). Plus \(e^x\) est grand, plus il accélère — alors qu’un polynôme de degré \(n\) a une dérivée de degré \(n-1\), donc une accélération « bornée en puissance ». Ce phénomène d’auto-accélération fait que l’exponentielle finit par dépasser n’importe quelle puissance de \(x\).
Peut-on utiliser la calculatrice pour vérifier une limite ?
La calculatrice peut donner une intuition en affichant des valeurs numériques (table de valeurs) ou en traçant la courbe. Mais elle ne constitue jamais une preuve mathématique. Certaines FI donnent des résultats « piégeux » sur la calculatrice (par exemple \(\displaystyle\frac{0}{0}\) affiche « erreur » au lieu de la vraie limite). Utilise-la pour vérifier, jamais pour justifier.
Où trouver des exercices corrigés sur les limites de fonctions ?
Tu trouveras une banque complète d’exercices classés par difficulté croissante (du calcul direct au problème type bac) sur la page exercices corrigés sur les limites de fonctions. Chaque exercice est corrigé étape par étape avec les références au tableau des limites utilisé.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le tableau des limites de référence et les règles d’opérations. Pour approfondir chaque notion :
- 📖 Limites de fonctions : cours complet (Terminale) — le cours détaillé avec définitions, méthodologie et QCM
- → Limites de la fonction exponentielle — ROC, croissances comparées et démonstrations alternatives
- → Limites de la fonction ln — démonstration et exercices
- → Formes indéterminées : comment les lever — arbre de décision et méthode pas à pas
- → Théorème des gendarmes — énoncé, méthode et exercices
- → Limites des fonctions trigonométriques — sin, cos, tan et démonstration de sin(x)/x
- ✏️ Exercices corrigés sur les limites — banque progressive avec PDF téléchargeable
