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La limite d’une fonction décrit le comportement de ses valeurs lorsque la variable s’approche d’un point donné ou tend vers l’infini. Au programme de spécialité mathématiques en Terminale, ce chapitre est fondamental : il intervient dans l’étude des asymptotes, la continuité, et prépare le terrain pour les suites et les intégrales. Tu trouveras ici les définitions essentielles, les opérations sur les limites, les formes indéterminées, une méthodologie pas à pas, 5 exercices corrigés et les pièges classiques à éviter. Conforme au programme officiel 2025-2026 (BO spécialité maths Terminale).
I. Qu’est-ce que la limite d’une fonction ?
A. Intuition graphique et premiers exemples
Considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). Que se passe-t-il quand \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes ?
| \(x\) | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
Les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent de \(0\) sans jamais l’atteindre. Plus \(x\) est grand, plus \(f(x)\) est proche de \(0\). C’est exactement ce que traduit la notion de limite : le comportement d’une fonction quand sa variable évolue vers un point ou vers l’infini.
On note alors :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\)Ce résultat se lit : « la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) est \(0\) ».
B. Limite finie et limite infinie
Selon la situation, la limite peut être un nombre réel (limite finie) ou l’infini (limite infinie). Voici les définitions informelles du programme :
Définition — Limite d’une fonction
- Limite finie : \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\) signifie que \(f(x)\) peut être rendu aussi proche que l’on veut de \(L\) pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\).
- Limite infinie : \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\) signifie que \(f(x)\) peut être rendu aussi grand que l’on veut pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\).
Ces définitions s’adaptent de la même façon lorsque \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
Les quatre cas de figure :
| Variable | Limite finie | Limite infinie |
|---|---|---|
| \(x \to a\) | \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\) | \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) |
| \(x \to \pm\infty\) | \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) | \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\) |
Exemples :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\) → limite finie en \(+\infty\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) → limite infinie en un point
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\) → limite infinie en \(+\infty\)
C. Limite à gauche et limite à droite
Parfois, une fonction ne se comporte pas de la même manière selon le côté par lequel on s’approche d’un point. Il faut alors distinguer la limite à gauche et la limite à droite.
Définition — Limites latérales
On note \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)\) la limite à gauche (quand \(x\) s’approche de \(a\) par des valeurs inférieures) et \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\) la limite à droite (par des valeurs supérieures).
Règle fondamentale : la limite de \(f\) en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Exemple : Pour \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) en \(x = 0\) :
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) (par la droite, \(x\) > \(0\), donc \(\displaystyle\frac{1}{x}\) > \(0\))
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \displaystyle\frac{1}{x} = -\infty\) (par la gauche, \(x\) < \(0\), donc \(\displaystyle\frac{1}{x}\) < \(0\))
Les deux limites latérales sont différentes : la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) en \(0\) n’existe pas.
II. Opérations sur les limites et formes indéterminées
Lorsque tu connais la limite de deux fonctions \(f\) et \(g\), tu peux en déduire la limite de leur somme, produit ou quotient — à condition que le résultat soit déterminé.
A. Règles opératoires sur les limites
Propriétés — Opérations sur les limites
Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\) et \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L^\prime\) (avec \(L, L^\prime \in \mathbb{R}\)) :
- Somme : \(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + L^\prime\)
- Produit : \(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = L \times L^\prime\)
- Quotient : \(\displaystyle\lim_{x \to a} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\frac{L}{L^\prime}\) (si \(L^\prime \neq 0\))
Ces règles s’étendent aux cas où l’une des limites est \(\pm\infty\), sauf dans les cas de formes indéterminées.
Voici un résumé des cas impliquant l’infini. Les cases marquées FI signalent une forme indéterminée : la limite ne peut pas être déduite directement.
| Opération | Cas | Résultat |
|---|---|---|
| Somme | \(L + (+\infty)\) | \(+\infty\) |
| Somme | \((+\infty) + (+\infty)\) | \(+\infty\) |
| Somme | \((+\infty) + (-\infty)\) | FI |
| Produit | \(L \times (\pm\infty)\), \(L \neq 0\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) |
| Produit | \(0 \times (\pm\infty)\) | FI |
| Quotient | \(\displaystyle\frac{L}{\pm\infty}\) | \(0\) |
| Quotient | \(\displaystyle\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) | FI |
| Quotient | \(\displaystyle\frac{0}{0}\) | FI |
Pour le tableau complet des limites de référence, consulte le tableau des limites des fonctions usuelles. La limite d’une fonction composée obéit à une règle spécifique : si \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = b\) et si \(f\) est continue en \(b\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)\).
B. Les quatre formes indéterminées au programme
Une forme indéterminée (FI) est un cas où la connaissance des limites séparées ne suffit pas à conclure. Le résultat dépend de la « vitesse » à laquelle chaque composante tend vers sa limite.
Les 4 formes indéterminées au programme de Terminale
- \(« +\infty – \infty »\)
- \(« 0 \times (\pm\infty) »\)
- \(« \displaystyle\frac{\pm\infty}{\pm\infty} »\)
- \(« \displaystyle\frac{0}{0} »\)
Pourquoi sont-elles indéterminées ? Prenons l’exemple de \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Selon les fonctions choisies :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^2}{x} = +\infty\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{x} = 1\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{x^2} = 0\)
Trois résultats différents pour la même « forme » \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) ! C’est pourquoi il faut lever l’indétermination par une technique adaptée. Pour les méthodes détaillées, consulte notre page sur les formes indéterminées et les techniques de levée.
Fiche de révision — Limites de fonctions
Toutes les limites usuelles, les 4 formes indéterminées et l’arbre de décision sur une fiche PDF recto-verso à imprimer.
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III. Méthodologie : calculer une limite pas à pas
Face à un calcul de limite, beaucoup d’élèves se retrouvent bloqués faute de stratégie claire. Voici un arbre de décision qui te guide pour n’importe quelle limite.
A. L’arbre de décision
Méthode universelle — Comment calculer une limite
- Substitue la valeur (ou \(\pm\infty\)) dans l’expression.
- Si le résultat est déterminé (un nombre réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)) → c’est la limite. Stop.
- Si tu obtiens une forme indéterminée → identifie le type et applique la technique :
- FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\) : factorise numérateur et dénominateur (racine évidente, identité remarquable).
- FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) (fraction rationnelle) : factorise par la plus haute puissance de \(x\).
- FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) (avec \(e^x\) ou \(\ln x\)) : utilise les croissances comparées.
- FI \(+\infty – \infty\) : mets au même dénominateur ou factorise par le terme dominant.
- FI \(0 \times \infty\) : réécris sous forme de quotient pour te ramener à \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
- Simplifie puis recommence à l’étape 1.
B. Polynômes et fonctions rationnelles
Propriété — Limite d’un polynôme en \(\pm\infty\)
La limite en \(\pm\infty\) d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré :
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0) = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n\)
Exemple : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 7x^2 – 1) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-3x^4) = -\infty\)
Pour une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) en \(+\infty\) ou \(-\infty\), on factorise par la plus haute puissance de \(x\) au numérateur et au dénominateur :
Exemple : Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2 + 3x}{5x^2 – 1}\).
FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) :
\(\displaystyle\frac{2x^2 + 3x}{5x^2 – 1} = \displaystyle\frac{x^2\!\left(2 + \displaystyle\frac{3}{x}\right)}{x^2\!\left(5 – \displaystyle\frac{1}{x^2}\right)} = \displaystyle\frac{2 + \displaystyle\frac{3}{x}}{5 – \displaystyle\frac{1}{x^2}} \longrightarrow[x \to +\infty]{} \displaystyle\frac{2}{5}\)
Astuce : pour une fraction rationnelle en \(\pm\infty\), le résultat dépend uniquement des degrés : si deg(numérateur) = deg(dénominateur), la limite est le rapport des coefficients dominants.
C. Croissances comparées
En \(+\infty\), les fonctions ne croissent pas toutes à la même « vitesse ». Les croissances comparées permettent de lever les FI impliquant la fonction exponentielle ou le logarithme népérien.
Propriété — Croissances comparées (admise)
Pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^n}{e^x} = 0\)
En résumé : \(\ln x \ll x^n \ll e^x\) quand \(x \to +\infty\).
L’exponentielle « écrase » toute puissance, qui elle-même « écrase » le logarithme. Pour approfondir, consulte les pages sur les limites de l’exponentielle et les limites du logarithme.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^3}{e^x} = 0\) par croissance comparée.
D’autres techniques existent pour lever les FI, notamment le théorème des gendarmes (encadrement de la fonction par deux fonctions de même limite) et les limites des fonctions trigonométriques.
D. Limites et asymptotes
Les limites permettent de déterminer les asymptotes d’une courbe, c’est-à-dire les droites dont la courbe se rapproche indéfiniment.
Définition — Asymptotes
- Asymptote horizontale : la droite \(y = L\) est AH à la courbe de \(f\) si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\).
- Asymptote verticale : la droite \(x = a\) est AV à la courbe de \(f\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty\).
Exemple : Soit \(f(x) = \displaystyle\frac{2x + 1}{x – 3}\).
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) → la droite \(y = 2\) est asymptote horizontale.
- \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\) → la droite \(x = 3\) est asymptote verticale.
Il existe aussi des asymptotes obliques (droites \(y = ax + b\)) : elles apparaissent quand \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0\). Tu en rencontreras un exemple dans les exercices ci-dessous.
Limites et continuité. Les limites sont étroitement liées à la continuité : une fonction \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Rappelons aussi que la dérivée se définit elle-même comme une limite : \(f^\prime(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \displaystyle\frac{f(x) – f(a)}{x – a}\).
IV. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de trouver le résultat avant de consulter la correction. Pour une banque complète de 25+ exercices avec PDF, rendez-vous sur la page exercices corrigés sur les limites.
Exercice 1 (★) — Limite d’un polynôme
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x^3 – 5x^2 + 3)\).
Voir la correction
C’est un polynôme : sa limite en \(+\infty\) est celle de son terme de plus haut degré.
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x^3 – 5x^2 + 3) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty\)Exercice 2 (★) — Limite d’une fraction rationnelle
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{3x + 1}{2x – 5}\).
Voir la correction
FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x\) au numérateur et au dénominateur :
\(\displaystyle\frac{3x + 1}{2x – 5} = \displaystyle\frac{x\!\left(3 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x\!\left(2 – \displaystyle\frac{5}{x}\right)} = \displaystyle\frac{3 + \displaystyle\frac{1}{x}}{2 – \displaystyle\frac{5}{x}} \longrightarrow[x \to +\infty]{} \displaystyle\frac{3}{2}\)Exercice 3 (★★) — Lever une FI 0/0
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2}\).
Voir la correction
En \(x = 2\) : numérateur \(= 4 – 4 = 0\) et dénominateur \(= 0\). C’est une FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
On factorise le numérateur grâce à l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) :
\(\displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2} = \displaystyle\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad \text{pour } x \neq 2\)Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2} = \displaystyle\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4\).
Exercice 4 (★★) — Croissance comparée
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}\).
Voir la correction
On réécrit : \(x^2 e^{-x} = \displaystyle\frac{x^2}{e^x}\). C’est une FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
Par croissance comparée, l’exponentielle domine toute puissance de \(x\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^2}{e^x} = 0\)Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0\).
Exercice 5 (★★★) — Asymptotes d’une fonction rationnelle
Soit \(f(x) = \displaystyle\frac{2x^2 + x – 1}{x – 1}\). Détermine toutes les asymptotes de la courbe de \(f\).
Voir la correction
Asymptote verticale : le dénominateur s’annule en \(x = 1\), et le numérateur vaut \(2 + 1 – 1 = 2 \neq 0\). On a donc :
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) (car \(\displaystyle\frac{2}{0^+} = +\infty\))
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) (car \(\displaystyle\frac{2}{0^-} = -\infty\))
La droite \(x = 1\) est asymptote verticale.
Asymptote oblique : on effectue la division euclidienne de \(2x^2 + x – 1\) par \(x – 1\) :
\(2x^2 + x – 1 = (x – 1)(2x + 3) + 2\)Donc \(f(x) = 2x + 3 + \displaystyle\frac{2}{x – 1}\).
Comme \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{2}{x – 1} = 0\), on a \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (2x + 3)] = 0\).
La droite \(y = 2x + 3\) est asymptote oblique.
QCM — Teste ta compréhension
Vérifie que tu maîtrises l’essentiel avec ces 5 questions rapides :
Q1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^3 – 2x) = \)
a) \(+\infty\) b) \(-\infty\) c) FI
Réponse
a) \(+\infty\) — Le terme dominant est \(x^3\), qui tend vers \(+\infty\).
Q2. L’expression \(\displaystyle\frac{x^2 – 1}{x – 1}\) en \(x = 1\) est une forme indéterminée de type :
a) \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) b) \(\displaystyle\frac{0}{0}\) c) Ce n’est pas une FI
Réponse
b) \(\displaystyle\frac{0}{0}\) — En \(x = 1\), le numérateur vaut 0 et le dénominateur vaut 0.
Q3. Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3\), alors la courbe de \(f\) admet :
a) Une AV \(x = 3\) b) Une AH \(y = 3\) c) Aucune asymptote
Réponse
b) Une AH \(y = 3\) — Limite finie en \(+\infty\) = asymptote horizontale.
Q4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^{100}} = \)
a) 0 b) 1 c) \(+\infty\)
Réponse
c) \(+\infty\) — Par croissance comparée, \(e^x\) domine toute puissance de \(x\).
Q5. La limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) en \(0\) :
a) est \(+\infty\) b) est \(-\infty\) c) n’existe pas
Réponse
c) N’existe pas — Les limites à gauche (\(-\infty\)) et à droite (\(+\infty\)) sont différentes.
V. Pièges et erreurs fréquentes
Voici les 5 erreurs les plus courantes sur les limites, avec le diagnostic et la correction. Apprendre à les repérer te fera gagner des points au bac !
Piège n°1 — Écrire « 1/0 = +∞ » sans vérifier le signe
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) »
Diagnostic : \(\displaystyle\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\) à droite de 0, mais vers \(-\infty\) à gauche. Le signe du dénominateur change !
✅ Correction : « \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \displaystyle\frac{1}{x} = -\infty\). La limite en 0 n’existe pas. »
Piège n°2 — Oublier la limite à gauche devant une asymptote verticale
❌ Copie fautive : « La droite \(x = 1\) est AV car \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty\). »
Diagnostic : Il faut toujours préciser le comportement des deux côtés. Le correcteur attend les limites à gauche ET à droite.
✅ Correction : « \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\), donc \(x = 1\) est AV. »
Piège n°3 — Croire que « +∞ − ∞ = 0 »
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} – x) = +\infty – \infty = 0\) »
Diagnostic : \(+\infty – \infty\) est une forme indéterminée ! Le résultat peut être n’importe quel nombre réel, voire l’infini.
✅ Correction : on multiplie par l’expression conjuguée : \(\sqrt{x^2 + x} – x = \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{1}{x}} + 1} \longrightarrow[x \to +\infty]{} \displaystyle\frac{1}{2}\). La limite est \(\displaystyle\frac{1}{2}\), pas 0.
Piège n°4 — Raisonner « 0 l’emporte » ou « ∞ l’emporte » dans une FI
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\) car \(e^{-x} \to 0\) et 0 l’emporte toujours. »
Diagnostic : la conclusion est juste, mais le raisonnement est faux. C’est une FI \(0 \times \infty\) : le résultat aurait pu être \(+\infty\) ou un nombre fini.
✅ Correction : « \(x e^{-x} = \displaystyle\frac{x}{e^x}\). Par croissance comparée (\(e^x \gg x\)), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{e^x} = 0\). »
Piège n°5 — Mal traiter une limite de composée
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\). Comme \(\cos\) est bornée, on ne peut pas conclure. »
Diagnostic : le fait que \(\cos\) soit bornée n’empêche pas la limite d’exister ! Il faut utiliser la composition.
✅ Correction : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\) et \(\cos\) est continue en 0, donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) = \cos(0) = 1\). »
VI. Pour aller plus loin — Les limites en CPGE
🔴 Section prépa — Si tu envisages une classe préparatoire scientifique, voici un aperçu de ce qui t’attend. En CPGE, les définitions intuitives de Terminale sont remplacées par des définitions formelles utilisant des quantificateurs.
Définition formelle (CPGE) — Limite finie en \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \iff \forall \varepsilon\) > \(0,\; \exists A\) > \(0,\; \forall x\) > \(A,\; |f(x) – L|\) < \(\varepsilon\)
Traduction : pour tout « couloir » de largeur \(2\varepsilon\) autour de \(L\), il existe un rang \(A\) à partir duquel \(f(x)\) reste dans ce couloir.
Équivalents usuels en 0 — Outil central du calcul de limites en prépa :
- \(\sin x \sim x\) quand \(x \to 0\)
- \(\ln(1 + x) \sim x\) quand \(x \to 0\)
- \(e^x – 1 \sim x\) quand \(x \to 0\)
- \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) quand \(x \to 0\)
Ces équivalents permettent de lever les FI de manière beaucoup plus rapide et élégante qu’en Terminale. La maîtrise des limites trigonométriques (notamment \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\)) en est un prérequis indispensable.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi la limite d'une fonction en maths ?
La limite d’une fonction \(f\) décrit la valeur vers laquelle \(f(x)\) s’approche quand \(x\) tend vers un point donné ou vers l’infini. Par exemple, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\) signifie que \(\displaystyle\frac{1}{x}\) se rapproche de 0 quand \(x\) devient très grand, sans jamais l’atteindre.
Comment calculer la limite d'une fonction en l'infini ?
Voici les étapes principales :
- Substitue \(+\infty\) (ou \(-\infty\)) dans l’expression.
- Si le résultat est déterminé, c’est la limite.
- Si tu obtiens une forme indéterminée, factorise par le terme de plus haut degré (pour un polynôme ou une fraction rationnelle) ou utilise les croissances comparées (pour les expressions avec \(e^x\) ou \(\ln x\)).
Qu'est-ce qu'une forme indéterminée en maths ?
C’est un cas où la connaissance des limites séparées ne permet pas de conclure. Les quatre formes indéterminées au programme de Terminale sont \(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) et \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Il faut alors transformer l’expression (factorisation, croissance comparée, conjuguée…) avant de recalculer la limite.
Comment lever une forme indéterminée ?
La technique dépend du type de FI : pour \(\displaystyle\frac{0}{0}\), on factorise ; pour \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) avec un polynôme, on factorise par la plus haute puissance ; pour les expressions avec \(e^x\) ou \(\ln x\), on utilise les croissances comparées ; pour \(+\infty – \infty\), on factorise ou on utilise l’expression conjuguée. Notre arbre de décision (section III) résume toutes les stratégies.
Quelle est la différence entre limite et continuité ?
La limite décrit le comportement de \(f(x)\) quand \(x\) s’approche d’un point \(a\) (sans forcément l’atteindre). La continuité ajoute une condition : \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Autrement dit, la continuité exige que la limite existe ET soit égale à la valeur de la fonction. Une fonction peut avoir une limite en un point sans y être continue (par exemple si elle n’y est pas définie).
Comment savoir si une fonction admet une asymptote ?
On calcule les limites aux bornes du domaine de définition. Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) (nombre fini), alors \(y = L\) est une asymptote horizontale. Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), alors \(x = a\) est une asymptote verticale. Pour les asymptotes obliques, on vérifie si \(f(x) – (ax + b) \to 0\).
Que signifie la limite n'existe pas ?
Il y a deux cas principaux : soit les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (comme \(\displaystyle\frac{1}{x}\) en 0), soit la fonction oscille indéfiniment sans se stabiliser (comme \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\) en 0). Dans ces cas, on ne peut pas écrire \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \text{quelque chose}\).
Quelle est la différence entre limite d'une fonction et limite d'une suite ?
Le concept est analogue : une suite \((u_n)\) dépend d’un entier \(n\) qui tend vers \(+\infty\), tandis qu’une fonction \(f(x)\) dépend d’un réel \(x\) qui peut tendre vers n’importe quel point ou vers \(\pm\infty\). Les outils de calcul sont similaires (opérations, croissances comparées), mais une fonction possède en plus des limites en un point et des limites latérales, qui n’existent pas pour les suites.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises les fondamentaux des limites de fonctions. Pour approfondir chaque technique et t’entraîner davantage, voici les pages du cocon :
- Limites de la fonction exponentielle — croissances comparées, ROC et démonstrations
- Limites de la fonction logarithme ln — comportement en 0 et en \(+\infty\)
- Formes indéterminées : toutes les techniques de levée
- Théorème des gendarmes : méthode et exercices
- Limites des fonctions composées
- Limites des fonctions trigonométriques — la limite emblématique \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)
- Tableau complet des limites usuelles (PDF)
- 25+ exercices corrigés sur les limites (PDF)
