Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur

La fonction exponentielle croît si vite qu’elle finit par écraser toute puissance de \(x\) — c’est la croissance comparée, l’un des théorèmes les plus évalués au bac. Tu trouveras ici les limites de \(e^x\) aux bornes, les démonstrations exigibles (ROC), une méthode de calcul pas à pas et 6 exercices corrigés. Conforme au programme de Terminale spé maths 2025-2026.

📚 Tout le cours « Limites de fonctions »

I. Rappels essentiels sur la fonction exponentielle

Avant d’attaquer les limites, rappelons les propriétés clés de l’exponentielle. Tu les retrouveras en détail dans le cours complet sur la fonction exponentielle.

Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

  • Définition : la fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(\exp^\prime = \exp\) et \(\exp(0) = 1\).
  • Signe : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x\) > \(0\).
  • Relation fonctionnelle : pour tous réels \(a\) et \(b\), \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\).
  • Dérivée : \((e^x)^\prime = e^x\). C’est la seule fonction égale à sa propre dérivée (à constante multiplicative près).
  • Monotonie : la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Retenir l’essentiel : l’exponentielle est toujours strictement positive, toujours croissante, et elle est sa propre dérivée. Ces trois faits suffisent pour comprendre ses limites.

Passons maintenant aux comportements de \(e^x\) quand \(x\) devient très grand ou très petit.

II. Limites de la fonction exponentielle en \(+\infty\) et en \(-\infty\)

La fonction exponentielle est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Ses deux limites aux bornes sont radicalement différentes — et toutes les deux sont au programme du chapitre sur les limites.

A. Limite en \(+\infty\)

Propriété — Limite de \(e^x\) en \(+\infty\)

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)

Justification : la fonction exponentielle est strictement croissante et non bornée. En effet, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\), on a \(e^n = (e^1)^n = e^n\). Or \(e \approx 2{,}718\) > \(1\), donc la suite \((e^n)\) est géométrique de raison \(e\) > \(1\) : elle diverge vers \(+\infty\). Comme \(\exp\) est croissante, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\).

Concrètement : \(e^{10} \approx 22\,026\), \(e^{100} \approx 2{,}69 \times 10^{43}\). La croissance est fulgurante.

B. Limite en \(-\infty\) et asymptote horizontale

Propriété — Limite de \(e^x\) en \(-\infty\)

\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)

La droite \(y = 0\) (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de \(e^x\) en \(-\infty\).

Démonstration : on pose \(X = -x\). Quand \(x \to -\infty\), on a \(X \to +\infty\). Or :

\(e^x = e^{-X} = \displaystyle\frac{1}{e^X}\)

Puisque \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\), on obtient \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{X \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{e^X} = 0\).

De plus, \(e^x\) > \(0\) pour tout \(x\), donc la courbe s’approche de l’axe des abscisses par valeurs positives, sans jamais le toucher.

C. Interprétation graphique

Sur le graphique, on observe les deux comportements : la courbe monte de manière explosive vers la droite et se rapproche infiniment de l’axe des abscisses vers la gauche.

Retenir les deux limites : à droite, l’exponentielle « explose » ; à gauche, elle « s’écrase » vers 0 sans jamais l’atteindre.

🎁 EN BONUS

Toutes les limites de l’exponentielle sur une fiche recto

Formules, croissances comparées, taux d’accroissement et méthode de résolution — l’essentiel pour le bac en 1 page.

📄 Télécharger la fiche PDF

Idéal pour tes révisions du bac et la préparation de la ROC.

III. Croissances comparées — L’exponentielle domine toute puissance

Voici le résultat central de ce chapitre : en \(+\infty\), l’exponentielle l’emporte toujours sur n’importe quelle puissance de \(x\), aussi grande soit-elle. C’est ce qu’on appelle la croissance comparée.

A. Théorème

Théorème — Croissance comparée (exponentielle vs puissance)

Pour tout entier naturel \(n\) :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^n} = +\infty\)

Autrement dit : en \(+\infty\), l’exponentielle croît infiniment plus vite que n’importe quel polynôme.

Ce théorème est fondamental. Il signifie que, quel que soit l’exposant \(n\) (même \(n = 1\,000\,000\)), la fonction \(e^x\) finira toujours par dépasser \(x^n\) quand \(x\) est assez grand.

B. Démonstration au programme (ROC)

Cette démonstration est exigible au baccalauréat (ROC). Elle se fait en deux étapes.

Étape 1 — Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x \geq 1 + x\).

On pose \(h(x) = e^x – 1 – x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h^\prime(x) = e^x – 1\).

  • \(h^\prime(x) = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0\).
  • Si \(x\) < \(0\) : \(e^x\) < \(1\), donc \(h^\prime(x)\) < \(0\) (h est décroissante).
  • Si \(x\) > \(0\) : \(e^x\) > \(1\), donc \(h^\prime(x)\) > \(0\) (h est croissante).

\(h\) admet donc un minimum en \(x = 0\) :

\(h(0) = e^0 – 1 – 0 = 0\)

Conclusion : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(h(x) \geq 0\), c’est-à-dire :

\(e^x \geq 1 + x\)

Étape 2 — En déduire que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x} = +\infty\).

Pour \(x\) > \(0\), on applique l’inégalité de l’étape 1 à \(\displaystyle\frac{x}{2}\) :

\(e^{x/2} \geq 1 + \displaystyle\frac{x}{2}\) > \(\displaystyle\frac{x}{2}\)

En élevant au carré (les deux membres sont positifs) :

\(\left(e^{x/2}\right)^2\) > \(\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\)

c’est-à-dire :

\(e^x\) > \(\displaystyle\frac{x^2}{4}\)

En divisant par \(x\) > \(0\) :

\(\displaystyle\frac{e^x}{x}\) > \(\displaystyle\frac{x}{4}\)

Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{4} = +\infty\). Par comparaison :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x} = +\infty\) ∎

Astuce ROC : l’idée clé est le « truc du demi-x ». On applique l’inégalité \(e^t \geq 1 + t\) à \(t = \displaystyle\frac{x}{2}\), puis on élève au carré pour gagner une puissance. Ce schéma se réutilise pour le cas général.

📝 Extension au cas général \(n \in \mathbb{N}\) (hors ROC)

On vient de montrer que pour \(x\) > \(0\), \(e^x\) > \(\displaystyle\frac{x^2}{4}\).

On applique cette inégalité à \(\displaystyle\frac{x}{n}\) (pour \(x\) > \(0\)) :

\(e^{x/n}\) > \(\displaystyle\frac{x^2}{4n^2}\)

En élevant à la puissance \(n\) :

\(e^x = \left(e^{x/n}\right)^n\) > \(\displaystyle\frac{x^{2n}}{(4n^2)^n}\)

Donc \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) > \(\displaystyle\frac{x^n}{(4n^2)^n} \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\).

Par comparaison, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). ∎

C. Variantes indispensables

Le théorème de croissance comparée se reformule de plusieurs manières, toutes au programme :

Variantes de la croissance comparée

Variante 1 : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n \, e^{-x} = 0\)

(C’est le théorème sous forme \(\displaystyle\frac{x^n}{e^x} \to 0\), c’est-à-dire l’inverse du résultat principal.)

Variante 2 : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n \, e^{x} = 0\)

(On pose \(X = -x\), puis on se ramène à la variante 1.)

Preuve de la variante 2 : on pose \(X = -x\). Quand \(x \to -\infty\), \(X \to +\infty\). Alors :

\(x^n \, e^x = (-X)^n \, e^{-X} = (-1)^n \, X^n \, e^{-X}\)

Par la variante 1, \(X^n \, e^{-X} \to 0\). Donc \(x^n \, e^x \to 0\).

En résumé : dès qu’un produit fait intervenir \(e^x\) et une puissance de \(x\) avec des « directions opposées » (l’un qui pousse vers \(+\infty\), l’autre vers 0), c’est toujours l’exponentielle qui gagne.

Tu peux retrouver toutes ces formules d’un coup d’œil dans le tableau des limites usuelles.

Logo-excellence-maths
Progresse rapidement en maths avec un prof d'excellence
Ton professeur, diplômé de Polytechnique, t'accompagne avec exigence et bienveillance. Des résultats visibles dès les premières semaines — premier cours satisfait ou remboursé.
Découvrir l'accompagnement Terminale

IV. Le taux d’accroissement de \(e^x\) en 0 : pourquoi \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} \to 1\)

Ce résultat est souvent oublié par les élèves alors qu’il intervient dans de nombreux calculs de limites, notamment avec les fonctions composées.

A. Résultat et interprétation géométrique

Propriété — Taux d’accroissement de l’exponentielle en 0

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = 1\)

Interprétation géométrique : le quotient \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = \displaystyle\frac{e^x – e^0}{x – 0}\) est la pente de la sécante passant par les points \((0 \,;\, 1)\) et \((x \,;\, e^x)\) sur la courbe de \(\exp\). Quand \(x \to 0\), cette sécante devient la tangente à la courbe au point \((0 \,;\, 1)\). Sa pente limite est \(\exp^\prime(0) = e^0 = 1\).

La tangente à la courbe de \(e^x\) au point \((0 \,;\, 1)\) a pour équation \(y = x + 1\). C’est la droite de pente 1 passant par \((0 \,;\, 1)\).

B. Démonstration

La preuve est immédiate : il suffit de reconnaître le taux d’accroissement de la dérivée.

\(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = \displaystyle\frac{\exp(x) – \exp(0)}{x – 0}\)

Or \(\exp\) est dérivable en 0 (elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) tout entier), donc :

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\exp(x) – \exp(0)}{x – 0} = \exp^\prime(0) = e^0 = 1\) ∎

Généralisation utile : pour tout réel \(a \neq 0\), \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^{ax} – 1}{x} = a\). La preuve est identique : on reconnaît \(a \cdot \displaystyle\frac{e^{ax} – 1}{ax}\) et on pose \(u = ax \to 0\).

V. Méthode pas à pas : calculer une limite avec l’exponentielle

Face à une limite impliquant \(e^x\), suis ces 4 étapes dans l’ordre — elles couvrent tous les cas du programme.

A. Les 4 étapes

Méthode — Calculer une limite avec l’exponentielle

  1. Substituer directement : remplace \(x\) par la valeur limite. Si le résultat est défini (pas de \(\displaystyle\frac{0}{0}\), \(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\)…), c’est terminé.
  2. Identifier la forme indéterminée (FI) : si une FI apparaît, repère de quel type elle est (\(+\infty – \infty\), \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\)).
  3. Choisir la technique :
    • FI en \(+\infty\) ou \(-\infty\) → factoriser par le terme dominant (souvent \(e^x\)) puis appliquer la croissance comparée.
    • FI en un point (typiquement \(\displaystyle\frac{0}{0}\) en 0) → reconnaître le taux d’accroissement \(\displaystyle\frac{e^{ax} – 1}{x} \to a\).
  4. Conclure rigoureusement : cite le théorème utilisé (croissance comparée ou taux d’accroissement) et donne la valeur de la limite.

Pour un guide complet sur les formes indéterminées et comment les lever, consulte la page dédiée.

B. Tableau récapitulatif

Limites de référence avec l'exponentielle
Limite Résultat Technique
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x\) \(+\infty\) Directe
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x\) \(0\) Directe (asymptote \(y = 0\))
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) \(+\infty\) Croissance comparée
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n \, e^{-x}\) \(0\) Croissance comparée (inverse)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n \, e^x\) \(0\) Changement de variable \(X = -x\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1}{x}\) \(1\) Taux d’accroissement

C. Exemples résolus

Exemple 1 🟢 — Limite en \(+\infty\) avec terme dominant exponentiel

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2e^x – x^3 + 1\right)\).

Solution. On factorise par \(e^x\), le terme dominant :

\(2e^x – x^3 + 1 = e^x\!\left(2 – x^3 \, e^{-x} + e^{-x}\right)\)

Par croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 \, e^{-x} = 0\). De plus, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\).

La parenthèse tend vers \(2 – 0 + 0 = 2\) > \(0\), et \(e^x \to +\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2e^x – x^3 + 1\right) = +\infty\).

Exemple 2 🟢 — Limite en \(-\infty\) sans forme indéterminée

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(e^x + x^2 – 3\right)\).

Solution. En \(-\infty\) : \(e^x \to 0\), \(x^2 \to +\infty\), et \(-3\) est constant.

Il n’y a pas de forme indéterminée : \(0 + \infty – 3 = +\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(e^x + x^2 – 3\right) = +\infty\).

Exemple 3 🟡 — Forme indéterminée \(\infty \times 0\)

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)\,e^{-x}\).

Solution. On a la FI « \(\infty \times 0\) ». On réécrit sous forme de quotient :

\((x^2 + 1)\,e^{-x} = \displaystyle\frac{x^2 + 1}{e^x} = \displaystyle\frac{x^2}{e^x} + \displaystyle\frac{1}{e^x}\)

Par croissance comparée, \(\displaystyle\frac{x^2}{e^x} \to 0\). Et \(\displaystyle\frac{1}{e^x} \to 0\).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)\,e^{-x} = 0\).

Exemple 4 🟡 — Quotient d’exponentielles

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^{2x} – e^x}{e^{2x} + 1}\).

Solution. On factorise numérateur et dénominateur par \(e^{2x}\) (le terme de plus haut degré exponentiel) :

\(\displaystyle\frac{e^{2x} – e^x}{e^{2x} + 1} = \displaystyle\frac{1 – e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\)

En \(+\infty\) : \(e^{-x} \to 0\) et \(e^{-2x} \to 0\).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^{2x} – e^x}{e^{2x} + 1} = \displaystyle\frac{1 – 0}{1 + 0} = 1\).

VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs les plus courantes sur les limites de l’exponentielle — des erreurs que les correcteurs du bac voient chaque année. Repère-les pour ne plus les commettre.

Erreur n°1 — Confondre une FI avec un résultat

❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 \, e^{-x} = \infty \times 0 = 0\) »

Diagnostic : \(\infty \times 0\) est une forme indéterminée, pas un résultat ! On ne peut pas conclure directement.

✅ Correction : on réécrit \(x^2 \, e^{-x} = \displaystyle\frac{x^2}{e^x}\), puis on applique la croissance comparée : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^2}{e^x} = 0\).

Erreur n°2 — Inverser le sens de la croissance comparée

❌ Copie fautive : « Par croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^3}{e^x} = +\infty\) »

Diagnostic : c’est le quotient \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) qui tend vers \(+\infty\), pas l’inverse ! Quand \(x^n\) est au numérateur et \(e^x\) au dénominateur, la limite est 0.

✅ Correction : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^3}{e^x} = 0\) (c’est l’exponentielle qui « écrase » la puissance).

Erreur n°3 — Confondre les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\)

❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = +\infty\) car l’exponentielle est croissante. »

Diagnostic : « croissante » signifie que \(e^x\) augmente quand \(x\) augmente. Cela ne dit rien sur la valeur de la limite en \(-\infty\) !

✅ Correction : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). En \(-\infty\), l’exponentielle s’écrase vers 0 (par valeurs positives).

Erreur n°4 — Mal gérer le changement de variable en \(-\infty\)

❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 \, e^x = \lim_{X \to +\infty} X^2 \, e^X = +\infty\) »

Diagnostic : si \(X = -x\), alors \(x = -X\) et \(x^2 = X^2\), mais \(e^x = e^{-X}\) (pas \(e^X\)).

✅ Correction : \(x^2 \, e^x = X^2 \, e^{-X} = \displaystyle\frac{X^2}{e^X} \to 0\) par croissance comparée.

VII. Exercices corrigés

Voici 6 exercices classés par difficulté croissante, couvrant toutes les techniques vues dans ce cours. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.

Exercice 1 ★ — Limite directe en \(+\infty\)

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3e^x – 2x + 1\right)\).

Voir la correction

On factorise par \(e^x\) :

\(3e^x – 2x + 1 = e^x\!\left(3 – 2x\,e^{-x} + e^{-x}\right)\)

Par croissance comparée : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0\). Et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\).

La parenthèse tend vers \(3 – 0 + 0 = 3\) > \(0\).

Comme \(e^x \to +\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3e^x – 2x + 1\right) = +\infty\).

Exercice 2 ★ — Limite en \(-\infty\)

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(e^x – x^2 + 4\right)\).

Voir la correction

En \(-\infty\) : \(e^x \to 0\), \(-x^2 \to -\infty\), \(+4\) est constant.

Pas de forme indéterminée : \(0 + (-\infty) + 4 = -\infty\).

\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(e^x – x^2 + 4\right) = -\infty\).

Exercice 3 ★★ — Croissance comparée

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3\,e^{-x}\).

Voir la correction

On réécrit : \(x^3\,e^{-x} = \displaystyle\frac{x^3}{e^x}\).

Par le théorème de croissance comparée (avec \(n = 3\)) :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^3} = +\infty\)

Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^3}{e^x} = 0\).

Exercice 4 ★★ — Quotient avec polynôme

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^2 + x + 1}\).

Voir la correction

On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :

\(\displaystyle\frac{e^x}{x^2 + x + 1} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^x}{x^2}}{1 + \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2}}\)

Par croissance comparée : \(\displaystyle\frac{e^x}{x^2} \to +\infty\).

Et \(1 + \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2} \to 1\) > \(0\).

Par quotient : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^2 + x + 1} = +\infty\).

Exercice 5 ★★★ — Taux d’accroissement généralisé

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^{5x} – 1}{2x}\).

Voir la correction

On fait apparaître la forme \(\displaystyle\frac{e^u – 1}{u}\) :

\(\displaystyle\frac{e^{5x} – 1}{2x} = \displaystyle\frac{5}{2} \cdot \displaystyle\frac{e^{5x} – 1}{5x}\)

On pose \(u = 5x\). Quand \(x \to 0\), \(u \to 0\).

Par le taux d’accroissement : \(\displaystyle\lim_{u \to 0} \displaystyle\frac{e^u – 1}{u} = 1\).

Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^{5x} – 1}{2x} = \displaystyle\frac{5}{2}\).

Exercice 6 ★★★ — Synthèse (changement de variable + taux)

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x\,e^{1/x} – x\right)\).

Voir la correction

On factorise par \(x\) :

\(x\,e^{1/x} – x = x\!\left(e^{1/x} – 1\right)\)

On pose \(t = \displaystyle\frac{1}{x}\). Quand \(x \to +\infty\), \(t \to 0^+\).

Comme \(x = \displaystyle\frac{1}{t}\), on obtient :

\(x\!\left(e^{1/x} – 1\right) = \displaystyle\frac{1}{t}\!\left(e^t – 1\right) = \displaystyle\frac{e^t – 1}{t}\)

Par le taux d’accroissement : \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \displaystyle\frac{e^t – 1}{t} = 1\).

Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x\,e^{1/x} – x\right) = 1\).

Pour t’entraîner davantage, retrouve 25+ exercices dans la banque complète d’exercices corrigés sur les limites de fonctions.

VIII. Pour aller plus loin : limites de l’exponentielle en CPGE

🟡 Avancé / 🔴 Prépa — Cette section s’adresse aux élèves de Terminale ambitieux et aux étudiants de CPGE. Elle prolonge naturellement le cours en introduisant les outils de l’analyse de prépa.

A. Équivalent : \(e^x – 1 \sim x\) au voisinage de 0

En CPGE, on dit que deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(a\) (noté \(f \sim g\)) lorsque \(\displaystyle\lim_{x \to a} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = 1\).

Le résultat du taux d’accroissement \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} \to 1\) se reformule ainsi :

\(e^x – 1 \sim x \quad (x \to 0)\)

C’est l’un des équivalents usuels les plus utilisés en prépa. Il permet de calculer quasi instantanément des limites qui demanderaient des calculs détaillés au lycée. Son pendant pour la fonction logarithme est \(\ln(1 + x) \sim x\) en 0.

B. Développement limité de \(e^x\)

Le développement limité (DL) de l’exponentielle en 0 à l’ordre \(n\) est :

\(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^3}{3!} + \cdots + \displaystyle\frac{x^n}{n!} + o(x^n) \quad (x \to 0)\)

où \(o(x^n)\) désigne un terme négligeable devant \(x^n\).

Ce DL est le plus important de toute l’analyse. Il redonne en particulier :

  • À l’ordre 1 : \(e^x \approx 1 + x\), soit \(e^x – 1 \sim x\) (notre taux d’accroissement).
  • À l’ordre 2 : \(e^x \approx 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2}\), ce qui permet de calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

C. Négligeabilité et notation de Landau

La croissance comparée vue en Terminale se reformule en CPGE avec la notation « petit o » de Landau :

\(x^n = o(e^x) \quad (x \to +\infty)\)

ce qui signifie que \(\displaystyle\frac{x^n}{e^x} \to 0\) — exactement notre résultat de croissance comparée, mais exprimé dans le langage formel de l’analyse.

En CPGE, cette notation devient l’outil central pour comparer les vitesses de croissance et simplifier les calculs de limites.

IX. Questions fréquentes

Quelles sont les limites de la fonction exponentielle ?

Les limites fondamentales de la fonction exponentielle sont : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). À ces deux résultats s’ajoutent la croissance comparée \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout entier \(n\), et le taux d’accroissement \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = 1\).

Comment démontrer la croissance comparée au bac (ROC) ?

La démonstration suit deux étapes. D’abord, on étudie la fonction \(h(x) = e^x – 1 – x\) pour montrer que \(e^x \geq 1 + x\) pour tout réel \(x\) (minimum en 0 valant 0). Ensuite, on applique cette inégalité à \(\displaystyle\frac{x}{2}\) : on obtient \(e^{x/2}\) > \(\displaystyle\frac{x}{2}\), on élève au carré pour obtenir \(e^x\) > \(\displaystyle\frac{x^2}{4}\), puis on divise par \(x\) pour conclure par comparaison.

Pourquoi dit-on que l'exponentielle domine les puissances ?

On dit que l’exponentielle « domine » les puissances parce que, quel que soit l’exposant \(n\) (même très grand), le quotient \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) tend vers \(+\infty\). Intuitivement, la croissance exponentielle (qui se multiplie par un facteur fixe à chaque pas) finit toujours par dépasser la croissance polynomiale (qui s’additionne d’un terme fixe à chaque pas). C’est la même raison pour laquelle un compte en banque avec intérêts composés finit par dépasser tout revenu linéaire.

Quelle est la différence entre les limites de exp et celles de ln ?

Les fonctions \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques, et leurs limites sont symétriques. En \(+\infty\) : \(e^x \to +\infty\) (très vite) tandis que \(\ln(x) \to +\infty\) (très lentement). En croissance comparée : l’exponentielle domine toute puissance (\(\displaystyle\frac{e^x}{x^n} \to +\infty\)) tandis que le logarithme est dominé par toute puissance (\(\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^n} \to 0\)). Pour un cours complet sur les limites du logarithme, consulte la page limites de la fonction ln.

Comment calculer la limite de x^n fois e^(-x) ?

On réécrit le produit sous forme de quotient : \(x^n \, e^{-x} = \displaystyle\frac{x^n}{e^x}\). On reconnaît l’inverse du quotient de croissance comparée. Puisque \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n} \to +\infty\), on a \(\displaystyle\frac{x^n}{e^x} \to 0\). Conclusion : la limite vaut 0. L’exponentielle l’emporte toujours, même quand elle est au dénominateur.

La limite de (e^x − 1)/x a-t-elle un lien avec la dérivée ?

Oui ! Le quotient \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = \displaystyle\frac{\exp(x) – \exp(0)}{x – 0}\) est exactement le taux d’accroissement de la fonction exponentielle entre \(0\) et \(x\). Sa limite quand \(x \to 0\) est, par définition, la dérivée de \(\exp\) en 0, soit \(\exp^\prime(0) = e^0 = 1\). Ce résultat relie directement les chapitres « limites » et « dérivation ».

Comment reconnaître une forme indéterminée avec l'exponentielle ?

Les formes indéterminées les plus fréquentes avec \(e^x\) sont : \(+\infty – \infty\) (par exemple \(e^x – x^n\) en \(+\infty\)), \(\infty \times 0\) (par exemple \(x^n \cdot e^{-x}\) en \(+\infty\)) et \(\displaystyle\frac{0}{0}\) (par exemple \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x}\) en 0). La technique est toujours la même : factoriser par \(e^x\) en \(\pm\infty\), ou reconnaître le taux d’accroissement en 0. Consulte la page formes indéterminées pour un guide complet.

X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les limites de la fonction exponentielle. Pour continuer ta progression sur le chapitre des limites :

Logo-excellence-maths
Tu vises une prépa scientifique ?
Un professeur diplômé de Polytechnique t'accompagne en MPSI, PCSI ou MP. Méthode rigoureuse, exigence concours dès le premier cours. Premier cours satisfait ou remboursé.
Découvrir l'accompagnement prépa
—