Tu dois tracer une médiatrice au compas et tu ne sais plus par où commencer ? Tu confonds médiatrice et bissectrice ? Rassure-toi : c’est l’un des gestes les plus simples de la géométrie de 6ème, une fois qu’on a compris ce qu’il cache. Dans ce cours, tu vas découvrir ce qu’est vraiment une médiatrice, apprendre à la tracer de deux façons, et retenir les deux propriétés qui reviennent tout le temps en contrôle.
Définition — Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment \([AB]\) est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement et en son milieu. Autrement dit, c’est la droite qui passe par le milieu du segment en formant un angle droit avec lui.
I. Qu’est-ce qu’une médiatrice ?
La médiatrice d’un segment \([AB]\) est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Elle réunit donc deux conditions en même temps : elle forme un angle droit avec le segment, et elle le coupe exactement en son centre. Ces deux mots — « perpendiculaire » et « milieu » — sont les deux clés de tout le chapitre.
Pour bien la reconnaître sur une figure, on la repère grâce à deux codages : le petit carré de l’angle droit à l’intersection, et les deux petits traits égaux qui montrent que les deux moitiés du segment ont la même longueur.
Comment retenir : pense à « médiatrice » comme à « milieu ». La médiatrice partage le segment en deux parties égales, comme si tu le pliais exactement en son centre. Et le pli forme toujours un angle droit avec le segment.
La médiatrice est donc une droite, pas un point ni un segment : elle se prolonge à l’infini des deux côtés. Voyons maintenant pourquoi le milieu joue un rôle si central.
II. Le milieu du segment, point de passage obligé
Toute médiatrice passe forcément par le milieu du segment. C’est même l’un des deux points de départ pour la tracer. Le milieu d’un segment \([AB]\) est le point \(M\) situé exactement entre \(A\) et \(B\), tel que \(AM = MB\).
Exemple : Si un segment \([AB]\) mesure 8 cm, son milieu \(M\) est le point situé à 4 cm de \(A\) et à 4 cm de \(B\).
La médiatrice de \([AB]\) passe par ce point \(M\), en formant un angle droit avec le segment.
Un point intéressant : quand tu traces la médiatrice au compas (on le verra juste après), tu obtiens le milieu du segment gratuitement, sans même avoir à le mesurer. C’est l’une des raisons pour lesquelles cette construction est si pratique. Passons justement à la méthode de tracé.
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III. Comment tracer une médiatrice
Il existe deux façons de tracer une médiatrice : à la règle et l’équerre, ou au compas. La méthode au compas est la plus demandée au collège car elle est plus précise et ne nécessite pas de mesurer.
A. À la règle et à l’équerre
C’est la méthode la plus directe quand tu peux mesurer :
- Mesure la longueur du segment \([AB]\) avec ta règle.
- Place le milieu \(M\) (la moitié de la longueur).
- Pose ton équerre en \(M\) et trace la droite perpendiculaire au segment.
B. Au compas (la méthode à connaître)
C’est la construction reine du chapitre. Elle utilise le compas et la règle non graduée :
- Écarte ton compas d’un peu plus de la moitié du segment \([AB]\).
- Pointe en \(A\) et trace un arc de cercle au-dessus et en dessous du segment.
- Sans changer l’écartement, pointe en \(B\) et trace deux nouveaux arcs qui croisent les premiers.
- Les arcs se coupent en deux points. Trace la droite qui passe par ces deux points : c’est la médiatrice.
Pourquoi le tracé au compas fonctionne : en gardant le même écartement de compas, tu construis des points situés à la même distance de \(A\) et de \(B\). Or, tous les points à égale distance de \(A\) et \(B\) sont sur la médiatrice ! Tu obtiens donc deux points de la médiatrice, et deux points suffisent pour tracer une droite.
La construction au compas illustre directement la propriété d’équidistance : voici comment l’utiliser pour justifier une réponse.
IV. Les deux propriétés à connaître
La médiatrice a une propriété magique liée à la distance. C’est elle qu’on utilise dans presque tous les exercices, et elle fonctionne dans les deux sens.
Propriété 1 (aller)
Si un point est sur la médiatrice de \([AB]\), alors il est à la même distance de \(A\) et de \(B\).
Propriété 2 (retour, la réciproque)
Si un point est à la même distance de \(A\) et de \(B\), alors il est sur la médiatrice de \([AB]\).
On dit qu’un point situé à égale distance de \(A\) et \(B\) est équidistant de ces deux points. La médiatrice est donc, en une seule phrase, l’ensemble de tous les points équidistants de \(A\) et \(B\).
Exemple d’utilisation : Un point \(P\) est tel que \(PA = PB\). Que peut-on dire ?
D’après la propriété 2, comme \(P\) est à égale distance de \(A\) et \(B\), le point \(P\) appartient à la médiatrice de \([AB]\). Pas besoin de figure : la propriété suffit à conclure.
Ces deux propriétés relient la médiatrice à d’autres notions du programme, à commencer par la symétrie.
V. La médiatrice, un axe de symétrie du segment
La médiatrice est un des deux axes de symétrie d’un segment non réduit à un point. Le pliage selon la médiatrice échange \(A\) et \(B\). L’autre axe est la droite \((AB)\) elle-même : chaque point du segment reste alors à sa place.
C’est logique : par la symétrie axiale d’axe la médiatrice, le point \(A\) a pour image le point \(B\). Cela explique en une image pourquoi tout point de la médiatrice est équidistant de \(A\) et \(B\).
La médiatrice est l’axe qui échange les deux extrémités du segment. Les médiatrices des trois côtés d’un triangle permettent aussi de construire son cercle circonscrit, étudié en 6e dans le programme applicable.
La médiatrice est aussi une droite perpendiculaire au segment : elle croise donc la droite du segment en un point unique, le milieu. Passons maintenant à la pratique.
VI. Exercices corrigés
Voici quatre exercices classés du plus simple au plus riche. Essaie de les faire seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Reconnaître une médiatrice ★
Sur une figure, une droite \(d\) coupe un segment \([AB]\). On a codé un angle droit à l’intersection et marqué que les deux moitiés du segment sont égales. La droite \(d\) est-elle la médiatrice de \([AB]\) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 1
La droite \(d\) vérifie les deux conditions de la médiatrice :
- elle est perpendiculaire au segment (l’angle droit est codé) ;
- elle passe par le milieu du segment (les deux demi-segments sont égaux).
Comme les deux conditions sont réunies, \(d\) est bien la médiatrice de \([AB]\).
Exercice 2 — Tracer une médiatrice au compas ★
Trace un segment \([AB]\) de 6 cm. Construis sa médiatrice au compas, puis vérifie qu’elle passe bien par le milieu du segment.
Voir la correction de l’exercice 2
Écarte le compas d’un peu plus de 3 cm (plus de la moitié du segment).
1) Pointe en \(A\) et trace un arc au-dessus et un arc en dessous.
2) Sans changer l’écartement, pointe en \(B\) et trace deux arcs qui croisent les premiers.
3) Relie les deux points d’intersection : c’est la médiatrice.
Vérification : la droite tracée coupe le segment à 3 cm de \(A\), donc bien en son milieu. ✓
Exercice 3 — Utiliser la propriété d’équidistance ★★
Un point \(I\) appartient à la médiatrice du segment \([AB]\). On sait que \(IA = 5\) cm. Quelle est la longueur \(IB\) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Le point \(I\) est sur la médiatrice de \([AB]\). D’après la propriété 1, tout point de la médiatrice est à la même distance de \(A\) et de \(B\).
Donc \(IB = IA = 5\) cm.
\(IB = 5\) cm.
Exercice 4 — Raisonner avec la réciproque ★★
On place deux points \(A\) et \(B\). Un point \(C\) est tel que \(CA = 4\) cm et \(CB = 4\) cm. Peut-on affirmer que \(C\) est sur la médiatrice de \([AB]\) ? Explique le raisonnement.
Voir la correction de l’exercice 4
On compare les deux distances : \(CA = 4\) cm et \(CB = 4\) cm, donc \(CA = CB\).
Le point \(C\) est donc à égale distance de \(A\) et de \(B\) : il est équidistant de ces deux points.
D’après la propriété 2 (la réciproque), un point équidistant de \(A\) et \(B\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
Oui, \(C\) est bien sur la médiatrice de \([AB]\).
Et si tu veux des évaluations complètes façon contrôle, va voir les exercices corrigés de médiatrice en 6ème.
VII. Erreurs fréquentes
Erreur classique : confondre la médiatrice et la bissectrice.
❌ « La bissectrice coupe le segment en deux. »
Diagnostic : ces deux droites partagent quelque chose « en deux », mais pas la même chose.
✅ La médiatrice partage un segment en deux (perpendiculaire + milieu). La bissectrice partage un angle en deux angles égaux. Objet différent !
Erreur classique : oublier une des deux conditions.
❌ Tracer une droite qui passe par le milieu mais qui n’est pas perpendiculaire, et l’appeler médiatrice.
✅ Une médiatrice doit à la fois passer par le milieu et être perpendiculaire au segment. Les deux, toujours.
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi une médiatrice en maths ?
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. C’est aussi l’ensemble de tous les points situés à la même distance des deux extrémités du segment.
Comment tracer une médiatrice au compas ?
Écarte le compas de plus de la moitié du segment. Trace deux arcs depuis chaque extrémité, sans changer l’écartement. Les arcs se croisent en deux points : la droite qui les relie est la médiatrice.
Quelle est la différence entre médiatrice et bissectrice ?
La médiatrice partage un segment en deux (elle est perpendiculaire et passe par le milieu). La bissectrice partage un angle en deux angles égaux. L’une concerne un segment, l’autre un angle. Pour tout savoir, consulte le cours sur la bissectrice d’un angle.
Quelle est la propriété de la médiatrice ?
Tout point de la médiatrice de \([AB]\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\). Et l’inverse est vrai : tout point équidistant de \(A\) et \(B\) se trouve sur la médiatrice.
La médiatrice passe-t-elle toujours par le milieu ?
Oui, toujours. C’est même une des deux conditions de sa définition : la médiatrice passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire.
Qu’est-ce que la médiatrice d’un triangle ?
Dans un triangle, on trace une médiatrice pour chacun des trois côtés. Ces trois médiatrices se croisent en un seul point, le centre du cercle circonscrit. C’est le sujet du cours sur les médiatrices d’un triangle.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la médiatrice d’un segment. Pour continuer à progresser en géométrie :
- Homothétie : le cours complet de 3ème
- Construire une homothétie de rapport k (3ème)
- L’angle droit : définition, symbole, mesure et tracé
- L’angle inscrit et l’angle au centre : théorème, démonstration et exercices
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour les élèves de collège.
