Fais tourner une carte à jouer d’un demi-tour : le roi de cœur ressemble exactement à lui-même, à l’envers. C’est ça, la symétrie centrale — un demi-tour autour d’un point. En 5ème, tu apprends à construire l’image d’une figure par cette transformation, à repérer les longueurs et les angles qu’elle conserve, et à ne plus la confondre avec la symétrie axiale vue en 6ème. Dans ce cours, tu vas trouver la définition claire, la méthode de construction pas à pas, les propriétés à connaître et des exercices corrigés.
Cette page fait partie du cours complet sur la symétrie axiale et centrale.
I. Qu’est-ce que la symétrie centrale ?
La symétrie centrale, c’est la transformation qui fait tourner une figure d’un demi-tour (un angle de 180°) autour d’un point fixe appelé centre de symétrie. Après ce demi-tour, la figure se retrouve « à l’envers » mais garde exactement la même forme et la même taille.
Définition — Symétrie centrale
Soit un point \(O\). Le symétrique d’un point \(M\) par rapport à \(O\) est le point \(M^\prime\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([MM^\prime]\).
Le point \(O\) s’appelle le centre de symétrie.
Autrement dit, pour aller de \(M\) à son symétrique \(M^\prime\), tu traverses le centre \(O\) en gardant la même distance de l’autre côté. Si \(M\) est à 3 carreaux de \(O\), alors \(M^\prime\) est à 3 carreaux de \(O\) dans la direction exactement opposée.
Le cas du centre lui-même : le symétrique du point \(O\) par rapport à \(O\), c’est \(O\) lui-même. Il ne bouge pas pendant le demi-tour, comme le centre d’une toupie qui tourne.
II. Symétrie axiale ou centrale : ne plus les confondre
C’est la question qui revient le plus souvent, et la source d’erreur numéro un des contrôles de 5ème. La symétrie axiale repose sur un pliage autour d’une droite (l’axe), alors que la symétrie centrale repose sur un demi-tour autour d’un point (le centre). Voici le tableau qui règle la confusion.
| Critère | Symétrie axiale | Symétrie centrale |
|---|---|---|
| Élément de référence | Une droite (l’axe) | Un point (le centre) |
| Image mentale | Un pliage / un miroir | Un demi-tour (180°) |
| La figure image est… | Retournée comme dans un miroir | À l’envers, tête-bêche |
| Niveau au programme | 6ème | 5ème |
Un moyen simple de trancher : demande-toi « est-ce que je plie ou est-ce que je tourne ? ». Si tu peux superposer les deux figures en pliant ta feuille, c’est axial. Si tu dois faire tourner la feuille d’un demi-tour, c’est central.
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III. Comment construire le symétrique d’une figure ?
Construire le symétrique d’une figure, c’est construire le symétrique de chacun de ses points importants (les sommets), puis relier. Voici la méthode selon que tu es sur un quadrillage ou sur une feuille blanche.
A. Sur un quadrillage (le plus simple)
Sur quadrillage, tu comptes les carreaux. Pour chaque sommet \(A\) de la figure :
- Repère de combien de carreaux \(A\) se trouve à droite (ou à gauche) du centre \(O\), et de combien de carreaux vers le haut (ou vers le bas).
- Reporte ces mêmes nombres de carreaux, mais dans le sens opposé : à gauche au lieu de droite, en bas au lieu de haut.
- Place le point \(A^\prime\) obtenu. C’est le symétrique de \(A\).
- Recommence pour tous les sommets, puis relie-les dans le même ordre.
Exemple : le point \(A\) est situé 2 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus du centre \(O\). Son symétrique \(A^\prime\) se place donc 2 carreaux à gauche et 1 carreau en dessous de \(O\).
B. Sur une feuille blanche (à la règle)
Sans quadrillage, tu utilises la règle graduée. Pour chaque sommet \(A\) :
- Trace la demi-droite qui part de \(A\) et passe par \(O\).
- Mesure la longueur \(OA\) avec la règle.
- De l’autre côté de \(O\), sur la droite \((AO)\) prolongée, reporte cette même longueur pour obtenir \(A^\prime\). Tu dois avoir \(OA = OA^\prime\).
Erreur classique : reporter la longueur du même côté que le point de départ. Le symétrique est toujours de l’autre côté du centre. Si \(A\) et \(A^\prime\) sont du même côté de \(O\), c’est faux : \(O\) ne serait plus le milieu de \([AA^\prime]\).
IV. Les propriétés de la symétrie centrale
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et l’orientation dans le plan. Une figure peut avoir la tête en bas après le demi-tour sans devenir une image miroir : le sens de parcours de ses sommets reste le même.
Propriétés — Ce que la symétrie centrale conserve
- les longueurs : un segment et son image ont la même longueur ;
- les angles : un angle et son image ont la même mesure ;
- les aires : une figure et son image ont la même aire ;
- l’alignement : trois points alignés ont des images alignées ;
- le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles.
L’image d’une droite est parallèle à cette droite ; elle est confondue avec elle si la droite passe par \(O\). Pour deux points distincts \(A\) et \(B\), si \(O\) n’est pas sur \((AB)\), le quadrilatère \(ABA^\prime B^\prime\) est un parallélogramme : ses diagonales \([AA^\prime]\) et \([BB^\prime]\) ont le même milieu \(O\).
Le lien avec le parallélogramme : c’est justement parce que ses diagonales se coupent en leur milieu que le parallélogramme a un centre de symétrie. Tu retrouveras cette idée dans tous les exercices sur les quadrilatères.
V. Le centre de symétrie d’une figure
Jusqu’ici, on a appliqué une symétrie à une figure. Mais on peut aussi se poser la question inverse : une figure a-t-elle, à elle seule, un centre de symétrie ?
Une figure possède un centre de symétrie \(O\) lorsque son symétrique par rapport à \(O\) est… elle-même. En clair : tu fais tourner la figure d’un demi-tour autour de \(O\), et elle retombe exactement sur elle-même.
Exemples courants : le centre d’un cercle est un centre de symétrie ; le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange ou d’un carré est leur centre de symétrie. On en trouve aussi dans beaucoup de logos et sur les cartes à jouer, qui restent lisibles à l’envers.
Attention : certaines figures n’ont pas de centre de symétrie, comme le triangle équilatéral. Cette distinction entre « avoir un axe » et « avoir un centre » est détaillée dans le cours sur l’axe et le centre de symétrie.
VI. Exercices corrigés
Passe à la pratique avec ces quatre exercices classés du plus simple au plus exigeant. Essaie de les faire seul avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Symétrique d’un point sur quadrillage ★
Sur un quadrillage, le point \(A\) est situé 4 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus du centre \(O\). Où se trouve son symétrique \(A^\prime\) par rapport à \(O\) ?
Voir la correction de l’exercice 1
On inverse les deux déplacements par rapport au centre : « à droite » devient « à gauche », et « au-dessus » devient « en dessous ».
Le symétrique \(A^\prime\) se trouve donc 4 carreaux à gauche et 2 carreaux en dessous du centre \(O\).
On vérifie bien que \(O\) est le milieu du segment \([AA^\prime]\).
Exercice 2 — Symétrique d’un triangle ★
Sur le quadrillage ci-dessous, construis le symétrique du triangle \(RST\) par rapport à \(O\). Le segment \([RS]\) mesure 5 cm. Quelle sera la longueur de \([R^\prime S^\prime]\) ?
Voir la correction de l’exercice 2
On construit le symétrique de chaque sommet en comptant les carreaux et en reportant dans le sens opposé, puis on relie \(R^\prime\), \(S^\prime\) et \(T^\prime\) dans le même ordre.
La symétrie centrale conserve les longueurs. Donc \(R^\prime S^\prime = RS\).
La longueur de \([R^\prime S^\prime]\) est donc 5 cm.
Exercice 3 — Reconnaître un centre de symétrie ★
Parmi ces figures, lesquelles possèdent un centre de symétrie : le carré, le triangle équilatéral, le rectangle, le cercle ?
Voir la correction de l’exercice 3
On teste chaque figure : fait-elle un demi-tour identique à elle-même ?
- Le carré : oui, son centre est l’intersection des diagonales.
- Le triangle équilatéral : non, un demi-tour ne le remet pas sur lui-même (il a des axes de symétrie, mais pas de centre).
- Le rectangle : oui, son centre est l’intersection des diagonales.
- Le cercle : oui, son centre est un centre de symétrie.
Réponse : le carré, le rectangle et le cercle.
Exercice 4 — Retrouver le centre (raisonnement) ★★
On sait que le point \(M^\prime\) est le symétrique du point \(M\) par rapport à un centre \(O\) que l’on a effacé. Comment peux-tu retrouver la position exacte de \(O\) ?
Voir la correction de l’exercice 4
Par définition, le centre \(O\) est le milieu du segment \([MM^\prime]\).
Il suffit donc de tracer le segment \([MM^\prime]\) et d’en trouver le milieu : c’est là que se trouve \(O\).
On peut le placer en mesurant la longueur \(MM^\prime\) avec la règle et en marquant le point situé à la moitié de cette distance.
Conclusion : le centre O est le milieu de [MM’].
Pour aller plus loin dans la pratique, découvre la fiche complète d’exercices de symétrie centrale corrigés pour la 5ème.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs qui coûtent le plus de points en contrôle.
❌ Confondre demi-tour et pliage. Beaucoup d’élèves construisent une symétrie axiale à la place d’une symétrie centrale. Diagnostic : ta figure image est en miroir au lieu d’être tête-bêche. ✅ Vérifie toujours que le centre \(O\) est bien le milieu du segment reliant chaque point à son image.
❌ Se tromper de sens dans le report. Compter « 3 à droite, 2 en haut » et reporter « 3 à droite, 2 en bas ». ✅ Les deux directions doivent être inversées, pas une seule.
Piège — Confondre tête-bêche et image miroir. Un demi-tour peut mettre une flèche tête en bas, mais il conserve l’orientation de la figure. Vérifie surtout que le centre est le milieu du segment joignant chaque point à son image.
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi la différence entre symétrie axiale et centrale ?
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (l’axe) : c’est un pliage, comme dans un miroir. La symétrie centrale se fait par rapport à un point (le centre) : c’est un demi-tour de 180°. Dans le premier cas la figure est retournée en miroir, dans le second elle est tête-bêche.
Quels sont les 3 types de symétrie ?
En géométrie au collège, on distingue la symétrie axiale et la symétrie centrale. Une translation ou une rotation d’un autre angle est une autre transformation : il n’existe pas de liste universelle de « trois types » à retenir ici.
Quelles sont les propriétés de la symétrie centrale ?
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles, les aires, l’alignement, le parallélisme et l’orientation dans le plan. La figure obtenue est superposable à la figure de départ par un demi-tour.
Comment faire une symétrie centrale ?
Pour chaque point \(M\) de la figure, on trace la droite passant par \(M\) et par le centre \(O\), puis on place le point image \(M^\prime\) de l’autre côté de \(O\), à la même distance (\(OM = OM^\prime\)). Sur quadrillage, on inverse simplement le comptage des carreaux dans les deux directions.
C’est quoi le centre de symétrie d’une figure ?
C’est un point autour duquel la figure peut faire un demi-tour et retomber exactement sur elle-même. Le cercle, le rectangle, le losange et le carré ont un centre de symétrie ; le triangle équilatéral n’en a pas.
La symétrie centrale, c’est pareil qu’une rotation ?
Oui, c’est un cas particulier de rotation : une rotation d’un demi-tour, c’est-à-dire d’un angle de 180°, autour du centre. Plus tard, tu verras aussi qu’elle correspond à une homothétie de rapport −1.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la symétrie centrale, sa construction et ses propriétés. Pour continuer et consolider tes bases en géométrie :
- Les médiatrices d’un triangle et le cercle circonscrit
- Droites sécantes : définition, méthode et cas particuliers
- 14 exercices d’abscisse et d’ordonnée corrigés (6ème et 5ème)
- Calcul de volumes en 5ème : 15 exercices corrigés pas à pas
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