La symétrie centrale, c’est le fameux « demi-tour » de la 5ème : on fait pivoter une figure autour d’un point comme si on la retournait à 180°. Le chapitre paraît simple en cours, puis on bloque dès qu’il faut construire proprement un symétrique ou justifier une longueur. Voici 15 exercices classés par difficulté croissante, entièrement corrigés pas à pas, pour t’entraîner du placement d’un simple point jusqu’aux figures complètes et aux petits raisonnements de contrôle. Chaque correction est détaillée et cachée dans un menu déroulant : essaie d’abord, vérifie ensuite. Un PDF gratuit avec 10 exercices bonus t’attend en fin de page.
L’essentiel du cours en 3 minutes
Avant de te lancer, voici ce qu’il faut absolument avoir en tête. Toute la symétrie centrale repose sur une seule idée : le milieu.
Définition — Symétrique d’un point
Le symétrique d’un point \(A\) par rapport à un point \(O\) est le point \(A^\prime\) tel que \(O\) est le milieu du segment [AA’]. Le point \(O\) s’appelle le centre de symétrie. On dit aussi qu’on effectue un « demi-tour » autour de \(O\).
Autrement dit, pour placer \(A^\prime\), tu pars de \(A\), tu traverses \(O\) tout droit, et tu reportes exactement la même distance de l’autre côté : \(OA = OA^\prime\), et les points \(A\), \(O\), \(A^\prime\) sont alignés.
Les 4 propriétés à connaître. La symétrie centrale conserve :
- les longueurs (un segment garde la même longueur) ;
- les angles (un angle garde la même mesure) ;
- l’alignement (trois points alignés restent alignés) ;
- le parallélisme (deux droites parallèles le restent).
Une figure et son symétrique sont donc superposables : même forme, même taille, juste retournées d’un demi-tour.
Attention à ne pas confondre avec la symétrie axiale, qui est un « pliage » autour d’une droite. Ici, il n’y a pas d’axe : il y a un point. On y revient dans les erreurs fréquentes. Passons aux exercices.
Exercices d’application directe (★)
On commence en douceur : reconnaître, placer, compléter sur quadrillage. L’objectif est de rendre le geste automatique.
Exercice 1 — Reconnaître le demi-tour ★
Pour chacune des trois paires de figures ci-dessous, indique si elles sont symétriques par rapport au point \(O\) marqué au centre. Justifie en un mot.
Voir la correction de l’exercice 1
Paire 1 : symétriques par rapport à \(O\). La deuxième figure est la première retournée d’un demi-tour : c’est bien une symétrie centrale.
Paire 2 : non. La figure est retournée comme dans un miroir (pliage) : c’est une symétrie axiale, pas centrale.
Paire 3 : non. Les deux figures n’ont pas la même taille, or la symétrie centrale conserve les longueurs.
Le réflexe : pour vérifier, imagine que tu fais tourner la feuille d’un demi-tour autour de \(O\). Si les deux figures se superposent, elles sont symétriques.
Exercice 2 — Placer le symétrique d’un point ★
Sur un quadrillage, on donne le point \(A\) et le centre \(O\). Le point \(A\) se situe 2 carreaux à gauche et 1 carreau au-dessus de \(O\). Place le point \(A^\prime\), symétrique de \(A\) par rapport à \(O\).
Voir la correction de l’exercice 2
Sur quadrillage, on compte les déplacements de \(A\) vers \(O\), puis on continue du même nombre de carreaux dans le même sens.
\(A\) est à 2 carreaux à gauche et 1 carreau au-dessus de \(O\). Pour aller de \(A\) à \(O\) : on va donc de 2 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas.
On répète ce déplacement à partir de \(O\) : 2 carreaux à droite et 1 carreau en bas.
Résultat : \(A^\prime\) est 2 carreaux à droite et 1 carreau en dessous de \(O\). Vérifie : \(O\) est bien le milieu de [AA’].
Exercice 3 — Symétrique d’un segment ★
Trace un segment \([AB]\) et place un point \(O\) hors de la droite \((AB)\). Construis son image \([A^\prime B^\prime]\) par la symétrie de centre \(O\). Compare les longueurs \(AB\) et \(A^\prime B^\prime\).
Voir la correction de l’exercice 3
Pour construire le symétrique d’un segment, on construit le symétrique de chacune de ses extrémités, puis on relie.
- On place \(A^\prime\), symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) (\(O\) milieu de [AA’]).
- On place \(B^\prime\), symétrique de \(B\) par rapport à \(O\) (\(O\) milieu de [BB’]).
- On trace le segment \([A^\prime B^\prime]\).
Longueurs : la symétrie centrale conserve les longueurs, donc \(A^\prime B^\prime = AB\). Les deux segments ont exactement la même longueur.
Exercice 4 — Vocabulaire juste ★
Complète les phrases avec le bon mot : milieu, centre, alignés, superposables.
a) Le point \(O\) est le … de symétrie.
b) \(O\) est le … du segment [AA’].
c) Les points \(A\), \(O\) et \(A^\prime\) sont ….
d) Une figure et son symétrique par rapport à un point sont ….
Voir la correction de l’exercice 4
a) Le point \(O\) est le centre de symétrie.
b) \(O\) est le milieu du segment [AA’].
c) Les points \(A\), \(O\) et \(A^\prime\) sont alignés.
d) Une figure et son symétrique par rapport à un point sont superposables.
Exercice 5 — Quand O est le milieu ★
Le point \(O\) est le milieu du segment \([AB]\). Sans rien construire, réponds : quel est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 5
Le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) est le point \(A^\prime\) tel que \(O\) soit le milieu de [AA’].
Or l’énoncé dit que \(O\) est déjà le milieu de \([AB]\). Le point qui vérifie cette condition avec \(A\) est donc \(B\).
Le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) est \(B\). C’est logique : chercher un symétrique, c’est chercher le point qui a \(O\) pour milieu — c’est exactement la définition du milieu de \([AB]\).
Exercice 6 — Compléter une figure ★
Sur quadrillage, on a dessiné la moitié d’un motif (un « L » formé de 3 carreaux) et un centre \(O\). Complète le dessin pour qu’il admette \(O\) comme centre de symétrie.
Voir la correction de l’exercice 6
On construit le symétrique de chaque sommet du motif par rapport à \(O\), en comptant les carreaux comme à l’exercice 2.
Chaque carreau du « L » de départ devient un carreau de l’autre côté de \(O\), à la même distance. Le motif complété est le « L » de départ retourné d’un demi-tour : il pointe dans le sens opposé, dans le quart de grille diagonalement opposé.
Vérification : le dessin complet doit se superposer à lui-même si on le fait pivoter d’un demi-tour autour de \(O\).
15 exercices corrigés à imprimer
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Exercices d’approfondissement (★★)
On passe aux figures entières, à la construction sans quadrillage et aux premières justifications de propriétés.
Exercice 7 — Symétrique d’un triangle sur quadrillage ★★
Sur quadrillage, un triangle \(ABC\) a ses sommets placés ainsi par rapport au centre \(O\) : \(A\) est 3 carreaux à gauche, \(B\) est 1 carreau à droite et 2 en haut, \(C\) est 2 carreaux en bas. Construis le triangle \(A^\prime B^\prime C^\prime\) symétrique par rapport à \(O\).
Voir la correction de l’exercice 7
On applique la même règle sommet par sommet : on répète, à partir de \(O\), le déplacement opposé à celui qui mène de \(O\) au sommet.
- \(A\) : 3 carreaux à gauche → \(A^\prime\) : 3 carreaux à droite.
- \(B\) : 1 à droite et 2 en haut → \(B^\prime\) : 1 à gauche et 2 en bas.
- \(C\) : 2 en bas → \(C^\prime\) : 2 en haut.
On relie \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\). Le triangle obtenu est identique au triangle de départ (mêmes longueurs, mêmes angles), simplement retourné.
Exercice 8 — Construire sans quadrillage ★★
Choisis deux points distincts \(M\) et \(O\) sur une feuille blanche (pas de quadrillage). Explique en détail comment construire \(M^\prime\), symétrique de \(M\) par rapport à \(O\), avec la règle et le compas.
Voir la correction de l’exercice 8
Étape 1 : avec la règle, trace la demi-droite qui part de \(M\), passe par \(O\) et continue au-delà.
Étape 2 : ouvre le compas de la longueur \(OM\) (pointe sèche en \(O\), mine sur \(M\)).
Étape 3 : garde la même ouverture, place la pointe sèche en \(O\) et trace un arc de l’autre côté, sur la droite tracée à l’étape 1.
Étape 4 : l’intersection de l’arc et de la droite est le point \(M^\prime\).
Ainsi \(OM = OM^\prime\) et les points sont alignés : \(O\) est bien le milieu de [MM’].
Exercice 9 — Utiliser la conservation ★★
Un triangle \(RST\) a pour dimensions \(RS = 5\) cm, \(ST = 4\) cm, et l’angle en \(S\) mesure 60°. On note \(R^\prime S^\prime T^\prime\) son symétrique par rapport à un point \(O\). Donne, sans aucune construction, la longueur \(R^\prime S^\prime\), la longueur \(S^\prime T^\prime\) et la mesure de l’angle en \(S^\prime\).
Voir la correction de l’exercice 9
La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles. On recopie donc directement les valeurs du triangle de départ :
- \(R^\prime S^\prime = RS = 5\) cm.
- \(S^\prime T^\prime = ST = 4\) cm.
- L’angle en \(S^\prime\) mesure 60°, comme l’angle en \(S\).
Aucun calcul n’est nécessaire : les deux triangles sont superposables.
Exercice 10 — La figure a-t-elle un centre ? ★★
Pour chaque figure, dis si elle possède un centre de symétrie. Si oui, précise où il se trouve : un rectangle, un triangle équilatéral, un parallélogramme, un cercle.
Voir la correction de l’exercice 10
Une figure a un centre de symétrie si un demi-tour autour d’un certain point la laisse inchangée.
- Rectangle : oui, centre = point d’intersection des diagonales.
- Triangle équilatéral : non ! Il a 3 axes de symétrie, mais aucun centre de symétrie (un demi-tour le retourne « pointe en bas »).
- Parallélogramme : oui, centre = point d’intersection des diagonales.
- Cercle : oui, centre = centre du cercle.
À retenir : avoir des axes de symétrie ne veut pas dire avoir un centre de symétrie. Le triangle équilatéral le prouve. Pour en savoir plus, va voir la page axe de symétrie.
Exercice 11 — Symétrique d’un cercle ★★
Un cercle de centre \(I\) et de rayon 3 cm est transformé par symétrie centrale de centre \(O\). Décris la figure obtenue : quel est son rayon ? Où se trouve son centre ?
Voir la correction de l’exercice 11
Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon (conservation des longueurs) : son rayon vaut donc 3 cm.
Son centre est le symétrique \(I^\prime\) du point \(I\) par rapport à \(O\).
Méthode : pour construire ce cercle, il suffit de placer \(I^\prime\) (symétrique de \(I\)), puis de tracer le cercle de centre \(I^\prime\) et de rayon 3 cm. Pas besoin de transformer chaque point du cercle !
Exercices de synthèse et type contrôle (★★★)
Voici les exercices les plus proches de ceux d’un contrôle : raisonnement, parallélogramme, et comparaison des deux symétries.
Exercice 12 — Le parallélogramme caché ★★★
On place deux points \(A\) et \(B\) et un centre \(O\) qui n’est pas sur la droite \((AB)\). On construit \(A^\prime\) et \(B^\prime\), symétriques de \(A\) et \(B\) par rapport à \(O\). Quelle est la nature du quadrilatère \(ABA^\prime B^\prime\) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 12
Par construction, \(O\) est le milieu de [AA’] (car \(A^\prime\) est le symétrique de \(A\)) et \(O\) est le milieu de [BB’].
Dans le quadrilatère \(ABA^\prime B^\prime\), les diagonales sont [AA’] et [BB’], et elles ont le même milieu \(O\).
Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Conclusion : \(ABA^\prime B^\prime\) est un parallélogramme. C’est le lien profond entre symétrie centrale et parallélogramme : le centre de symétrie d’un parallélogramme est justement le point d’intersection de ses diagonales.
Exercice 13 — Prouver un alignement ★★★
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés dans cet ordre. On note \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\) leurs symétriques par rapport à un point \(O\). Montre que \(A^\prime\), \(B^\prime\) et \(C^\prime\) sont eux aussi alignés. On sait de plus que \(B\) est le milieu de \([AC]\) : que peut-on dire de \(B^\prime\) ?
Voir la correction de l’exercice 13
Alignement : la symétrie centrale conserve l’alignement. Puisque \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés, leurs symétriques \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\) le sont aussi. C’est immédiat grâce à la propriété du cours.
Milieu : la symétrie centrale conserve aussi les longueurs. Comme \(B\) est le milieu de \([AC]\), on a \(AB = BC\). Donc \(A^\prime B^\prime = B^\prime C^\prime\), et \(B^\prime\) est aligné entre les deux : \(B^\prime\) est le milieu de \([A^\prime C^\prime]\).
Le milieu se transforme en milieu : c’est une conséquence directe de la conservation des longueurs et de l’alignement.
Exercice 14 — Axiale ou centrale ? (type contrôle) ★★★
Pour chaque affirmation, réponds par « vrai » ou « faux » et corrige si c’est faux.
a) La symétrie centrale se fait autour d’une droite.
b) La symétrie axiale et la symétrie centrale conservent toutes les deux les longueurs.
c) Un rectangle a un centre de symétrie et des axes de symétrie.
d) Dans une symétrie centrale, une droite et son image sont toujours parallèles.
Voir la correction de l’exercice 14
a) Faux. La symétrie centrale se fait autour d’un point (le centre). C’est la symétrie axiale qui se fait autour d’une droite (l’axe).
b) Vrai. Les deux symétries conservent les longueurs, les angles et l’alignement.
c) Vrai. Un rectangle a un centre de symétrie (intersection des diagonales) et deux axes de symétrie lorsqu’il n’est pas carré, quatre s’il est carré.
d) Vrai. Dans une symétrie centrale, une droite et son image sont toujours parallèles (ou confondues si la droite passe par le centre). C’est une différence importante avec la symétrie axiale.
Exercice 15 — Problème de synthèse ★★★
\(ABCD\) est un parallélogramme. On construit \(E\), symétrique de \(B\) par rapport à \(C\). Montre que \(C\) est le milieu de \([BE]\), puis que \(ADEC\) est un parallélogramme. Quelle relation en déduis-tu entre les longueurs \(DE\) et \(AC\) ?
Voir la correction de l’exercice 15
Par définition de la symétrie centrale, \(B\), \(C\) et \(E\) sont alignés, avec \(BC=CE\) et \(C\) entre les deux autres points.
Dans \(ABCD\), les segments \([AD]\) et \([BC]\) sont parallèles et de même longueur. Les segments \([AD]\) et \([CE]\) sont donc eux aussi parallèles et de même longueur, dans le même sens de A vers D et de C vers E.
Le quadrilatère \(ADEC\) est un parallélogramme. Ses côtés opposés ont même longueur : \(DE=AC\), et non \(DE=AB\) en général.
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Voici les trois erreurs qui coûtent le plus de points au contrôle. Repère-les une fois, tu ne les feras plus.
Erreur n°1 : confondre symétrie centrale et symétrie axiale.
❌ Copie fautive : « Le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\), c’est \(A\) plié de l’autre côté de \(O\). »
Diagnostic : on parle de « pliage », donc on pense à un axe. Mais ici \(O\) est un point, pas une droite.
✅ Correction : la symétrie centrale, c’est un demi-tour (180°) autour du point \(O\). \(O\) est le milieu de [AA’].
Erreur n°2 : oublier que \(A\), \(O\), \(A^\prime\) sont alignés.
❌ Copie fautive : placer \(A^\prime\) « à peu près » de l’autre côté sans passer par \(O\) en ligne droite.
Diagnostic : on reporte bien la longueur, mais pas dans la bonne direction.
✅ Correction : trace toujours d’abord la droite qui passe par \(A\) et \(O\). \(A^\prime\) est sur cette droite, à égale distance de \(O\).
Erreur n°3 : croire qu’avoir des axes de symétrie donne un centre.
❌ Copie fautive : « Le triangle équilatéral a un centre de symétrie car il est très symétrique. »
✅ Correction : le triangle équilatéral a 3 axes de symétrie mais aucun centre. Un demi-tour le retournerait pointe en bas : il n’est pas superposable à lui-même. Axe et centre sont deux choses différentes.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une symétrie centrale en 5ème ?
La symétrie centrale est une transformation qui fait pivoter une figure d’un demi-tour (180°) autour d’un point appelé centre de symétrie. Le symétrique d’un point \(A\) par rapport à un centre \(O\) est le point \(A^\prime\) tel que \(O\) soit le milieu du segment [AA’]. La figure obtenue est superposable à la figure de départ, simplement retournée.
Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?
La symétrie axiale se fait autour d’une droite (l’axe) : c’est un pliage, comme un miroir. La symétrie centrale se fait autour d’un point (le centre) : c’est un demi-tour. Les deux conservent les longueurs et les angles, mais en symétrie centrale une droite et son image sont toujours parallèles, ce qui n’est pas le cas en symétrie axiale. Pour approfondir, consulte la page sur la symétrie axiale.
Comment construire le symétrique d’un point sans quadrillage ?
Trace la droite passant par le point \(M\) et le centre \(O\). Prends l’écartement \(OM\) au compas, place la pointe en \(O\) et reporte cette distance de l’autre côté sur la droite. Le point obtenu est \(M^\prime\). Ainsi \(OM = OM^\prime\) et les trois points sont alignés.
Quelles sont les propriétés conservées par la symétrie centrale ?
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l’alignement des points et le parallélisme des droites. Le milieu d’un segment se transforme en milieu, et une figure garde exactement la même forme et la même taille. Sa position change par un demi-tour, mais son orientation dans le plan est conservée.
Quelles figures ont un centre de symétrie ?
Le rectangle, le carré, le losange, le parallélogramme et le cercle possèdent un centre de symétrie. Attention : le triangle équilatéral n’en a pas, malgré ses 3 axes de symétrie. Le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la symétrie centrale en 5ème. Pour continuer à progresser en géométrie, voici quelques ressources utiles :
- Les médiatrices d’un triangle et le cercle circonscrit
- Calcul de volumes en 5ème : 15 exercices corrigés pas à pas
- 14 exercices d’abscisse et d’ordonnée corrigés (6ème et 5ème)
- L’angle droit : définition, symbole, mesure et tracé
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