Un angle inscrit est un angle dont le sommet est posé sur un cercle et dont les deux côtés coupent ce cercle. Sa mesure est directement liée à celle de l’angle au centre qui « voit » le même arc : elle en vaut exactement la moitié. Cette propriété permet de calculer des angles sans rapporteur, à partir d’une simple figure. Tu vas découvrir ici la définition, le théorème, sa démonstration et des exercices corrigés pas à pas.
Bon à savoir : l’angle inscrit est une notion d’approfondissement. Elle n’est plus au programme officiel de 3ème depuis 2016, mais elle revient très souvent en olympiades, en exercices bonus et dès la Seconde. La connaître te donne une vraie longueur d’avance.
I. Angle inscrit et angle au centre : l’essentiel en une image
Avant toute formule, regarde la figure : tout se joue sur la position du sommet. Un même arc de cercle peut être « vu » de deux façons différentes, selon que le sommet est au centre ou sur le cercle.
Deux mots de vocabulaire suffisent pour décrire cette figure.
Définition — Angle inscrit et angle au centre
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les deux côtés recoupent le cercle.
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
On dit que ces angles interceptent le même arc lorsque leurs côtés délimitent la même portion de cercle.
Sur la figure ci-dessus, l’angle \(\widehat{AOB}\) est l’angle au centre et l’angle \(\widehat{ACB}\) est un angle inscrit : les deux « regardent » l’arc \(AB\) qui ne contient pas le point \(C\). Cette notion complète les autres relations vues sur le cercle, notamment le classement des types d’angles.
II. Le théorème de l’angle inscrit et de l’angle au centre
Voici le cœur du chapitre : une relation simple qui relie les deux angles précédents. C’est elle que tu utiliseras dans presque tous les exercices.
Théorème de l’angle au centre
Dans un cercle, un angle au centre mesure le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
Autrement dit, l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre :
\(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}\) et donc \(\widehat{ACB} = \displaystyle\frac{\widehat{AOB}}{2}\)
Prenons un exemple immédiat pour prendre confiance. Si l’angle au centre \(\widehat{AOB}\) mesure 80°, alors tout angle inscrit interceptant le même arc mesure \(80 \div 2 = 40\)°. Et inversement, si un angle inscrit mesure 35°, l’angle au centre correspondant mesure \(35 \times 2 = 70\)°.
Comment retenir : le centre « voit plus grand ». L’angle au centre est toujours le plus ouvert (le double), l’angle inscrit est le plus fermé (la moitié). En cas de doute, souviens-toi que le centre est plus proche de l’arc, donc il l’englobe davantage.
Toute la règle de l’angle inscrit sur une seule fiche
Le théorème, la propriété des angles inscrits et le cas du demi-cercle, résumés visuellement pour réviser en 5 minutes.
📄 L’essentiel du cours en 2 pages PDFIdéal pour les révisions avant un contrôle ou une olympiade.
III. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc
Une conséquence très utile découle directement du théorème. Puisque chaque angle inscrit vaut la moitié du même angle au centre, tous les angles inscrits qui « regardent » le même arc sont forcément égaux.
Propriété — Angles inscrits interceptant le même arc
Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Ce tableau résume la distinction entre les deux types d’angles pour éviter toute confusion.
| Critère | Angle inscrit | Angle au centre |
|---|---|---|
| Position du sommet | Sur le cercle | Au centre du cercle |
| Mesure (même arc) | La moitié | Le double |
| Notation exemple | \(\widehat{ACB}\) | \(\widehat{AOB}\) |
| Combien pour un même arc | Une infinité, tous égaux | Un seul |
IV. Comment calculer un angle inscrit dans un cercle
La méthode tient en trois réflexes. Applique-les dans l’ordre et tu retomberas toujours sur la bonne valeur.
- Repère l’arc intercepté : identifie les deux points où l’angle « touche » le cercle.
- Cherche l’autre angle qui regarde ce même arc : un angle au centre, ou un autre angle inscrit dont tu connais la mesure.
- Applique la relation : divise par 2 pour passer du centre à l’inscrit, multiplie par 2 pour l’inverse ; garde la même valeur entre deux angles inscrits.
Voici trois exemples d’application, du plus simple au plus complet.
Exercice 1 — Du centre vers l’inscrit ★
Sur un cercle de centre \(O\), l’angle au centre \(\widehat{AOB}\) mesure 130°. Un point \(C\) est sur le cercle. Quelle est la mesure de l’angle inscrit \(\widehat{ACB}\) qui intercepte le même arc \(AB\) ?
Voir la correction de l’exercice 1
L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc :
\(\widehat{ACB} = \displaystyle\frac{\widehat{AOB}}{2} = \displaystyle\frac{130}{2}\)Donc l’angle inscrit \(\widehat{ACB}\) mesure 65°.
Exercice 2 — D’un angle inscrit à un autre ★
Deux points \(C\) et \(D\) sont sur le même arc d’un cercle. L’angle inscrit \(\widehat{ACB}\) mesure 42°. Que vaut l’angle inscrit \(\widehat{ADB}\) qui intercepte le même arc \(AB\) ?
Voir la correction de l’exercice 2
Les deux angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ADB}\) sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc \(AB\). Ils ont donc la même mesure.
Aucun calcul n’est nécessaire : \(\widehat{ADB}\) mesure 42°.
Exercice 3 — Deux étapes à enchaîner ★★
Sur un cercle de centre \(O\), l’angle inscrit \(\widehat{ACB}\) mesure 55°. On note \(D\) un autre point du cercle situé sur le même arc que \(C\). Détermine successivement l’angle au centre \(\widehat{AOB}\), puis l’angle inscrit \(\widehat{ADB}\).
Voir la correction de l’exercice 3
Étape 1 — l’angle au centre. Il vaut le double de l’angle inscrit interceptant le même arc :
\(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB} = 2 \times 55 = 110\)Donc \(\widehat{AOB}\) mesure 110°.
Étape 2 — l’autre angle inscrit. Les points \(C\) et \(D\) sont sur le même arc : les angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ADB}\) sont égaux.
Donc \(\widehat{ADB}\) mesure 55°.
Ces raisonnements évitent souvent de sortir le rapporteur : tu déduis les mesures au lieu de les mesurer directement.
V. 🟡 Pour aller plus loin : la démonstration du théorème
Cette section s’adresse à ceux qui veulent comprendre pourquoi le théorème est vrai — un incontournable dès la Seconde. La preuve la plus lumineuse traite d’abord un cas particulier très simple : celui où l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre.
Cas particulier — un côté passe par le centre
On considère l’angle inscrit \(\widehat{CAB}\) de sommet \(A\), où \([AB]\) est un diamètre. On note \(\alpha = \widehat{CAB}\).
Le triangle \(OAC\) est isocèle en \(O\), car \(OA\) et \(OC\) sont deux rayons du cercle. Donc ses angles à la base sont égaux :
\(\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = \alpha\)
L’angle \(\widehat{BOC}\) est un angle extérieur du triangle en \(O\) : il est égal à la somme des deux angles non adjacents.
\(\widehat{BOC} = \widehat{OAC} + \widehat{OCA} = \alpha + \alpha = 2\alpha\)
L’angle au centre \(\widehat{BOC}\) vaut bien le double de l’angle inscrit \(\alpha\). ∎
Cette astuce utilise deux résultats connus : les propriétés du triangle isocèle et la somme des angles d’un triangle (qui donne l’angle extérieur). Dans le cas général, le centre n’est pas sur un côté ; on trace alors le diamètre passant par le sommet \(A\) et on décompose l’angle en deux morceaux, chacun traité comme ci-dessus. La relation reste vraie par addition (ou soustraction) des deux parties.
VI. Le cas du demi-cercle : l’angle droit caché
Il existe une situation particulière où le théorème donne un résultat spectaculaire, réutilisé partout au lycée. Quand l’arc intercepté est un demi-cercle, l’angle au centre est un angle plat de 180°.
Propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle
Si \([AB]\) est un diamètre et si \(C\) est un autre point du cercle, alors l’angle \(\widehat{ACB}\) est un angle droit :
\(\widehat{ACB} = \displaystyle\frac{180}{2} = 90\)°
C’est logique : l’angle au centre associé au diamètre est un angle plat de 180°, donc l’angle inscrit en vaut la moitié, soit 90°. On retrouve exactement le triangle rectangle inscrit dans un cercle, un résultat clé pour appliquer ensuite le théorème de Pythagore ou étudier le triangle rectangle. Au lycée, cette idée réapparaît quand on travaille sur l’équation d’un cercle dans un repère.
VII. Erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent systématiquement. Les connaître à l’avance te fera gagner de précieux points.
Erreur 1 : ❌ « L’angle inscrit vaut le double de l’angle au centre. »
Diagnostic : le rapport est inversé. Le centre est le plus ouvert.
✅ L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre.
Erreur 2 : ❌ Comparer deux angles inscrits sans vérifier qu’ils regardent le même arc.
Diagnostic : deux angles inscrits ne sont égaux que s’ils interceptent le même arc. S’ils regardent des arcs différents, ils n’ont aucune raison d’être égaux.
✅ Toujours identifier l’arc avant de conclure à une égalité.
Erreur 3 : ❌ Confondre « angle inscrit » et « cercle inscrit ».
Diagnostic : deux notions très différentes. L’angle inscrit a son sommet sur le cercle ; le cercle inscrit est le cercle tangent aux côtés d’un triangle.
✅ Lis bien le mot qui suit « inscrit » : angle ou cercle.
Pour un panorama complet des confusions de figures, consulte les pièges classiques de la géométrie au collège.
VIII. Questions fréquentes
Que dit le théorème de l’angle inscrit ?
Dans un cercle, un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Autrement dit, l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit. Une conséquence directe : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont toujours égaux entre eux.
Quelle est la différence entre angle inscrit et angle au centre ?
La différence tient à la position du sommet. L’angle au centre a son sommet au centre du cercle ; l’angle inscrit a son sommet sur le cercle. Pour un même arc, l’angle au centre est toujours le double de l’angle inscrit : \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}\).
Qu’est-ce qu’un cercle inscrit ?
Attention à ne pas confondre : un cercle inscrit dans un triangle est le cercle tangent aux trois côtés, dont le centre est le point de concours des bissectrices. Cela n’a rien à voir avec l’angle inscrit, qui est un angle dont le sommet est posé sur un cercle. Le point commun est seulement le mot « inscrit ».
Pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est-il rectangle ?
Parce que le diamètre correspond à un angle au centre de 180° (un angle plat). L’angle inscrit qui intercepte ce demi-cercle vaut donc la moitié, soit 90°. Tout triangle ayant un diamètre pour côté et un troisième sommet sur le cercle possède un angle droit.
L’angle inscrit est-il au programme de 3ème ?
Non, plus depuis la réforme de 2016 : ce n’est plus une notion exigible au brevet. Elle reste enseignée en approfondissement, en préparation aux olympiades, et devient utile dès la Seconde. La connaître est un vrai atout, sans être obligatoire.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’angle inscrit, l’angle au centre et leur théorème. Pour consolider ta géométrie du cercle et du triangle :
- Erreurs en géométrie au collège : les 8 pièges classiques
- La réciproque du théorème de Pythagore : prouver qu’un triangle est rectangle
- Droites sécantes : définition, méthode et cas particuliers
- La réciproque du théorème de Thalès : démontrer que deux droites sont parallèles
- Au lycée, le cercle se manipule dans un repère : découvre le repère orthonormé : définition, différences et méthode pour prolonger ces notions.
Tu veux progresser plus vite en géométrie ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
