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Repérer un point par sa distance à l’origine et un angle plutôt que par deux abscisses : c’est toute l’idée des coordonnées polaires. Dès qu’un problème présente une symétrie circulaire — un disque, une couronne, l’expression \(x^2+y^2\) — le passage en polaires transforme un calcul pénible en calcul limpide. Voici la méthode complète, des conversions de Terminale au changement de variable \(r\,dr\,d\theta\) de prépa.
I. Les coordonnées polaires en 30 secondes
En cartésien, on repère un point par deux distances, \(x\) horizontalement et \(y\) verticalement. En polaires, on change de logique : on donne la distance à l’origine et une direction. C’est exactement ce que fait un radar ou un contrôleur aérien — « cible à 12 km, cap 40° » — bien plus naturel que « 9 km à l’est et 7,7 km au nord ».
Définition — Coordonnées polaires
Soit un plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine \(O\). Un point \(M\) distinct de \(O\) est repéré par le couple \((r,\theta)\) où :
Pour revoir le repérage par abscisse et ordonnée, consulte le rappel sur les coordonnées cartésiennes.
- \(r = OM\) est le rayon polaire (une distance, donc \(r\) > \(0\)) ;
- \(\theta = (\vec{i}, \overrightarrow{OM})\) est l’angle polaire, mesuré en radians et défini modulo \(2\pi\).
A. Les formules de conversion à retenir
Tout le chapitre repose sur deux jeux de formules. Le sens le plus facile va des polaires vers le cartésien : c’est de la trigonométrie directe, avec le \(\cos\) sur l’axe horizontal et le \(\sin\) sur l’axe vertical (voir au besoin les fonctions cosinus et sinus).
| Sens | Formules | Difficulté |
|---|---|---|
| Polaires \(\to\) cartésiennes | \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\) | Direct |
| Cartésiennes \(\to\) polaires (rayon) | \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) | Direct |
| Cartésiennes \(\to\) polaires (angle) | \(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\) | Attention au quadrant |
Le réflexe qui évite 90 % des erreurs : pour retrouver l’angle, ne calcule jamais \(\theta = \arctan(y/x)\) tout seul. Détermine à la fois \(\cos\theta = x/r\) et \(\sin\theta = y/r\). Le couple (signe du cosinus, signe du sinus) fixe le quadrant sans ambiguïté, ce que l’arc tangente seul est incapable de faire.
II. Quand utiliser les coordonnées polaires ?
Une méthode ne vaut que si tu sais quand la dégainer. Les coordonnées polaires ne sont pas toujours le bon outil : sur un domaine rectangulaire, elles compliquent tout. Le tableau suivant positionne les polaires par rapport aux autres systèmes de coordonnées du programme.
| Système | Utile quand… | Élément d’aire ou de volume | Domaine typique |
|---|---|---|---|
| Cartésiennes \((x,y)\) | le domaine est un rectangle ou délimité par des droites | \(dx\,dy\) | rectangle, triangle |
| Polaires \((r,\theta)\) | symétrie circulaire dans le plan, présence de \(x^2+y^2\) | \(r\,dr\,d\theta\) | disque, couronne, secteur |
| Cylindriques \((r,\theta,z)\) | symétrie autour d’un axe en 3D | \(r\,dr\,d\theta\,dz\) | cylindre, cône |
| Sphériques \((\rho,\theta,\varphi)\) | symétrie autour d’un point en 3D | \(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi\) | boule, calotte |
Les polaires sont exactement le cas plan des coordonnées cylindriques : ajoute une hauteur \(z\) et tu passes de l’un à l’autre. Le critère de décision est simple : dès que tu vois \(x^2+y^2\) ou un contour circulaire, pense polaires. Une intégrale sur un disque qui résiste en cartésien devient élémentaire après ce changement.
La fiche méthode « Coordonnées polaires » en recto-verso
Toutes les conversions, le tableau des quadrants et le changement de variable r dr dθ, condensés sur une page prête à réviser.
📄 Télécharger la fiche méthodeIdéale à glisser dans ton classeur avant un DS.
III. La méthode : convertir en 4 étapes
La conversion cartésien \(\to\) polaire est le passage qui piège le plus d’étudiants, à cause de l’angle. Voici le protocole rigoureux, valable dans tous les quadrants.
Étape 1 — Calculer le rayon
On applique directement \(r = \sqrt{x^2+y^2}\). Le rayon est toujours positif : c’est une distance. Si \(M = O\) (donc \(r=0\)), l’angle n’est pas défini — on traite ce cas à part.
Étape 2 — Écrire le cosinus ET le sinus de l’angle
On calcule les deux quantités \(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\). C’est l’étape que l’arc tangente escamote : elle mélange les cas \(x\) > \(0\) et \(x\) < \(0\) parce que \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.
Étape 3 — Lire le quadrant et conclure l’angle
Le couple des signes donne le quadrant, et une valeur remarquable du cosinus/sinus donne l’angle. En pratique, l’arc tangente reste utile mais corrigée selon le quadrant :
| Position de \(M\) | Valeur de \(\theta\) (à \(2\pi\) près) |
|---|---|
| \(x\) > \(0\) | \(\theta = \arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)\) |
| \(x\) < \(0\) et \(y \geq 0\) | \(\theta = \arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right) + \pi\) |
| \(x\) < \(0\) et \(y\) < \(0\) | \(\theta = \arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)- \pi\) |
| \(x = 0\) et \(y\) > \(0\) | \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) |
| \(x = 0\) et \(y\) < \(0\) | \(\theta = -\displaystyle\frac{\pi}{2}\) |
Étape 4 — Vérifier
On revient en arrière : \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\) doivent redonner le point de départ. Trente secondes de contrôle, zéro erreur de quadrant sur la copie.
IV. Exemple type entièrement rédigé
Voici le modèle exact de ce qu’on attend sur une copie. On convertit le point \(M(-1\,;\,\sqrt{3})\) en coordonnées polaires — un point du deuxième quadrant, précisément là où l’arc tangente naïve échoue.
Exemple — Conversion de \(M(-1\,;\,\sqrt{3})\)
Étape 1 — Rayon.
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\)
Étape 2 — Cosinus et sinus.
\(\cos\theta = \displaystyle\frac{-1}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Étape 3 — Quadrant. Le cosinus est négatif et le sinus positif : \(M\) est dans le deuxième quadrant. L’angle qui vérifie \(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\) est \(\theta = \displaystyle\frac{2\pi}{3}\).
Étape 4 — Vérification. \(2\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \times \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) = -1 = x\) et \(2\sin\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \times \displaystyle\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3 = y\). ✓
Conclusion : \(M\) a pour coordonnées polaires \(\left(2\,;\,\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\).
Remarque décisive : si on avait bêtement écrit \(\theta = \arctan\!\big(\sqrt3/(-1)\big) = \arctan(-\sqrt3) = -\displaystyle\frac{\pi}{3}\), on aurait placé le point dans le quatrième quadrant, à 180° de sa vraie position. C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre.
V. Interprétation géométrique
Visualiser le repérage est le meilleur antidote au piège du quadrant. Chaque point du plan est à l’intersection d’un cercle (rayon \(r\) constant) et d’une demi-droite issue de \(O\) (angle \(\theta\) constant).
Sur ce schéma, on lit immédiatement que le deuxième quadrant correspond à \(\cos\theta\) < \(0\) et \(\sin\theta\) > \(0\), donc à un angle compris entre \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\). Aucun besoin de mémoriser la table de correction : le dessin la reconstruit.
VI. La base mobile : vitesse et accélération en polaires
Repérer un point en polaires est une chose ; suivre un point qui se déplace en est une autre. Dès la première année de prépa, on attache au point une base qui tourne avec lui — la base mobile — et tout le calcul de la vitesse et de l’accélération en découle. C’est le prolongement direct des conversions de la partie III, et la raison pour laquelle les polaires sont partout en mécanique du point.
La base mobile. À l’angle \(\theta\) on associe les deux vecteurs \(\vec{u_r}=(\cos\theta,\sin\theta)\) et \(\vec{u_\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta)\). Ils forment une base orthonormale directe, mais contrairement à \((\vec{i},\vec{j})\) ils dépendent de \(\theta\) : ils tournent avec le point qu’ils décrivent.
Les deux seules formules à mémoriser. En dérivant les coordonnées ci-dessus par rapport à \(\theta\) : \(\displaystyle\frac{d\vec{u_r}}{d\theta}=\vec{u_\theta}\) et \(\displaystyle\frac{d\vec{u_\theta}}{d\theta}=-\vec{u_r}\). Autrement dit, dériver fait tourner d’un quart de tour dans le sens direct. Tout le reste de cette section s’en déduit mécaniquement — il n’y a rien d’autre à apprendre par cœur.
Considérons un point \(M(t)\) de coordonnées polaires \(\big(r(t),\theta(t)\big)\), de sorte que \(\overrightarrow{OM}=r\,\vec{u_r}\). Dériver par rapport au temps exige la règle du produit, puisque \(\vec{u_r}\) dépend lui aussi de \(t\), à travers \(\theta(t)\) :
\(\vec{v}=\displaystyle\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=r^\prime\,\vec{u_r}+r\theta^\prime\,\vec{u_\theta}\)Une seconde dérivation, en réappliquant les deux mêmes formules, donne l’accélération :
\(\displaystyle\vec{a}=\big(r^{\prime\prime}-r\theta^{\prime 2}\big)\vec{u_r}+\big(2r^\prime\theta^\prime+r\theta^{\prime\prime}\big)\vec{u_\theta}\)| Terme | Composante | Nom | Il disparaît quand |
|---|---|---|---|
| \(r^{\prime\prime}\) | radiale | accélération radiale | le rayon varie à vitesse constante |
| \(-r\theta^{\prime 2}\) | radiale | terme centripète | l’angle est constant |
| \(2r^\prime\theta^\prime\) | orthoradiale | terme de Coriolis | le rayon est constant |
| \(r\theta^{\prime\prime}\) | orthoradiale | accélération angulaire | la rotation est uniforme |
Le mouvement circulaire uniforme, redémontré en deux lignes. Si \(r\) est constant et \(\theta(t)=\omega t\), alors \(r^\prime=r^{\prime\prime}=0\), \(\theta^\prime=\omega\) et \(\theta^{\prime\prime}=0\). Il ne subsiste que \(\vec{v}=r\omega\,\vec{u_\theta}\) et \(\vec{a}=-r\omega^2\,\vec{u_r}\) : la vitesse est tangente au cercle, l’accélération pointe vers le centre et vaut \(r\omega^2\) en norme. Les résultats admis en cours de physique tombent ici comme un simple corollaire.
L’erreur qui coûte le plus de points. Écrire \(\vec{v}=r^\prime\,\vec{u_r}\) en dérivant \(\overrightarrow{OM}=r\,\vec{u_r}\) comme si \(\vec{u_r}\) était un vecteur fixe. C’est précisément ce que « base mobile » interdit. Le réflexe à installer : dès qu’un vecteur de base apparaît dans une expression à dériver, il se dérive lui aussi.
VII. Du repérage de Terminale au changement de variable
C’est ici que ce chapitre relie deux mondes que la plupart des ressources traitent séparément. Le repérage polaire s’apprend au lycée ; le changement de variable qui en découle est un outil central de prépa. Voyons la continuité.
A. 🟢 Le repérage polaire vu au lycée
En Terminale, les coordonnées polaires apparaissent surtout en physique (repérage d’un mobile, forces centrales) et dans quelques exercices de géométrie. À ce stade, on se contente des deux idées essentielles : convertir un point d’un système à l’autre, et reconnaître qu’une équation \(r = \text{constante}\) décrit un cercle. Si tu revois tes bases sur le repérage d’un point, la fiche sur les coordonnées cartésiennes d’un vecteur et l’étude du sens de variation via le tableau de variation d’une fonction restent les prérequis solides.
B. 🔴 Le changement de variable en intégrale double (prépa)
En prépa, les polaires deviennent une technique de calcul. Pour intégrer une fonction sur un disque, on remplace \((x,y)\) par \((r,\theta)\), mais attention : l’élément d’aire ne se contente pas de devenir \(dr\,d\theta\). Il faut le facteur \(r\), et c’est le jacobien du changement de variable qui le fournit.
Théorème — Passage en polaires dans une intégrale double
Pour un changement de variable \((r,\theta) \mapsto (x,y)\) défini par \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), l’élément d’aire se transforme selon :
\(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)
Démonstration. Le facteur correctif est la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne du passage. On calcule les dérivées partielles :
\(J = \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \theta} \\[2mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}\)On développe :
\(J = \cos\theta \cdot r\cos\theta- (-r\sin\theta)\cdot \sin\theta = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r\)Comme \(r \geq 0\), on a \(|J| = r\), d’où \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\). ∎
Géométriquement, ce facteur \(r\) traduit le fait qu’un « petit rectangle » polaire \(dr \times d\theta\) est en réalité un secteur d’aire \(r\,dr\,d\theta\) : plus on s’éloigne de l’origine, plus l’arc balayé par un même \(d\theta\) est long.
Ce que fait cette page — et ce qu’elle ne fait pas. Ici on met en place le changement de variable jusqu’à l’écriture \(r\,dr\,d\theta\). Le calcul complet d’une intégrale double en polaires (bornes, intégration successive, aire du disque) est détaillé dans le cours dédié : calculer une intégrale double en polaires.
VIII. S’entraîner : cinq applications corrigées
Cinq exercices classés par difficulté, du calcul direct à la mise en place d’une intégrale. Cherche avant de déplier la correction.
Exercice 1 — Conversion polaire vers cartésien ★
Donner les coordonnées cartésiennes du point de coordonnées polaires \(\left(4\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\).
\(x = 4\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \displaystyle\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\) \(y = 4\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 2\)Le point a pour coordonnées cartésiennes \((2\sqrt3\,;\,2)\).
Exercice 2 — Conversion cartésien vers polaire (premier quadrant) ★
Donner des coordonnées polaires du point \(M(3\,;\,3)\).
Voir la correction de l’exercice 2
Rayon : \(r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2\).
Angle : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{3}{3\sqrt2} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\). Les deux sont positifs (premier quadrant), d’où \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Coordonnées polaires : \(\left(3\sqrt2\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
Exercice 3 — Le piège du quadrant ★★
Donner des coordonnées polaires du point \(M(-2\,;\,-2)\). Que donnerait un calcul naïf de l’arc tangente ?
Voir la correction de l’exercice 3
Rayon : \(r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt2\).
Cosinus et sinus : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{-2}{2\sqrt2} = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\) et \(\sin\theta = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\). Les deux sont négatifs : troisième quadrant.
L’angle vérifiant ces deux conditions est \(\theta = -\displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (ou de façon équivalente \(\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) modulo \(2\pi\)).
Calcul naïf : \(\arctan\!\left(\displaystyle\frac{-2}{-2}\right) = \arctan(1) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) — ce qui placerait le point dans le premier quadrant, à l’opposé exact ! On applique la correction du troisième quadrant : \(\displaystyle\frac{\pi}{4}- \pi = -\displaystyle\frac{3\pi}{4}\). ✓
Coordonnées polaires : \(\left(2\sqrt2\,;\,-\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right)\).
Exercice 4 — Reconnaître une courbe en polaires ★★
Quelle est la nature de la courbe d’équation polaire \(r = 2\cos\theta\) pour \(\theta \in \left]-\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\) ? (Indication : multiplier par \(r\) et revenir en cartésien.)
Voir la correction de l’exercice 4
On multiplie les deux membres par \(r\) : \(r^2 = 2r\cos\theta\).
Or \(r^2 = x^2 + y^2\) et \(r\cos\theta = x\). L’équation devient :
\(x^2 + y^2 = 2x\)On regroupe et on complète le carré : \(x^2- 2x + y^2 = 0\), soit \((x-1)^2 + y^2 = 1\).
C’est l’équation d’un cercle de centre \((1\,;\,0)\) et de rayon \(1\), passant par l’origine. Le passage en cartésien via \(r^2\) est une technique à mémoriser.
Exercice 5 — Mettre en place une intégrale sur un disque ★★★
Soit \(D\) le disque de centre \(O\) et de rayon \(R\). Écrire l’intégrale double \(\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy\) après passage en coordonnées polaires (bornes comprises). On ne demande pas le calcul final.
Voir la correction de l’exercice 5
1. Décrire le domaine en polaires. Le disque de rayon \(R\) correspond à \(0 \leq r \leq R\) et \(0 \leq \theta \leq 2\pi\). C’est un « rectangle » dans le plan \((r,\theta)\) : c’est tout l’intérêt du changement.
2. Transformer la fonction. \(x^2 + y^2 = r^2\).
3. Ne pas oublier le jacobien. \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\).
L’intégrale s’écrit donc :
\(\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} r^3\,dr\,d\theta\)Le facteur \(r\) du jacobien a transformé \(r^2\) en \(r^3\) : l’oublier est l’erreur classique. Le calcul explicite est mené dans le cours intégrales doubles et triples.
Et pour un entraînement complet sur les changements de coordonnées, direction les exercices d’analyse vectorielle corrigés.
IX. Les pièges classiques
Trois erreurs reviennent en boucle sur les copies et les forums. Les identifier, c’est les neutraliser.
Erreur n°1 — L’arc tangente sans discussion de quadrant.
❌ Copie fautive : pour \(M(-1\,;\,1)\), l’élève écrit \(\theta = \arctan(1/(-1)) = \arctan(-1) = -\displaystyle\frac{\pi}{4}\).
🔍 Diagnostic : \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\) place le point dans le quatrième quadrant, alors que \(M\) est dans le deuxième (\(x\) < \(0\), \(y\) > \(0\)). L’arc tangente « écrase » les quadrants opposés.
✅ Correction : avec \(x\) < \(0\) et \(y \geq 0\), on ajoute \(\pi\) : \(\theta = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + \pi = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\). Toujours vérifier avec \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
Erreur n°2 — Le rayon négatif et l’angle mal cadré.
Par convention en analyse, \(r\) est une distance, donc \(r \geq 0\). Écrire \(r = -3\) pour compenser un mauvais angle est une source d’incohérence dans les intégrales. De même, \(\theta\) est défini modulo \(2\pi\) : \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) et \(\displaystyle\frac{9\pi}{4}\) désignent la même direction. Choisis un représentant dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) ou \([0\,;\,2\pi[\) et garde-le tout au long de l’exercice.
Erreur n°3 — Oublier le facteur \(r\) du jacobien.
❌ Copie fautive : \(\iint_D f\,dx\,dy = \int\!\!\int f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,dr\,d\theta\).
🔍 Diagnostic : le passage aux polaires n’est pas une simple substitution de lettres. L’élément d’aire change, et le jacobien vaut \(r\).
✅ Correction : \(\iint_D f\,dx\,dy = \int\!\!\int f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\). Le \(r\) n’est jamais optionnel.
X. Rédaction au concours et selon ta filière
A. Ce que le correcteur attend
Sur un changement de variable en polaires, le correcteur cherche trois justifications explicites — sauter l’une d’elles coûte des points :
- Le changement de variable est un \(C^1\)-difféomorphisme sur le domaine considéré. On mentionne que \((r,\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\) réalise une bijection de classe \(C^1\) de \(]0\,;\,+\infty[ \times [0\,;\,2\pi[\) sur le plan privé de l’origine.
- Le jacobien est calculé, pas récité. Écrire le déterminant \(2\times 2\) et le développer jusqu’à \(|J| = r\).
- Les bornes sont décrites depuis le domaine. Le passage de la description cartésienne de \(D\) à sa description en \((r,\theta)\) doit être justifié, pas posé.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Ce qui est attendu |
|---|---|
| Terminale | Repérage polaire, conversions, lecture en physique |
| MPSI / PCSI (1re année) | Conversions maîtrisées, courbes en polaires, base mobile |
| MP / PC / PSI (2e année) | Changement de variable en intégrale double, jacobien démontré |
| ECG2 | Intégrales doubles en polaires (densités, probabilités) |
Une fois les polaires acquises, l’extension naturelle est le plan en trois dimensions : ajoute une hauteur et tu obtiens les coordonnées cylindriques et sphériques.
XI. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes ?
Les coordonnées cartésiennes repèrent un point par deux distances signées, \(x\) et \(y\), le long de deux axes perpendiculaires. Les coordonnées polaires le repèrent par une distance à l’origine \(r\) et un angle \(\theta\). Les cartésiennes sont idéales sur des domaines rectangulaires ; les polaires triomphent dès qu’il y a une symétrie circulaire (disques, expression \(x^2+y^2\)).
Pourquoi ne peut-on pas utiliser arctan directement pour trouver l’angle ?
Parce que la fonction tangente est \(\pi\)-périodique : \(\arctan(y/x)\) donne le même résultat pour un point et pour son symétrique par rapport à l’origine. L’arc tangente ne « voit » donc pas la différence entre le premier et le troisième quadrant, ni entre le deuxième et le quatrième. Il faut corriger en ajoutant ou retranchant \(\pi\) selon le signe de \(x\), et toujours vérifier avec le cosinus et le sinus.
D’où vient le facteur r dans dx dy = r dr dtheta ?
Il vient du jacobien du changement de variable, c’est-à-dire du déterminant de la matrice des dérivées partielles de \((x,y)\) par rapport à \((r,\theta)\). Ce déterminant vaut exactement \(r\). Géométriquement, un secteur élémentaire loin de l’origine couvre plus d’aire qu’un secteur proche, pour un même \(d\theta\) : le facteur \(r\) corrige cet effet.
Le rayon r peut-il être négatif ?
En analyse et pour les intégrales, non : \(r\) est une distance, on impose \(r \geq 0\). Certaines conventions d’étude de courbes en polaires autorisent \(r\) < \(0\) (le point est alors reporté dans la direction opposée), mais c’est une commodité de tracé, pas la règle par défaut. En cas de doute, garde \(r \geq 0\) et ajuste l’angle.
Quand faut-il passer en polaires dans une intégrale double ?
Dès que le domaine d’intégration présente une symétrie de révolution (disque, couronne, secteur) ou dès que la fonction contient \(x^2+y^2\). Le disque, décrit en cartésien par une inégalité désagréable, devient un simple produit d’intervalles \(0 \leq r \leq R\) et \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) : le calcul se sépare et se simplifie radicalement.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais le repérage polaire et le changement de variable associé. Pour consolider et étendre :
- Tableau de variation d’une fonction
- Équations différentielles : cours complet et méthodes de résolution
- Exercices Dérivées 1ère Corrigés (PDF)
- Exercices Équations Différentielles Tle Corrigés + PDF
