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Quand tu calcules la longueur d’une diagonale, l’aire d’un carré ou l’hypoténuse d’un triangle rectangle, tu tombes presque toujours sur un nombre du type \(\sqrt{2}\) ou \(\sqrt{50}\). La racine carrée est l’outil qui répond à la question « quel nombre, multiplié par lui-même, donne ce résultat ? ». Introduite en 3ème avec le théorème de Pythagore, puis approfondie en Seconde, elle devient un réflexe indispensable jusqu’en prépa. Dans ce cours complet, tu vas comprendre ce qu’est une racine carrée, connaître les valeurs et propriétés à maîtriser, éviter les pièges classiques et t’entraîner sur des exercices corrigés.
I. Qu’est-ce qu’une racine carrée ?
Une racine carrée d’un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\). Autrement dit, \(\sqrt{a}\) est la « longueur du côté » d’un carré dont l’aire vaut \(a\). C’est l’opération inverse de l’élévation au carré, mais restreinte aux résultats positifs.
A. Définition et notation √
Définition — Racine carrée
Soit \(a\) un nombre positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique nombre positif dont le carré est égal à \(a\). On a donc :
\(\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)
Le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) s’appelle le radical, et le nombre placé dessous le radicande. Par exemple, \(\sqrt{9} = 3\) car \(3 \geq 0\) et \(3^2 = 9\). De même \(\sqrt{0} = 0\) et \(\sqrt{1} = 1\).
Erreur classique : écrire \(\sqrt{9} = \pm 3\). C’est faux. Une racine carrée est toujours positive : \(\sqrt{9} = 3\), point. Ce sont les solutions de l’équation \(x^2 = 9\) qui sont \(3\) et \(-3\), ce qui n’est pas la même chose.
B. Le lien avec le carré d’un nombre
La racine carrée « défait » ce que fait le carré. Élever au carré, c’est multiplier un nombre par lui-même ; prendre la racine carrée, c’est retrouver ce nombre de départ (à condition qu’il soit positif). Pour maîtriser les racines, il faut donc connaître par cœur le carré d’un nombre et les tables de carrés jusqu’à \(15^2 = 225\).
Attention à l’ordre des opérations : \(\sqrt{a^2}\) ne redonne \(a\) que si \(a\) est positif. On y revient en détail dans la section III.
C. Peut-on prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?
Non, pas dans les nombres que tu manipules au collège et au lycée. Aucun nombre réel multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif : un carré est toujours positif ou nul. Donc \(\sqrt{-6}\) n’existe pas dans \(\mathbb{R}\), et ta calculatrice affichera une erreur.
Bon à savoir : en Terminale option maths expertes puis en prépa, on construit un ensemble plus large, les nombres complexes, dans lequel \(\sqrt{-1}\) prend un sens (on le note \(i\)). Mais dans \(\mathbb{R}\), la règle reste ferme : le radicande doit être positif ou nul.
II. Les valeurs à connaître
Avant de calculer, il faut avoir en tête un petit stock de valeurs de référence. Elles te permettent de reconnaître instantanément une racine « propre » et d’encadrer les autres.
A. Les carrés parfaits et leurs racines
Un carré parfait est un entier qui est le carré d’un entier. Sa racine carrée est alors un entier « rond ». Ce sont les valeurs les plus utiles à mémoriser.
Définition — Carré parfait
Un entier \(n\) est un carré parfait s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = k^2\). Sa racine carrée \(\sqrt{n} = k\) est alors un entier.
| Carré parfait \(n\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sqrt{n}\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Savoir reconnaître ces valeurs est la compétence de base de toute la suite : on l’approfondit sur la page dédiée au carré parfait.
Toutes les propriétés des racines carrées sur une seule fiche
Définitions, carrés parfaits, propriétés de calcul et pièges à éviter : l’essentiel du chapitre en un coup d’œil.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteIdéale pour réviser avant un contrôle, du collège au lycée.
B. Racines carrées usuelles (√2, √3, √5)
Quand le radicande n’est pas un carré parfait, la racine n’a pas de valeur décimale exacte. Voici les approximations à retenir :
| Racine | Valeur approchée |
|---|---|
| \(\sqrt{2}\) | \(\approx 1{,}414\) |
| \(\sqrt{3}\) | \(\approx 1{,}732\) |
| \(\sqrt{5}\) | \(\approx 2{,}236\) |
| \(\sqrt{10}\) | \(\approx 3{,}162\) |
Ces nombres sont irrationnels : leur écriture décimale est infinie et sans motif qui se répète. Un cas est resté célèbre : la démonstration que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel, que nous détaillons en section VI. Il existe même des irrationnels « exotiques » comme \(\sqrt{\pi}\), qui n’est solution d’aucune équation à coefficients entiers.
Pour retrouver ces valeurs sans les apprendre par cœur, ou pour n’importe quel entier de 1 à 100, consulte le tableau des racines carrées.
C. Encadrer une racine carrée entre deux entiers
Sans calculatrice, on peut toujours situer une racine entre deux entiers consécutifs en s’appuyant sur les carrés parfaits qui l’entourent.
Exemple : encadrer \(\sqrt{40}\) entre deux entiers.
On cherche les carrés parfaits juste en dessous et juste au-dessus de 40 : \(36 = 6^2\) et \(49 = 7^2\). Comme \(36 < 40 < 49\), la fonction racine étant croissante on obtient :
\(6 < \sqrt{40} < 7\)
Donc \(\sqrt{40} \approx 6{,}3\) (plus précisément \(6{,}32\)).
III. Propriétés de calcul sur les radicaux
Ces propriétés sont le cœur du chapitre : elles servent à simplifier, comparer et rationaliser. Trois d’entre elles fonctionnent parfaitement, une quatrième est un piège que presque tout le monde tend au moins une fois.
A. Racine d’un produit et d’un quotient
Propriété — Produit et quotient
Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\) (avec \(b \neq 0\) pour le quotient) :
- \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
- \(\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
C’est exactement cette règle qui permet de simplifier une racine : on isole le plus grand carré parfait caché dans le radicande.
Exemple : simplifier \(\sqrt{50}\).
On décompose \(50 = 25 \times 2\), où \(25\) est un carré parfait :
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
Cette technique fait l’objet d’une page entière : découvre comment simplifier une racine carrée pas à pas.
B. Le piège de la somme : √(a+b) ≠ √a + √b
Erreur classique — la racine « n’aime pas » l’addition. On ne peut pas séparer la racine d’une somme :
\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
Contre-exemple : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). On a bien \(5 \neq 7\).
Retiens la règle en une phrase : la racine se distribue sur le produit et le quotient, jamais sur la somme ou la différence.
C. √(a²) = |a|
Voici une subtilité qui sépare le collège du lycée. Comme une racine carrée est toujours positive, \(\sqrt{a^2}\) ne redonne \(a\) que si \(a\) est positif.
Propriété — Racine d’un carré
Pour tout nombre réel \(a\) :
\(\sqrt{a^2} = |a|\)
où \(|a|\) désigne la valeur absolue de \(a\) (sa distance à zéro).
Exemple : \(\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = |-4|\). Ce n’est pas \(-4\) : la racine « oublie » le signe.
IV. Panorama des méthodes
Selon ce qu’on te demande, tu ne fais pas la même chose avec une racine. Voici les quatre gestes fondamentaux et la page où chacun est traité en détail.
| On te demande de… | Objectif | Méthode dédiée |
|---|---|---|
| Calculer | Obtenir une valeur approchée | Encadrement, méthode de Héron |
| Simplifier | Écrire la forme exacte la plus courte | Extraire le carré parfait |
| Rationaliser | Supprimer la racine au dénominateur | Quantité conjuguée |
| Résoudre | Trouver l’inconnue sous le radical | Élever au carré, vérifier |
A. Calculer une racine
Quand aucune calculatrice n’est autorisée, on approche la valeur par encadrements successifs ou par la méthode de Héron. Tout est expliqué sur la page calculer une racine carrée sans calculatrice.
B. Simplifier une racine
Transformer \(\sqrt{72}\) en \(6\sqrt{2}\), c’est écrire la même valeur sous forme exacte et compacte. Méthode complète : simplifier une racine carrée.
C. Rationaliser un dénominateur
Pour retirer un radical d’un dénominateur, on multiplie par l’expression conjuguée. Par exemple \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
D. Résoudre une équation avec une racine
Face à une équation contenant un radical, on isole la racine puis on élève au carré, sans oublier de vérifier les solutions. C’est l’objet de la page résoudre une équation avec une racine carrée.
V. 🟠 Prolongements (Terminale et prépa)
Une fois les bases acquises, la racine carrée réapparaît dans l’analyse. Voici trois prolongements que tu croiseras plus tard.
A. Dérivée et primitive de √x
La fonction racine carrée, définie sur \([0 ; +\infty[\), est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) mais pas en \(0\) (sa tangente y est verticale). Sa dérivée figure dans le tableau des dérivées usuelles :
\(\left(\sqrt{x}\right)^\prime = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\)Côté primitives, on retrouve \(\sqrt{x}\) dans le tableau des primitives usuelles, avec \(\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx = \displaystyle\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\).
B. Limites faisant intervenir une racine
En Terminale, certaines limites conduisent à des formes indéterminées du type \(+\infty- \infty\) à cause d’une racine. On les lève en multipliant par la quantité conjuguée — la même astuce que pour rationaliser un dénominateur.
C. Racine cubique et racine n-ième
La racine carrée se généralise : la racine cubique \(\sqrt[3]{a}\) est le nombre dont le cube vaut \(a\), et plus généralement \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\). Ces objets, avec les exposants rationnels, sont détaillés dans le cours sur les racines n-ièmes.
VI. Pourquoi √2 est irrationnel
Voici l’un des plus beaux raisonnements des mathématiques, accessible dès la Seconde. \(\sqrt{2}\) ne peut pas s’écrire comme une fraction d’entiers : ce n’est pas un nombre rationnel. La preuve se fait par l’absurde.
Idée de la démonstration : on suppose que \(\sqrt{2} = \displaystyle\frac{p}{q}\) avec une fraction déjà simplifiée. En élevant au carré, \(2q^2 = p^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair. En réinjectant, \(q\) est pair lui aussi — contradiction, car la fraction était supposée irréductible. Conclusion : \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel.
Ce résultat prouve que \(\sqrt{2}\) appartient à \(\mathbb{R}\) mais pas à \(\mathbb{Q}\) (voir les ensembles de nombres). La démonstration complète, sa généralisation à \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{5}\), et sa rédaction rigoureuse sont sur la page racine carrée de 2.
VII. Exercices corrigés
Voici quatre exercices de difficulté croissante pour tester les propriétés de ce cours. Cherche d’abord seul, puis déroule la correction. Pour un entraînement complet, va sur les exercices corrigés 3ème ou les exercices corrigés Seconde.
Exercice 1 — Calcul direct ★
Calcule sans calculatrice : \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{144}\) et \(\left(\sqrt{7}\right)^2\).
Voir la correction de l’exercice 1
\(\sqrt{81} = 9\) car \(9^2 = 81\).
\(\sqrt{144} = 12\) car \(12^2 = 144\).
\(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\) : par définition, le carré d’une racine redonne le radicande.
Les trois résultats sont 9, 12 et 7.
Exercice 2 — Simplifier une racine ★★
Écris \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible.
Voir la correction de l’exercice 2
On cherche le plus grand carré parfait qui divise 72. Or \(72 = 36 \times 2\) et \(36 = 6^2\).
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)Donc \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).
Exercice 3 — Le piège de la somme ★★
Un élève affirme que \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{16} + \sqrt{9}\). A-t-il raison ? Justifie par le calcul.
Voir la correction de l’exercice 3
Calculons chaque membre séparément.
Membre de gauche : \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
Membre de droite : \(\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7\).
Comme \(5 \neq 7\), l’élève a tort. La racine ne se distribue jamais sur une somme.
Exercice 4 — Encadrement et raisonnement ★★★
Sans calculatrice, montre que \(\sqrt{30}\) est compris entre 5 et 6, puis précise s’il est plus proche de 5 ou de 6.
Voir la correction de l’exercice 4
On encadre 30 par deux carrés parfaits : \(25 = 5^2\) et \(36 = 6^2\). Comme \(25 < 30 < 36\) et que la fonction racine est croissante :
\(5 < \sqrt{30} < 6\)Pour trancher, on compare 30 au carré du milieu \(5{,}5^2 = 30{,}25\). Comme \(30 < 30{,}25\), on a \(\sqrt{30} < 5{,}5\).
Donc \(\sqrt{30}\) est plus proche de 5 (sa valeur est \(\approx 5{,}48\)).
VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes qui coûtent le plus de points aux contrôles. Les repérer, c’est déjà les éviter.
1. Distribuer la racine sur une somme. \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). La racine ne passe que sur un produit ou un quotient.
2. Croire qu’une racine peut être négative. \(\sqrt{a} \geq 0\) toujours. On ne confond pas \(\sqrt{9} = 3\) avec les solutions de \(x^2 = 9\) qui sont \(3\) et \(-3\).
3. Écrire \(\sqrt{a^2} = a\) sans réfléchir au signe. Le résultat correct est \(\sqrt{a^2} = |a|\). C’est faux uniquement quand \(a\) est négatif, mais c’est exactement là que les correcteurs regardent.
4. Oublier la condition d’existence. \(\sqrt{-6}\) n’existe pas dans \(\mathbb{R}\). Avant tout calcul, vérifie que le radicande est positif ou nul.
IX. Questions fréquentes
C’est quoi une racine carrée en maths ?
La racine carrée d’un nombre positif \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique nombre positif dont le carré vaut \(a\). Par exemple \(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\). C’est l’opération inverse de l’élévation au carré, restreinte aux résultats positifs.
Que signifie le symbole √ ?
Le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) s’appelle le radical. Il indique qu’on prend la racine carrée du nombre placé dessous (le radicande). Ainsi \(\sqrt{49}\) se lit « racine carrée de 49 » et vaut 7.
Comment écrire le symbole √ au clavier ?
Sur Windows, tape Alt + 251 (pavé numérique). Sur Mac, utilise Option + V. Dans Word, insère le symbole via « Équation ». Sur smartphone, il figure dans le clavier des symboles mathématiques ou dans la calculatrice scientifique.
Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?
Deux méthodes : l’encadrement entre deux carrés parfaits (par exemple \(\sqrt{40}\) est entre 6 et 7 car \(36 < 40 < 49\)), et la méthode de Héron pour affiner. Tout est détaillé sur notre page dédiée au calcul sans calculatrice.
Quelle est la racine carrée de 40 ?
40 n’est pas un carré parfait, donc \(\sqrt{40}\) est irrationnel : \(\sqrt{40} \approx 6{,}32\). On peut le simplifier : \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}\).
Quelle est la racine carrée de 14 ?
14 n’est pas un carré parfait et ne contient aucun facteur carré, donc \(\sqrt{14}\) ne se simplifie pas. Sa valeur approchée est \(\sqrt{14} \approx 3{,}74\), comprise entre 3 et 4.
Quelle est la différence entre le carré et la racine carrée ?
Ce sont deux opérations inverses. Le carré multiplie un nombre par lui-même (\(4^2 = 16\)) ; la racine carrée retrouve le nombre de départ positif (\(\sqrt{16} = 4\)). Attention : \(\sqrt{x^2} = |x|\), la racine « efface » le signe.
Peut-on avoir la racine carrée d’un nombre négatif ?
Non, pas dans les nombres réels : un carré est toujours positif ou nul, donc aucun réel n’a un carré négatif. \(\sqrt{-6}\) n’existe pas dans \(\mathbb{R}\). Ce n’est qu’avec les nombres complexes, en Terminale option maths expertes, qu’on donne un sens à \(\sqrt{-1}\).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la définition, les propriétés et les méthodes liées à la racine carrée. Pour continuer :
- Fonction irrationnelle : domaine, équations et inéquations
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ (et ℂ) : cours complet
- Formes indéterminées : comment les lever (Terminale)
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