Les suites géométriques font partie des notions essentielles en maths, de la Première à la Terminale. Dans ce cours complet, découvrez comment définir une suite géométrique, maîtriser la formule du terme général, étudier les variations et les limites, et appliquer les méthodes clés avec des exemples concrets.
Navigation rapide — les pages du cocon
- S’entraîner : Exercices corrigés sur les suites géométriques (PDF) — 30 exercices, Première & Terminale
- Somme des termes : Somme d’une suite géométrique : formule, démonstration et exemples corrigés
- Cas avancé : Suite arithmético-géométrique : méthode et exercices
- Comparer : Différence entre suite arithmétique et suite géométrique
Définition d’une suite géométrique
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ? Définition simple et intuitive
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par un même nombre constant, appelé raison et noté \(q\).
Définition
La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout entier \(n\) :
\(u_{n+1} = q \times u_n\)
Autrement dit : pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par \(q\).
Par exemple, considérons une suite définie par \(u_0 = 3\) et \(q = 2\). Les premiers termes se calculent facilement :
\(u_0 = 3, \quad u_1 = 3 \times 2 = 6, \quad u_2 = 6 \times 2 = 12, \quad u_3 = 12 \times 2 = 24\)
Exemples concrets en situation réelle
Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes multiplicatifs :
- Intérêts composés : un capital placé à un taux fixe annuel suit une suite géométrique (chaque année, le capital est multiplié par un même coefficient).
- Croissance bactérienne : une population de bactéries qui double chaque heure forme une suite géométrique de raison \(q = 2\).
- Décroissance radioactive : la masse d’un échantillon radioactif diminue d’un même pourcentage à chaque période, ce qui donne une suite géométrique de raison \(q\) avec \(0\) < \(q\) < \(1\).
Formule du terme général d’une suite géométrique
La formule du terme général permet de calculer directement n’importe quel terme \(u_n\) sans avoir à calculer tous les termes précédents.
Formule explicite selon le premier terme
Formule du terme général (forme explicite)
Si le premier terme est \(u_0\) :
\(u_n = u_0 \times q^n\)
Si le premier terme est \(u_1\) :
\(u_n = u_1 \times q^{n-1}\)
Exemple
Une suite géométrique démarre avec \(u_0 = 4\) et \(q = 3\). Le terme général est \(u_n = 4 \times 3^n\).
Ainsi, \(u_5 = 4 \times 3^5 = 4 \times 243 = 972\).
Formule pour passer d’un terme à un autre (forme généralisée)
Si on connaît \(u_p\) (un terme quelconque) et la raison \(q\), on peut calculer directement \(u_n\) :
\(u_n = u_p \times q^{n-p}\)
Cette formule est très utile quand l’énoncé ne donne pas \(u_0\) mais un autre terme.
Comment retenir ces formules
Astuce mémorisation
- Terme général : chaque nouveau terme s’obtient en multipliant le premier terme par la raison \(q\), exactement \(n\) fois (d’où \(q^n\)).
- Formule généralisée : pour « avancer » de \(p\) à \(n\), on multiplie \(n – p\) fois par \(q\) (d’où \(q^{n-p}\)).
Raison d’une suite géométrique : trouver et interpréter \(q\)
Comment trouver la raison \(q\)
Si on connaît deux termes consécutifs \(u_n\) et \(u_{n+1}\) (avec \(u_n \ne 0\)), la raison se calcule par :
Calcul de la raison
\(q = \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\)
Si on connaît deux termes non consécutifs \(u_p\) et \(u_n\) :
\(q^{n-p} = \displaystyle\frac{u_n}{u_p} \quad \Rightarrow \quad q = \left(\displaystyle\frac{u_n}{u_p}\right)^{\frac{1}{n-p}}\)
Interpréter la valeur de \(q\)
| Valeur de \(q\) | Interprétation | Exemple concret |
|---|---|---|
| \(q\) > \(1\) | Croissance (chaque terme est plus grand) | Capital à 5 % : \(q = 1{,}05\) |
| \(0\) < \(q\) < \(1\) | Décroissance (chaque terme est plus petit) | Décroissance radioactive : \(q = 0{,}8\) |
| \(q\) < \(0\) | Alternance de signe (les termes changent de signe) | \(q = -2\) : \(3, -6, 12, -24, \ldots\) |
| \(q = 1\) | Suite constante | Tous les termes sont égaux à \(u_0\) |
Formules essentielles : tableau récapitulatif
| Formule | Expression | Condition |
|---|---|---|
| Relation de récurrence | \(u_{n+1} = q \times u_n\) | — |
| Terme général (depuis \(u_0\)) | \(u_n = u_0 \times q^n\) | — |
| Terme général (depuis \(u_1\)) | \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\) | — |
| Terme général (depuis \(u_p\)) | \(u_n = u_p \times q^{n-p}\) | — |
| Calcul de la raison | \(q = \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) | \(u_n \ne 0\) |
| Somme de \(u_0\) à \(u_n\) | \(S_n = u_0 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) | \(q \ne 1\) |
| Somme de \(u_1\) à \(u_n\) | \(S_n = u_1 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n}}{1 – q}\) | \(q \ne 1\) |
Pour la somme : la formule et les méthodes de calcul sont détaillées sur la page dédiée, avec démonstration, cas \(q = 1\), somme entre deux indices et exemples type Bac :
Somme d’une suite géométrique : formule, démonstration et exemples corrigés
Sens de variation d’une suite géométrique
Le sens de variation d’une suite géométrique dépend à la fois de la raison \(q\) et du signe du premier terme \(u_0\).
| Cas | Sens de variation |
|---|---|
| \(q\) > \(1\) et \(u_0\) > \(0\) | Strictement croissante |
| \(0\) < \(q\) < \(1\) et \(u_0\) > \(0\) | Strictement décroissante |
| \(q\) > \(1\) et \(u_0\) < \(0\) | Strictement croissante (termes négatifs qui s’éloignent de 0) |
| \(0\) < \(q\) < \(1\) et \(u_0\) < \(0\) | Strictement croissante (termes négatifs qui se rapprochent de 0) |
| \(q\) < \(0\) | Non monotone (les termes alternent de signe) |
| \(q = 1\) | Constante |
Exemple
Soit la suite géométrique définie par \(u_0 = 10\) et \(q = 0{,}5\). Puisque \(0\) < \(q\) < \(1\) et \(u_0\) > \(0\), la suite est strictement décroissante :
\(u_0 = 10, \quad u_1 = 5, \quad u_2 = 2{,}5, \quad u_3 = 1{,}25, \ldots\)
Limite d’une suite géométrique selon la valeur de \(q\)
La limite d’une suite géométrique \(u_n = u_0 \times q^n\) dépend entièrement de la valeur de \(q\). C’est un résultat fondamental à connaître.
Limites de \(q^n\) selon \(q\)
- Si \(|q|\) < \(1\) : \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\), donc \(u_n \to 0\)
- Si \(q = 1\) : \(q^n = 1\) pour tout \(n\), donc \(u_n = u_0\) (suite constante)
- Si \(q\) > \(1\) : \(\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty\), donc \(u_n \to \pm\infty\) (selon le signe de \(u_0\))
- Si \(q = -1\) : \(q^n\) alterne entre \(1\) et \(-1\), la suite n’a pas de limite
- Si \(q\) < \(-1\) : \(|q^n| \to +\infty\) avec alternance de signe, pas de limite
| Valeur de \(q\) | Comportement de \(q^n\) | Limite de \(u_n\) |
|---|---|---|
| \(-1\) < \(q\) < \(0\) | Tend vers 0 en alternant | \(0\) |
| \(0\) < \(q\) < \(1\) | Tend vers 0 | \(0\) |
| \(q = 1\) | Reste égal à 1 | \(u_0\) |
| \(q\) > \(1\) | Tend vers \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(q = -1\) | Alterne entre 1 et \(-1\) | Pas de limite |
| \(q\) < \(-1\) | Diverge en alternant | Pas de limite |
Exemples de calculs de limites
Exemple 1 — Cas \(|q|\) < \(1\) (convergence vers 0)
\(u_n = 4 \times (0{,}3)^n\). Comme \(|q| = 0{,}3\) < \(1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).
Exemple 2 — Cas \(q\) > \(1\) (divergence)
\(u_n = 2 \times (1{,}5)^n\). Comme \(q = 1{,}5\) > \(1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
Exemple 3 — Cas \(q = 1\) (suite constante)
\(u_n = 7 \times 1^n = 7\) pour tout \(n\). La suite est constante, donc \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 7\).
Comment montrer qu’une suite est géométrique
C’est une question très fréquente en contrôle et au Bac. Il existe trois méthodes principales, selon ce que l’énoncé vous donne.
Méthode 1 : calculer le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrer qu’il est constant
C’est la méthode la plus directe et la plus utilisée.
Critère
Si, pour tout \(n\), le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est une constante \(q\) (indépendante de \(n\)), alors \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\).
Exemple
Soit \(u_n = 3 \times 5^n\). Calculons le quotient :
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5\)
Le quotient est constant, égal à 5. Donc \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 5\).
Méthode 2 : montrer que \(u_{n+1} = q \times u_n\) avec \(q\) fixé
Parfois, l’énoncé vous donne une relation de récurrence et vous demande de vérifier qu’elle est bien de la forme \(u_{n+1} = q \times u_n\). Il suffit alors de montrer que le coefficient devant \(u_n\) est constant et qu’il n’y a pas de terme additionnel.
Attention : si la relation de récurrence est de la forme \(u_{n+1} = q \times u_n + r\) avec \(r \ne 0\), ce n’est pas une suite géométrique — c’est une suite arithmético-géométrique. La méthode de résolution est différente (voir suite arithmético-géométrique).
Méthode 3 : identifier la forme explicite \(u_n = A \times q^n\)
Si vous pouvez écrire \(u_n\) sous la forme \(u_n = A \times q^n\) où \(A\) et \(q\) sont des constantes, alors la suite est géométrique de premier terme \(u_0 = A\) et de raison \(q\).
Exemple
On considère \(u_n = \displaystyle\frac{2^{n+3}}{4}\). Réécrivons :
\(u_n = \displaystyle\frac{2^3 \times 2^n}{4} = \displaystyle\frac{8}{4} \times 2^n = 2 \times 2^n\)
C’est bien de la forme \(A \times q^n\) avec \(A = 2\) et \(q = 2\). Donc \((u_n)\) est géométrique.
Résumé des 3 méthodes
- Quotient : calculer \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et vérifier que c’est constant
- Récurrence : vérifier que \(u_{n+1} = q \times u_n\) sans terme additionnel
- Forme explicite : écrire \(u_n = A \times q^n\)
Les trois méthodes sont équivalentes. Choisissez celle qui correspond à la forme donnée par l’énoncé.
Différence entre suite arithmétique et suite géométrique
C’est une confusion fréquente. Voici un tableau comparatif clair pour ne plus hésiter.
| Critère | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| Opération | On ajoute une constante \(r\) | On multiplie par une constante \(q\) |
| Récurrence | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = q \times u_n\) |
| Terme général | \(u_n = u_0 + n \times r\) | \(u_n = u_0 \times q^n\) |
| Graphiquement | Points alignés sur une droite | Croissance ou décroissance exponentielle |
| Exemple | \(2, 5, 8, 11, 14, \ldots\) (\(r = 3\)) | \(2, 6, 18, 54, 162, \ldots\) (\(q = 3\)) |
| Reconnaître | La différence \(u_{n+1} – u_n\) est constante | Le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant |
Moyen mnémotechnique : Arithmétique = Addition. Géométrique = « Grand facteur » (multiplication). Quand les deux sont combinées (\(u_{n+1} = q \times u_n + r\)), on parle de suite arithmético-géométrique.
Pour un cours complet sur les suites arithmétiques : Suites arithmétiques : cours et méthodes
Suite arithmético-géométrique : cas particulier important
Une suite arithmético-géométrique est une suite définie par une relation de la forme \(u_{n+1} = q \times u_n + r\), qui combine multiplication (partie géométrique) et addition (partie arithmétique).
Définition
La suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si \(u_{n+1} = q \times u_n + r\) avec \(q \ne 1\) et \(r \ne 0\).
Exemple : \(u_{n+1} = 2u_n + 3\) avec \(u_0 = 1\).
La méthode de résolution (point fixe / translation) et les exercices corrigés sont détaillés sur la page dédiée :
Erreurs fréquentes à éviter
Les pièges classiques en contrôle
- Confondre suite géométrique et suite arithmétique : la raison d’une suite géométrique se multiplie, celle d’une suite arithmétique s’ajoute. Si vous ajoutez \(q\) au lieu de multiplier, le résultat est complètement faux.
- Erreur sur le nombre de termes dans la somme : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n + 1\) termes (pas \(n\)). Vérifiez toujours en écrivant la somme en toutes lettres avant d’appliquer la formule.
- Oublier que \(u_n \ne 0\) pour calculer \(q\) : le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) n’est défini que si \(u_n \ne 0\). Si \(u_0 = 0\), la suite est identiquement nulle.
- Appliquer la formule de somme quand \(q = 1\) : dans ce cas, la formule avec \(\displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) n’est pas définie (division par 0). Il faut écrire directement \(S_n = (n+1) \times u_0\).
Fiches de révision gratuites
Pour réviser efficacement, téléchargez nos fiches méthode gratuites qui récapitulent l’essentiel des suites géométriques.
Fiches méthode — Suites géométriques (PDF)
Deux fiches : Première (définition, formules, exemples) et Terminale (somme, variations, limites, exercice type Bac).
Format A4 imprimable. L’essentiel du cours résumé.
Vidéo corrigé type Terminale
Pour aller plus loin
Une fois la définition et les formules de base maîtrisées, voici les pages indispensables pour progresser :
- Somme d’une suite géométrique : formule, démonstration, cas \(q = 1\), somme entre deux indices et exemples corrigés type Bac.
Voir le cours sur la somme d’une suite géométrique - Exercices corrigés : 30 exercices progressifs avec corrigés détaillés + PDF imprimable.
Accéder aux exercices corrigés sur les suites géométriques - Suites arithmético-géométriques : méthode de transformation (translation / point fixe) + exercices types.
Voir le cours sur les suites arithmético-géométriques - Suites arithmétiques : cours complet pour comparer les deux types de suites.
Voir le cours sur les suites arithmétiques
FAQ — Suite géométrique
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite est géométrique si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante \(q\) (la raison). La relation est \(u_{n+1} = q \times u_n\).
Comment reconnaître une suite géométrique ?
Calculez le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) pour plusieurs valeurs de \(n\). Si ce quotient est toujours le même (constant, indépendant de \(n\)), la suite est géométrique et ce quotient est la raison \(q\).
Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?
Si le premier terme est \(u_0\) : \(u_n = u_0 \times q^n\). Si le premier terme est \(u_1\) : \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\).
Quelle est la différence entre suite arithmétique et suite géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante \(r\) à chaque étape. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante \(q\). Moyen mnémotechnique : Arithmétique = Addition, Géométrique = multiplication (Grand facteur).
Comment calculer la raison d'une suite géométrique ?
Si vous connaissez deux termes consécutifs \(u_n\) et \(u_{n+1}\) (avec \(u_n \ne 0\)), la raison est \(q = \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
Quelle est la limite d'une suite géométrique ?
Si \(|q|\) < \(1\), la suite converge vers 0. Si \(q = 1\), la suite est constante. Si \(q\) > \(1\), la suite diverge vers \(+\infty\) (ou \(-\infty\)). Si \(q \leq -1\), la suite n’a pas de limite.
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Trois méthodes : (1) calculer \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrer que c’est constant, (2) vérifier que la récurrence est de la forme \(u_{n+1} = q \times u_n\), (3) écrire \(u_n\) sous la forme \(A \times q^n\).
Quelle est la formule de la somme d'une suite géométrique ?
Si \(q \ne 1\) : \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Le cours complet sur la somme (démonstration, exemples, pièges) est disponible ici : Somme d’une suite géométrique.
Si vous souhaitez un accompagnement structuré en mathématiques — méthode, rigueur et automatisation des réflexes —, c’est exactement le type de chapitre où un bon coaching fait gagner des points rapidement. Découvrez nos cours particuliers pour la Terminale.
