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Face à une valeur absolue, ou à un entier dont on ignore s’il est pair ou impair, une démonstration directe se bloque : la propriété ne se comporte pas de la même façon selon la situation. La disjonction de cas résout ce problème en découpant le raisonnement en plusieurs scénarios qu’on traite séparément. C’est l’un des sept grands types de raisonnement, incontournable en Terminale (maths expertes) et au chapitre 1 des prépas scientifiques. Dans cet article, tu vas apprendre à repérer quand l’utiliser, à la rédiger proprement, et à éviter le piège classique de l’oubli d’un cas.
I. Qu’est-ce que le raisonnement par disjonction de cas ?
La disjonction de cas est une technique de démonstration qui consiste à découper une situation en plusieurs cas possibles, à prouver la propriété dans chacun d’eux, puis à conclure. Comme les cas recouvrent toutes les possibilités, la propriété est démontrée dans son intégralité.
Définition — Disjonction de cas
Pour démontrer qu’une propriété est vraie, on partage l’ensemble des situations possibles en plusieurs cas exhaustifs (qui couvrent toutes les possibilités). On démontre la propriété dans chaque cas. On conclut alors qu’elle est vraie dans tous les cas.
Le principe logique sous-jacent : si l’on sait que « \(A\) ou \(B\) » est vrai, et que \(A\) entraîne la conclusion et que \(B\) l’entraîne aussi, alors la conclusion est vraie.
L’idée intuitive est simple : quand une même expression change de comportement selon les circonstances (le signe d’un nombre, la parité d’un entier, la position d’un point), on ne peut pas la traiter d’un seul bloc. On la découpe. C’est exactement le rôle de la valeur absolue : \(\vert x \vert\) vaut \(x\) quand \(x \geq 0\), et \(-x\) quand \(x\) < \(0\). Deux cas, deux formules.
II. Quand utiliser la disjonction de cas ?
La difficulté n’est pas de manier la méthode, mais de savoir la choisir. Un bon réflexe : repérer dans l’énoncé un mot ou une notation qui « déclenche » plusieurs cas. Voici le tableau de décision.
| Indice dans l’énoncé | Découpage naturel |
|---|---|
| Une valeur absolue \(\vert x \vert\) | selon le signe : \(x \geq 0\) / \(x\) < \(0\) |
| « pour tout entier \(n\) » avec divisibilité en jeu | selon la parité : \(n\) pair / \(n\) impair |
| Un entier modulo \(k\) | selon le reste : \(0, 1, \dots, k-1\) |
| Un point sur une figure, un paramètre variable | selon sa position ou son intervalle |
Mais la disjonction n’est qu’un raisonnement parmi d’autres. Le tableau suivant la positionne face aux techniques voisines du même chapitre — c’est souvent là que l’élève hésite.
| Raisonnement | Principe | Quand le choisir |
|---|---|---|
| Direct | on part des hypothèses vers la conclusion | le cas se traite d’un seul bloc |
| Disjonction de cas | on découpe en situations exhaustives | une variable change de comportement (signe, parité, reste) |
| Par l’absurde | on suppose le contraire | montrer une impossibilité ou une unicité |
| Par contraposée | on prouve « non \(Q\) » ⟹ « non \(P\) » | l’implication est difficile dans le sens direct |
| Par contre-exemple | on exhibe un cas qui contredit | réfuter une propriété universelle |
Pour départager la disjonction, le raisonnement par l’absurde et le raisonnement par contraposée, la question à se poser est simple : « Est-ce que ma variable se comporte différemment selon les situations ? » Si oui, disjonction. Si l’énoncé demande de réfuter une propriété, on passe plutôt au raisonnement par contre-exemple.
La fiche méthode « Disjonction de cas » en recto-verso
Les 4 étapes, les indices déclencheurs et les erreurs à éviter, condensés sur une fiche prête à imprimer.
📄 Télécharger la fiche méthode PDFGratuit — à glisser dans ton classeur avant les DS.
III. La méthode en 4 étapes
Une fois la disjonction choisie, la rédaction suit toujours le même squelette.
- Repérer la variable ou la situation qui impose plusieurs comportements (le signe de \(x\), la parité de \(n\)…).
- Partager en cas exhaustifs : ensemble, les cas doivent couvrir toutes les possibilités, sans en oublier aucune.
- Démontrer la propriété dans chaque cas, séparément, avec un raisonnement direct dans chacun.
- Conclure : « Dans tous les cas, la propriété est vraie », donc elle est vraie en général.
Le réflexe qui sauve : avant de rédiger, vérifie que la réunion de tes cas couvre bien tout l’ensemble étudié. Pour un réel, « \(x \geq 0\) » et « \(x\) < \(0\) » couvrent \(\mathbb{R}\). Pour un entier, « pair » et « impair » couvrent \(\mathbb{Z}\). Si un morceau manque, la démonstration est fausse.
IV. Exemples résolus par niveau
Voici trois exemples de difficulté croissante, chacun repéré par un badge de niveau.
🟢 Terminale — valeur absolue
Exemple : Montrer que pour tout réel \(x\), on a \(\vert x \vert \geq x\).
Repérage : la valeur absolue impose de distinguer selon le signe de \(x\).
Cas 1 : \(x \geq 0\). Alors \(\vert x \vert = x\), donc \(\vert x \vert = x \geq x\). L’inégalité est vraie.
Cas 2 : \(x\) < \(0\). Alors \(\vert x \vert = -x\). Comme \(x\) < \(0\), on a \(-x\) > \(0\) > \(x\), donc \(\vert x \vert\) > \(x\).
Conclusion : dans tous les cas, \(\vert x \vert \geq x\). ✓
🟡 Maths expertes — parité
Exemple : Montrer que pour tout entier \(n\), le nombre \(n^2 + n\) est pair.
Repérage : une divisibilité par 2 → disjonction selon la parité de \(n\).
Cas 1 : \(n\) pair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\). Alors \(n^2 + n = n(n+1) = 2k(2k+1)\), qui est un multiple de 2.
Cas 2 : \(n\) impair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k+1\). Alors \(n+1 = 2k+2 = 2(k+1)\), donc \(n(n+1) = n \times 2(k+1)\) est un multiple de 2.
Conclusion : dans les deux cas, \(n^2 + n\) est pair. ✓
🔴 Prépa — congruences
Exemple : Montrer que le carré d’un entier est congru à \(0\) ou à \(1\) modulo \(4\).
Repérage : disjonction selon la parité (une disjonction plus fine modulo 4 est aussi possible).
Cas 1 : \(n = 2k\). Alors \(n^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}\).
Cas 2 : \(n = 2k+1\). Alors \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 \equiv 1 \pmod{4}\).
Conclusion : pour tout entier \(n\), \(n^2 \equiv 0\) ou \(n^2 \equiv 1 \pmod{4}\). Un carré n’est donc jamais congru à \(2\) ou \(3\) modulo \(4\). ✓
Ce dernier résultat est un outil redoutable en arithmétique : il permet de prouver instantanément que certaines équations n’ont pas de solution entière.
V. Rédiger une disjonction de cas sur ta copie
C’est le point que la plupart des ressources en ligne oublient. Une disjonction bien rédigée annonce clairement ses cas et justifie leur exhaustivité. Le correcteur veut trois choses : le nombre de cas, le traitement de chacun, et la conclusion globale.
Formulations types à connaître :
- « On distingue deux cas selon le signe de \(x\). » (annonce + justification du découpage)
- « Premier cas : … / Second cas : … » (traitement séparé)
- « Dans tous les cas, la propriété est vérifiée. » (conclusion)
Ce qui rapporte des points : la phrase qui justifie que les cas couvrent bien tout l’ensemble. Écrire « tout entier est soit pair, soit impair » n’est pas superflu — c’est ce qui fonde l’exhaustivité. Un correcteur de prépa sanctionne systématiquement une disjonction dont les cas ne recouvrent pas visiblement l’ensemble étudié.
VI. Les erreurs fréquentes
Trois erreurs reviennent en boucle dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
❌ Erreur 1 — Oublier un cas. Un élève écrit « Cas 1 : \(x\) > \(0\) ; Cas 2 : \(x\) < \(0\) » et oublie \(x = 0\).
Diagnostic : la réunion des cas ne couvre pas \(\mathbb{R}\) — la valeur \(0\) est perdue.
✅ Correction : utiliser \(x \geq 0\) et \(x\) < \(0\) (ou intégrer \(0\) à l’un des cas). Les cas doivent être exhaustifs.
❌ Erreur 2 — Conclure après un seul cas. L’élève prouve la propriété pour \(n\) pair et écrit « donc c’est vrai ».
Diagnostic : le cas \(n\) impair n’a pas été traité. La démonstration est incomplète.
✅ Correction : on ne conclut qu’après avoir traité tous les cas annoncés.
❌ Erreur 3 — Confondre disjonction et exemples. Tester la propriété sur \(n = 2\) puis \(n = 3\) et croire avoir « fait les deux cas ».
Diagnostic : vérifier sur deux nombres ne démontre rien — c’est une conjecture, pas une preuve.
✅ Correction : un cas est une catégorie (\(n\) pair), pas un nombre. On raisonne sur \(n = 2k\), pas sur \(n = 2\).
VII. Pour aller plus loin — l’exhaustivité en prépa
🔴 En classe préparatoire, la disjonction de cas devient un outil quotidien, souvent combiné avec d’autres raisonnements. Deux exigences supplémentaires apparaissent.
L’exhaustivité doit être justifiée formellement. On ne se contente plus d’énumérer des cas : on prouve que leur réunion recouvre l’ensemble. Par exemple, la division euclidienne par \(k\) garantit que tout entier s’écrit \(n = qk + r\) avec \(r \in \{0, 1, \dots, k-1\}\) — cela justifie une disjonction en \(k\) cas selon le reste, avec les congruences modulo k.
La disjonction se marie avec l’analyse-synthèse. Pour prouver l’existence et l’unicité d’un objet, on découpe souvent selon des configurations, puis on synthétise. La disjonction et le raisonnement par analyse-synthèse sont deux méthodes phares du chapitre 1 de MPSI, PCSI, MP2I et PTSI. Elle intervient aussi en complément du raisonnement par récurrence lorsque l’hérédité dépend d’un cas.
VIII. Exercices corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant de dérouler la correction.
Exercice 1 (★). Montrer que pour tout réel \(x\), \(\vert x \vert + x \geq 0\).
Voir la correction de l’exercice 1
Cas 1 : \(x \geq 0\). Alors \(\vert x \vert = x\), donc \(\vert x \vert + x = 2x \geq 0\).
Cas 2 : \(x\) < \(0\). Alors \(\vert x \vert = -x\), donc \(\vert x \vert + x = -x + x = 0 \geq 0\).
Dans tous les cas, \(\vert x \vert + x \geq 0\). ✓
Exercice 2 (★★). Montrer que pour tout entier \(n\), le produit \(n(n+1)(n+2)\) est divisible par \(2\).
Voir la correction de l’exercice 2
On distingue deux cas selon la parité de \(n\).
Cas 1 : \(n\) pair. Alors \(n\) est un multiple de \(2\), donc le produit \(n(n+1)(n+2)\) l’est aussi.
Cas 2 : \(n\) impair. Alors \(n+1\) est pair, donc multiple de \(2\), et le produit est encore divisible par \(2\).
Dans les deux cas, \(n(n+1)(n+2)\) est pair. ✓
Exercice 3 (★★★). Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\vert x - 1 \vert = 2x + 3\).
Voir la correction de l’exercice 3
On distingue deux cas selon le signe de \(x - 1\).
Cas 1 : \(x \geq 1\). Alors \(\vert x-1 \vert = x-1\), et l’équation devient \(x - 1 = 2x + 3\), soit \(x = -4\). Or \(-4\) < \(1\) : cette valeur ne respecte pas la condition du cas, on la rejette.
Cas 2 : \(x\) < \(1\). Alors \(\vert x-1 \vert = -(x-1) = 1-x\), et l’équation devient \(1 - x = 2x + 3\), soit \(-2 = 3x\), donc \(x = -\displaystyle\frac{2}{3}\). Comme \(-\displaystyle\frac{2}{3}\) < \(1\), cette valeur convient.
Conclusion : l’unique solution est \(x = -\displaystyle\frac{2}{3}\). ✓
Remarque : vérifier la compatibilité de chaque solution avec la condition de son cas est essentiel — c’est là que l’exercice 3 piège.
IX. Questions fréquentes
C'est quoi une disjonction de cas en maths ?
C’est une méthode de démonstration qui consiste à découper une situation en plusieurs cas couvrant toutes les possibilités, à prouver la propriété dans chaque cas, puis à conclure qu’elle est vraie partout. On l’utilise typiquement avec les valeurs absolues (selon le signe) ou les entiers (selon la parité).
Quand utiliser une disjonction de cas plutôt qu'un raisonnement par l'absurde ?
On choisit la disjonction quand une variable se comporte différemment selon les situations (signe, parité, reste). On choisit le raisonnement par l’absurde quand on veut montrer une impossibilité ou une unicité, en supposant le contraire de ce qu’on veut prouver. Les deux répondent à des intentions différentes.
Comment être sûr de n'oublier aucun cas ?
Vérifie que la réunion de tes cas recouvre tout l’ensemble étudié. Pour un réel : « positif ou nul » et « strictement négatif ». Pour un entier : « pair » et « impair », ou les restes possibles modulo k. Si un morceau manque, la démonstration est incomplète.
Peut-on faire une disjonction avec plus de deux cas ?
Oui, sans limite. Une disjonction modulo 3 comporte trois cas (restes 0, 1, 2), une disjonction modulo 4 en comporte quatre. L’important reste que les cas soient exhaustifs.
La disjonction de cas est-elle au programme de Terminale ?
Oui, elle figure notamment dans l’option maths expertes (arithmétique, congruences) et apparaît dès la Seconde avec les valeurs absolues. Elle est ensuite systématisée au chapitre 1 des prépas scientifiques.
Selon ton niveau
| 🟢 Terminale | 🟡 Maths expertes | 🔴 Prépa |
|---|---|---|
| Valeur absolue, parité : découper et traiter chaque cas. | Congruences : disjonction selon le reste modulo k. | Justifier l’exhaustivité des cas, combiner avec récurrence et analyse-synthèse. |
Pour approfondir un chapitre entier avec un professeur, découvre nos cours de maths en Terminale ou de prépa (Maths Sup).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la disjonction de cas. Pour consolider ton raisonnement mathématique :
- Récurrence : 15 Exercices Corrigés de Terminale (avec PDF)
- Arithmétique : Définition, Théorèmes et Cours, du Collège à la Prépa
- Nombre premier : définition, propriétés et liste des nombres premiers
- Le Théorème de Gauss en Arithmétique : Cours, Démonstration et Exercices Corrigés
