Rédigé et vérifié par un professeur de mathématiques diplômé de l’École Polytechnique. Excellence Maths accompagne des élèves du collège à la prépa depuis 2021. Découvrir le professeur
En maths, on parle très souvent d’effectif : le nombre d’élèves qui ont eu 12, le nombre de familles avec deux enfants… Mais dès qu’une question demande « combien y en a-t-il jusqu’à telle valeur ? », il te faut un nouvel outil : l’effectif cumulé croissant. C’est une notion simple, mais qui bloque beaucoup d’élèves, surtout au moment de trouver une médiane. On t’explique tout, étape par étape.
C’est quoi un effectif cumulé croissant ?
Avant de cumuler quoi que ce soit, il faut trois mots de vocabulaire. Quand on étudie une série (les notes d’une classe, le nombre de frères et sœurs, les tailles…), chaque valeur est associée à un effectif : le nombre de fois où elle apparaît. Et la fréquence, c’est la part que représente cet effectif sur le total.
Définition — Effectif cumulé croissant
L’effectif cumulé croissant d’une valeur, c’est le nombre total de données inférieures ou égales à cette valeur. On l’obtient en additionnant, de proche en proche, l’effectif de chaque valeur avec ceux des valeurs situées avant elle. Il répond à la question : « combien y en a-t-il jusqu’ici ? »
On l’écrit souvent en abrégé ECC. Prenons une classe de 25 élèves à qui on demande leur nombre de frères et sœurs. Voici les effectifs :
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif (nombre d’élèves) | 6 | 9 | 6 | 3 | 1 |
L’effectif cumulé croissant de la valeur 2, c’est le nombre d’élèves qui ont au plus 2 frères et sœurs, c’est-à-dire 0, 1 ou 2 : on additionne 6 + 9 + 6 = 21 élèves. Le mot « croissant » signale juste qu’on avance des petites valeurs vers les grandes, en ajoutant à chaque étape.
Petit rappel pour ne pas confondre : « effectif » désigne ici un nombre en maths. Rien à voir avec l’effectif d’une entreprise ou d’un club de foot. Dans nos exemples, ce sont toujours des données mesurées ou comptées.
Effectif, fréquence et effectif cumulé : ne pas confondre
Ces trois mots se ressemblent, et c’est exactement là que naissent les erreurs. Voici comment les distinguer d’un coup d’œil.
| Notion | Ce que ça mesure | Comment on l’obtient | Exemple (valeur 2) |
|---|---|---|---|
| Effectif | Combien de fois cette valeur apparaît | On compte | 6 élèves |
| Fréquence | La part de cette valeur sur le total | Effectif ÷ total | 6 ÷ 25 = 0,24 soit 24 % |
| Effectif cumulé croissant | Combien de données jusqu’à cette valeur | On additionne les effectifs | 6 + 9 + 6 = 21 élèves |
La fréquence se calcule avec une division. Pour la valeur 1, on a \(\displaystyle\frac{9}{25} = 0{,}36\), donc 36 % des élèves ont exactement un frère ou une sœur. Le total de toutes les fréquences fait toujours 1 (soit 100 %) : c’est un bon moyen de vérifier tes calculs. La fréquence sert notamment à convertir une part en angle dans un diagramme circulaire.
L’effectif cumulé croissant, lui, n’utilise que des additions. Retiens la différence essentielle : la fréquence répond à « quelle proportion ? », alors que l’effectif cumulé répond à « combien jusqu’à maintenant ? ».
Toute la méthode des effectifs et fréquences en 1 page
Définitions, tableau modèle et méthode de calcul des cumuls, prêts à réviser avant le contrôle ou le brevet.
📄 Télécharger la fiche gratuiteGagne du temps : l’essentiel, sans blabla, à garder sous les yeux.
Comment calculer les effectifs cumulés croissants
Maintenant que le vocabulaire est clair, voici la méthode complète. Elle tient en quatre étapes, toujours les mêmes.
Méthode en 4 étapes
- Range les valeurs dans l’ordre croissant (de la plus petite à la plus grande).
- Reporte l’effectif de la première valeur : c’est le premier effectif cumulé.
- Pour chaque valeur suivante, ajoute son effectif au cumul précédent.
- Vérifie : le dernier effectif cumulé doit être égal à l’effectif total.
Reprenons notre classe. On construit une nouvelle ligne « effectif cumulé croissant » en additionnant au fur et à mesure :
Exemple : effectifs cumulés croissants de la série des frères et sœurs.
- Valeur 0 : cumul = 6
- Valeur 1 : cumul = 6 + 9 = 15
- Valeur 2 : cumul = 15 + 6 = 21
- Valeur 3 : cumul = 21 + 3 = 24
- Valeur 4 : cumul = 24 + 1 = 25
Vérification : le dernier cumul vaut 25, qui est bien le nombre total d’élèves. ✓
On regroupe le tout dans un tableau complet, celui que tu devras savoir remplir en contrôle :
| Valeur | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 9 | 6 | 3 | 1 | 25 |
| Fréquence (%) | 24 | 36 | 24 | 12 | 4 | 100 |
| Effectif cumulé croissant | 6 | 15 | 21 | 24 | 25 | — |
Comment lire cette dernière ligne ? Le 21 signifie « 21 élèves ont au plus 2 frères et sœurs ». Le 24 signifie « 24 élèves ont au plus 3 frères et sœurs ». C’est exactement ce genre de phrase qu’on attend de toi dans une réponse rédigée.
On peut aussi représenter ces cumuls par un graphique appelé polygone des effectifs cumulés croissants : on place un point pour chaque valeur, puis on relie les points par des segments. La courbe monte toujours (elle ne redescend jamais), ce qui est logique puisqu’on ne fait qu’ajouter.
Effectif cumulé décroissant et à quoi servent les cumuls
Puisque tu peux cumuler du plus petit vers le plus grand, tu peux aussi le faire dans l’autre sens : c’est l’effectif cumulé décroissant. Il compte le nombre de données supérieures ou égales à chaque valeur. On part cette fois du total et on enlève au fur et à mesure.
Exemple : effectifs cumulés décroissants de la même série.
- Valeur 0 : 25 (tous les élèves ont au moins 0 frère ou sœur)
- Valeur 1 : 25 − 6 = 19
- Valeur 2 : 19 − 9 = 10
- Valeur 3 : 10 − 6 = 4
- Valeur 4 : 4 − 3 = 1
Le décroissant démarre au total (25) et se termine sur l’effectif de la dernière valeur (1).
Mais à quoi sert vraiment tout ça ? Les effectifs cumulés croissants sont l’outil idéal pour trouver une médiane dans une grande série. Plutôt que de tout recopier, tu repères directement la valeur pour laquelle le cumul dépasse la moitié de l’effectif. C’est la raison pour laquelle on t’apprend cette notion : elle est le passage obligé pour déterminer la médiane à partir des effectifs cumulés croissants. Les cumuls servent aussi à calculer des quartiles en Seconde.
Les effectifs cumulés selon ta classe
Cette notion revient tout au long du collège, mais elle grandit avec toi. Voici comment elle évolue d’une classe à l’autre.
🟢 De la 6ème à la 4ème. Tu apprends d’abord à lire et remplir un tableau d’effectifs, puis à calculer des fréquences en pourcentage. L’effectif cumulé croissant apparaît comme une simple ligne d’additions : « combien d’élèves ont au plus telle note ». On reste sur de petites séries de valeurs isolées.
🟡 En 3ème (et pour le brevet). Les effectifs cumulés deviennent l’outil pour déterminer une médiane sans lister toutes les données. On te demande de justifier ta réponse : montrer le tableau des cumuls, repérer le rang et conclure par une phrase avec l’unité. C’est un grand classique des sujets de brevet, souvent relié au reste du programme de 3ème.
🔵 Pour aller plus loin — la fréquence est-elle une probabilité ?
Quand tu calcules une fréquence, tu décris ce que tu as observé : 24 % des élèves de cette classe ont deux frères et sœurs. Si tu refais l’expérience sur des milliers d’élèves, ces fréquences se stabilisent autour d’un nombre : c’est ce que dit la loi des grands nombres. La fréquence observée s’approche alors d’une probabilité. Autrement dit, une fréquence est une probabilité « mesurée », pas prédite.
Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Compléter un tableau
Voici les notes obtenues par 20 élèves sur un contrôle.
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 7 | 4 | 2 |
Calcule les effectifs cumulés croissants.
Voir la correction
On additionne de proche en proche :
- Note 8 : cumul = 2
- Note 10 : cumul = 2 + 5 = 7
- Note 12 : cumul = 7 + 7 = 14
- Note 14 : cumul = 14 + 4 = 18
- Note 16 : cumul = 18 + 2 = 20
Vérification : le dernier cumul vaut 20, égal au nombre total d’élèves. ✓ On peut lire par exemple que 14 élèves ont obtenu au plus 12.
Exercice 2 — Lire un effectif cumulé
Dans une bibliothèque, on a noté le nombre de livres empruntés par 40 élèves. On sait que l’effectif cumulé croissant de la valeur « 3 livres » est 31. Que signifie ce nombre ?
Voir la correction
Le nombre 31 est un effectif cumulé croissant : il compte toutes les données inférieures ou égales à 3. Donc 31 élèves ont emprunté au plus 3 livres (c’est-à-dire 0, 1, 2 ou 3 livres). Par différence, 40 − 31 = 9 élèves ont emprunté 4 livres ou plus.
Exercice 3 — Trouver une médiane (type brevet)
On reprend les notes de l’exercice 1 (20 élèves). Détermine la note médiane en utilisant les effectifs cumulés croissants, et rédige ta réponse comme au brevet.
Voir la correction
Il y a 20 valeurs, un nombre pair. La médiane se situe entre la 10ᵉ et la 11ᵉ note rangées dans l’ordre croissant.
On lit les effectifs cumulés croissants : 2 ; 7 ; 14 ; 18 ; 20. La 10ᵉ et la 11ᵉ notes se trouvent dans le paquet où le cumul passe de 7 à 14, c’est-à-dire à la note 12.
Phrase de conclusion : « La médiane de cette série est 12. Cela signifie qu’au moins la moitié des élèves ont une note inférieure ou égale à 12. »
Pour aller plus loin sur la rédaction, consulte la fiche dédiée à la médiane.
Exercice 4 — Raisonnement
Camille affirme : « Dans mon tableau, l’effectif cumulé croissant de la dernière valeur est 28, mais le total des effectifs est 30. » A-t-elle forcément fait une erreur ?
Voir la correction
Oui, il y a forcément une erreur. Le dernier effectif cumulé croissant compte toutes les données de la série : il doit donc être égal à l’effectif total. Ici, on devrait obtenir 30 et non 28. Camille a sans doute oublié d’ajouter un effectif quelque part dans ses additions. C’est justement à ça que sert la vérification de l’étape 4.
Erreurs fréquentes
Erreur n°1 : additionner les valeurs au lieu des effectifs.
❌ Copie fautive : pour la valeur 2, l’élève écrit « cumul = 0 + 1 + 2 = 3 ».
➡️ Diagnostic : il a additionné les valeurs (0, 1, 2) au lieu de leurs effectifs.
✅ Correction : on cumule les effectifs, c’est-à-dire 6 + 9 + 6 = 21.
Erreur n°2 : oublier de vérifier le dernier cumul.
Le tout dernier effectif cumulé croissant doit toujours être égal à l’effectif total. Si ce n’est pas le cas, une addition est fausse. Prends 5 secondes pour ce contrôle : il t’évite de perdre des points en cascade.
Erreur n°3 : confondre effectif cumulé et fréquence.
L’effectif cumulé est un nombre de données (des élèves, des objets…). La fréquence est une proportion, souvent en pourcentage. Ne mélange pas les deux lignes de ton tableau.
Questions fréquentes
Comment calculer l'effectif cumulé croissant ?
Range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant. Le premier effectif cumulé est égal à l’effectif de la plus petite valeur. Ensuite, pour chaque valeur suivante, tu ajoutes son effectif au cumul précédent. Le dernier cumul doit être égal à l’effectif total : c’est ta vérification.
C'est quoi l'effectif cumulé décroissant ?
C’est le nombre de données supérieures ou égales à une valeur donnée. On le calcule en partant de l’effectif total, puis en soustrayant les effectifs au fur et à mesure. Là où le croissant monte, le décroissant descend.
Quelle est la différence entre effectif et fréquence ?
L’effectif est un nombre : combien de fois une valeur apparaît. La fréquence est une proportion : la part de cet effectif sur le total, obtenue par une division et souvent exprimée en pourcentage. Par exemple, un effectif de 6 sur 25 donne une fréquence de 6 ÷ 25 = 0,24, soit 24 %.
À quoi sert l'effectif cumulé croissant ?
Il sert surtout à déterminer rapidement une médiane dans une grande série, sans avoir à recopier toutes les données. On repère la valeur pour laquelle le cumul dépasse la moitié de l’effectif. Il permet aussi de répondre à des questions du type « combien d’élèves ont au plus telle note ? ».
Comment trouver la médiane avec les effectifs cumulés ?
Calcule la moitié de l’effectif total. Puis, dans la ligne des effectifs cumulés croissants, repère la première valeur dont le cumul atteint ou dépasse cette moitié : c’est la médiane. Cette méthode est expliquée en détail sur la fiche consacrée à la médiane.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant construire un tableau d’effectifs, calculer des fréquences et cumuler correctement. Continue avec ces ressources complémentaires :
- Probabilités : définitions, formules et exercices corrigés
- Statistiques descriptives : cours, méthodes et exercices corrigés
- Calcul littéral 3e : cours, méthodes et points clés (brevet)
- Fonction Affine et Linéaire (Seconde) : Cours et Méthodes
Besoin d’un coup de pouce pour progresser plus vite ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
