Un test médical est positif : es-tu vraiment malade ? Un produit est défectueux : quelle machine l’a fabriqué ? Dans les deux cas, tu connais la probabilité d’observer l’indice si l’hypothèse est vraie — mais tu cherches l’inverse. C’est exactement le rôle du théorème de Bayes (ou formule de Bayes) : inverser une probabilité conditionnelle pour remonter de l’effet à la cause. Cette page t’explique la logique, te donne la méthode en 4 étapes et te propose 5 exercices corrigés progressifs. Niveau : Terminale spé maths et prépa.

Navigation — Chapitre Probabilités

La logique de l’inversion : pourquoi Bayes est nécessaire

Ce qu’on cherche vs ce qu’on connaît

La difficulté principale est de ne pas confondre :

  • \(P(E\mid H)\) : « si \(H\) est vraie, quelle est la probabilité d’observer \(E\) ? »
  • \(P(H\mid E)\) : « si j’ai observé \(E\), quelle est la probabilité que \(H\) soit vraie ? »

Dans la vie réelle (tests, diagnostics, contrôle qualité, filtres…), on connaît souvent \(P(E\mid H)\) et on veut \(P(H\mid E)\). C’est exactement le rôle de la formule de Bayes.

Piège classique : \(P(E\mid H)\) et \(P(H\mid E)\) n’ont aucune raison d’être proches. Un test « très fiable » peut conduire à une probabilité finale modérée si l’hypothèse est très rare.

Pourquoi on se trompe souvent (intuition vs calcul)

Notre intuition surestime fréquemment l’effet d’un indice \(E\) et oublie une information cruciale : la fréquence de base, c’est-à-dire la probabilité a priori de \(H\) (souvent appelée prévalence dans les exemples médicaux).

À retenir : Bayes met ensemble trois ingrédients :

  • A priori : \(P(H)\)
  • Vraisemblance : \(P(E\mid H)\)
  • A posteriori : \(P(H\mid E)\)

Prérequis indispensables

Rappel : probabilité conditionnelle

Si \(P(B)\) > \(0\), la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est :

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Rappel : formule des probabilités totales

Si \((H_1,\dots,H_n)\) est une partition (événements incompatibles dont la réunion vaut \(\Omega\)), alors :

\(P(E)=\sum_{i=1}^{n} P(E\mid H_i)\,P(H_i)\)

Cette formule est le passage obligé pour calculer \(P(E)\) dans Bayes. Voir : formules de probabilités et probabilité totale (cours dédié).

Notations (univers, événements, partition)

  • \(\Omega\) : l’univers (tous les résultats possibles).
  • \(A\), \(B\), \(E\), \(H\) : événements.
  • \(\overline{A}\) : complémentaire de \(A\).
  • \((H_1,\dots,H_n)\) est une partition si pour \(i\neq j\), \(H_i\cap H_j=\varnothing\) et \(\bigcup_{i=1}^{n} H_i=\Omega\).

Théorème de Bayes : formule et démonstration

Forme standard (2 événements)

Si \(P(B)\) > \(0\), alors :

Théorème de Bayes (forme simple)

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}\)

Lecture : on part de l’a priori \(P(A)\), on le « pondère » par la vraisemblance \(P(B\mid A)\), puis on normalise par \(P(B)\).

Forme avec partition (utile en prépa)

Si \((H_1,\dots,H_n)\) est une partition et \(P(E)\) > \(0\), alors pour tout \(k\) :

Théorème de Bayes (forme partition)

\(P(H_k\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H_k)\,P(H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(E\mid H_i)\,P(H_i)}\)

Démonstration

La démonstration est courte et repose directement sur la définition de la probabilité conditionnelle.

Par définition : \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\). Or \(P(A\cap B)=P(B\mid A)\,P(A)\) (en appliquant la même définition « dans l’autre sens »). En substituant :

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}\)

Pour la forme avec partition, il suffit de remplacer \(P(E)\) au dénominateur par la formule des probabilités totales : \(P(E)=\sum_{i=1}^{n}P(E\mid H_i)\,P(H_i)\).

Méthode en 4 étapes pour appliquer Bayes

Étape 1 — Définir clairement H (hypothèse) et E (indice)

Écris une phrase claire du type : « Je cherche \(P(H\mid E)\) ».

Étape 2 — Calculer P(E) via la formule des probabilités totales

Très souvent, \(P(E)\) se calcule avec une partition : \(P(E)=\sum_i P(E\mid H_i)\,P(H_i)\). C’est la formule des probabilités totales.

Étape 3 — Appliquer Bayes et conclure proprement

Pose la formule, puis remplace par les valeurs. Termine par une phrase : « Donc \(P(H\mid E)\) vaut … ».

Étape 4 — Vérifier la cohérence du résultat

Demande-toi : si \(H\) est très rare (petit \(P(H)\)), est-il logique que \(P(H\mid E)\) soit énorme ? Souvent non, sauf si \(P(E\mid H)\) est extrêmement fort et \(P(E\mid \overline{H})\) très faible.

Checklist Bayes (à recopier en DS) :

  1. Je définis clairement \(H\) et \(E\).
  2. Je calcule \(P(E)\) (souvent par probabilité totale).
  3. J’applique \(P(H\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H)\,P(H)}{P(E)}\).
  4. Je vérifie que le résultat est cohérent (rareté, faux positifs, etc.).

Bayes avec un arbre de probabilités : remonter les branches

Un arbre pondéré modélise naturellement une partition : on commence par « quel cas est réalisé ? », puis on décrit ce qu’on observe.

Le point important : Bayes revient à « remonter l’arbre ». On calcule un chemin \(P(A\cap B)\), puis on divise par la probabilité totale d’arriver à \(B\).

Mini-guide de lecture

  • Un chemin « A puis B » donne \(P(A)\,P(B\mid A)\).
  • La probabilité d’observer \(B\) au total est la somme des chemins qui mènent à \(B\).
  • Donc \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A)\,P(B\mid A)}{P(B)}\).

Pourquoi notre intuition se trompe : faux positifs et prévalence

L’exemple du test médical est le cas d’école pour comprendre pourquoi le théorème de Bayes est contre-intuitif. Même avec un test « très fiable », un résultat positif ne signifie pas forcément « malade » — tout dépend de la fréquence de base (prévalence).

Énoncé (modèle type bac)

  • \(M\) : « le patient est malade ». Prévalence : \(P(M)=0{,}01\).
  • \(T\) : « test positif ». Sensibilité : \(P(T\mid M)=0{,}99\).
  • Faux positifs : \(P(T\mid \overline{M})=0{,}05\).

Question : calculer \(P(M\mid T)\).

Solution pas à pas

1) Probabilité totale de T

\(P(T)=P(T\mid M)\,P(M)+P(T\mid \overline{M})\,P(\overline{M})\).

Ici \(P(\overline{M})=1-0{,}01=0{,}99\), donc :

\(P(T)=0{,}99\times 0{,}01 + 0{,}05\times 0{,}99 = 0{,}0099+0{,}0495=0{,}0594\).

2) Bayes

\(P(M\mid T)=\displaystyle\frac{P(T\mid M)\,P(M)}{P(T)}=\displaystyle\frac{0{,}99\times 0{,}01}{0{,}0594}\).

\(P(M\mid T)\approx 0{,}1667\), soit environ 16,7 %.

Interprétation (à retenir). Même avec un « bon » test (sensibilité 99 %), si la maladie est rare (prévalence 1 %), un test positif ne signifie pas automatiquement « malade ». La fréquence de base pèse lourd dans le calcul — c’est exactement ce que Bayes quantifie.

Exemple complet : contrôle qualité en usine

Énoncé et choix des événements

Une usine possède trois machines :

  • \(A\) fabrique \(50\,\%\) des pièces et produit \(2\,\%\) de pièces défectueuses ;
  • \(B\) fabrique \(30\,\%\) des pièces et produit \(3\,\%\) de pièces défectueuses ;
  • \(C\) fabrique \(20\,\%\) des pièces et produit \(5\,\%\) de pièces défectueuses.

On note \(H_C\) : « la pièce vient de la machine \(C\) » et \(D\) : « la pièce est défectueuse ». On cherche \(P(H_C\mid D)\).

Solution guidée (mêmes 4 étapes que la checklist)

1) A priori : \(P(H_A)=0{,}5\), \(P(H_B)=0{,}3\), \(P(H_C)=0{,}2\).

2) Vraisemblances : \(P(D\mid H_A)=0{,}02\), \(P(D\mid H_B)=0{,}03\), \(P(D\mid H_C)=0{,}05\).

3) Calcul de \(P(D)\) (probabilité totale) :

\(P(D)=0{,}02\times 0{,}5 + 0{,}03\times 0{,}3 + 0{,}05\times 0{,}2\)
\(P(D)=0{,}01+0{,}009+0{,}01=0{,}029\)

4) Bayes :

\(P(H_C\mid D)=\displaystyle\frac{P(D\mid H_C)\,P(H_C)}{P(D)}=\displaystyle\frac{0{,}05\times 0{,}2}{0{,}029}=\displaystyle\frac{0{,}01}{0{,}029}\approx 0{,}345\)

Conclusion : bien que \(C\) ne produise que \(20\,\%\) des pièces, une pièce défectueuse a environ \(34{,}5\,\%\) de chances de venir de \(C\), car son taux de défaut est plus élevé.

Exercices corrigés progressifs sur le théorème de Bayes

Les énoncés sont visibles, et chaque correction est repliable. Prends l’habitude d’appliquer la checklist en 4 étapes (voir plus haut).

Niveau 1 — Reconnaître Bayes et écrire la bonne formule

Exercice 1. Dans un lycée, 40 % des élèves suivent l’option A. Parmi eux, 70 % valident l’examen. Dans l’option B (60 % des élèves), 50 % valident l’examen. On choisit un élève au hasard et on sait qu’il a validé. Quelle est la probabilité qu’il soit en option A ?

▶ Voir la correction

Posons \(A\) : « l’élève est en option A » et \(V\) : « il valide ». On cherche \(P(A\mid V)\).

Données : \(P(A)=0{,}4\), \(P(V\mid A)=0{,}7\), \(P(V\mid \overline{A})=0{,}5\) et \(P(\overline{A})=0{,}6\).

Probabilité totale : \(P(V)=0{,}7\times 0{,}4 + 0{,}5\times 0{,}6 = 0{,}28+0{,}30=0{,}58\).

Bayes : \(P(A\mid V)=\displaystyle\frac{P(V\mid A)\,P(A)}{P(V)}=\displaystyle\frac{0{,}7\times 0{,}4}{0{,}58}=\displaystyle\frac{0{,}28}{0{,}58}\approx 0{,}483\).

Conclusion : environ 48,3 %.

Exercice 2. Un test a une sensibilité de 95 % et un taux de faux positifs de 2 %. La maladie touche 0,5 % de la population. On obtient un test positif. Estimer la probabilité d’être malade.

▶ Voir la correction

Posons \(M\) : « malade », \(T\) : « test positif ». Données : \(P(M)=0{,}005\), \(P(T\mid M)=0{,}95\), \(P(T\mid \overline{M})=0{,}02\).

Probabilité totale :

\(P(T)=0{,}95\times 0{,}005 + 0{,}02\times 0{,}995 = 0{,}00475+0{,}0199=0{,}02465\).

Bayes :

\(P(M\mid T)=\displaystyle\frac{0{,}95\times 0{,}005}{0{,}02465}=\displaystyle\frac{0{,}00475}{0{,}02465}\approx 0{,}193\).

Conclusion : environ 19,3 %.

Niveau 2 — Calculs complets avec partition (plusieurs hypothèses)

Exercice 3. Une usine a trois machines \(M_1, M_2, M_3\) qui produisent respectivement 20 %, 50 % et 30 % des pièces. Les taux de défaut sont 1 %, 2 % et 4 %. On prélève une pièce au hasard et on constate qu’elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de \(M_3\) ?

▶ Voir la correction

Posons \(D\) : « défectueuse ». On a une partition \((M_1,M_2,M_3)\).

Données : \(P(M_1)=0{,}2\), \(P(M_2)=0{,}5\), \(P(M_3)=0{,}3\), et \(P(D\mid M_1)=0{,}01\), \(P(D\mid M_2)=0{,}02\), \(P(D\mid M_3)=0{,}04\).

Probabilité totale :

\(P(D)=0{,}01\times 0{,}2 + 0{,}02\times 0{,}5 + 0{,}04\times 0{,}3 = 0{,}002+0{,}01+0{,}012=0{,}024\).

Bayes (forme partition) :

\(P(M_3\mid D)=\displaystyle\frac{P(D\mid M_3)\,P(M_3)}{P(D)}=\displaystyle\frac{0{,}04\times 0{,}3}{0{,}024}=\displaystyle\frac{0{,}012}{0{,}024}=0{,}5\).

Conclusion : 50 %.

Exercice 4. On choisit une boîte \(B_1\) avec probabilité 0,3 ou \(B_2\) avec probabilité 0,7. Dans \(B_1\), 60 % des billes sont rouges ; dans \(B_2\), 20 % sont rouges. On tire une bille rouge. Quelle est la probabilité que la boîte choisie soit \(B_1\) ?

▶ Voir la correction

Posons \(R\) : « rouge ». Données : \(P(B_1)=0{,}3\), \(P(B_2)=0{,}7\), \(P(R\mid B_1)=0{,}6\), \(P(R\mid B_2)=0{,}2\).

Probabilité totale :

\(P(R)=0{,}6\times 0{,}3 + 0{,}2\times 0{,}7 = 0{,}18+0{,}14=0{,}32\).

Bayes :

\(P(B_1\mid R)=\displaystyle\frac{0{,}6\times 0{,}3}{0{,}32}=\displaystyle\frac{0{,}18}{0{,}32}=\displaystyle\frac{9}{16}=0{,}5625\).

Conclusion : 56,25 %.

Niveau 3 — Rédaction niveau prépa

Exercice 5. Soit \((A_1,\dots,A_n)\) une partition de l’univers et \(P(B)\neq 0\). Montrer que \(\sum_{i=1}^n P(A_i\mid B)=1\).

▶ Voir la correction

Pour tout \(i\), par Bayes (forme partition) :

\(P(A_i\mid B)=\displaystyle\frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(B\mid A_j)\,P(A_j)}\).

En sommant sur \(i\) :

\(\sum_{i=1}^n P(A_i\mid B)=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(B\mid A_j)\,P(A_j)}=1\).

Interprétation : conditionnellement à \(B\), les événements \(A_i\) restent une partition (ils couvrent tous les cas possibles « sachant \(B\) »).

Erreurs classiques et comment les éviter

Erreur 1 : inverser sans recalculer P(B). Dans Bayes, le dénominateur \(P(B)\) n’est presque jamais donné directement. Il faut le calculer, souvent via une partition (probabilité totale).

Erreur 2 : oublier l’a priori (prévalence, proportions). Si \(A\) est rare, \(P(A\mid B)\) peut rester modérée même si \(P(B\mid A)\) est grande. C’est exactement ce que montre l’exemple des faux positifs.

Erreur 3 : rédaction floue (événements mal définis). Avant de calculer, écris noir sur blanc ce que signifie \(A\), ce que signifie \(B\), et ce que tu cherches. Une notation propre évite 80 % des erreurs.

Pour aller plus loin : partition générale (début prépa)

Cas général : plusieurs hypothèses

En prépa, on formalise souvent avec une partition \((H_1,\dots,H_n)\). La formule à connaître (et à savoir justifier) est :

\(P(H_k\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H_k)\,P(H_k)}{\sum_{i=1}^{n}P(E\mid H_i)\,P(H_i)}\)

Ce cadre recouvre test médical, urnes, contrôle qualité, filtrage, etc.

Rédaction attendue en prépa (phrases-types)

Rédaction type (très propre) :

  1. « On note \(H_k\) l’hypothèse … et \(E\) l’événement … »
  2. « \((H_1,\dots,H_n)\) forme une partition de \(\Omega\). »
  3. « Par la formule des probabilités totales, \(P(E)=\sum_i P(E\mid H_i)\,P(H_i)\). »
  4. « Par la formule de Bayes, \(P(H_k\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H_k)\,P(H_k)}{P(E)}\). »
  5. « Conclusion : … »

Questions fréquentes sur le théorème de Bayes


Comment savoir qu'il faut utiliser la formule de Bayes ?

Quand on te donne des probabilités du type \(P(E\mid H)\) (indice sachant hypothèse) mais qu’on te demande \(P(H\mid E)\) (hypothèse sachant indice), c’est Bayes. Souvent, on parle de « test », « diagnostic », « détection », « filtre », ou « probabilité que la cause soit … sachant que l’effet est … ».

Peut-on appliquer la formule de Bayes sans arbre ?

Oui : tu appliques directement \(P(H\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H)\,P(H)}{P(E)}\), en calculant \(P(E)\) par probabilité totale. L’arbre est un excellent outil pour ne pas se tromper, mais il n’est pas obligatoire.

Quel lien entre Bayes et indépendance ?

Bayes ne suppose pas l’indépendance. L’indépendance intervient parfois pour calculer des vraisemblances (par exemple, plusieurs tirages ou plusieurs lancers), mais la formule de Bayes elle-même reste valable dès que les probabilités conditionnelles sont bien définies.

Pourquoi faut-il presque toujours la probabilité totale ?

Parce que le dénominateur \(P(E)\) n’est pas toujours donné. Or \(P(E)\) se calcule naturellement en sommant les chemins possibles qui mènent à \(E\) : c’est exactement la formule des probabilités totales.

Quelle différence entre la formule de Bayes et la probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle \(P(A\mid B)\) est une définition (rapport de probabilités). La formule de Bayes est un théorème qui permet d’exprimer \(P(A\mid B)\) en fonction de \(P(B\mid A)\), \(P(A)\) et \(P(B)\). Elle est utile quand on connaît la « vraisemblance » \(P(B\mid A)\) mais qu’on cherche l’« a posteriori » \(P(A\mid B)\).

Pourquoi la formule de Bayes est-elle contre-intuitive ?

Parce que notre cerveau ignore la fréquence de base (a priori). Quand un test est « fiable à 99 % » et positif, on pense spontanément « 99 % de chances d’être malade ». Or si la maladie ne touche que 1 % de la population, Bayes montre que la probabilité réelle est seulement d’environ 17 %. L’erreur vient du fait qu’on oublie que les faux positifs parmi les 99 % de personnes saines sont bien plus nombreux que les vrais positifs parmi le 1 % de malades.


Résumé express : la fiche méthode en 10 lignes

Formule de Bayes (2 événements) : si \(P(B)\) > \(0\),

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}\)

Avec une partition \((H_1,\dots,H_n)\) :

\(P(H_k\mid E)=\displaystyle\frac{P(E\mid H_k)\,P(H_k)}{\sum_{i=1}^{n}P(E\mid H_i)\,P(H_i)}\)

Checklist :

  1. Définir \(H\) (hypothèse) et \(E\) (indice).
  2. Calculer \(P(E)\) (souvent via probabilité totale).
  3. Appliquer Bayes.
  4. Conclure avec une phrase et vérifier la cohérence.

Pour t’entraîner : refais les exercices ci-dessus, puis consolide les prérequis :

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