La loi binomiale est l’une des lois de probabilité les plus importantes du programme de Terminale spé maths — et l’une des plus présentes au bac. Voici 20 exercices corrigés sur la loi binomiale, classés par difficulté croissante : applications directes (★), approfondissement (★★), problèmes type bac (★★★), et exercices de niveau prépa. Chaque correction est détaillée pas à pas pour que tu comprennes la méthode, pas seulement le résultat. Avant de commencer, assure-toi de maîtriser le cours sur la loi binomiale et les formules essentielles rappelées ci-dessous. Conforme au programme 2025.

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📚 Tout le cours « Variables Aléatoires »

I. Rappel des formules essentielles

Voici les formules à connaître par cœur avant d’attaquer les exercices. Si l’une d’entre elles te semble floue, reviens d’abord au cours sur la loi binomiale.

Loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\)

Si \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\), alors pour tout entier \(k\) compris entre \(0\) et \(n\) :

\(\displaystyle P(X = k) = {n \choose k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)

avec \(\displaystyle {n \choose k} = \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Espérance : \(E(X) = np\) — Variance : \(V(X) = np(1-p)\) — Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\)

Trois réflexes avant chaque exercice :

  1. Vérifier que la situation est bien un schéma de Bernoulli : épreuves identiques, indépendantes, deux issues (succès/échec).
  2. Identifier \(n\) (nombre d’épreuves) et \(p\) (probabilité de succès à chaque épreuve).
  3. Pour « au moins un » ou « au plus \(k\) », penser au complémentaire : \(P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)\).

II. Exercices d’application directe (★)

Les formules sont en place ? Passe à la pratique. Ces exercices testent ta maîtrise directe des formules — aucun piège, aucune subtilité.

Exercice 1 ★ — Reconnaître une loi binomiale (5 min)

On lance 10 fois de suite une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité \(0{,}6\). Soit \(X\) le nombre de fois où la pièce tombe sur pile.

Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

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L’expérience consiste en la répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve a deux issues : pile (succès, \(p = 0{,}6\)) ou face (échec). \(X\) compte le nombre de succès.

Donc \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)\).

Exercice 2 ★ — Calculer \(P(X = k)\) (5 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}3)\). Calculer \(P(X = 2)\). Arrondir à \(10^{-3}\).

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On applique la formule :

\(\displaystyle P(X = 2) = {6 \choose 2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^4\)
\(\displaystyle {6 \choose 2} = \displaystyle\frac{6!}{2! \times 4!} = \displaystyle\frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
\(P(X = 2) = 15 \times 0{,}09 \times 0{,}2401 = 15 \times 0{,}021609 \approx 0{,}324\)

Exercice 3 ★ — Espérance, variance et écart-type (5 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

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\(E(X) = np = 50 \times 0{,}2 = 10\)
\(V(X) = np(1-p) = 50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8\)
\(\sigma(X) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\)

Exercice 4 ★ — Dresser le tableau de loi (10 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}\!\left(3\,;\,\displaystyle\frac{1}{4}\right)\). Dresser le tableau de la loi de \(X\) et vérifier que la somme des probabilités vaut 1.

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\(\displaystyle P(X = 0) = \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{\!3} = \displaystyle\frac{27}{64}\)
\(\displaystyle P(X = 1) = {3 \choose 1} \times \displaystyle\frac{1}{4} \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{\!2} = 3 \times \displaystyle\frac{1}{4} \times \displaystyle\frac{9}{16} = \displaystyle\frac{27}{64}\)
\(\displaystyle P(X = 2) = {3 \choose 2} \times \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{\!2} \times \displaystyle\frac{3}{4} = 3 \times \displaystyle\frac{1}{16} \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{9}{64}\)
\(\displaystyle P(X = 3) = \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{\!3} = \displaystyle\frac{1}{64}\)

Tableau de la loi de X ~ B(3 ; 1/4)
\(k\) 0 1 2 3
\(P(X = k)\) \(\displaystyle\frac{27}{64}\) \(\displaystyle\frac{27}{64}\) \(\displaystyle\frac{9}{64}\) \(\displaystyle\frac{1}{64}\)

Vérification : \(\displaystyle\frac{27 + 27 + 9 + 1}{64} = \displaystyle\frac{64}{64} = 1\) ✓

Exercice 5 ★ — Probabilité cumulée (5 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)\). Calculer \(P(X \leq 2)\).

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\(P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)

Avec \(p = 0{,}5\) et \(n = 4\), on a \(p^k(1-p)^{n-k} = 0{,}5^4 = \displaystyle\frac{1}{16}\) pour tout \(k\) :

\(P(X = 0) = 1 \times \displaystyle\frac{1}{16} = \displaystyle\frac{1}{16}\), \(P(X = 1) = 4 \times \displaystyle\frac{1}{16} = \displaystyle\frac{4}{16}\), \(P(X = 2) = 6 \times \displaystyle\frac{1}{16} = \displaystyle\frac{6}{16}\)

\(P(X \leq 2) = \displaystyle\frac{1 + 4 + 6}{16} = \displaystyle\frac{11}{16} = 0{,}6875\)

Exercice 6 ★ — Événement complémentaire (5 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}1)\). Calculer \(P(X \geq 1)\). Arrondir à \(10^{-3}\).

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On utilise le complémentaire : \(P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)\).

\(P(X = 0) = 0{,}9^{10} \approx 0{,}349\)

Donc \(P(X \geq 1) \approx 1 – 0{,}349 = 0{,}651\).

Exercice 7 ★ — Modélisation : QCM au hasard (10 min)

Un QCM comporte 8 questions. Chaque question propose 4 réponses, dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à toutes les questions. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 bonnes réponses. Arrondir à \(10^{-2}\).
  3. Calculer \(E(X)\). Interpréter.
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1. Les 8 questions sont indépendantes. Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = \displaystyle\frac{1}{4} = 0{,}25\) (probabilité de tomber sur la bonne réponse par hasard). \(X\) compte le nombre de succès parmi 8 épreuves : \(X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}25)\).

2. \(P(X = 3) = {8 \choose 3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^5\)

\(\displaystyle {8 \choose 3} = \displaystyle\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)
\(P(X = 3) = 56 \times 0{,}015625 \times 0{,}2373 \approx 0{,}21\)

3. \(E(X) = 8 \times 0{,}25 = 2\). En moyenne, un élève qui répond au hasard obtient 2 bonnes réponses sur 8.

III. Exercices d’approfondissement (★★)

Les bases sont acquises ? Monte d’un cran. Ces exercices demandent de la modélisation, du recul et parfois un peu d’astuce.

Exercice 8 ★★ — Contrôle qualité (10 min)

Une usine produit des ampoules LED dont 5 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 20 ampoules (les tirages sont considérés comme indépendants).

  1. Soit \(X\) le nombre d’ampoules défectueuses. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Calculer la probabilité de n’avoir aucune ampoule défectueuse.
  3. Calculer \(P(X \leq 2)\). Arrondir à \(10^{-2}\).
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1. On répète 20 épreuves indépendantes de paramètre \(p = 0{,}05\). Donc \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)\).

2. \(P(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}358\)

3. \(P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)

\(P(X = 1) = {20 \choose 1} \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}377 \approx 0{,}377\)
\(P(X = 2) = {20 \choose 2} \times 0{,}05^2 \times 0{,}95^{18} = 190 \times 0{,}0025 \times 0{,}397 \approx 0{,}189\)
\(P(X \leq 2) \approx 0{,}358 + 0{,}377 + 0{,}189 = 0{,}92\)

Exercice 9 ★★ — Recherche d’un paramètre (10 min)

\(X\) suit une loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4)\). On sait que \(E(X) = 12\).

  1. Déterminer \(n\).
  2. Calculer \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
▶ Voir la correction

1. \(E(X) = np\), donc \(12 = n \times 0{,}4\), d’où \(n = \displaystyle\frac{12}{0{,}4} = 30\).

On a \(X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}4)\).

2. \(V(X) = np(1-p) = 30 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 7{,}2\)

\(\sigma(X) = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68\)

Exercice 10 ★★ — Espérance de gain (15 min)

Un jeu de fête foraine coûte 3 € pour y participer. Le joueur lance 5 fois une pièce équilibrée. Le règlement prévoit :

  • 10 € de gain si le joueur obtient 5 fois pile ;
  • 2 € de gain si le joueur obtient exactement 4 fois pile ;
  • rien sinon.

Soit \(G\) le gain algébrique du joueur (gain − mise). Calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?

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Soit \(X\) le nombre de piles. \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)\).

\(P(X = 5) = 0{,}5^5 = \displaystyle\frac{1}{32}\) et \(P(X = 4) = {5 \choose 4} \times 0{,}5^5 = \displaystyle\frac{5}{32}\)

Le gain algébrique vaut :

  • \(G = 10 – 3 = 7\) si \(X = 5\)
  • \(G = 2 – 3 = -1\) si \(X = 4\)
  • \(G = 0 – 3 = -3\) si \(X \leq 3\)

Or \(P(X \leq 3) = 1 – \displaystyle\frac{5}{32} – \displaystyle\frac{1}{32} = \displaystyle\frac{26}{32}\).

\(\displaystyle E(G) = 7 \times \displaystyle\frac{1}{32} + (-1) \times \displaystyle\frac{5}{32} + (-3) \times \displaystyle\frac{26}{32} = \displaystyle\frac{7 – 5 – 78}{32} = \displaystyle\frac{-76}{32} = -2{,}375\)

L’espérance de gain est négative : le joueur perd en moyenne 2,38 € par partie. Le jeu n’est pas favorable.

Exercice 11 ★★ — QCM (10 min)

Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Justifier.

Q1. \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) avec \(E(X) = 6\) et \(V(X) = 2{,}4\). La valeur de \(p\) est :
a) \(0{,}4\)   b) \(0{,}6\)   c) \(0{,}2\)   d) \(0{,}8\)

Q2. \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)\). L’expression \(P(X \geq 3)\) est égale à :
a) \(1 – P(X \leq 3)\)   b) \(1 – P(X \leq 2)\)   c) \(P(X = 3) + P(X = 4) + \ldots + P(X = 10)\)   d) b) et c)

Q3. \({7 \choose 3}\) vaut :
a) 21   b) 35   c) 42   d) 210

Q4. \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\). Si l’on double \(n\) sans changer \(p\), l’écart-type \(\sigma(X)\) est multiplié par :
a) 2   b) \(\sqrt{2}\)   c) 4   d) ça dépend de \(p\)

Q5. Parmi ces situations, laquelle ne suit pas une loi binomiale ?
a) Le nombre de 6 obtenus en lançant 10 dés   b) Le nombre de boules rouges tirées avec remise dans une urne
c) Le nombre de boules rouges tirées sans remise dans une urne   d) Le nombre de clients satisfaits parmi 50 interrogés indépendamment

▶ Voir la correction

Q1 — Réponse b). \(V(X) = np(1-p)\) et \(E(X) = np = 6\), donc \(V(X) = 6(1-p) = 2{,}4\), soit \(1 – p = 0{,}4\), d’où \(p = 0{,}6\).

Q2 — Réponse d). L’événement complémentaire de « \(X \geq 3\) » est « \(X \leq 2\) », donc \(P(X \geq 3) = 1 – P(X \leq 2)\). On peut aussi écrire la somme \(P(X = 3) + \ldots + P(X = 10)\). Les deux expressions sont correctes.

Q3 — Réponse b). \(\displaystyle {7 \choose 3} = \displaystyle\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\).

Q4 — Réponse b). \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\). Si \(n\) est remplacé par \(2n\), le nouvel écart-type vaut \(\sqrt{2np(1-p)} = \sqrt{2}\,\sigma(X)\).

Q5 — Réponse c). Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants : la composition de l’urne change après chaque tirage. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli (la loi correspondante est la loi hypergéométrique).

Exercice 12 ★★ — Deux variables indépendantes (10 min)

Alice lance 6 fois un dé équilibré. Soit \(X\) le nombre de 6 obtenus. Bob lance 4 fois le même dé. Soit \(Y\) le nombre de 6 obtenus par Bob. Les lancers d’Alice et de Bob sont indépendants.

  1. Donner les lois de \(X\) et \(Y\).
  2. Calculer \(P(X = 1)\) et \(P(Y = 0)\).
  3. Calculer la probabilité qu’Alice obtienne exactement un 6 et que Bob n’en obtienne aucun.
▶ Voir la correction

1. \(X \sim \mathcal{B}\!\left(6\,;\,\displaystyle\frac{1}{6}\right)\) et \(Y \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\displaystyle\frac{1}{6}\right)\).

2.

\(\displaystyle P(X = 1) = {6 \choose 1} \times \displaystyle\frac{1}{6} \times \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{\!5} = 6 \times \displaystyle\frac{1}{6} \times \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{\!5} = \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{\!5} = \displaystyle\frac{3125}{7776} \approx 0{,}402\)
\(\displaystyle P(Y = 0) = \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{\!4} = \displaystyle\frac{625}{1296} \approx 0{,}482\)

3. Par indépendance des expériences d’Alice et Bob :

\(\displaystyle P(X = 1 \text{ et } Y = 0) = P(X = 1) \times P(Y = 0) = \displaystyle\frac{3125}{7776} \times \displaystyle\frac{625}{1296} \approx 0{,}194\)

Exercice 13 ★★ — Intervalle de fluctuation (15 min)

Un fabricant affirme que 70 % de ses clients sont satisfaits. Un sondage auprès de \(n = 100\) clients révèle que 60 sont satisfaits.

Au seuil de 95 %, l’affirmation du fabricant est-elle compatible avec le résultat du sondage ?

▶ Voir la correction

On teste l’affirmation \(p = 0{,}7\) avec un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :

\(\displaystyle I = \left[\, p – 1{,}96\,\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}} \;;\; p + 1{,}96\,\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}} \,\right]\)

Avec \(p = 0{,}7\) et \(n = 100\) :

\(\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{0{,}7 \times 0{,}3}{100}} = \sqrt{0{,}0021} \approx 0{,}0458\)
\(I \approx [0{,}610\;;\;0{,}790]\)

La fréquence observée est \(f = \displaystyle\frac{60}{100} = 0{,}60\).

Or \(0{,}60\) < \(0{,}610\), donc \(f \notin I\).

Conclusion : au seuil de 95 %, on rejette l’affirmation du fabricant. Le taux de satisfaction semble inférieur à 70 %.

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IV. Exercices de synthèse — type bac (★★★)

Prêt pour le bac ? Voici des problèmes structurés comme à l’examen, avec plusieurs parties et un raisonnement à construire.

Exercice 14 ★★★ — Fiabilité d’un composant (20 min)

Partie A. Un composant électronique a une probabilité \(0{,}02\) de présenter un défaut. Un appareil contient 15 composants, fonctionnant indépendamment les uns des autres. Soit \(X\) le nombre de composants défectueux.

  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer \(P(X = 0)\). Interpréter.
  3. Calculer \(P(X \geq 2)\). Arrondir à \(10^{-3}\).

Partie B. L’entreprise souhaite que la probabilité d’avoir au moins un composant défectueux reste inférieure à \(0{,}10\). On note \(n\) le nombre maximal de composants que l’appareil peut contenir.

  1. Montrer que la condition se traduit par \(0{,}98^n \geq 0{,}90\).
  2. À l’aide de la fonction logarithme, déterminer la plus grande valeur de \(n\) vérifiant cette condition.
▶ Voir la correction

A.1. \(X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}02)\) (15 épreuves indépendantes, chacune de paramètre \(p = 0{,}02\)).

A.2. \(P(X = 0) = 0{,}98^{15} \approx 0{,}739\). Il y a environ 74 % de chances que l’appareil n’ait aucun composant défectueux.

A.3.

\(P(X \geq 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)\)
\(P(X = 1) = 15 \times 0{,}02 \times 0{,}98^{14} \approx 15 \times 0{,}02 \times 0{,}754 \approx 0{,}226\)
\(P(X \geq 2) \approx 1 – 0{,}739 – 0{,}226 = 0{,}035\)

B.4. On veut \(P(X \geq 1)\) < \(0{,}10\), c’est-à-dire \(1 – P(X = 0)\) < \(0{,}10\), soit :

\(P(X = 0) \geq 0{,}90\)

Or \(P(X = 0) = 0{,}98^n\), d’où la condition \(0{,}98^n \geq 0{,}90\).

B.5. On passe au logarithme :

\(n \times \ln(0{,}98) \geq \ln(0{,}90)\)

Or \(\ln(0{,}98)\) < \(0\), donc en divisant (inégalité retournée) :

\(n \leq \displaystyle\frac{\ln(0{,}90)}{\ln(0{,}98)} = \displaystyle\frac{-0{,}10536}{-0{,}02020} \approx 5{,}22\)

La plus grande valeur entière est \(n = 5\).

Vérification : \(0{,}98^5 \approx 0{,}904\) > \(0{,}90\) ✓ et \(0{,}98^6 \approx 0{,}886\) < \(0{,}90\) ✓.

Exercice 15 ★★★ — Algorithme Python (15 min)

On considère la fonction Python suivante :

from random import random

def simul(n, p, N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        succes = 0
        for j in range(n):
            if random() < p:
                succes += 1
        if succes >= 3:
            compteur += 1
    return compteur / N
  1. Expliquer le rôle de chacune des deux boucles for.
  2. Que renvoie l’appel simul(10, 0.4, 10000) ?
  3. Calculer la valeur théorique approchée par cet appel. Arrondir à \(10^{-2}\).
▶ Voir la correction

1. La boucle intérieure (for j in range(n)) simule \(n\) épreuves de Bernoulli de paramètre \(p\) et compte le nombre de succès. La boucle extérieure (for i in range(N)) répète cette expérience \(N\) fois et compte combien de fois on obtient 3 succès ou plus.

2. L’appel simul(10, 0.4, 10000) renvoie une estimation de \(P(X \geq 3)\) où \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)\), obtenue par simulation sur 10 000 répétitions.

3. Valeur théorique :

\(P(X \geq 3) = 1 – P(X \leq 2) = 1 – \bigl[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\bigr]\)
\(P(X = 0) = 0{,}6^{10} \approx 0{,}0060\)
\(P(X = 1) = 10 \times 0{,}4 \times 0{,}6^9 \approx 0{,}0403\)
\(P(X = 2) = 45 \times 0{,}16 \times 0{,}6^8 \approx 0{,}1209\)
\(P(X \geq 3) \approx 1 – 0{,}167 = 0{,}83\)

Exercice 16 ★★★ — Optimisation (15 min)

Un commercial contacte chaque jour \(n\) prospects par téléphone. Chaque appel aboutit à une vente avec la probabilité \(p = 0{,}15\), indépendamment des autres.

  1. Soit \(X\) le nombre de ventes dans une journée. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Le commercial souhaite réaliser au moins une vente par jour avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95. Déterminer le nombre minimal \(n\) d’appels à passer.
  3. Pour cette valeur de \(n\), calculer \(E(X)\).
▶ Voir la correction

1. \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}15)\).

2. On veut \(P(X \geq 1) \geq 0{,}95\), soit \(1 – P(X = 0) \geq 0{,}95\), c’est-à-dire :

\(P(X = 0) = 0{,}85^n \leq 0{,}05\)

On passe au logarithme : \(n \times \ln(0{,}85) \leq \ln(0{,}05)\). Comme \(\ln(0{,}85)\) < \(0\) :

\(n \geq \displaystyle\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}85)} = \displaystyle\frac{-2{,}996}{-0{,}1625} \approx 18{,}4\)

Le plus petit entier convenant est \(n = 19\).

3. \(E(X) = 19 \times 0{,}15 = 2{,}85\). Le commercial peut espérer en moyenne environ 3 ventes par jour.

Exercice 17 ★★★ — Suite et loi binomiale (20 min)

Un laboratoire teste chaque mois un lot de \(n_k\) échantillons. Chaque test est positif avec la probabilité \(p = 0{,}9\), indépendamment des autres. On s’intéresse à la probabilité \(P_k\) que tous les tests du mois \(k\) soient positifs. On donne \(n_k = 10 + 5(k – 1)\) pour tout entier \(k \geq 1\).

  1. Exprimer \(P_k\) en fonction de \(n_k\).
  2. Calculer \(P_1\). Arrondir à \(10^{-2}\).
  3. Montrer que \(n_k = 5k + 5\). En déduire que \(P_k = 0{,}9^{5k+5}\).
  4. Étudier la convergence de la suite \((P_k)\). Interpréter.
▶ Voir la correction

1. Si \(X_k\) désigne le nombre de tests positifs au mois \(k\), alors \(X_k \sim \mathcal{B}(n_k\,;\,0{,}9)\). Tous les tests sont positifs si et seulement si \(X_k = n_k\), donc :

\(P_k = P(X_k = n_k) = 0{,}9^{n_k}\)

2. \(n_1 = 10\), donc \(P_1 = 0{,}9^{10} \approx 0{,}35\).

3. \(n_k = 10 + 5(k-1) = 10 + 5k – 5 = 5k + 5\). Donc \(P_k = 0{,}9^{5k+5}\).

4. On peut écrire \(P_k = 0{,}9^5 \times (0{,}9^5)^k\). C’est une suite géométrique de raison \(r = 0{,}9^5 \approx 0{,}590\).

Comme \(0\) < \(r\) < \(1\), on a \(\displaystyle\lim_{k \to +\infty} P_k = 0\).

Interprétation : plus la taille des lots augmente, plus il devient improbable que tous les tests soient positifs.

V. Pour aller plus loin : exercices de prépa

Ces exercices s’adressent aux élèves qui visent la prépa ou qui veulent approfondir. Le formalisme est plus exigeant — c’est le niveau attendu en MPSI/PCSI.

Exercice 18 ★★★★ — Démonstration : \(E(X) = np\) (15 min)

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\).

  1. Montrer que pour tout \(k \geq 1\) : \(\displaystyle k \times {n \choose k} = n \times {n-1 \choose k-1}\).
  2. En déduire que \(E(X) = np\).
▶ Voir la correction

1. Pour \(k \geq 1\) :

\(\displaystyle k \times {n \choose k} = k \times \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!} = \displaystyle\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n \times \displaystyle\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n \times {n-1 \choose k-1}\)

2. Par définition de l’espérance :

\(\displaystyle E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \times {n \choose k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\)

Le terme \(k = 0\) est nul, donc :

\(\displaystyle E(X) = \sum_{k=1}^{n} n \times {n-1 \choose k-1}\, p^k\, (1-p)^{n-k} = np \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}\, p^{k-1}\, (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\)

En posant \(j = k – 1\) (quand \(k\) va de 1 à \(n\), \(j\) va de 0 à \(n-1\)) :

\(\displaystyle E(X) = np \sum_{j=0}^{n-1} {n-1 \choose j}\, p^{j}\, (1-p)^{n-1-j} = np \times \bigl(p + (1-p)\bigr)^{n-1} = np \times 1 = np\)

par la formule du binôme de Newton. ∎

Exercice 19 ★★★★ — Approximation par la loi de Poisson (20 min)

Soit \(\lambda\) > \(0\) un réel fixé. Pour tout entier \(n \geq 1\), on considère \(X_n \sim \mathcal{B}\!\left(n\,;\,\displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)\).

  1. Pour \(k \in \{0, \ldots, n\}\), exprimer \(P(X_n = k)\) en fonction de \(n\), \(k\) et \(\lambda\).
  2. Montrer que pour \(k\) fixé : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\,\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\).

Indication : écrire \(P(X_n = k)\) sous la forme \(\displaystyle\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \times \displaystyle\frac{\lambda^k}{k!} \times \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\) et étudier chaque facteur quand \(n \to +\infty\).

▶ Voir la correction

1.

\(\displaystyle P(X_n = k) = {n \choose k} \left(\displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!k} \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n-k}\)

2. On réécrit :

\(\displaystyle P(X_n = k) = \underbrace{\displaystyle\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{A_n} \times \displaystyle\frac{\lambda^k}{k!} \times \underbrace{\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n}}_{B_n} \times \underbrace{\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{\!-k}}_{C_n}\)

Pour \(k\) fixé, quand \(n \to +\infty\) :

  • \(A_n = \displaystyle\frac{n}{n} \times \displaystyle\frac{n-1}{n} \times \cdots \times \displaystyle\frac{n-k+1}{n} \to 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1\)
  • \(B_n = \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}\) (limite classique)
  • \(C_n = \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \to 1^{-k} = 1\)

Donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(X_n = k) = 1 \times \displaystyle\frac{\lambda^k}{k!} \times e^{-\lambda} \times 1 = e^{-\lambda}\,\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\).

On reconnaît la probabilité \(P(Y = k)\) pour \(Y \sim \mathcal{P}(\lambda)\) (loi de Poisson de paramètre \(\lambda\)). ∎

Exercice 20 ★★★★★ — Loi des grands nombres (20 min)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\). On pose \(F_n = \displaystyle\frac{X}{n}\) la fréquence de succès.

  1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
  2. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout \(\varepsilon\) > \(0\) :

\(\displaystyle P\!\left(\left|F_n – p\right| \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{1}{4n\varepsilon^2}\)

(On admettra que \(p(1-p) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\) pour tout \(p \in [0\,;\,1]\).)

  1. En déduire que \(F_n\) converge en probabilité vers \(p\). Interpréter.
▶ Voir la correction

1.

\(E(F_n) = E\!\left(\displaystyle\frac{X}{n}\right) = \displaystyle\frac{E(X)}{n} = \displaystyle\frac{np}{n} = p\)
\(V(F_n) = V\!\left(\displaystyle\frac{X}{n}\right) = \displaystyle\frac{V(X)}{n^2} = \displaystyle\frac{np(1-p)}{n^2} = \displaystyle\frac{p(1-p)}{n}\)

2. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F_n\) donne :

\(\displaystyle P\!\left(|F_n – E(F_n)| \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{V(F_n)}{\varepsilon^2}\)

Soit \(P\!\left(|F_n – p| \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\).

Or \(p(1-p) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\) (maximum atteint en \(p = \displaystyle\frac{1}{2}\)), donc :

\(\displaystyle P\!\left(|F_n – p| \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{1}{4n\varepsilon^2}\) ∎

3. Pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{4n\varepsilon^2} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\!\left(|F_n – p| \geq \varepsilon\right) = 0\).

Cela signifie que \(F_n\) converge en probabilité vers \(p\) : c’est la loi (faible) des grands nombres. En pratique, la fréquence observée de succès se rapproche de la probabilité théorique lorsque le nombre d’épreuves augmente. ∎

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VI. Erreurs fréquentes et pièges

Avant de considérer ces exercices comme acquis, vérifie que tu ne commets aucune de ces erreurs classiques — elles coûtent cher au bac.

Piège n°1 — Confondre \(P(X = k)\) et \(P(X \leq k)\)

❌ Copie fautive : « \(P(X \leq 2) = {10 \choose 2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^8 \approx 0{,}233\) »

→ Diagnostic : l’élève a calculé \(P(X = 2)\), pas \(P(X \leq 2)\). L’expression « au plus 2 » signifie qu’il faut additionner \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\).

✅ Correction : \(P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\).

Piège n°2 — Erreur sur le complémentaire

❌ Copie fautive : « \(P(X \geq 3) = 1 – P(X \leq 3)\) »

→ Diagnostic : l’événement complémentaire de « \(X \geq 3\) » est « \(X \leq 2\) », pas « \(X \leq 3\) ».

✅ Correction : \(P(X \geq 3) = 1 – P(X \leq 2)\).

Piège n°3 — Appliquer la loi binomiale sans vérifier les conditions

❌ Copie fautive : « On tire 5 boules sans remise dans une urne. \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,p)\). »

→ Diagnostic : sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. La composition de l’urne change après chaque tirage. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli.

✅ Réflexe : avant d’écrire « \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) », toujours vérifier : (1) épreuves identiques, (2) épreuves indépendantes, (3) deux issues (succès/échec). Si les tirages sont sans remise, c’est une loi hypergéométrique.

Piège n°4 — Oublier le sens de l’inégalité avec le logarithme

❌ Copie fautive : « \(0{,}98^n \geq 0{,}90 \Rightarrow n \geq \displaystyle\frac{\ln(0{,}90)}{\ln(0{,}98)}\) »

→ Diagnostic : \(\ln(0{,}98)\) < \(0\). En divisant par un nombre négatif, l’inégalité s’inverse : on obtient \(n \leq \ldots\), pas \(n \geq \ldots\).

✅ Réflexe : à chaque division par un nombre négatif, inverser le sens de l’inégalité.

VII. Questions fréquentes


Comment reconnaître qu'une situation suit une loi binomiale ?

Trois conditions doivent être réunies simultanément : (1) on répète \(n\) fois la même épreuve ; (2) les épreuves sont indépendantes ; (3) chaque épreuve a exactement deux issues (succès avec probabilité \(p\), échec avec probabilité \(1-p\)). Si l’une de ces conditions manque — par exemple des tirages sans remise — ce n’est pas une loi binomiale.

Quelle est la différence entre loi binomiale et loi de Bernoulli ?

La loi de Bernoulli modélise une seule épreuve à deux issues : \(X \sim \mathcal{B}(1\,;\,p)\) avec \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1-p\). La loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) modélise la somme de \(n\) variables de Bernoulli indépendantes. Autrement dit, la loi de Bernoulli est le cas particulier \(n = 1\) de la loi binomiale.

Comment calculer une probabilité binomiale à la calculatrice ?

TI-83/84 : 2nd → VARS → binompdf(n, p, k) pour \(P(X = k)\) et binomcdf(n, p, k) pour \(P(X \leq k)\). NumWorks : onglet Probabilités → Binomiale, entrer \(n\) et \(p\), puis la valeur de \(k\). Casio : MENU → STAT → DIST → BINM → Bpd (ponctuelle) ou Bcd (cumulée).

Quand peut-on approcher la loi binomiale par une autre loi ?

Deux cas classiques : (1) si \(n\) est grand et \(p\) petit (typiquement \(n \geq 30\) et \(p \leq 0{,}1\)), on approche \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) par la loi de Poisson \(\mathcal{P}(np)\) ; (2) si \(n\) est grand avec \(np \geq 5\) et \(n(1-p) \geq 5\), on approche \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1-p))\) (théorème de Moivre-Laplace).


VIII. Pour aller plus loin

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