Au marché, tu achètes des pommes et des oranges pour un total de 12 €. Tu connais le prix de chaque fruit, mais pas les quantités. Comment les retrouver ? C’est exactement le problème que résout une équation à deux inconnues. Cette notion clé des équations et inéquations te servira du collège au lycée. Voici un cours complet avec méthodes et exercices corrigés.
Avant de commencer, vérifie que tu maîtrises :
- La résolution d’une équation du premier degré (du type \(3x + 5 = 14\))
- Les opérations sur les nombres relatifs (addition, soustraction, multiplication)
- Le calcul littéral : développer, réduire et isoler une lettre
I. Qu’est-ce qu’une équation à deux inconnues ?
A. Définition et exemples
Reprenons l’exemple du marché. Tu achètes des pommes à 2 € pièce et des oranges à 3 € pièce. Le total fait 12 €. Si tu appelles \(x\) le nombre de pommes et \(y\) le nombre d’oranges, tu obtiens :
\(2x + 3y = 12\)Cette égalité contient deux valeurs inconnues (\(x\) et \(y\)). C’est une équation à deux inconnues.
Définition — Équation à deux inconnues
Une équation à deux inconnues est une égalité qui contient deux valeurs inconnues, souvent notées \(x\) et \(y\).
Une solution est un couple de valeurs (une pour \(x\), une pour \(y\)) qui rend l’égalité vraie.
Par exemple, \(x = 3\) et \(y = 2\) est une solution de \(2x + 3y = 12\) car \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 6 + 6 = 12\). Mais \(x = 0\) et \(y = 4\) marche aussi : \(2 \times 0 + 3 \times 4 = 12\). Une seule équation à deux inconnues a plusieurs solutions !
B. Pourquoi faut-il deux équations ?
Avec une seule équation, tu as une infinité de réponses possibles. Pour trouver une solution unique, il te faut une deuxième information. Imagine que tu sais aussi que tu as acheté 5 fruits au total :
\(x + y = 5\)Tu as maintenant deux équations et deux inconnues. On appelle cela un système d’équations (ou système d’équations linéaires).
Définition — Système de deux équations à deux inconnues
Un système est un ensemble de deux équations que l’on résout en même temps. On cherche les valeurs de \(x\) et \(y\) qui vérifient les deux équations à la fois.
On l’écrit avec une accolade :
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}\)
Comment trouver cette solution unique ? C’est justement l’objet des deux méthodes que tu vas découvrir maintenant.
II. Résoudre par substitution
A. La méthode en 4 étapes
L’idée de la substitution est simple : tu isoles une inconnue dans une équation, puis tu la remplaces dans l’autre. Tu te retrouves alors avec une équation à une seule inconnue, que tu sais déjà résoudre.
Méthode par substitution :
- Isoler une inconnue dans l’une des deux équations.
- Remplacer cette inconnue dans l’autre équation.
- Résoudre l’équation obtenue (elle n’a plus qu’une inconnue).
- Calculer la deuxième inconnue en revenant à l’étape 1.
B. Exemple résolu
Exemple — Résoudre par substitution :
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}\)
Étape 1 : Dans la deuxième équation, on isole \(y\) :
\(y = 5 – x\)
Étape 2 : On remplace \(y\) par \(5 – x\) dans la première équation :
\(2x + 3(5 – x) = 12\)
Étape 3 : On développe et on résout :
\(2x + 15 – 3x = 12\)
\(-x + 15 = 12\)
\(-x = -3\)
\(x = 3\)
Étape 4 : On calcule \(y\) : \(y = 5 – 3 = 2\).
Vérification : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) ✓ et \(3 + 2 = 5\) ✓
La solution est \(x = 3\) et \(y = 2\) (3 pommes et 2 oranges).
III. Résoudre par combinaison
A. La méthode en 4 étapes
La méthode par combinaison (aussi appelée méthode par addition) consiste à additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer directement une inconnue. C’est souvent plus rapide que la substitution quand les coefficients s’y prêtent.
Méthode par combinaison :
- Repérer si les coefficients d’une inconnue sont identiques ou opposés. Si non, multiplier une (ou les deux) équation(s) pour les rendre identiques.
- Additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue.
- Résoudre l’équation obtenue.
- Calculer la deuxième inconnue en remplaçant dans une des équations.
B. Exemple résolu
Exemple — Résoudre par combinaison :
\(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\)
Étape 1 : Les coefficients de \(y\) sont identiques (tous les deux égaux à 1). Parfait !
Étape 2 : On soustrait la deuxième équation de la première :
\((2x + y) – (x + y) = 5 – 3\)
\(2x + y – x – y = 2\)
\(x = 2\)
Étape 3 : L’inconnue \(y\) a disparu. On a directement \(x = 2\).
Étape 4 : On remplace dans \(x + y = 3\) : \(2 + y = 3\), donc \(y = 1\).
Vérification : \(2 \times 2 + 1 = 5\) ✓ et \(2 + 1 = 3\) ✓
La solution est \(x = 2\) et \(y = 1\).
Parfois, les coefficients ne sont pas directement identiques. Dans ce cas, multiplie une équation avant de combiner. Par exemple, pour le système \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + 2y = 7 \end{cases}\), multiplie la deuxième par 2 pour obtenir \(2x + 4y = 14\), puis soustrais la première : \(y = 2\). Tu trouves ensuite \(x = 3\).
Quelle méthode choisir ?
- Substitution : idéale quand un coefficient vaut 1 (par exemple \(x + y = 5\) ou \(y = 2x + 1\)). Tu isoles facilement l’inconnue.
- Combinaison : idéale quand les coefficients d’une inconnue sont identiques ou opposés (par exemple les deux équations ont \(2y\)). Tu élimines directement.
- Dans le doute : les deux méthodes donnent toujours le même résultat. Choisis celle qui te paraît la plus simple !
IV. Résolution graphique 🟡 Seconde
À partir de la Seconde, tu peux résoudre graphiquement un système en traçant les deux droites correspondantes. En effet, chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans un repère.
Le point d’intersection des deux droites correspond à la solution du système : ses coordonnées donnent les valeurs de \(x\) et \(y\).
Sur le graphique ci-dessus, les droites \(x + y = 5\) et \(2x + 3y = 12\) se coupent au point \((3 \mathbin{;} 2)\). On retrouve bien la solution calculée plus haut : \(x = 3\) et \(y = 2\).
Bon à savoir : si les deux droites sont parallèles (elles ne se croisent jamais), le système n’a aucune solution. Si elles sont confondues (c’est la même droite), il a une infinité de solutions.
V. Exercices corrigés
Entraîne-toi avec ces 5 exercices progressifs. Essaie de résoudre chaque système avant de regarder la correction !
Exercice 1 ★
Résous le système suivant par substitution :
\(\begin{cases} x + y = 10 \\ x – y = 4 \end{cases}\)Voir la correction
De la première équation : \(x = 10 – y\).
On remplace dans la deuxième : \((10 – y) – y = 4\), soit \(10 – 2y = 4\).
Donc \(-2y = -6\), d’où \(y = 3\).
On retrouve \(x = 10 – 3 = 7\).
Vérification : \(7 + 3 = 10\) ✓ et \(7 – 3 = 4\) ✓
Solution : \(x = 7\) et \(y = 3\).
Exercice 2 ★
Résous le système suivant par combinaison :
\(\begin{cases} 3x + y = 13 \\ x + y = 7 \end{cases}\)Voir la correction
Les coefficients de \(y\) sont identiques (tous les deux 1). On soustrait la deuxième de la première :
\((3x + y) – (x + y) = 13 – 7\)\(2x = 6\), d’où \(x = 3\).
On remplace : \(3 + y = 7\), donc \(y = 4\).
Vérification : \(3 \times 3 + 4 = 13\) ✓ et \(3 + 4 = 7\) ✓
Solution : \(x = 3\) et \(y = 4\).
Exercice 3 ★★ — Mise en équation
Au cinéma, 3 billets adulte et 2 billets enfant coûtent 36 €. Un billet adulte et 2 billets enfant coûtent 20 €. Quel est le prix d’un billet adulte ? D’un billet enfant ?
Voir la correction
On pose \(a\) = prix d’un billet adulte et \(e\) = prix d’un billet enfant.
Le système est : \(\begin{cases} 3a + 2e = 36 \\ a + 2e = 20 \end{cases}\)
Les coefficients de \(e\) sont identiques. On soustrait :
\((3a + 2e) – (a + 2e) = 36 – 20\)\(2a = 16\), d’où \(a = 8\).
On remplace : \(8 + 2e = 20\), donc \(2e = 12\) et \(e = 6\).
Vérification : \(3 \times 8 + 2 \times 6 = 24 + 12 = 36\) ✓ et \(8 + 2 \times 6 = 20\) ✓
Un billet adulte coûte 8 € et un billet enfant coûte 6 €.
Exercice 4 ★★
Résous le système suivant (attention, il faut d’abord multiplier) :
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + 2y = 7 \end{cases}\)Voir la correction
Aucun coefficient n’est directement identique. On multiplie la deuxième équation par 2 :
\(2x + 4y = 14\)On soustrait la première de cette nouvelle équation :
\((2x + 4y) – (2x + 3y) = 14 – 12\) \(y = 2\)On remplace dans \(x + 2y = 7\) : \(x + 4 = 7\), donc \(x = 3\).
Vérification : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) ✓ et \(3 + 2 \times 2 = 7\) ✓
Solution : \(x = 3\) et \(y = 2\).
Exercice 5 ★★ — Mise en équation
Un rectangle a un périmètre de 28 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 4 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Voir la correction
On pose \(L\) = longueur et \(l\) = largeur.
Le demi-périmètre vaut \(\displaystyle\frac{28}{2} = 14\), donc \(L + l = 14\).
La longueur dépasse la largeur de 4 : \(L = l + 4\).
Le système est : \(\begin{cases} L + l = 14 \\ L = l + 4 \end{cases}\)
Par substitution, on remplace \(L\) dans la première équation :
\((l + 4) + l = 14\) \(2l + 4 = 14\)\(2l = 10\), d’où \(l = 5\) cm.
Et \(L = 5 + 4 = 9\) cm.
Vérification : \(9 + 5 = 14\) ✓ (demi-périmètre) et \(9 – 5 = 4\) ✓ (différence).
Le rectangle mesure 9 cm de long et 5 cm de large.
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs que les élèves commettent le plus souvent. Apprends à les repérer pour ne pas tomber dans le piège !
Piège n°1 — Erreur de signe en isolant
❌ Copie fautive : « De \(x + y = 5\), je tire \(y = 5 + x\). »
Diagnostic : quand \(x\) passe de l’autre côté du signe égal, il change de signe !
✅ Correction : \(y = 5 – x\).
Piège n°2 — Oublier la deuxième inconnue
❌ Copie fautive : « J’ai trouvé \(x = 3\). La solution est \(x = 3\). »
Diagnostic : un système à deux inconnues demande deux valeurs. Le travail n’est pas fini !
✅ Correction : \(x = 3\), puis \(y = 5 – 3 = 2\). La solution est \((3 \mathbin{;} 2)\).
Piège n°3 — Vérifier dans une seule équation
❌ Copie fautive : « Vérification : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) ✓. C’est bon ! »
Diagnostic : tu n’as vérifié que dans la première équation. Il faut vérifier dans les deux !
✅ Correction : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) ✓ et \(3 + 2 = 5\) ✓. C’est maintenant validé.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une équation à 2 inconnues en maths ?
Une équation à deux inconnues est une égalité qui contient deux valeurs inconnues, le plus souvent notées \(x\) et \(y\). Par exemple : \(2x + 3y = 12\). Résoudre cette équation, c’est trouver les valeurs de \(x\) et \(y\) qui rendent l’égalité vraie.
Comment résoudre une équation à 2 inconnues ?
Pour trouver une solution unique, il faut un système de deux équations. On utilise ensuite l’une de ces deux méthodes :
- Substitution : isoler une inconnue dans une équation, puis remplacer dans l’autre.
- Combinaison : additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue.
Dans les deux cas, on termine en vérifiant la solution dans les deux équations.
Quelle est la différence entre une équation et un système d'équations ?
Une équation à deux inconnues est une seule égalité (par exemple \(x + y = 5\)). Elle a une infinité de solutions. Un système regroupe deux (ou plus) équations que l’on résout simultanément. C’est le système dans son ensemble qui permet de trouver une solution unique.
Un système peut-il ne pas avoir de solution ?
Oui. Si les deux équations représentent des droites parallèles (elles ne se croisent jamais), le système n’a aucune solution. Par exemple : \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x + y = 8 \end{cases}\) n’a pas de solution, car on ne peut pas avoir \(x + y\) égal à 5 et à 8 en même temps.
Peut-on résoudre un système à 3 inconnues ?
Oui, à condition d’avoir 3 équations. Le principe est le même : on élimine les inconnues une par une par substitution ou combinaison, jusqu’à revenir à une seule équation à une inconnue. En arithmétique avancée, on étudie aussi les équations diophantiennes, qui cherchent des solutions entières.
Substitution ou combinaison : quelle méthode choisir ?
Choisis la substitution quand un coefficient vaut 1 (tu isoles facilement une inconnue). Choisis la combinaison quand les coefficients d’une inconnue sont identiques ou opposés dans les deux équations. Si aucun cas ne saute aux yeux, les deux méthodes marchent — prends celle qui te paraît la plus simple.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les équations à deux inconnues. Pour continuer à progresser :
- ✏️ Exercices corrigés sur les équations — niveau 4ème
- ✏️ Exercices corrigés sur les équations — niveau 3ème
- 📖 Équation du second degré — la suite logique au lycée
- 📖 Équation de droite — pour approfondir l’interprétation graphique
Cours conforme au programme officiel de mathématiques. Dernière mise à jour : 2025.
