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L’équation du second degré est l’un des outils les plus puissants du programme de mathématiques au lycée. Elle intervient partout : recherche des zéros d’une fonction polynôme, étude du signe d’un trinôme, calcul d’intersections entre courbes, et même en physique ou en économie. Ce cours te donne toutes les clés pour la maîtriser, de la Seconde à la prépa : discriminant, forme canonique, factorisation, signe du trinôme, formules de Viète — avec 6 exercices corrigés progressifs.
I. Définition et formes d’une équation du second degré
A. Définition formelle
Définition — Équation du second degré
Une équation du second degré (ou équation quadratique) est une équation qui peut se mettre sous la forme :
\(ax^2 + bx + c = 0\)
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels, avec \(a \neq 0\).
L’expression \(ax^2 + bx + c\) s’appelle un trinôme du second degré. Les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) sont ses coefficients (\(a\) est le coefficient dominant). Résoudre l’équation revient à chercher les valeurs de \(x\) — appelées racines — qui annulent ce trinôme.
Pourquoi \(a \neq 0\) ? Si \(a = 0\), l’équation se réduit à \(bx + c = 0\) : c’est une équation du premier degré, un cas plus simple que tu maîtrises déjà.
B. Les trois formes d’écriture d’un trinôme
Un même trinôme peut s’écrire de trois façons équivalentes. Chaque forme révèle une information différente :
| Forme | Écriture | Ce qu’elle révèle |
|---|---|---|
| Développée | \(ax^2 + bx + c\) | Les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) (pour calculer \(\Delta\)) |
| Canonique | \(a(x – \alpha)^2 + \beta\) | Le sommet \((\alpha\,;\,\beta)\) de la parabole |
| Factorisée | \(a(x – x_1)(x – x_2)\) | Les racines \(x_1\) et \(x_2\) |
La forme factorisée n’existe que si le trinôme admet des racines réelles (c’est-à-dire si \(\Delta \geq 0\)). Tu verras comment passer de l’une à l’autre dans les sections suivantes.
C. Représentation graphique : la parabole
La courbe représentative de la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole :
- Si \(a\) > \(0\) : parabole tournée vers le haut (elle admet un minimum).
- Si \(a\) < \(0\) : parabole tournée vers le bas (elle admet un maximum).
Le nombre de points d’intersection de cette parabole avec l’axe des abscisses correspond exactement au nombre de racines de l’équation. C’est le discriminant \(\Delta\) qui tranche.
D. Quelle méthode pour résoudre ton équation ?
Avant de foncer tête baissée dans le discriminant, vérifie si une méthode plus rapide est possible :
| Ta situation | Méthode à utiliser | Où la trouver |
|---|---|---|
| Forme générale \(ax^2 + bx + c = 0\) | Discriminant \(\Delta\) | Section II |
| Trinôme déjà factorisé ou factorisable à vue | Règle du produit nul | Équation produit nul |
| Pas de terme constant (\(c = 0\)) | Factorisation par \(x\) | Section V.B |
| Équation bicarrée (\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)) | Changement de variable \(X = x^2\) | Section V.A |
Dans la grande majorité des cas, c’est le discriminant que tu utiliseras. C’est la méthode universelle : elle fonctionne toujours.
II. Résolution par le discriminant
Le discriminant est la clé universelle pour résoudre toute équation du second degré. Cette section contient les formules que tu utiliseras le plus souvent, de la Seconde au bac.
A. Le discriminant \(\Delta\)
Définition — Discriminant
Soit l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\). Son discriminant est le nombre :
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
Le discriminant porte bien son nom : son signe discrimine (c’est-à-dire distingue) les trois cas possibles de résolution.
B. Les trois cas de résolution
Théorème — Résolution de l’équation du second degré
Soit \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^2 – 4ac\).
- Si \(\Delta\) > \(0\) : l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
\(x_1 = \displaystyle\frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) - Si \(\Delta = 0\) : l’équation admet une solution réelle double :
\(x_0 = -\displaystyle\frac{b}{2a}\) - Si \(\Delta\) < \(0\) : l’équation n’admet pas de solution réelle.
Démonstration au programme (cliquer pour développer)
Partons de \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\). Multiplions les deux membres par \(4a\) :
\(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\)On reconnaît le début d’un carré parfait. Ajoutons et retranchons \(b^2\) :
\((2ax + b)^2 – b^2 + 4ac = 0\) \((2ax + b)^2 = b^2 – 4ac = \Delta\)Si \(\Delta\) > \(0\) : on obtient \(2ax + b = \pm\sqrt{\Delta}\), d’où \(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
Si \(\Delta = 0\) : on obtient \(2ax + b = 0\), soit \(x_0 = -\displaystyle\frac{b}{2a}\).
Si \(\Delta\) < \(0\) : un carré ne peut être négatif, donc pas de solution réelle. ∎
C. Trois exemples résolus pas à pas
Exemple 1 — Cas \(\Delta\) > \(0\)
Résoudre \(2x^2 – 7x + 3 = 0\).
On identifie : \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
\(\Delta = (-7)^2 – 4 \times 2 \times 3 = 49 – 24 = 25\)
\(\Delta\) > \(0\) : l’équation admet deux solutions réelles distinctes.
\(x_1 = \displaystyle\frac{7 – \sqrt{25}}{4} = \displaystyle\frac{7 – 5}{4} = \displaystyle\frac{1}{2} \qquad;\qquad x_2 = \displaystyle\frac{7 + 5}{4} = 3\)
L’ensemble des solutions est \(\mathcal{S} = \left\{\displaystyle\frac{1}{2}\,;\, 3\right\}\).
Exemple 2 — Cas \(\Delta = 0\)
Résoudre \(x^2 + 4x + 4 = 0\).
On identifie : \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 4\).
\(\Delta = 4^2 – 4 \times 1 \times 4 = 16 – 16 = 0\)
\(\Delta = 0\) : l’équation admet une solution double.
\(x_0 = -\displaystyle\frac{4}{2 \times 1} = -2\)
L’ensemble des solutions est \(\mathcal{S} = \{-2\}\).
On reconnaît d’ailleurs l’identité remarquable : \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\).
Exemple 3 — Cas \(\Delta\) < \(0\)
Résoudre \(x^2 + x + 1 = 0\).
On identifie : \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\).
\(\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times 1 = 1 – 4 = -3\)
\(\Delta\) < \(0\) : l’équation n’admet pas de solution réelle.
\(\mathcal{S} = \emptyset\)
Réflexe rédaction : conclure toujours par l’ensemble des solutions \(\mathcal{S}\). C’est ce que le correcteur attend en DS.
III. Forme canonique, factorisation et formules de Viète
Le discriminant permet de résoudre l’équation. Mais pour comprendre la structure du trinôme — son sommet, sa factorisation, les liens entre ses racines et ses coefficients — il faut aller plus loin.
A. Mise sous forme canonique
Propriété — Forme canonique
Tout trinôme \(ax^2 + bx + c\) s’écrit :
\(a\!\left(x + \displaystyle\frac{b}{2a}\right)^{\!2} – \displaystyle\frac{\Delta}{4a}\)
Le sommet de la parabole est le point \(S\!\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\,;\, -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\right)\).
Méthode : pour mettre \(f(x) = ax^2 + bx + c\) sous forme canonique, factorise \(a\) dans les deux premiers termes, puis complète le carré.
Exemple : mettre \(f(x) = 2x^2 – 8x + 5\) sous forme canonique.
Étape 1. On factorise \(a = 2\) : \(f(x) = 2(x^2 – 4x) + 5\).
Étape 2. On complète le carré : \(x^2 – 4x = (x – 2)^2 – 4\).
Étape 3. On remplace : \(f(x) = 2\big[(x-2)^2 – 4\big] + 5 = 2(x-2)^2 – 8 + 5\).
\(\fbox{f(x) = 2(x – 2)^2 – 3}\)
Le sommet de la parabole est \(S(2\,;\,-3)\).
B. Factorisation du trinôme
Propriété — Factorisation
- Si \(\Delta\) > \(0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)\)
- Si \(\Delta = 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x – x_0)^2\)
- Si \(\Delta\) < \(0\) : le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).
La factorisation est essentielle : elle transforme une somme en produit, ce qui permet d’appliquer la règle du produit nul ou d’étudier le signe du trinôme.
Exemple : l’équation \(2x^2 – 7x + 3 = 0\) a pour racines \(\displaystyle\frac{1}{2}\) et \(3\) (cf. exemple 1). Donc :
\(2x^2 – 7x + 3 = 2\!\left(x – \displaystyle\frac{1}{2}\right)\!(x – 3)\)
C. Somme et produit des racines : formules de Viète
Quand le trinôme admet des racines \(x_1\) et \(x_2\), il existe un raccourci élégant pour relier ces racines aux coefficients — sans recalculer le discriminant.
Théorème — Formules de Viète
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\), alors :
\(x_1 + x_2 = -\displaystyle\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \times x_2 = \displaystyle\frac{c}{a}\)
Démonstration au programme (cliquer pour développer)
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines, la factorisation donne :
\(a(x – x_1)(x – x_2) = a\big[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\big]\)Par identification avec \(ax^2 + bx + c\), on obtient :
\(b = -a(x_1 + x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = -\displaystyle\frac{b}{a}\)\(c = a \, x_1 x_2 \quad \Rightarrow \quad x_1 \times x_2 = \displaystyle\frac{c}{a}\) ∎
Application : trouver une équation du second degré dont les racines sont \(3 + \sqrt{2}\) et \(3 – \sqrt{2}\).
Somme : \((3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6\), donc \(-\displaystyle\frac{b}{a} = 6\).
Produit : \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 9 – 2 = 7\), donc \(\displaystyle\frac{c}{a} = 7\).
Avec \(a = 1\) : \(b = -6\) et \(c = 7\). L’équation cherchée est \(x^2 – 6x + 7 = 0\).
Astuce : les formules de Viète sont particulièrement utiles pour vérifier tes résultats. Après avoir trouvé les racines, contrôle que leur somme et leur produit collent avec \(-\displaystyle\frac{b}{a}\) et \(\displaystyle\frac{c}{a}\).
IV. Signe du trinôme
Connaître les racines d’un trinôme ne suffit pas toujours : il faut souvent savoir où il est positif, nul ou négatif. C’est la question du signe du trinôme, indispensable pour résoudre les inéquations du second degré.
A. Théorème du signe du trinôme
Théorème — Signe du trinôme \(ax^2 + bx + c\)
Le trinôme a le signe de \(a\), sauf entre ses racines (quand elles existent) :
- Si \(\Delta\) < \(0\) : le trinôme est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\).
- Si \(\Delta = 0\) : le trinôme est du signe de \(a\) pour tout \(x\), et s’annule uniquement en \(x_0\).
- Si \(\Delta\) > \(0\) : le trinôme est du signe opposé à \(a\) entre les racines \(x_1\) et \(x_2\), et du signe de \(a\) à l’extérieur.
Retiens cette phrase mnémotechnique : « Le trinôme a le signe de \(a\), sauf entre ses racines. »
B. Tableau de signes type
Voici le tableau de signes dans le cas \(\Delta\) > \(0\) avec \(a\) > \(0\) (et \(x_1\) < \(x_2\)) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(ax^2+bx+c\) | \(+\) | \(0\) | \(–\) | \(0\) | \(+\) |
Si \(a\) < \(0\), tous les signes du tableau s’inversent. Pour la méthode complète de résolution des inéquations du second degré, consulte notre cours dédié aux inéquations du second degré.
V. Cas particuliers et prolongements
Dans certaines situations, le discriminant n’est pas la méthode la plus rapide. Voici les cas classiques à reconnaître — et un prolongement vers la prépa.
A. Équation bicarrée
Une équation bicarrée est de la forme \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). L’astuce : poser \(X = x^2\) pour se ramener à une équation du second degré en \(X\).
Exemple : résoudre \(x^4 – 10x^2 + 9 = 0\).
On pose \(X = x^2\). L’équation devient \(X^2 – 10X + 9 = 0\).
\(\Delta = 100 – 36 = 64\). Donc \(X_1 = \displaystyle\frac{10 – 8}{2} = 1\) et \(X_2 = \displaystyle\frac{10 + 8}{2} = 9\).
On revient à \(x\) : \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\) et \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).
\(\mathcal{S} = \{-3\,;\, -1\,;\, 1\,;\, 3\}\)
Piège : après avoir trouvé \(X_1\) et \(X_2\), n’oublie pas de vérifier que ces valeurs sont positives ou nulles. Si \(X_i\) < \(0\), alors \(x^2 = X_i\) n’a pas de solution réelle.
B. Coefficient \(c = 0\) : factorisation par \(x\)
Si le terme constant \(c\) est nul, la factorisation est immédiate :
\(ax^2 + bx = x(ax + b) = 0\)Par la règle du produit nul : \(x = 0\) ou \(ax + b = 0\), soit \(x = -\displaystyle\frac{b}{a}\). Pas besoin de discriminant !
C. 🔴 Extension prépa : résolution dans \(\mathbb{C}\)
Programme CPGE : cette section concerne les filières MPSI, PCSI et leurs prolongements en deuxième année. Elle n’est pas au programme du lycée.
En prépa, l’ensemble de travail s’élargit aux nombres complexes. Le cas \(\Delta\) < \(0\) n’est plus un obstacle : l’équation admet alors deux racines complexes conjuguées.
Théorème — Résolution dans \(\mathbb{C}\)
Si \(\Delta\) < \(0\), l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\) admet deux solutions complexes conjuguées :
\(z_1 = \displaystyle\frac{-b – i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \displaystyle\frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \overline{z_1}\)
Le trinôme se factorise alors dans \(\mathbb{C}\) : \(a(x – z_1)(x – z_2)\).
Exemple : résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(x^2 + x + 1 = 0\).
\(\Delta = 1 – 4 = -3\) < \(0\). On calcule \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{3}\).
\(z_1 = \displaystyle\frac{-1 – i\sqrt{3}}{2} \qquad;\qquad z_2 = \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\)
Ces racines sont les racines cubiques de l’unité autres que \(1\), notées \(j\) et \(\bar{j}\).
Les formules de Viète restent valables dans \(\mathbb{C}\) : \(z_1 + z_2 = -\displaystyle\frac{b}{a}\) et \(z_1 z_2 = \displaystyle\frac{c}{a}\). C’est un outil puissant en algèbre de prépa.
VI. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Pour chaque exercice, essaie de rédiger ta solution complète avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★
Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(3x^2 + 2x – 5 = 0\).
Voir la correction
On identifie \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -5\).
\(\Delta = 2^2 – 4 \times 3 \times (-5) = 4 + 60 = 64\)\(\Delta\) > \(0\) : deux solutions distinctes.
\(x_1 = \displaystyle\frac{-2 – 8}{6} = \displaystyle\frac{-10}{6} = -\displaystyle\frac{5}{3} \qquad;\qquad x_2 = \displaystyle\frac{-2 + 8}{6} = 1\) \(\mathcal{S} = \left\{-\displaystyle\frac{5}{3}\,;\, 1\right\}\)Vérification (Viète) : \(x_1 + x_2 = -\displaystyle\frac{5}{3} + 1 = -\displaystyle\frac{2}{3} = -\displaystyle\frac{b}{a}\) ✓ et \(x_1 \times x_2 = -\displaystyle\frac{5}{3} = \displaystyle\frac{c}{a}\) ✓
Exercice 2 ★
Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(9x^2 – 12x + 4 = 0\).
Voir la correction
\(a = 9\), \(b = -12\), \(c = 4\).
\(\Delta = (-12)^2 – 4 \times 9 \times 4 = 144 – 144 = 0\)\(\Delta = 0\) : une solution double.
\(x_0 = -\displaystyle\frac{-12}{2 \times 9} = \displaystyle\frac{12}{18} = \displaystyle\frac{2}{3}\) \(\mathcal{S} = \left\{\displaystyle\frac{2}{3}\right\}\)On reconnaît d’ailleurs \(9x^2 – 12x + 4 = (3x – 2)^2\).
Exercice 3 ★★
Détermine la forme canonique de \(f(x) = x^2 – 4x + 1\), puis déduis-en les racines de \(f\).
Voir la correction
Forme canonique :
\(f(x) = x^2 – 4x + 1 = (x – 2)^2 – 4 + 1 = (x – 2)^2 – 3\)Racines : on résout \((x-2)^2 – 3 = 0\), soit \((x-2)^2 = 3\).
\(x – 2 = \pm\sqrt{3}\) \(x_1 = 2 – \sqrt{3} \qquad;\qquad x_2 = 2 + \sqrt{3}\) \(\mathcal{S} = \{2 – \sqrt{3}\,;\, 2 + \sqrt{3}\}\)Vérification : \(x_1 + x_2 = 4 = -\displaystyle\frac{b}{a}\) ✓
Exercice 4 ★★
Détermine une équation du second degré à coefficients entiers dont les racines sont \(5 + \sqrt{3}\) et \(5 – \sqrt{3}\).
Voir la correction
On utilise les formules de Viète.
Somme : \((5+\sqrt{3}) + (5-\sqrt{3}) = 10\)
Produit : \((5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3}) = 25 – 3 = 22\)
Avec \(a = 1\) : \(-\displaystyle\frac{b}{a} = 10\) donc \(b = -10\), et \(\displaystyle\frac{c}{a} = 22\) donc \(c = 22\).
L’équation est \(x^2 – 10x + 22 = 0\).
Vérification : \(\Delta = 100 – 88 = 12\), \(x = \displaystyle\frac{10 \pm \sqrt{12}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}\) ✓
Exercice 5 ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation bicarrée \(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\).
Voir la correction
On pose \(X = x^2\) (avec \(X \geq 0\)). L’équation devient :
\(X^2 – 13X + 36 = 0\)\(\Delta = 169 – 144 = 25\) > \(0\).
\(X_1 = \displaystyle\frac{13 – 5}{2} = 4 \qquad;\qquad X_2 = \displaystyle\frac{13 + 5}{2} = 9\)Les deux valeurs sont positives, on revient à \(x\) :
- \(x^2 = 4 \Rightarrow x = -2\) ou \(x = 2\)
- \(x^2 = 9 \Rightarrow x = -3\) ou \(x = 3\)
Exercice 6 ★★★ — Type bac
Soit l’équation \((m-1)x^2 + 2mx + m + 2 = 0\), où \(m\) est un paramètre réel.
- Pour quelle(s) valeur(s) de \(m\) cette équation n’est-elle pas du second degré ?
- Pour les autres valeurs de \(m\), détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles l’équation admet deux solutions réelles distinctes.
Voir la correction
1. L’équation est du second degré si et seulement si le coefficient de \(x^2\) est non nul : \(m – 1 \neq 0\), soit \(m \neq 1\).
Si \(m = 1\) : l’équation devient \(2x + 3 = 0\), soit \(x = -\displaystyle\frac{3}{2}\) (premier degré).
2. Pour \(m \neq 1\), on identifie \(a = m-1\), \(b = 2m\), \(c = m+2\).
\(\Delta = (2m)^2 – 4(m-1)(m+2)\) \(\Delta = 4m^2 – 4(m^2 + m – 2)\) \(\Delta = 4m^2 – 4m^2 – 4m + 8 = -4m + 8 = 4(2 – m)\)L’équation admet deux solutions distinctes si et seulement si \(\Delta\) > \(0\) :
\(4(2 – m)\) > \(0 \iff m\) < \(2\)
En tenant compte de la condition \(m \neq 1\) :
\(m \in \,]-\infty\,;\, 1[\, \cup \,]1\,;\, 2[\)L’essentiel du second degré sur une fiche de révision
Discriminant, formules, forme canonique, signe du trinôme, Viète — tout tient en une page recto-verso à glisser dans ton classeur.
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VII. Erreurs fréquentes et rédaction type DS
Voici les erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies — et comment les éviter.
Erreur n°1 — Se tromper sur \(b^2\) quand \(b\) est négatif
❌ Copie fautive : « Pour \(3x^2 – 4x + 1 = 0\) : \(\Delta = -4^2 – 4(3)(1) = -16 – 12 = -28\). Pas de solution. »
Diagnostic : l’élève a calculé \(-4^2 = -16\) au lieu de \((-4)^2 = 16\). Le carré d’un nombre négatif est toujours positif.
✅ Correction : \(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 3 \times 1 = 16 – 12 = 4\) > \(0\). L’équation admet bien deux solutions.
Erreur n°2 — Oublier de diviser par \(2a\)
❌ Copie fautive : « \(\Delta = 9\), donc \(x_1 = -b – \sqrt{\Delta} = 5 – 3 = 2\). »
Diagnostic : les formules donnent \(\displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), pas \(-b \pm \sqrt{\Delta}\). Le dénominateur \(2a\) est indispensable.
Erreur n°3 — Mal conclure quand \(\Delta\) < \(0\)
❌ Copie fautive : « \(\Delta = -7\). Donc \(x_1 = \displaystyle\frac{-3 + \sqrt{-7}}{2}\)… »
Diagnostic : si \(\Delta\) < \(0\), il n’y a pas de solution réelle. Point final. On ne tente pas de « calculer » \(\sqrt{-7}\) dans \(\mathbb{R}\).
✅ Rédaction correcte : « \(\Delta = -7\) < \(0\), donc l’équation n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\). \(\mathcal{S} = \emptyset\). »
Erreur n°4 — Oublier la condition \(a \neq 0\) dans les exercices à paramètre
❌ Copie fautive : l’élève calcule le discriminant de \((m-1)x^2 + \ldots = 0\) sans vérifier que \(m \neq 1\).
Diagnostic : si \(m = 1\), le coefficient de \(x^2\) s’annule et l’équation n’est plus du second degré. Toujours traiter ce cas à part.
Modèle de rédaction en DS :
« On identifie \(a = \ldots\), \(b = \ldots\), \(c = \ldots\).
On calcule le discriminant : \(\Delta = b^2 – 4ac = \ldots = \ldots\)
[Conclusion selon le signe de \(\Delta\), avec les formules si applicable.]
L’ensemble des solutions est \(\mathcal{S} = \{\ldots\}\). »
VIII. Questions fréquentes
Comment résoudre une équation du second degré ?
On calcule le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\). Si \(\Delta\) > \(0\), il y a deux solutions : \(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Si \(\Delta = 0\), une solution double : \(x_0 = -\displaystyle\frac{b}{2a}\). Si \(\Delta\) < \(0\), pas de solution réelle.
Quelles sont les formules de x1 et x2 ?
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(\Delta = b^2 – 4ac\) > \(0\) : \(x_1 = \displaystyle\frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\). Ce sont les deux racines réelles distinctes du trinôme.
Comment reconnaître une équation du second degré ?
Une équation est du second degré si, après simplification, elle s’écrit sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\). La présence d’un terme en \(x^2\) (et l’absence de puissances supérieures) est le signe distinctif.
Quelle est la différence entre une équation du premier et du second degré ?
Une équation du premier degré (\(bx + c = 0\)) a au plus une solution et sa courbe est une droite. Une équation du second degré (\(ax^2 + bx + c = 0\)) peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles et sa courbe est une parabole. Le discriminant \(\Delta\) est l’outil de résolution propre au second degré.
Comment mettre un trinôme sous forme canonique ?
On factorise le coefficient \(a\) devant les termes en \(x\), puis on complète le carré. La forme canonique est \(a\!\left(x + \displaystyle\frac{b}{2a}\right)^{\!2} – \displaystyle\frac{\Delta}{4a}\). Elle donne directement le sommet de la parabole.
À quoi servent les formules de Viète ?
Les formules \(x_1 + x_2 = -\displaystyle\frac{b}{a}\) et \(x_1 \times x_2 = \displaystyle\frac{c}{a}\) relient les racines aux coefficients sans passer par le discriminant. Elles servent à vérifier un calcul, à retrouver une équation à partir de ses racines, ou à calculer des expressions symétriques en \(x_1\) et \(x_2\).
Peut-on résoudre une équation du second degré sans discriminant ?
Oui, dans certains cas. Si le trinôme est factorisable à vue (ex : \((x-3)(2x+1) = 0\)), on utilise la règle du produit nul. Si \(c = 0\), on factorise par \(x\). Si c’est une identité remarquable, on la reconnaît directement. Mais dans le cas général, le discriminant reste la méthode universelle.
Que se passe-t-il quand le discriminant est négatif ?
Dans \(\mathbb{R}\) : l’équation n’a pas de solution, le trinôme garde un signe constant (celui de \(a\)). Dans \(\mathbb{C}\) (prépa) : l’équation admet deux racines complexes conjuguées \(z = \displaystyle\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\).
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’équation du second degré. Pour approfondir, explore les pages liées de ce cocon :
- Équations et inéquations : cours complet — la vue d’ensemble de toutes les familles d’équations
- Inéquation du second degré — résoudre \(ax^2 + bx + c \geq 0\) grâce au signe du trinôme
- Équation de la tangente — l’équation du second degré intervient pour trouver les points de tangence horizontale
- Équation du cercle — l’intersection droite-cercle se ramène à une équation du second degré
- Équation de droite — l’intersection de deux courbes passe souvent par le second degré
