Sinus et Cosinus Hyperboliques : Cours et Formules

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Les fonctions hyperboliques sh, ch et th sont les analogues réels des fonctions circulaires sin, cos et tan : mêmes identités algébriques (à un signe près), mêmes rôles en analyse. Étudiées dans le cadre du cours complet de trigonométrie, elles sont omniprésentes en CPGE — équations différentielles, calcul intégral, développements limités. Tu trouveras ici les définitions, toutes les propriétés avec démonstrations exigibles, le formulaire complet, les fonctions réciproques et 8 exercices corrigés de ★ à ★★★★★.

I. Définitions des fonctions hyperboliques

Les trois fonctions hyperboliques sont construites à partir de l’exponentielle réelle, exactement comme les fonctions circulaires sont construites à partir de l’exponentielle complexe. Cette analogie profonde gouverne l’ensemble du cours.

A. Sinus hyperbolique sh

La notation \(\mathrm{sh}\) est la convention française standard. On trouve \(\sinh\) dans les ouvrages anglophones et sur la plupart des calculatrices.

B. Cosinus hyperbolique ch

Le cosinus hyperbolique est la demi-somme des exponentielles \(e^x\) et \(e^{-x}\). Il est toujours supérieur ou égal à 1, avec \(\mathrm{ch}(0) = 1\).

C. Tangente hyperbolique th

La fonction \(\mathrm{th}\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) entier puisque \(\mathrm{ch}(x)\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). On définit aussi la cotangente hyperbolique \(\mathrm{coth}(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\), définie sur \(\mathbb{R}^*\).

D. Lien avec les fonctions circulaires

L’analogie entre fonctions hyperboliques et circulaires n’est pas une coïncidence : elle provient de la formule d’Euler. Rappelons les expressions de cos et sin à partir de l’exponentielle complexe :

\(\cos x = \displaystyle\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \qquad \sin x = \displaystyle\frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i}\)

En remplaçant formellement \(ix\) par un réel \(x\) dans la première formule, on obtient exactement \(\mathrm{ch}(x)\). Pour la seconde, le facteur \(i\) au dénominateur disparaît, et l’on retrouve \(\mathrm{sh}(x)\). Plus précisément :

Cette correspondance a une conséquence pratique capitale : toute formule trigonométrique circulaire se transpose en formule hyperbolique par la substitution \(x \mapsto ix\), en ajustant les signes introduits par les puissances de \(i\). Tu retrouveras ce principe au cœur du formulaire (section III).

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II. Propriétés fondamentales

Toutes les propriétés ci-dessous se démontrent directement à partir des définitions exponentielles. Leur maîtrise est indispensable pour les concours.

A. Parité

Démonstration ⋆ : Soit \(x \in \mathbb{R}\). Pour le sinus hyperbolique :

\(\mathrm{sh}(-x) = \displaystyle\frac{e^{-x} – e^{x}}{2} = -\displaystyle\frac{e^{x} – e^{-x}}{2} = -\mathrm{sh}(x)\)

Pour le cosinus hyperbolique : \(\mathrm{ch}(-x) = \displaystyle\frac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \mathrm{ch}(x)\) (la somme commute).

Pour \(\mathrm{th}\) : quotient d’une fonction impaire par une fonction paire, donc impaire. ∎

Comme pour les fonctions circulaires, la parité réduit souvent l’étude à \([0, +\infty[\).

B. L’identité fondamentale \(\mathrm{ch}^2(x) – \mathrm{sh}^2(x) = 1\)

Démonstration ⋆ :

Méthode 1 — Factorisation. Les relations \(\mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x) = e^x\) et \(\mathrm{ch}(x) – \mathrm{sh}(x) = e^{-x}\) donnent :

\(\mathrm{ch}^2(x) – \mathrm{sh}^2(x) = \bigl(\mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x)\bigr)\bigl(\mathrm{ch}(x) – \mathrm{sh}(x)\bigr) = e^x \cdot e^{-x} = 1\)

Méthode 2 — Développement. En développant les carrés :

\(\mathrm{ch}^2(x) – \mathrm{sh}^2(x) = \displaystyle\frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} – \displaystyle\frac{e^{2x} – 2 + e^{-2x}}{4} = \displaystyle\frac{4}{4} = 1\) ∎

Cette identité est l’analogue hyperbolique de \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Elle se décline en divisant par \(\mathrm{ch}^2(x)\) :

\(1 – \mathrm{th}^2(x) = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{ch}^2(x)}\)

C. Dérivées

Démonstration ⋆ :

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\(\mathrm{sh}^\prime(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\frac{e^x – e^{-x}}{2}\right) = \displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \mathrm{ch}(x)\) \(\mathrm{ch}^\prime(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \displaystyle\frac{e^x – e^{-x}}{2} = \mathrm{sh}(x)\)

Pour th, on applique la formule du quotient :

\(\mathrm{th}^\prime(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}^\prime(x)\,\mathrm{ch}(x) – \mathrm{sh}(x)\,\mathrm{ch}^\prime(x)}{\mathrm{ch}^2(x)} = \displaystyle\frac{\mathrm{ch}^2(x) – \mathrm{sh}^2(x)}{\mathrm{ch}^2(x)} = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{ch}^2(x)}\) ∎

En itérant, on obtient les dérivées d’ordre supérieur :

\(\mathrm{sh}^{(n)}(x) = \begin{cases} \mathrm{sh}(x) & \text{si } n \text{ est pair} \\ \mathrm{ch}(x) & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}\)

et de même pour ch. Les fonctions hyperboliques sont donc solutions de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime} – y = 0\) — un fait fondamental que tu retrouveras dans l’exercice 8.

D. Variations, limites et courbes

Le signe des dérivées donne directement les variations :

• \(\mathrm{sh}^\prime = \mathrm{ch}\) > \(0\) sur \(\mathbb{R}\) : sh est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).
• \(\mathrm{ch}^\prime = \mathrm{sh}\) est négatif sur \(]-\infty, 0[\) et positif sur \(]0, +\infty[\) : ch est décroissante puis croissante, avec un minimum global \(\mathrm{ch}(0) = 1\).
• \(\mathrm{th}^\prime = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{ch}^2}\) > \(0\) sur \(\mathbb{R}\) : th est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1, 1[\).

Limites :

Les équivalents s’obtiennent en factorisant par \(e^x\) : en \(+\infty\), \(e^{-x}\) est négligeable devant \(e^x\), d’où \(\mathrm{sh}(x) \sim \mathrm{ch}(x) \sim \displaystyle\frac{e^x}{2}\). Pour th :

\(\mathrm{th}(x) = \displaystyle\frac{1 – e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 1\)

Les courbes confirment les résultats analytiques :

• \(\mathrm{sh}\) (en bleu) : courbe en « S » passant par l’origine, strictement croissante, à croissance exponentielle.
• \(\mathrm{ch}\) (en or) : courbe en forme de chaînette, paire, minimum 1 en 0. C’est la courbe décrite par un câble suspendu sous son propre poids.
• \(\mathrm{th}\) (en vert) : sigmoïde bornée, strictement croissante, avec deux asymptotes horizontales \(y = \pm 1\).

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III. Formulaire complet des fonctions hyperboliques

Les formules ci-dessous se déduisent toutes des définitions exponentielles, ou des formules trigonométriques circulaires par la substitution \(x \mapsto ix\). Chaque formule d’addition est démontrable — et régulièrement demandée en colle.

A. Formules d’addition

Démonstration ⋆ (formule de ch(a+b)) :

\(\mathrm{ch}(a)\,\mathrm{ch}(b) + \mathrm{sh}(a)\,\mathrm{sh}(b)\) \(= \displaystyle\frac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a – e^{-a})(e^b – e^{-b})}{4}\)

En développant le numérateur :

\(= \displaystyle\frac{(e^{a+b} + e^{a-b} + e^{-a+b} + e^{-a-b}) + (e^{a+b} – e^{a-b} – e^{-a+b} + e^{-a-b})}{4}\)

\(= \displaystyle\frac{2e^{a+b} + 2e^{-(a+b)}}{4} = \displaystyle\frac{e^{a+b} + e^{-(a+b)}}{2} = \mathrm{ch}(a+b)\) ∎

La démonstration de sh(a+b) est analogue (exercice 2 ci-dessous). Pour th(a+b), on divise numérateur et dénominateur de \(\displaystyle\frac{\mathrm{sh}(a+b)}{\mathrm{ch}(a+b)}\) par \(\mathrm{ch}(a)\,\mathrm{ch}(b)\).

On en déduit les formules de soustraction en remplaçant \(b\) par \(-b\) (en utilisant la parité) :

\(\mathrm{ch}(a-b) = \mathrm{ch}(a)\,\mathrm{ch}(b) – \mathrm{sh}(a)\,\mathrm{sh}(b)\) \(\mathrm{sh}(a-b) = \mathrm{sh}(a)\,\mathrm{ch}(b) – \mathrm{ch}(a)\,\mathrm{sh}(b)\)

B. Formules de duplication et de linéarisation

En posant \(a = b\) dans les formules d’addition :

Les trois expressions de \(\mathrm{ch}(2x)\) s’obtiennent en combinant \(\mathrm{ch}^2 + \mathrm{sh}^2\) avec l’identité \(\mathrm{ch}^2 – \mathrm{sh}^2 = 1\).

En inversant, on obtient les formules de linéarisation :

Ces formules sont indispensables pour le calcul de primitives de puissances de sh et ch (exercice 4 ci-dessous).

C. Développements limités en 0

Les DL se déduisent de celui de l’exponentielle \(e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) :

La cohérence avec la parité est immédiate : sh (impaire) n’a que des termes impairs, ch (paire) n’a que des termes pairs. Ces DL sont ceux de sin et cos sans les alternances de signe — encore une conséquence du passage \(ix \mapsto x\).

D. Tableau comparatif : fonctions circulaires ↔ hyperboliques

Le tableau suivant synthétise l’analogie systématique entre les deux familles. La règle de passage est simple : chaque terme contenant un produit de deux sinus (ou sh) voit son signe inversé.

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IV. Fonctions hyperboliques réciproques

Les bijectivités établies en section II garantissent l’existence de fonctions réciproques. Leur expression explicite en termes de logarithme est l’un des résultats les plus demandés en colle et aux concours.

A. Argument sinus hyperbolique (argsh)

Démonstration ⋆ : On cherche \(y \in \mathbb{R}\) tel que \(\mathrm{sh}(y) = x\), c’est-à-dire :

\(\displaystyle\frac{e^y – e^{-y}}{2} = x \quad \Leftrightarrow \quad e^{2y} – 2x\,e^y – 1 = 0\)

C’est une équation du second degré en \(t = e^y\) > \(0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 4x^2 + 4 = 4(x^2 + 1)\) > \(0\), et les racines sont :

\(t = x \pm \sqrt{x^2 + 1}\)

Comme \(\sqrt{x^2 + 1}\) > \(|x|\), la racine \(t = x – \sqrt{x^2+1}\) est strictement négative, donc exclue. Il reste \(t = x + \sqrt{x^2+1}\) > \(0\), d’où :

\(y = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\) ∎

B. Argument cosinus hyperbolique (argch)

Démonstration ⋆ : On cherche \(y \geq 0\) tel que \(\mathrm{ch}(y) = x\). En posant \(t = e^y\) > \(0\), on obtient :

\(t^2 – 2x\,t + 1 = 0\)

Le discriminant \(\Delta = 4(x^2 – 1) \geq 0\) pour \(x \geq 1\). Les deux racines sont \(t_1 = x + \sqrt{x^2-1}\) et \(t_2 = x – \sqrt{x^2-1}\).

Observation clé : \(t_1 \cdot t_2 = 1\) (produit des racines), donc \(t_2 = \displaystyle\frac{1}{t_1}\). On a \(t_1 \geq 1\) et \(t_2 \leq 1\).

La condition \(y \geq 0\) impose \(t = e^y \geq 1\), soit \(t = t_1\), et :

\(y = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 – 1}\right)\) ∎

C. Argument tangente hyperbolique (argth)

Démonstration : On résout \(\mathrm{th}(y) = x\), soit \(\displaystyle\frac{e^{2y} – 1}{e^{2y} + 1} = x\). En isolant \(e^{2y}\) :

\(e^{2y} – 1 = x(e^{2y} + 1) \quad \Leftrightarrow \quad e^{2y}(1-x) = 1+x \quad \Leftrightarrow \quad e^{2y} = \displaystyle\frac{1+x}{1-x}\)

d’où \(y = \displaystyle\frac{1}{2}\ln\!\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right)\), valide pour \(|x|\) < \(1\). ∎

D. Dérivées des fonctions réciproques

Démonstration ⋆ (argsh’) : Par le théorème de dérivation des bijections réciproques, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\(\mathrm{argsh}^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{sh}^\prime(\mathrm{argsh}(x))} = \displaystyle\frac{1}{\mathrm{ch}(\mathrm{argsh}(x))}\)

Posons \(y = \mathrm{argsh}(x)\). Alors \(\mathrm{sh}(y) = x\) et l’identité fondamentale donne \(\mathrm{ch}^2(y) = 1 + \mathrm{sh}^2(y) = 1 + x^2\). Comme \(\mathrm{ch}(y)\) > \(0\), on obtient \(\mathrm{ch}(y) = \sqrt{1 + x^2}\), d’où :

\(\mathrm{argsh}^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) ∎

Les démonstrations pour argch’ et argth’ suivent le même schéma (exercice recommandé).

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V. Exercices corrigés

Huit exercices classés par difficulté croissante, couvrant calcul direct, démonstrations, techniques de manipulation et problèmes de concours.

Exercice 1 — ★ — Valeurs exactes

Calculer \(\mathrm{sh}(\ln 3)\), \(\mathrm{ch}(\ln 3)\) et \(\mathrm{th}(\ln 3)\).

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On applique directement les définitions avec \(e^{\ln 3} = 3\) et \(e^{-\ln 3} = \displaystyle\frac{1}{3}\) :

\(\mathrm{sh}(\ln 3) = \displaystyle\frac{3 – \displaystyle\frac{1}{3}}{2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{8}{3}}{2} = \displaystyle\frac{4}{3}\) \(\mathrm{ch}(\ln 3) = \displaystyle\frac{3 + \displaystyle\frac{1}{3}}{2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{10}{3}}{2} = \displaystyle\frac{5}{3}\)

Vérification : \(\mathrm{ch}^2(\ln 3) – \mathrm{sh}^2(\ln 3) = \displaystyle\frac{25}{9} – \displaystyle\frac{16}{9} = 1\) ✓

\(\mathrm{th}(\ln 3) = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}(\ln 3)}{\mathrm{ch}(\ln 3)} = \displaystyle\frac{4/3}{5/3} = \displaystyle\frac{4}{5}\)

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Exercice 2 — ★★ — Formule d’addition (colle classique)

Démontrer que \(\forall a, b \in \mathbb{R}\), \(\mathrm{sh}(a+b) = \mathrm{sh}(a)\,\mathrm{ch}(b) + \mathrm{ch}(a)\,\mathrm{sh}(b)\).

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On part du membre de droite :

\(\mathrm{sh}(a)\,\mathrm{ch}(b) + \mathrm{ch}(a)\,\mathrm{sh}(b) = \displaystyle\frac{(e^a – e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a + e^{-a})(e^b – e^{-b})}{4}\)

Développons chaque produit :

Premier : \(e^{a+b} + e^{a-b} – e^{-a+b} – e^{-a-b}\)

Second : \(e^{a+b} – e^{a-b} + e^{-a+b} – e^{-a-b}\)

La somme vaut \(2e^{a+b} – 2e^{-(a+b)}\), d’où :

\(\displaystyle\frac{2e^{a+b} – 2e^{-(a+b)}}{4} = \displaystyle\frac{e^{a+b} – e^{-(a+b)}}{2} = \mathrm{sh}(a+b)\) ∎

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Exercice 3 — ★★ — Résolution d’équation

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\mathrm{ch}(x) = \displaystyle\frac{5}{3}\).

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Comme \(\displaystyle\frac{5}{3}\) > \(1 = \min(\mathrm{ch})\), l’équation admet des solutions.

Par parité de ch, les solutions sont \(x = \pm\,\mathrm{argch}\!\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)\).

Calculons :

\(\mathrm{argch}\!\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{5}{3} + \sqrt{\displaystyle\frac{25}{9} – 1}\right) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{5}{3} + \displaystyle\frac{4}{3}\right) = \ln(3)\)

Conclusion : \(S = \{-\ln 3 ;\; \ln 3\}\).

Vérification : on a trouvé à l’exercice 1 que \(\mathrm{ch}(\ln 3) = \displaystyle\frac{5}{3}\) ✓

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Exercice 4 — ★★★ — Linéarisation

Linéariser \(\mathrm{ch}^2(x)\,\mathrm{sh}(x)\), c’est-à-dire l’exprimer comme combinaison linéaire de fonctions hyperboliques simples.

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On passe en écriture exponentielle :

\(\mathrm{ch}^2(x)\,\mathrm{sh}(x) = \left(\displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^{\!2} \cdot \displaystyle\frac{e^x – e^{-x}}{2} = \displaystyle\frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x})(e^x – e^{-x})}{8}\)

Développons le numérateur :

\(e^{3x} – e^{x} + 2e^{x} – 2e^{-x} + e^{-x} – e^{-3x} = e^{3x} + e^{x} – e^{-x} – e^{-3x}\) \(= (e^{3x} – e^{-3x}) + (e^{x} – e^{-x}) = 2\,\mathrm{sh}(3x) + 2\,\mathrm{sh}(x)\)

Donc :

\(\mathrm{ch}^2(x)\,\mathrm{sh}(x) = \displaystyle\frac{2\,\mathrm{sh}(3x) + 2\,\mathrm{sh}(x)}{8} = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}(3x) + \mathrm{sh}(x)}{4}\)

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Exercice 5 — ★★★ — Calcul d’intégrale

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \mathrm{th}(x)\,dx\).

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On écrit \(\mathrm{th}(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}\). C’est de la forme \(\displaystyle\frac{u^\prime}{u}\) avec \(u = \mathrm{ch}\) (car \(\mathrm{ch}^\prime = \mathrm{sh}\)).

Une primitive de th est donc \(\ln(\mathrm{ch}(x))\) (la valeur absolue est inutile car \(\mathrm{ch}\) > \(0\)). Ainsi :

\(\displaystyle\int_0^1 \mathrm{th}(x)\,dx = \Big[\ln\bigl(\mathrm{ch}(x)\bigr)\Big]_0^1 = \ln\bigl(\mathrm{ch}(1)\bigr) – \ln\bigl(\mathrm{ch}(0)\bigr) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{e + e^{-1}}{2}\right)\)

car \(\mathrm{ch}(0) = 1\) et \(\ln(1) = 0\).

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Exercice 6 — ★★★ I (Incontournable) — Inégalité fondamentale

1. Montrer que \(\forall x \geq 0\), \(\mathrm{sh}(x) \geq x\).

2. En déduire que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\mathrm{ch}(x) \geq 1 + \displaystyle\frac{x^2}{2}\).

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1. Posons \(f(x) = \mathrm{sh}(x) – x\) sur \([0, +\infty[\).

\(f(0) = 0\) et \(f^\prime(x) = \mathrm{ch}(x) – 1 \geq 0\) (car \(\mathrm{ch}(x) \geq 1\)).

Donc \(f\) est croissante sur \([0, +\infty[\) avec \(f(0) = 0\), d’où \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \geq 0\), soit \(\mathrm{sh}(x) \geq x\). ∎

2. Posons \(g(x) = \mathrm{ch}(x) – 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2}\) sur \(\mathbb{R}\).

\(g(0) = 0\) et \(g^\prime(x) = \mathrm{sh}(x) – x\).

Pour \(x \geq 0\) : \(g^\prime(x) = \mathrm{sh}(x) – x \geq 0\) (question 1), donc \(g\) est croissante sur \([0, +\infty[\).

Pour \(x \leq 0\) : posons \(x = -t\) avec \(t \geq 0\). Alors \(g^\prime(x) = \mathrm{sh}(-t) – (-t) = -\mathrm{sh}(t) + t = -(\mathrm{sh}(t) – t) \leq 0\). Donc \(g\) est décroissante sur \(]-\infty, 0]\).

Dans les deux cas, \(g(x) \geq g(0) = 0\), soit \(\mathrm{ch}(x) \geq 1 + \displaystyle\frac{x^2}{2}\). ∎

Prolongement : en itérant ce raisonnement, on montre par récurrence que \(\mathrm{ch}(x) \geq \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{x^{2k}}{(2k)!}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), ce qui donne le développement en série de ch comme borne inférieure.

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Exercice 7 — ★★★★ — Étude de fonction (type DS)

Soit \(f : ]0, +\infty[\, \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}(x)}{x}\).

1. Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en 0. Préciser la valeur du prolongement.

2. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0, +\infty[\).

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1. Par DL en 0 : \(\mathrm{sh}(x) = x + \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\), donc \(\displaystyle\frac{\mathrm{sh}(x)}{x} = 1 + \displaystyle\frac{x^2}{6} + o(x^2) \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1\).

On prolonge \(f\) en posant \(f(0) = 1\).

2. Sur \(]0, +\infty[\), \(f\) est dérivable et :

\(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{x\,\mathrm{ch}(x) – \mathrm{sh}(x)}{x^2}\)

Le signe de \(f^\prime\) est celui de \(h(x) = x\,\mathrm{ch}(x) – \mathrm{sh}(x)\).

\(h(0) = 0\) et \(h^\prime(x) = \mathrm{ch}(x) + x\,\mathrm{sh}(x) – \mathrm{ch}(x) = x\,\mathrm{sh}(x)\).

Pour \(x\) > \(0\), \(\mathrm{sh}(x)\) > \(0\) donc \(h^\prime(x)\) > \(0\) : la fonction \(h\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\).

Comme \(h(0) = 0\), on a \(h(x)\) > \(0\) pour tout \(x\) > \(0\), donc \(f^\prime(x)\) > \(0\).

Conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\), avec \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

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Exercice 8 — ★★★★★ — Caractérisation fonctionnelle (type concours)

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable vérifiant \(f^\prime(x) = \sqrt{1 + f(x)^2}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f = \mathrm{sh}\).

Voir la correction

Étape 1 — Montrer que f vérifie une EDO linéaire.

Posons \(g = f^\prime\). Par hypothèse, \(g(x) = \sqrt{1 + f(x)^2}\) > \(0\). La fonction \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(g\) est dérivable (comme composée). Dérivons :

\(g^\prime(x) = \displaystyle\frac{f(x)\,f^\prime(x)}{\sqrt{1 + f(x)^2}} = \displaystyle\frac{f(x)\,g(x)}{g(x)} = f(x)\)

Donc \(f^{\prime\prime}(x) = f(x)\) : la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime} – y = 0\).

Étape 2 — Résoudre avec les conditions initiales.

Les solutions de \(y^{\prime\prime} – y = 0\) forment l’espace vectoriel engendré par \(\mathrm{ch}\) et \(\mathrm{sh}\) :

\(f(x) = A\,\mathrm{ch}(x) + B\,\mathrm{sh}(x)\)

Condition \(f(0) = 0\) : \(A \cdot 1 + B \cdot 0 = 0\), donc \(A = 0\).

Condition \(f^\prime(0) = \sqrt{1 + f(0)^2} = 1\) : \(B\,\mathrm{ch}(0) = B = 1\).

Conclusion : \(f = \mathrm{sh}\). ∎

Remarque : cet exercice illustre le lien fondamental entre les fonctions hyperboliques et l’équation différentielle \(y^{\prime\prime} – y = 0\). Les solutions de \(y^{\prime\prime} + y = 0\) sont les fonctions circulaires sin et cos ; celles de \(y^{\prime\prime} – y = 0\) sont les fonctions hyperboliques sh et ch. Le changement de signe devant \(y\) transforme les oscillations en croissance exponentielle.

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les fonctions hyperboliques et leurs réciproques. Pour approfondir et t’entraîner davantage, voici les ressources complémentaires :

Dans le cocon Trigonométrie :

• Fonctions trigonométriques sin, cos, tan — les « sœurs circulaires » des hyperboliques, pour comparer systématiquement les deux familles
• Formules de trigonométrie — le formulaire circulaire complet, à mettre en regard du formulaire hyperbolique
• Équations trigonométriques — méthodes de résolution d’équations en sin/cos, transposables aux équations en sh/ch
• Exercices de trigonométrie — Lycée & Prépa — pour t’entraîner sur l’ensemble du chapitre

Cours connexes :

• Équations différentielles — sh et ch sont solutions de \(y^{\prime\prime} – y = 0\), l’une des EDO les plus fondamentales
• Primitives et intégrales — les réciproques argsh et argch fournissent des primitives de fractions irrationnelles