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L’épreuve de Mathématiques CCINP PC 2026, d’une durée de 4 heures et sans calculatrice, se compose de trois exercices indépendants couvrant un large spectre du programme. L’exercice 1 porte sur la réduction de matrices par blocs de la forme \(M = \begin{pmatrix} \alpha A & \beta A \\ \gamma A & \delta A \end{pmatrix}\), l’exercice 2 explore la loi géométrique sous l’angle de la somme et du maximum de variables indépendantes, et l’exercice 3 étudie l’équation fonctionnelle \(f^\prime(x) = f(\lambda x)\). Le sujet est globalement équilibré, avec une difficulté croissante au sein de chaque exercice, les dernières questions de chacun nécessitant une maîtrise technique solide.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Partie I.1 (Q1-Q3) | Exemple de matrice par blocs 4×4 | Accessible | Diagonalisation, matrice symétrique positive |
| Exercice 1 – Partie I.2 (Q4-Q8) | Réduction de M = (A,A;A,A) | Élevé | Similitude par blocs, polynôme caractéristique, polynôme annulateur |
| Exercice 1 – Partie II (Q9-Q12) | Réduction de M = (A,A;0,A) | Élevé | Puissances de matrices par blocs, dérivée formelle de polynôme matriciel |
| Exercice 2 – Partie I (Q13-Q17) | Loi de la somme S_n | Accessible | Fonction génératrice, développement en série entière |
| Exercice 2 – Partie II (Q18-Q21) | Loi du maximum V_n | Accessible | Indépendance, fonction de répartition, espérance par la queue |
| Exercice 2 – Partie III (Q22-Q25) | Équivalent de E(V_n) | Élevé | Comparaison série-intégrale, changement de variable, sommes harmoniques |
| Exercice 3 – Partie I (Q26-Q29) | Généralités sur f'(x) = f(λx) | Accessible | Sous-espace vectoriel, EDO d’ordre 2 |
| Exercice 3 – Partie II (Q30-Q33) | Solutions développables en série entière | Élevé | Rayon de convergence, récurrence sur les coefficients |
| Exercice 3 – Partie III (Q34-Q37) | Détermination de toutes les solutions | Très élevé | Formule de Taylor avec reste intégral, convergence uniforme |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 – Réduction de matrices par blocs
Cet exercice étudie des matrices de \(\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})\) construites à partir de blocs proportionnels à une même matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). La Partie I se concentre sur la forme \(M = \begin{pmatrix} A & A \\ A & A \end{pmatrix}\). Après un exemple concret en dimension 4 (Q1-Q3), le sujet construit une matrice de passage \(P\) par blocs pour montrer que \(M\) est semblable à \(D = \begin{pmatrix} O_n & O_n \\ O_n & 2A \end{pmatrix}\). Les questions Q6 à Q8 exploitent cette similitude pour relier les polynômes caractéristiques et annulateurs de \(M\) et \(A\), aboutissant à l’équivalence entre la diagonalisation de \(M\) et celle de \(A\).
La Partie II étudie la forme triangulaire supérieure \(M = \begin{pmatrix} A & A \\ O_n & A \end{pmatrix}\). Le calcul de \(M^k\) par récurrence (Q9) puis l’expression de \(Q(M)\) pour un polynôme quelconque (Q10) révèlent l’apparition surprenante de la dérivée formelle \(Q^\prime\). Les questions Q11-Q12 en tirent une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité de \(M\).
Exercice 2 – Autour de la loi géométrique
On considère \((X_k)_{k \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\), avec \(q = 1-p\). La Partie I détermine la loi de \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) via les fonctions génératrices, aboutissant à une loi binomiale négative. La Partie II étudie \(V_n = \max(X_1, \ldots, X_n)\) : fonction de répartition, loi et espérance. La Partie III détermine un équivalent de \(\mathrm{E}(V_n)\) quand \(n \to +\infty\) en combinant comparaison série-intégrale, changement de variable et sommes harmoniques.
Exercice 3 – Résolution d’une équation différentielle non ordinaire
On cherche les fonctions dérivables \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) vérifiant \(f^\prime(x) = f(\lambda x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec \(\lambda \in [-1, 1]\). La Partie I explore les cas particuliers \(\lambda = 1\) (exponentielle), \(\lambda = 0\) (fonction affine) et \(\lambda = -1\) (réduction à une équation différentielle d’ordre 2). La Partie II construit la solution développable en série entière \(\varphi(x) = \sum_{n \geq 0} \lambda^{\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) et montre que toute solution DSE est proportionnelle à \(\varphi\). La Partie III, la plus technique, utilise la formule de Taylor avec reste intégral pour montrer que toute solution est automatiquement DSE, concluant que \(S_\lambda\) est de dimension 1 pour \(\lambda \neq 0\).
Notions et chapitres testés
- Algèbre linéaire et réduction : calcul matriciel par blocs, similitude, polynôme caractéristique et annulateur, critères de diagonalisabilité, spectre d’une matrice, matrices symétriques réelles positives.
- Probabilités discrètes : loi géométrique (espérance, variance), indépendance, fonction génératrice, loi du maximum, loi binomiale négative, espérance d’une variable à valeurs entières via \(\mathrm{E}(Y) = \sum_{k \geq 0} P(Y \geq k+1)\).
- Séries entières : rayon de convergence (règle de d’Alembert), développement en série entière, identification de coefficients, dérivation terme à terme.
- Analyse : équations différentielles, sous-espaces vectoriels de fonctions, formule de Taylor avec reste intégral, convergence uniforme sur un compact, comparaison série-intégrale, intégrales généralisées.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet CCINP PC 2026 présente un niveau de difficulté conforme à la tradition récente du concours, avec une gradation bien pensée : chaque exercice débute par des questions accessibles avant de monter en technicité. Les premières questions de chaque partie (Q1-Q3, Q13-Q14, Q26-Q29) sont des points à sécuriser impérativement.
Par rapport aux sessions 2023-2025, on note la présence récurrente de l’algèbre linéaire par blocs, un thème classique au CCINP. L’exercice 2 sur les fonctions génératrices et le maximum de variables géométriques est dans la lignée des sujets de probabilités discrètes régulièrement posés. L’originalité principale réside dans l’exercice 3 : l’équation \(f^\prime(x) = f(\lambda x)\) sort du cadre habituel des EDO d’ordre 1 et requiert une bonne maîtrise des séries entières combinée à la formule de Taylor. Les questions Q34-Q37 sont d’un niveau élevé pour le CCINP et constituent le facteur discriminant du sujet.
Pièges et points techniques délicats
Q3 – Positive ou définie positive ? La matrice \(M\) est symétrique positive car \({}^t\!X M X = {}^t\!(x+y) A (x+y) \geq 0\). Mais elle n’est pas définie positive : prendre \(x = -y\) donne une forme quadratique nulle. Les valeurs propres nulles de \(M\) le confirment.
Q7 – Substitution polynomiale. L’énoncé demande de montrer l’équivalence entre « \(Q\) annulateur de \(A\) avec \(Q(0) = 0\) » et « \(Q\!\left(\displaystyle\frac{X}{2}\right)\) annulateur de \(D\) ». La difficulté est de bien calculer \(R(D)\) avec \(R(X) = Q\!\left(\displaystyle\frac{X}{2}\right)\) en exploitant la structure diagonale par blocs de \(D\) : le bloc supérieur donne la condition \(q_0 = 0\), le bloc inférieur donne \(Q(A) = 0\).
Q10 – Apparition de la dérivée formelle. Le calcul de \(Q(M)\) pour \(M = \begin{pmatrix} A & A \\ O_n & A \end{pmatrix}\) fait apparaître \(Q^\prime(A)\) dans le bloc supérieur droit : \(Q(M) = \begin{pmatrix} Q(A) & A Q^\prime(A) \\ O_n & Q(A) \end{pmatrix}\). Ce résultat est non trivial et exige un passage rigoureux par \(M^k\).
Q12 – Condition surprenante. Contrairement à la Partie I (où \(M\) diagonalisable \(\Leftrightarrow\) \(A\) diagonalisable), ici la condition est \(A = O_n\). L’argument clé : \(S^\prime(A)\) est inversible (Q11), donc \(A S^\prime(A) = O_n\) implique \(A = O_n\). Ne pas confondre les deux parties !
Q17 – Développement binomial négatif. Il faut connaître le développement \((1 – qt)^{-n} = \displaystyle\sum_{j \geq 0} C_{n+j-1}^{n-1}\, q^j t^j\) pour identifier les coefficients et obtenir la loi de \(S_n\).
Q24 – Changement de variable. Le choix \(u = 1 – q^x\) (et non \(u = q^x\)) est essentiel pour transformer l’intégrale en \(\displaystyle\frac{1}{-\ln(q)} \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1 – u^n}{1 – u}\, \mathrm{d}u\), qui se calcule explicitement via la somme géométrique \(\displaystyle\frac{1 – u^n}{1 – u} = 1 + u + \cdots + u^{n-1}\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1 : Argument direct : \(M\) est réelle symétrique (car \(A\) est diagonale, donc symétrique), donc diagonalisable par le théorème spectral.
- Q4 : Calculer le produit \(PP^\prime\) par blocs et vérifier qu’on obtient \(2I_{2n}\), d’où l’inversibilité et l’expression de \(P^{-1}\).
- Q5 : Calculer \(P^{-1}MP\) par produit de matrices par blocs. C’est un calcul direct en deux étapes.
- Q6 : Utiliser \(\chi_M = \chi_D\) (similitude), puis \(\chi_D(\lambda) = \lambda^n \cdot \det(\lambda I_n – 2A) = \lambda^n \cdot 2^n \cdot \chi_A\!\left(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\right)\).
- Q8 : Exploiter Q7 : \(M\) est diagonalisable ssi \(D\) l’est, ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples, ce qui se traduit en une condition équivalente sur \(A\).
- Q9-Q10 : Récurrence sur \(k\) pour \(M^k\), puis linéarité pour \(Q(M)\). Regrouper les termes du bloc supérieur droit pour faire apparaître \(A Q^\prime(A)\).
- Q11-Q12 : Exploiter \(S(A) = O_n\) et \(A S^\prime(A) = O_n\) avec l’inversibilité de \(S^\prime(A)\) (racines simples de \(S\) évaluées aux valeurs propres de \(A\)).
Exercice 2
- Q15 : Majorer \(P(Y = k) \leq 1\) pour montrer que le rayon est au moins 1, ou utiliser la convergence en \(t = 1\) (somme des probabilités = 1).
- Q16 : Indépendance des \(X_i\) pour factoriser \(G_{S_n}(t) = \left(G_{X_1}(t)\right)^n\), puis calculer \(G_{X_1}(t) = \displaystyle\frac{pt}{1 – qt}\).
- Q19 : Relier \((V_n \leq k)\) à l’intersection des événements \((X_i \leq k)\) et utiliser l’indépendance.
- Q20 : Formule classique \(\mathrm{E}(V_n) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} P(V_n \geq k+1) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\left(1 – (1 – q^k)^n\right)\), en majorant par \(nq^k\) pour la convergence.
- Q23 : Encadrement classique par comparaison série-intégrale d’une fonction décroissante.
- Q25 : Combiner \(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1 – u^n}{1 – u}\,\mathrm{d}u = H_n \sim \ln(n)\) avec l’encadrement de Q23 pour conclure \(\mathrm{E}(V_n) \sim \displaystyle\frac{\ln(n)}{-\ln(q)}\).
Exercice 3
- Q27-Q29 : Résoudre directement les cas \(\lambda = 1\) (exponentielle), \(\lambda = 0\) (intégration directe) et \(\lambda = -1\) (dériver l’équation pour obtenir \(f^{\prime\prime} + f = 0\), puis sélectionner parmi les solutions).
- Q30 : Règle de d’Alembert sur \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{|\lambda|^n}{n+1} \to 0\), d’où \(R = +\infty\).
- Q32-Q33 : Identifier les coefficients de \(f^\prime(x)\) et \(f(\lambda x)\) pour obtenir \((n+1)a_{n+1} = \lambda^n a_n\), puis montrer par récurrence que \(a_n = a_0 \cdot \displaystyle\frac{\lambda^{n(n-1)/2}}{n!}\), soit \(f \in \mathrm{Vect}(\varphi)\).
- Q34-Q36 : Récurrence sur \(n\) pour \(f^{(n)}(t) = \lambda^{\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}} f(\lambda^n t)\) (règle de la chaîne), puis dominer \(|g_n(t)|\) sur \([-a, a]\) par \(C \cdot \displaystyle\frac{(2a)^n |\lambda|^{n(n+1)/2}}{n!} \to 0\) pour la convergence uniforme et conclure que \(f\) est DSE.
- Q37 : Combiner Q33 (toute solution DSE est dans \(\mathrm{Vect}(\varphi)\)) et Q36 (toute solution est DSE) pour conclure \(\dim(S_\lambda) = 1\) pour \(\lambda \neq 0\).
Conseils pour les futurs candidats
Sécuriser les questions d’entrée. Les questions Q1-Q3, Q13-Q14, Q18-Q19 et Q26-Q29 sont accessibles et rapportent des points précieux. Entraîne-toi à les traiter rapidement et sans erreur.
Maîtriser le calcul par blocs. Les matrices par blocs reviennent très régulièrement au CCINP. Il faut savoir multiplier, inverser et réduire des matrices par blocs de manière fluide. Entraîne-toi sur des exercices variés de multiplication matricielle par blocs.
Connaître les fonctions génératrices. Le passage par la fonction génératrice est un outil puissant pour les lois discrètes. Révisez le lien entre indépendance et produit de fonctions génératrices, ainsi que les développements en série entière classiques (binomial négatif notamment).
Travailler les séries entières et la formule de Taylor. L’exercice 3 montre que la théorie des séries entières (rayon de convergence, dérivation terme à terme, identification de coefficients) et la formule de Taylor avec reste intégral sont des outils fondamentaux. C’est un chapitre souvent négligé qui fait pourtant la différence dans les dernières questions.
S’entraîner à la comparaison série-intégrale. La technique utilisée dans l’exercice 2, partie III, est un classique qui revient chaque année sous différentes formes. Travaille-la en lien avec les intégrales généralisées et les équivalents de suites.
Lire l’énoncé en entier avant de commencer. Les trois exercices étant indépendants, repère les questions les plus abordables dans chacun et commence par celles où tu es le plus à l’aise. La gestion du temps est cruciale sur 4 heures sans calculatrice.
