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L’épreuve de Mathématiques Appliquées EDHEC 2026, destinée à la filière ECG voie générale, s’est déroulée le 27 avril 2026, de 14 h à 18 h, sans calculatrice. Le sujet comporte trois exercices indépendants et un problème en cinq parties, couvrant un spectre large du programme : suites et séries, systèmes différentiels, estimation statistique, et algèbre linéaire appliquée à la théorie des graphes. La difficulté est progressive au sein de chaque bloc, avec un problème final nettement plus exigeant que les exercices, ce qui rend le sujet globalement équilibré mais sélectif sur la fin.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 (Q1-6) | Suite récurrente, série et variable aléatoire | Accessible à Élevé | Récurrence, série télescopique, loi discrète |
| Exercice 2 (Q1-5) | Système différentiel linéaire | Accessible | EDO d’ordre 1 et 2, fonction auxiliaire, Python |
| Exercice 3 (Q1-7) | Estimation par la statistique du maximum | Élevé | Loi uniforme, fonction de répartition, Bienaymé-Tchebychev |
| Problème P1-P2 (Q1-3) | Préliminaires : matrices et graphes | Accessible | Polynôme annulateur, valeurs propres de Jn, diamètre |
| Problème P3 (Q4-8) | Matrice d’adjacence d’un graphe de Moore | Élevé | Produit matriciel, symétrie, relation matricielle |
| Problème P4-P5 (Q9-15) | Spectre de la matrice d’adjacence | Très élevé | Diagonalisation, trace, raisonnement par l’absurde |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 : suite récurrente, série et variable aléatoire (Q1-6)
Cet exercice étudie la suite définie par \(u_0 = a\) (avec \(a > 1\)) et \(u_{n+1} = u_n^2 – u_n + 1\). Les premières questions (Python, limite éventuelle, monotonie) sont classiques. La question 4 demande d’identifier un équivalent de \(u_{n+1}\) parmi quatre propositions. Puis la question 5 fait apparaître une structure télescopique remarquable, permettant de calculer la somme partielle \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{u_k}\) puis de conclure à la convergence de la série. Pour \(a = 2\), la question 6 construit une variable aléatoire discrète \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et demande de prouver l’existence de son espérance et de sa variance.
Exercice 2 : système différentiel (Q1-5)
On cherche les fonctions \(f\) et \(g\) vérifiant un système linéaire à coefficients constants avec conditions initiales \(f(0) = g(0) = 1\). Deux méthodes sont proposées : la première passe par une équation différentielle d’ordre 2 vérifiée par \(f\) ; la seconde utilise la fonction auxiliaire \(h = f + g\) pour se ramener à une équation différentielle d’ordre 1. L’exercice se termine par l’écriture de fonctions Python et le tracé des courbes.
Exercice 3 : estimation statistique (Q1-7)
On dispose de \(n\) variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur \([0, \theta]\), et on étudie l’estimateur construit à partir de la statistique du maximum \(Y_n = \max(X_1, \ldots, X_n)\). Le cheminement passe par le calcul de la fonction de répartition de \(Y_n\), sa densité, son espérance et sa variance, puis la construction d’un estimateur sans biais \(Z_n\) et d’un intervalle de confiance via l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Un code Python complète l’exercice.
Problème : graphes de Moore et algèbre linéaire (Q1-15)
Le problème est ambitieux : il relie théorie des graphes et algèbre linéaire. La Partie 1 étudie la matrice \(J_n\) (tous les coefficients égaux à 1) et ses valeurs propres. La Partie 2 travaille sur des exemples concrets de graphes. La Partie 3 établit la relation fondamentale \(A^2 + A = (d-1)I_n + J_n\) pour la matrice d’adjacence d’un graphe de Moore. Les Parties 4 et 5 exploitent cette relation pour déterminer les valeurs propres possibles de \(A\), en utilisant la diagonalisation, la trace et des raisonnements par l’absurde.
Notions et chapitres testés
- Suites numériques : récurrence, monotonie, divergence, équivalents, suites définies par \(u_{n+1} = f(u_n)\).
- Séries numériques : série télescopique, convergence, calcul de la somme.
- Équations différentielles : ordre 1 linéaire à coefficients constants (avec second membre), ordre 2 à coefficients constants (racine double), système différentiel linéaire.
- Probabilités discrètes : définition d’une loi sur \(\mathbb{N}\), espérance, variance, critères d’existence.
- Statistiques : estimateur sans biais, loi de la statistique du maximum, intervalle de confiance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Algèbre linéaire : produit matriciel, matrice symétrique, polynôme annulateur, diagonalisation, valeurs propres, sous-espaces propres, trace.
- Théorie des graphes : degré, diamètre, matrice d’adjacence, graphes de Moore.
- Python : boucles, fonctions, simulation (numpy.random), tracé (matplotlib).
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet EDHEC 2026 se situe dans la lignée des sujets récents par sa structure (trois exercices + un problème), mais se distingue par un problème final plus abstrait qu’à l’accoutumée. Les exercices 1 et 2 sont d’un niveau standard pour le concours EDHEC, comparables à ceux des sessions 2023-2025. L’exercice 3 sur l’estimation est un classique de l’épreuve, quoique légèrement plus technique que d’habitude dans sa partie Bienaymé-Tchebychev.
Le problème, en revanche, est plus ambitieux que ce que l’on voyait les années précédentes. L’articulation entre théorie des graphes et algèbre spectrale est originale et rappelle davantage un sujet de type ESSEC ou HEC. Les dernières questions (Partie 5) nécessitent un vrai recul et une capacité de raisonnement par l’absurde qui peut déstabiliser. Dans l’ensemble, un candidat bien préparé peut espérer traiter intégralement les trois exercices et les trois premières parties du problème, ce qui représente déjà une excellente copie.
Pièges et points techniques délicats
Exercice 1, Q3c : Ne te contente pas de dire « la suite est croissante donc divergente ». Une suite croissante peut converger ! Tu dois combiner trois arguments : la suite est croissante, elle est minorée par \(a > 1\), et si elle convergeait, sa limite serait \(\ell = 1\) (Q2), ce qui contredit \(u_n \geq a > 1\).
Exercice 1, Q4 : Pour identifier le bon équivalent, divise la relation \(u_{n+1} = u_n^2 – u_n + 1\) par \(u_n^2\) et utilise le fait que \(u_n \to +\infty\). Le rapport \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n^2} = 1 – \displaystyle\frac{1}{u_n} + \displaystyle\frac{1}{u_n^2} \to 1\). La bonne réponse est donc \(u_{n+1} \underset{+\infty}{\sim} u_n^2\) (proposition ②).
Exercice 1, Q5a : La clé est de factoriser \(u_{n+1} – 1 = u_n^2 – u_n = u_n(u_n – 1)\). Sans cette factorisation, le calcul télescopique est inaccessible.
Exercice 1, Q6d : Pour montrer l’existence de l’espérance et de la variance, tu dois majorer \(n \cdot P(X = n)\) et \(n^2 \cdot P(X = n)\). Grâce à la minoration \(u_n \geq 2^{2^n}\), tu obtiens \(\displaystyle\frac{n}{u_n} \leq \displaystyle\frac{n}{2^{2^n}}\), qui est le terme général d’une série convergente (la décroissance est surexponentielle). Même raisonnement avec \(n^2\).
Exercice 2, Q2a : Pour obtenir l’EDO d’ordre 2, dérive \(f^\prime = f – 2g\) pour obtenir \(f^{\prime\prime} = f^\prime – 2g^\prime\), puis remplace \(g^\prime\) par \(2f + 5g\) et enfin élimine \(g\) en utilisant \(g = \displaystyle\frac{f – f^\prime}{2}\). Attention aux signes lors de ces substitutions.
Exercice 3, Q6a : On a \(\theta \in [5, 7]\), donc \(\theta^2 \leq 49\). Pour \(n \geq 47\), on a \(n + 2 \geq 49 \geq \theta^2\), d’où \(\displaystyle\frac{\theta^2}{n+2} \leq 1\). Ne pas oublier l’hypothèse \(\theta \leq 7\).
Problème, Q11a : Utilise la relation \(A^2 + A = (d-1)I_n + J_n\) sur le vecteur propre \(X\) : \((\lambda^2 + \lambda)X = (d-1)X + J_n X\), ce qui donne \(J_n X = (\lambda^2 + \lambda – d + 1)X\). Les valeurs propres de \(J_n\) étant \(0\) et \(n\), tu obtiens deux cas à traiter.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
Q1 : Initialiser u = a, puis itérer u = u**2 - u + 1. Q2 : Passage à la limite dans la relation de récurrence, résolution de \(\ell = \ell^2 – \ell + 1\), identité remarquable \((\ell – 1)^2 = 0\). Q3 : Calcul de \(u_{n+1} – u_n = (u_n – 1)^2 \geq 0\), récurrence immédiate pour la minoration, puis argument de contradiction pour la divergence. Q5 : Factorisation de \(u_{n+1} – 1\), somme télescopique donnant \(\displaystyle\frac{1}{a – 1} – \displaystyle\frac{1}{u_{n+1} – 1}\), passage à la limite pour la somme de la série : \(\displaystyle\frac{1}{a – 1}\). Q6 : Vérification des axiomes d’une loi de probabilité (termes positifs, somme égale à 1), puis récurrence pour la minoration \(u_n \geq 2^{2^n}\), et comparaison des séries pour l’existence des moments.
Exercice 2
Méthode 1 : Dérivation et élimination pour obtenir \(f^{\prime\prime} – 6f^\prime + 9f = 0\). Équation caractéristique à racine double \(r = 3\), solution générale \(f(x) = (\alpha + \beta x)e^{3x}\). Conditions initiales \(f(0) = 1\) et \(f^\prime(0) = f(0) – 2g(0) = -1\). Méthode 2 : La fonction \(h = f + g\) vérifie \(h^\prime = 3h\) avec \(h(0) = 2\), d’où \(h(x) = 2e^{3x}\). On se ramène à une EDO du type \(y^\prime = 3y – 4e^{3x}\) et on cherche une solution particulière de la forme \(axe^{3x}\).
Exercice 3
Q2 : Fonction de répartition du max : \(F_n(y) = [F(y)]^n\) par indépendance. Dérivation pour obtenir la densité. Q4-5 : Calculs d’intégrales \(\displaystyle\int_0^{\theta} y \cdot f_n(y) \, dy\) et \(\displaystyle\int_0^{\theta} y^2 \cdot f_n(y) \, dy\) via la formule de König. Q6 : Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(Z_n\), majoration de \(V(Z_n)\) grâce à \(\displaystyle\frac{\theta^2}{n+2} \leq 1\), puis choix de \(\varepsilon = 0{,}1\) et \(n = 2000\) pour atteindre le niveau 95 %.
Problème
P1 : Vérifier \(J_n^2 = nJ_n\), puis diagonalisabilité (matrice symétrique réelle), valeurs propres par analyse du polynôme annulateur. P3 : Exploitation méthodique de la formule du produit matriciel pour montrer \(b_{i,j} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{i,k} a_{j,k}\), puis utilisation des propriétés du graphe de Moore (degré \(d\) uniforme, unicité des chaînes). P4-P5 : Analyse spectrale de \(A\) via la relation \(A^2 + A = (d-1)I_n + J_n\). On montre que \(d\) est valeur propre, puis que toute autre valeur propre vérifie \(\lambda^2 + \lambda – d + 1 = 0\). La Partie 5 confirme par la trace et l’absurde que \(b\) et \(c\) sont effectivement valeurs propres.
Conseils pour les futurs candidats
Priorise les exercices. Les trois exercices sont dans l’ensemble plus abordables que le problème. En situation de concours, assure-toi de les traiter intégralement avant de t’attaquer au problème.
Suites et séries : Ce sujet confirme que les séries télescopiques sont un classique incontournable. Entraîne-toi à repérer les structures de type \(\displaystyle\frac{1}{v_n} – \displaystyle\frac{1}{v_{n+1}}\) en factorisant la relation de récurrence. Travaille aussi les équivalents de suites divergentes.
Systèmes différentiels : Maîtrise les deux techniques de résolution : passage à l’EDO d’ordre 2 par élimination et utilisation d’une combinaison linéaire judicieuse. La seconde méthode est souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul.
Estimation : Les statistiques d’ordre (max, min) sont régulièrement posées à l’EDHEC. Révise la construction de la fonction de répartition du maximum, le passage à la densité, et surtout l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour les intervalles de confiance non asymptotiques.
Algèbre linéaire : Le problème montre que la diagonalisation et la notion de polynôme annulateur peuvent être mobilisées dans un contexte inattendu (graphes). Entraîne-toi à manipuler des matrices structurées comme la matrice identité et la matrice \(J_n\). Maîtrise le lien entre polynôme annulateur et valeurs propres.
Python : Les questions de code sont des points quasi-offerts. Révise les simulations de lois (via rd.random), les boucles for pour le calcul de suites, et les commandes np.linspace / plt.plot pour les tracés. Ne néglige pas ces questions : elles ne prennent que quelques minutes et rapportent des points précieux.
