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L’épreuve de Maths 1 Centrale-Supélec MP/MPI 2026, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, s’articule autour d’un thème fédérateur : « Sur quelques sous-groupes de \(GL_n(\mathbb{R})\) ». Le sujet se décompose en trois parties indépendantes qui explorent successivement les sous-groupes finis de \(O_n(\mathbb{R})\), les sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\) et la croissance du groupe de Heisenberg discret. L’ensemble constitue une épreuve exigeante, à dominante algébrique, qui mobilise aussi des outils d’analyse (compacité, log-concavité) et de combinatoire (dénombrement, croissance polynomiale).
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A – I (Q1–Q3) | Généralités sur les sous-groupes finis | Accessible | Théorème de Lagrange, exposant d’un groupe, trace |
| Partie A – II (Q4–Q8) | Sous-groupes finis de O₂(ℝ) | Élevé | Matrices de rotation, groupes diédraux, groupes cycliques |
| Partie A – III (Q9–Q14) | Caractérisation via la trace | Élevé | Réduction des matrices orthogonales, produit scalaire matriciel |
| Partie B – I (Q15–Q21) | Ordre de Loewner sur les matrices symétriques | Élevé | Matrices symétriques positives, spectre, produit scalaire |
| Partie B – II–IV (Q22–Q29) | Log-concavité du déterminant et sous-groupes compacts | Très élevé | Convexité, déterminant maximal, compacité, isomorphisme |
| Partie C – I (Q30–Q32) | Croissance polynomiale d’un groupe | Accessible | Longueur des mots, dénombrement de triplets |
| Partie C – II (Q33–Q41) | Groupe de Heisenberg discret | Très élevé | Calcul matriciel, commutateurs, encadrement de croissance |
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Structure et thèmes du sujet
Partie A – Sous-groupes finis de O_n(ℝ)
La première partie se découpe en trois sections. La section I (Q1–Q3) introduit les notions d’exposant fini et de trace d’un groupe, avec des questions de cours et de construction de contre-exemples. La section II (Q4–Q8) se concentre sur \(O_2(\mathbb{R})\) : on y paramètre les rotations par leur angle, on étudie les groupes cycliques \(\langle R_\theta \rangle\) selon la rationalité de \(\displaystyle\frac{\theta}{\pi}\), puis on classifie les sous-groupes finis en montrant que ceux inclus dans \(SO_2(\mathbb{R})\) sont monogènes et que les autres sont isomorphes à des groupes diédraux \(D_m\). La section III (Q9–Q14) démontre l’équivalence centrale du sujet : pour un sous-groupe \(G\) de \(O_n(\mathbb{R})\), être fini, être d’exposant fini et avoir une trace finie sont trois propriétés équivalentes.
Partie B – Sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)
Cette partie construit progressivement l’outil permettant de montrer que tout sous-groupe compact de \(GL_n(\mathbb{R})\) est isomorphe à un sous-groupe de \(O_n(\mathbb{R})\). La section I (Q15–Q21) établit des propriétés utiles autour de l’ordre de Loewner \(B \preccurlyeq A\) sur les matrices symétriques positives, en passant par un produit scalaire \((X,Y)_A = (AX \mid Y)\). La section II (Q22–Q23) montre la stricte log-concavité de \(A \mapsto \ln(\det A)\) sur \(S_n^{++}(\mathbb{R})\). Les sections III et IV (Q24–Q29) construisent le groupe orthogonal \(O(A) = \{M : M^\top A M = A\}\) et prouvent le résultat final : le sous-groupe compact \(G\) est conjugué à un sous-groupe de \(O_n(\mathbb{R})\).
Partie C – Croissance du groupe de Heisenberg discret
La dernière partie introduit la notion de croissance polynomiale d’un groupe engendré par une partie finie. La section I (Q30–Q32) pose les bases : propriétés de la longueur \(\ell_S\), indépendance du degré de croissance vis-à-vis des générateurs, et calcul de la croissance de \((\mathbb{Z}^3, +)\) (degré 3). La section II (Q33–Q41) étudie le groupe de Heisenberg \(\mathbb{H}\), engendré par trois matrices triangulaires supérieures \(S, T, U\), et montre que sa croissance polynomiale est de degré 4.
Notions et chapitres testés
- Théorie des groupes : sous-groupes, groupes finis, exposant, sous-groupes engendrés, théorème de Lagrange, bijections et isomorphismes de groupes, groupes monogènes et cycliques, groupes diédraux.
- Algèbre bilinéaire : matrices orthogonales, matrices de rotation et de réflexion, transposée, produit scalaire canonique et produit scalaire \((A \mid B) = \mathrm{tr}(A^\top B)\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
- Matrices symétriques et réduction : diagonalisation des matrices symétriques réelles, réduction des matrices orthogonales (blocs de rotation), spectre, matrices symétriques définies positives, racine carrée matricielle.
- Analyse : compacité dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), convexité et concavité stricte, log-concavité du déterminant.
- Trigonométrie : formules d’addition, paramétrage des rotations par l’angle, rationalité de \(\displaystyle\frac{\theta}{\pi}\).
- Combinatoire et dénombrement : cardinal d’ensembles de triplets, encadrements asymptotiques, équivalents de sommes de Riemann.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la fourchette haute de difficulté pour une épreuve Centrale-Supélec Maths 1. La dominante algébrique est marquée : là où les sujets 2023 et 2024 mélangeaient davantage analyse et algèbre linéaire classique, l’édition 2026 fait intervenir la théorie des groupes de manière approfondie, avec des objets peu courants au programme (groupes diédraux, groupe de Heisenberg).
Les questions de début de chaque partie (Q1–Q3, Q15–Q16, Q30–Q32) restent accessibles et permettent d’engranger des points. La section II de la Partie A, avec l’étude fine des sous-groupes de \(O_2(\mathbb{R})\), est d’un niveau intermédiaire comparable aux parties centrales des sujets 2022–2024. En revanche, les questions Q22–Q29 (log-concavité, existence d’une matrice optimale, argument de compacité) et Q38–Q41 (encadrement de croissance du groupe de Heisenberg) sont nettement plus exigeantes et constituent le cœur discriminant de l’épreuve.
Globalement, un candidat solide qui traite correctement les débuts de chaque partie et avance significativement dans la Partie A devrait obtenir une copie honorable. Les dernières questions de B et C départagent les excellents candidats.
Pièges et points techniques délicats
Q1 – Double conclusion à ne pas oublier. On te demande de montrer à la fois que \(G\) est d’exposant fini ET que \(\mathrm{tr}\,G\) est fini. Pour l’exposant, utilise le théorème de Lagrange (l’ordre de chaque élément divise \(|G|\)). Pour la trace, remarque que \(\mathrm{tr}\,G \subset \{\mathrm{tr}\,A : A \in G\}\) a au plus \(|G|\) éléments. Oublier l’une des deux conclusions coûte la moitié des points.
Q5c – Condition de finitude de \(\langle R_\theta \rangle\). Le groupe est fini si et seulement si \(\displaystyle\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb{Q}\). L’erreur classique est de confondre avec \(\displaystyle\frac{\theta}{2\pi} \in \mathbb{Q}\). Vérifie bien : \(R_\theta^m = I_2\) impose \(m\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\), soit \(\displaystyle\frac{\theta}{\pi} = \displaystyle\frac{2k}{m} \in \mathbb{Q}\). La réciproque utilise \(\theta = \displaystyle\frac{p}{q}\pi\) avec \(R_\theta^{2q} = I_2\).
Q7 – Sous-groupe fini de SO₂(ℝ) est monogène. Il ne suffit pas de dire que c’est un sous-groupe fini de \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\). L’argument repose sur le fait que l’ensemble fini des angles forme un sous-groupe de \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\), dont le plus petit élément strictement positif engendre tout le groupe.
Q12b – Identité \(B = C^\top C\). Il faut écrire soigneusement les coordonnées des matrices \(A_i\) dans la base canonique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et vérifier que le produit scalaire \((A_i \mid A_j) = \mathrm{tr}(A_i^\top A_j)\) se traduit bien comme le produit des colonnes de \(C\). Ne confonds pas la base \(\mathcal{B}\) de \(\mathcal{F}\) et la base canonique.
Q23 – Stricte log-concavité. L’indication du sujet (utiliser Q16) oriente vers un argument spectral. Le piège est de tenter une preuve directe par inégalité AM-GM sans exploiter l’autoadjonction de \(X \mapsto A^{-1}BX\). Passe par la diagonalisation simultanée dans une base orthonormée adaptée au produit scalaire \((\cdot, \cdot)_A\).
Q37 – \(f\) bijective mais pas isomorphisme. Le sujet demande si \(f : \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{H}\) définie par \(f(i,j,k) = S^iT^jU^k\) est un isomorphisme. Elle est bijective (par Q33) mais \(\mathbb{H}\) n’est pas commutatif (Q36), donc \(f\) ne peut pas être un isomorphisme de \((\mathbb{Z}^3, +)\) vers \(\mathbb{H}\). Ne te contente pas de l’affirmer : exhibe un contre-exemple explicite au morphisme.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie A
Q1 : Application directe du théorème de Lagrange et du fait que la trace est une fonction de \(G\) dans \(\mathbb{R}\). Q2 : Pense au groupe des matrices unipotentes (triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale) : chaque élément a pour trace \(n\), donc \(\mathrm{tr}\,G = \{n\}\) est fini, mais le groupe est infini. Q3 : Le produit direct \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}\) est un groupe infini d’exposant 2.
Q4–Q5 : Paramétrage classique de \(SO_2(\mathbb{R})\) par l’angle. Pour Q5b, si \(\theta = \displaystyle\frac{2\pi}{m}\), alors \(R_\theta\) est d’ordre \(m\) et \(|G| = m\). Pour Q5e, la trace de \(R_{k\theta}\) est \(2\cos(k\theta)\) ; si \(\mathrm{tr}\,G\) est fini, l’ensemble \(\{\cos(k\theta) : k \in \mathbb{Z}\}\) est fini, ce qui force \(\displaystyle\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb{Q}\).
Q6 : Utilise le fait que \(\langle R_\theta, R_{\theta^\prime} \rangle = \{R_\alpha : \alpha \in (\theta\mathbb{Z} + \theta^\prime\mathbb{Z}) \cap [0, 2\pi[\}\) et l’arithmétique des sous-groupes de \(\mathbb{R}\). Q7 : Montre que le plus petit angle strictement positif dans un sous-groupe fini de \(SO_2(\mathbb{R})\) engendre tout le groupe. Q8 : Le groupe diédral \(D_m\) contient \(m\) rotations et \(m\) réflexions, d’où \(|D_m| = 2m\).
Partie B
Q15 : Vérifie les axiomes du produit scalaire en utilisant le caractère symétrique défini positif de \(A\). Q17–Q19 : L’ordre de Loewner \(B \preccurlyeq A\) se ramène à l’étude du spectre de \(A^{-1}B\) inclus dans \([0,1]\). L’inégalité \(\det B \leq \det A\) découle du fait que les valeurs propres de \(A^{-1}B\) sont dans \([0,1]\).
Q22 : La convexité de \(S_n^{++}(\mathbb{R})\) se montre en vérifiant qu’une combinaison convexe de matrices définies positives reste définie positive. Q23 : Utilise Q16 pour diagonaliser \(A^{-1}B\) dans la base du produit scalaire \((\cdot, \cdot)_A\), puis applique la concavité stricte de \(\ln\) sur chaque valeur propre.
Q26–Q29 : Pour Q26, le déterminant est continu sur le compact \(G\) à valeurs dans \(\{-1, +1\}\). Q28 utilise la stricte log-concavité de Q23 pour garantir l’unicité de la matrice \(A\) optimale. Q29 exploite l’invariance de \(C\) par \(G\) pour montrer que \(G \subset O(A)\).
Partie C
Q33 : Le calcul direct de \(S^iT^jU^k\) donne une matrice triangulaire supérieure explicite avec des coefficients dépendant de \(i, j, k\). Q34–Q35 : Utilise les formules du produit de Q33 pour identifier les exposants. La commutation de \(U\) avec tous les éléments simplifie considérablement les calculs.
Q38–Q41 : Pour la borne supérieure, montre que si \(\ell_{\mathcal{A}}(M) \leq p\), les indices \((i,j,k,z)\) satisfont \(|i| + |j| + |k| \leq p\) et \(|z| \leq |ij|\), ce qui donne \(|V_{\mathcal{A}}(p)| = O(p^4)\). Pour la borne inférieure (Q39–Q40), le dénombrement des triplets et une somme de Riemann fournissent un minorant équivalent à \(cp^4\).
Conseils pour les futurs candidats
Priorité n°1 : la théorie des groupes. Ce sujet confirme la tendance de Centrale-Supélec à tester la théorie des groupes bien au-delà des seuls résultats de cours (Lagrange, isomorphismes). Entraîne-toi à manipuler des sous-groupes engendrés, des groupes quotients et des groupes de matrices. Les exercices sur les groupes diédraux sont un classique à maîtriser absolument.
Priorité n°2 : algèbre bilinéaire et matrices symétriques positives. L’ordre de Loewner et la log-concavité du déterminant sont des thèmes avancés mais qui s’appuient sur des bases solides : produits scalaires, spectre des matrices symétriques, racine carrée matricielle. Révise en profondeur le chapitre sur les matrices orthogonales et leur réduction.
Priorité n°3 : savoir dénombrer et estimer. La Partie C fait appel à des techniques de dénombrement (nombre de triplets sous contrainte) et d’encadrement asymptotique (sommes de Riemann). Ce type de raisonnement, à la frontière entre algèbre et analyse, est de plus en plus fréquent dans les concours.
Enfin, rappelle-toi que dans un sujet à trois parties indépendantes, la stratégie optimale est de commencer par les questions accessibles de chaque partie (Q1–Q3, Q15–Q16, Q30–Q32) avant de s’attaquer aux blocs plus techniques. Cela maximise le nombre de points récoltés dans le temps imparti.
