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Tu sais poser une division entre deux nombres entiers. La division euclidienne des polynômes obéit exactement à la même logique : on cherche un quotient et un reste, mais cette fois dans l’anneau \(\mathbb{K}[X]\). C’est l’outil qui permet de factoriser un cubique en Terminale, de calculer un PGCD de polynômes ou de décomposer une fraction rationnelle en prépa. Voici la méthode complète, pas à pas.
I. Le théorème de la division euclidienne dans K[X]
Avant toute méthode de calcul, il faut connaître le théorème qui garantit que la division a un sens. Il s’agit de l’analogue exact de la division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\) : on remplace la valeur absolue par le degré.
Théorème — Division euclidienne dans \(\mathbb{K}[X]\)
Soit \(\mathbb{K}\) un corps (typiquement \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \(B \neq 0\). Il existe un unique couple \((Q, R) \in \mathbb{K}[X]^2\) tel que :
\(A = BQ + R \qquad \text{avec} \qquad \deg R\) < \(\deg B\).
\(A\) est le dividende, \(B\) le diviseur, \(Q\) le quotient et \(R\) le reste.
La condition cruciale est sur le degré du reste : on divise jusqu’à ce que le reste ait un degré strictement plus petit que celui du diviseur. Avec la convention \(\deg(0) = -\infty\), le cas \(R = 0\) est inclus : il correspond exactement à la situation où \(B\) divise \(A\).
A. Démonstration (existence et unicité)
En prépa, ce résultat est exigible et sa preuve illustre un raisonnement par récurrence sur le degré. La voici, commentée.
Existence. On raisonne par récurrence forte sur \(n = \deg A\) (à \(B\) fixé). Si \(\deg A\) < \(\deg B\), on prend \(Q = 0\) et \(R = A\). Sinon, en notant \(a\) et \(b\) les coefficients dominants de \(A\) et \(B\), le polynôme
\(A_1 = A – \displaystyle\frac{a}{b} X^{\deg A – \deg B} \, B\)
a un degré strictement inférieur à celui de \(A\) (on a annulé le terme dominant). L’hypothèse de récurrence donne \(A_1 = B Q_1 + R\), d’où \(A = B\left(\displaystyle\frac{a}{b}X^{\deg A – \deg B} + Q_1\right) + R\).
Cette ligne \(A_1 = A – \displaystyle\frac{a}{b}X^{\deg A – \deg B}B\) est exactement une étape de la potence que tu vas poser plus bas. La démonstration est donc l’algorithme déguisé.
Unicité. Supposons \(A = BQ_1 + R_1 = BQ_2 + R_2\) avec \(\deg R_i\) < \(\deg B\). Alors \(B(Q_1 – Q_2) = R_2 – R_1\). Si \(Q_1 \neq Q_2\), le membre de gauche a un degré \(\geq \deg B\), tandis que \(\deg(R_2 – R_1)\) < \(\deg B\) : contradiction. Donc \(Q_1 = Q_2\), puis \(R_1 = R_2\). ∎
Attention au cadre. Le théorème exige que \(\mathbb{K}\) soit un corps (pour pouvoir diviser par le coefficient dominant \(b\)). Dans \(\mathbb{Z}[X]\), la division euclidienne n’est garantie que si \(B\) est unitaire (coefficient dominant égal à \(1\)).
II. Quand utiliser la division euclidienne ?
La potence n’est pas toujours la voie la plus rapide. Selon ce que tu cherches (le couple complet, juste le reste, ou une factorisation), une autre technique peut être bien plus efficace. Ce tableau te dit quoi choisir.
| Technique | Quand l’utiliser | Ce qu’elle donne | Limite |
|---|---|---|---|
| Division par potence | Cas général, \(\deg B \geq 1\) quelconque | Le quotient \(Q\) et le reste \(R\) | Calcul long si les degrés sont grands |
| Schéma de Horner | Diviseur de la forme \(X – a\) | \(Q\) et \(R = A(a)\) très vite | Diviseur de degré 1 uniquement |
| Évaluation aux racines de \(B\) | On veut seulement \(R\), \(B\) scindé à racines simples | Le reste \(R\) par un système | Ne donne pas \(Q\) ; \(B\) doit être scindé |
| Identification des coefficients | Forme de \(Q\) et \(R\) connue, petits degrés | Les coefficients par un système | Lourde dès que les degrés montent |
| Division selon les puissances croissantes | Calculs de DL, troncature en \(0\) | Quotient des termes de bas degré | Convention différente (voir §IV) |
La fiche-méthode « Division euclidienne des polynômes » en recto-verso
Les 4 étapes de la potence, le tableau des méthodes et les pièges classiques, condensés sur une fiche prête à imprimer.
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Pour diviser par \((X-a)\), préfère le schéma de Horner, beaucoup plus rapide. Pour ne chercher que le reste, l’évaluation aux racines du diviseur évite tout calcul de potence. Dans tous les autres cas, la potence reste la méthode universelle.
III. La méthode pas à pas (division par potence)
La potence des polynômes reproduit la division posée des entiers : on traite les termes par degré décroissant, du plus grand au plus petit. Voici les quatre étapes, à répéter en boucle.
- Ranger et compléter. Écris \(A\) et \(B\) par puissances décroissantes, en laissant un « trou » (coefficient \(0\)) pour chaque degré manquant.
- Diviser les termes dominants. Divise le terme de plus haut degré du reste courant par le terme dominant de \(B\). Le résultat est le prochain terme du quotient.
- Multiplier et soustraire. Multiplie ce terme par \(B\) tout entier, puis soustrais le résultat au reste courant. Le terme dominant doit s’annuler.
- Recommencer ou s’arrêter. Tant que le degré du reste courant est \(\geq \deg B\), retourne à l’étape 2. Quand \(\deg(\text{reste})\) < \(\deg B\), la division est terminée.
À écrire sur la copie (rédaction propre). Une fois la potence terminée, tu n’écris pas le brouillon mais le résultat sous forme d’égalité : « La division euclidienne de \(A\) par \(B\) donne \(A = BQ + R\) avec \(Q = \ldots\) et \(R = \ldots\) », suivie de la vérification du degré du reste.
Le piège n°1 : oublier de compléter. Si \(A = 2X^4 – 3X^3 + 4X – 5\), il manque le terme en \(X^2\). Tu dois traiter \(A = 2X^4 – 3X^3 + 0\,X^2 + 4X – 5\). Sans ce \(0\,X^2\), tous tes alignements deviennent faux.
IV. Exemples résolus
On monte progressivement en difficulté : factorisation d’un cubique (lycée), division générale (prépa), puis une astuce de prépa pour trouver le reste sans poser la potence.
A. 🔵 Factoriser un cubique avec une racine évidente
Exemple 1 (Terminale). Factoriser \(A = X^3 – 2X^2 – 5X + 6\).
On cherche une racine évidente parmi les diviseurs de \(6\) : \(A(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0\). Donc \(1\) est racine, et \((X – 1)\) divise \(A\).
On pose la division de \(A\) par \(X – 1\) :
\(X^3 – 2X^2 – 5X + 6 = (X-1)(X^2 – X – 6)\)
Le reste est bien \(0\) (cohérent : \(1\) est racine). On factorise enfin le trinôme : \(X^2 – X – 6 = (X-3)(X+2)\). D’où :
\(A = (X-1)(X-3)(X+2)\).
Cette technique « racine évidente + division » est la clé de la factorisation d’un polynôme de degré 3. La division par \((X-a)\) transforme un problème de degré 3 en un problème de degré 2 que tu sais résoudre.
B. 🟠 Division générale par un diviseur de degré 2
Exemple 2 (Prépa). Effectuer la division euclidienne de \(A = 2X^4 – 3X^3 + 4X – 5\) par \(B = X^2 – X + 1\).
On complète : \(A = 2X^4 – 3X^3 + 0\,X^2 + 4X – 5\).
Étape 1 : \(\displaystyle\frac{2X^4}{X^2} = 2X^2\). On retranche \(2X^2 \cdot B = 2X^4 – 2X^3 + 2X^2\) :
\(A – 2X^2 B = -X^3 – 2X^2 + 4X – 5\).
Étape 2 : \(\displaystyle\frac{-X^3}{X^2} = -X\). On retranche \(-X \cdot B = -X^3 + X^2 – X\) :
\(-3X^2 + 5X – 5\).
Étape 3 : \(\displaystyle\frac{-3X^2}{X^2} = -3\). On retranche \(-3 \cdot B = -3X^2 + 3X – 3\) :
\(2X – 2\).
Comme \(\deg(2X-2) = 1\) < \(2 = \deg B\), on s’arrête. Conclusion :
\(2X^4 – 3X^3 + 4X – 5 = (X^2 – X + 1)(2X^2 – X – 3) + (2X – 2)\).
Vérification : en développant \((X^2 – X + 1)(2X^2 – X – 3) = 2X^4 – 3X^3 + 2X – 3\), puis \(+ (2X – 2)\) redonne \(A\) ✓.
Quotient \(Q = 2X^2 – X – 3\), reste \(R = 2X – 2\). La vérification finale doit devenir un réflexe : elle ne coûte que quelques lignes et élimine les erreurs de signe.
C. 🔴 Trouver le reste sans poser la division
Quand on ne veut que le reste et que le diviseur est scindé à racines simples, on évite complètement la potence. C’est un classique de concours.
Exemple 3 (Concours). Déterminer le reste \(R\) de la division euclidienne de \(X^n\) (avec \(n \geq 1\)) par \(B = X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\).
Comme \(\deg B = 2\), le reste s’écrit \(R = \alpha X + \beta\). On a \(X^n = (X-1)(X-2)Q + \alpha X + \beta\). On évalue en les racines \(1\) et \(2\) de \(B\) (le terme en \(Q\) s’annule) :
\(1^n = \alpha + \beta\) et \(2^n = 2\alpha + \beta\).
On résout : \(\alpha = 2^n – 1\) et \(\beta = 2 – 2^n\). Donc :
\(R = (2^n – 1)X + (2 – 2^n)\).
Aucune potence : deux évaluations suffisent. Cette astuce repose entièrement sur la notion de racine d’un polynôme et sur l’unicité du couple \((Q,R)\).
D. 🟠 Bonus prépa : la division selon les puissances croissantes
Voici une variante quasi absente des fiches en ligne, mais essentielle pour les développements limités. On ordonne cette fois par puissances croissantes et on s’arrête à un ordre fixé.
Exemple 4 (Prépa). Diviser \(1\) par \(1 – X\) selon les puissances croissantes à l’ordre \(3\).
On obtient : \(1 = (1 – X)(1 + X + X^2 + X^3) + X^4\).
Le quotient \(1 + X + X^2 + X^3\) est exactement le début de la série géométrique \(\displaystyle\frac{1}{1-X}\), et le reste \(X^4\) est un \(o(X^3)\) au voisinage de \(0\).
C’est ce mécanisme qui justifie les développements limités usuels. La convention est inversée par rapport à la division euclidienne classique (on contrôle le degré du bas, pas du haut).
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Une division ratée vient presque toujours de l’une de ces trois fautes. Voici comment les diagnostiquer et les corriger.
❌ Copie fautive (oubli d’un degré). Pour \(A = X^4 + 1\) divisé par \(X^2 + 1\), un élève écrit directement \(X^4 : X^2 = X^2\) puis aligne \(X^2 \cdot (X^2+1) = X^4 + X^2\) avec le « \(+1\) » de \(A\).
Diagnostic : les termes \(X^3\) et \(X^2\) de \(A\) manquent, il faut écrire \(A = X^4 + 0X^3 + 0X^2 + 0X + 1\).
✅ Correction : \(X^4 + 1 = (X^2 + 1)(X^2 – 1) + 2\). Reste \(R = 2\), et non \(1\).
❌ Erreur de signe à la soustraction. On soustrait le produit, donc on change tous les signes du produit avant d’additionner. Beaucoup d’élèves n’en changent qu’un.
✅ Correction : retranche-toi mentalement la phrase « moins parenthèse, je change tout ». Si tu en as une, vérifie systématiquement que le terme dominant s’annule : sinon, ton signe est faux.
❌ S’arrêter trop tôt ou trop tard. Le critère d’arrêt est \(\deg R\) < \(\deg B\), pas « \(R\) de degré 1 » ni « \(R\) constant ». Si \(\deg B = 3\), un reste de degré \(2\) est parfaitement valide.
✅ Correction : compare toujours le degré du reste à celui du diviseur, jamais à un degré absolu.
VI. Exercices d’application
Entraîne-toi sur ces quatre exercices de difficulté croissante, du calcul direct au raisonnement avec paramètre. Les corrections sont détaillées.
Exercice 1 (★). Effectuer la division euclidienne de \(A = X^3 + 2X^2 – X + 3\) par \(B = X – 2\).
Voir la correction
Par Horner ou potence : \(X^3 + 2X^2 – X + 3 = (X-2)(X^2 + 4X + 7) + 17\).
Quotient \(Q = X^2 + 4X + 7\), reste \(R = 17 = A(2)\) (cohérent avec le théorème du reste).
Exercice 2 (★★). Diviser \(A = X^4 – 2X^3 + 3X^2 – 4X + 1\) par \(B = X^2 + 1\).
Voir la correction
\(X^4 – 2X^3 + 3X^2 – 4X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 – 2X + 2) + (-2X – 1)\).
Quotient \(Q = X^2 – 2X + 2\), reste \(R = -2X – 1\). On vérifie \(\deg R = 1\) < \(2\) ✓.
Exercice 3 (★★★). Déterminer \(a\) et \(b\) réels pour que \(A = X^4 + X^3 + aX + b\) soit divisible par \(B = X^2 + X + 1\).
Voir la correction
On effectue la division : \(X^4 + X^3 + aX + b = (X^2 + X + 1)(X^2 – 1) + (a+1)X + (b+1)\).
La divisibilité équivaut à un reste nul : \(a + 1 = 0\) et \(b + 1 = 0\), soit \(a = -1\) et \(b = -1\).
Alternative élégante : les racines de \(B\) sont \(j\) et \(\overline{j}\) (racines cubiques de l’unité, \(j^3 = 1\)). On peut imposer \(A(j) = 0\) et exploiter \(j^4 = j\).
Exercice 4 (★★★★). Pour \(n \geq 2\), déterminer le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X-1)^2\).
Voir la correction
Le diviseur a une racine double en \(1\) : l’évaluation simple ne suffit pas, on dérive. Posons \(X^n = (X-1)^2 Q + \alpha X + \beta\).
En \(X = 1\) : \(1 = \alpha + \beta\). En dérivant puis en \(X = 1\) : \(n = \alpha\) (car la dérivée de \((X-1)^2 Q\) s’annule en \(1\)).
Donc \(\alpha = n\), \(\beta = 1 – n\), et \(R = nX + (1 – n)\).
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
En colle comme à l’écrit, une division euclidienne mal rédigée fait perdre des points même quand le calcul est juste. Voici les attentes précises du correcteur.
Les trois réflexes qui rapportent des points :
- Annoncer l’égalité, pas le brouillon. Le correcteur veut lire \(A = BQ + R\) explicitement, avec \(Q\) et \(R\) clairement identifiés. La potence reste au brouillon.
- Justifier l’arrêt. Écris « \(\deg R\) < \(\deg B\) » : c’est la condition qui garantit l’unicité du couple. L’omettre, c’est ne pas avoir vraiment fait une division euclidienne.
- Exploiter l’unicité. Pour un problème de divisibilité ou de reste, invoquer explicitement « par unicité du quotient et du reste » légitime l’identification des coefficients.
Quand le diviseur est scindé, le correcteur valorise l’évaluation aux racines plutôt qu’une potence laborieuse : c’est le signe que tu as compris la structure du problème. Pour une racine multiple, la dérivation (comme à l’exercice 4) est la méthode attendue.
Faute rédhibitoire en concours : conclure « \(B\) divise \(A\) » sans avoir montré que le reste est nul. La divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\) se démontre par \(R = 0\), jamais « à vue ».
VIII. Questions fréquentes
Comment trouver le reste de la division euclidienne de A par B ?
Deux méthodes. Si tu veux le quotient et le reste, pose la division par potence et arrête-toi quand le degré du reste devient strictement inférieur au degré de B. Si tu veux seulement le reste et que B est scindé à racines simples, écris le reste sous forme générale (degré inférieur à celui de B) puis évalue l’égalité aux racines de B : tu obtiens un système qui donne directement les coefficients du reste.
Quelle est la différence entre la division euclidienne des polynômes et celle des entiers ?
La logique est identique : on cherche un quotient et un reste tels que A = BQ + R. La seule différence est le critère d’arrêt. Pour les entiers, on impose 0 ⩽ R < |B| (on compare des valeurs absolues). Pour les polynômes, on impose deg R < deg B (on compare des degrés). La division euclidienne dans les entiers est le modèle dont celle des polynômes est l’analogue dans l’anneau K[X].
Quand un polynôme B divise-t-il A ?
B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul. En particulier, (X − a) divise A si et seulement si a est une racine de A : c’est le théorème de factorisation, conséquence directe de A(a) = reste de la division par (X − a).
Faut-il toujours utiliser la potence pour diviser par (X − a) ?
Non, le schéma de Horner est bien plus rapide pour un diviseur de degré 1. Il calcule les coefficients du quotient en cascade et donne le reste R = A(a) directement. La potence reste indispensable dès que le diviseur a un degré supérieur ou égal à 2.
Pourquoi le reste a-t-il toujours un degré strictement inférieur à celui du diviseur ?
C’est la condition même qui rend le couple (Q, R) unique. Si le reste avait un degré supérieur ou égal à celui de B, on pourrait continuer à diviser : la division ne serait pas terminée. Cette contrainte de degré est l’équivalent polynomial de « 0 ⩽ R < |B| » chez les entiers.
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Pas toujours. Le théorème exige de diviser par le coefficient dominant du diviseur, ce qui suppose de pouvoir inverser ce coefficient. Dans Z[X], cela n’est garanti que si B est unitaire (coefficient dominant égal à 1). Dans R[X] ou C[X], qui sont des corps de coefficients, la division est toujours possible.
Pour aller plus loin
La division euclidienne est l’outil de base de toute l’algèbre des polynômes. Pour continuer :
- factoriser un polynôme de degré 3 — l’application directe en Terminale
- racines d’un polynôme — multiplicité et relations coefficients-racines
- polynôme scindé et irréductible — ce que la division révèle sur la structure
- décomposition en éléments simples des fractions rationnelles — où la division euclidienne sépare partie entière et partie fractionnaire
- le cours complet sur les polynômes — la vue d’ensemble du chapitre
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