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Derrière chaque équation que tu résous se cache un polynôme dont tu cherches les racines. Au lycée, tu as appris à résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\) avec le discriminant. En prépa, la question change d’échelle : combien de racines un polynôme de degré \(n\) possède-t-il vraiment ? Que se passe-t-il quand une racine est « double » ? Et comment, sans même calculer les racines, peut-on connaître leur somme et leur produit ? Cet article répond à tout cela, du second degré jusqu’aux relations coefficients-racines exploitées dans les concours.
I. Qu’est-ce qu’une racine d’un polynôme ?
Dans tout ce cours, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(P \in \mathbb{K}[X]\) est un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\). La notion de racine est le point de jonction entre l’algèbre des polynômes et la résolution d’équations.
Définition — Racine d’un polynôme
Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(a \in \mathbb{K}\). On dit que \(a\) est une racine (ou un zéro) de \(P\) lorsque \(P(a) = 0\). Chercher les racines de \(P\), c’est résoudre l’équation \(P(x) = 0\) d’inconnue \(x \in \mathbb{K}\).
Attention à ne pas confondre le polynôme \(P\) (objet algébrique de \(\mathbb{K}[X]\)) et la fonction polynomiale associée \(x \mapsto P(x)\). Sur un corps infini comme \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), les deux objets se correspondent parfaitement : un polynôme et sa fonction ont exactement les mêmes racines.
A. Le théorème fondamental : racine ⟺ divisibilité par (X − a)
Toute la puissance de la notion de racine vient de son lien avec la division euclidienne par \(X – a\). C’est le résultat à connaître par cœur.
Théorème — Caractérisation d’une racine
Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(a \in \mathbb{K}\). Alors :
\(a \text{ est racine de } P \iff (X – a) \mid P\)
autrement dit, il existe \(Q \in \mathbb{K}[X]\) tel que \(P = (X – a)\,Q\).
Démonstration (à savoir refaire). Effectuons la division euclidienne de \(P\) par \(X – a\). Comme \(\deg(X – a) = 1\), le reste \(R\) vérifie \(\deg R\) < \(1\), donc \(R\) est une constante \(r \in \mathbb{K}\) :
\(P = (X – a)\,Q + r\)
En évaluant en \(a\) : \(P(a) = (a – a)\,Q(a) + r = r\). Donc \(r = P(a)\). Ainsi \(P(a) = 0\) équivaut à \(r = 0\), c’est-à-dire à \((X-a) \mid P\). ∎
Ce théorème transforme une question analytique (« quelle valeur annule \(P\) ? ») en une question algébrique (« par quoi \(P\) est-il divisible ? »). C’est exactement le mécanisme qu’on exploite pour factoriser un polynôme de degré 3 à partir d’une racine évidente.
B. 🟢 Rappel lycée : les racines du second degré
Le cas le plus connu est celui du trinôme \(P = aX^2 + bX + c\) avec \(a \neq 0\). Voici la formule de référence, valable sur \(\mathbb{R}\) selon le signe du discriminant.
Formule — Racines d’un polynôme de degré 2
Pour \(P(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\), on pose le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\). Alors :
- si \(\Delta\) > \(0\) : deux racines réelles \(x_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) ;
- si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = \displaystyle\frac{-b}{2a}\) ;
- si \(\Delta\) < \(0\) : aucune racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées \(x_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
Cette formule reste le socle. En prépa, on la généralise : sur \(\mathbb{C}\), le trinôme a toujours deux racines (comptées avec leur multiplicité), et plus généralement tout polynôme de degré \(n\) de \(\mathbb{C}[X]\) a exactement \(n\) racines. C’est le théorème de d’Alembert-Gauss, qu’on démontre plus bas.
II. La multiplicité d’une racine
Une fois qu’on sait que \(a\) est racine, une question plus fine se pose : à quel « ordre » l’est-elle ? Le polynôme \((X-2)^3\) et le polynôme \((X-2)\) ont tous deux \(2\) pour unique racine, mais ils ne se comportent pas du tout de la même façon. C’est la notion de multiplicité qui les distingue.
A. Définition par la divisibilité
Définition — Multiplicité (ou ordre) d’une racine
Soit \(a\) une racine de \(P \in \mathbb{K}[X]\), \(P \neq 0\). On appelle multiplicité de \(a\) l’unique entier \(m \geq 1\) tel que :
\((X – a)^m \mid P \quad \text{et} \quad (X – a)^{m+1} \not\mid P\)
Autrement dit, \(P = (X-a)^m\, Q\) avec \(Q(a) \neq 0\). Si \(m = 1\) la racine est dite simple, si \(m = 2\) elle est double, si \(m = 3\) elle est triple.
Géométriquement, sur \(\mathbb{R}\), la parité de la multiplicité gouverne le comportement de la courbe : pour une multiplicité impaire, la courbe traverse l’axe des abscisses ; pour une multiplicité paire, la courbe rebondit sur l’axe sans le traverser (tangence).
B. Caractérisation par les dérivées successives
Vérifier une multiplicité par divisions successives est fastidieux. Il existe un critère beaucoup plus rapide, fondé sur les dérivées du polynôme. C’est un grand classique des colles.
Théorème — Caractérisation différentielle de la multiplicité
Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) (avec \(\mathbb{K}\) de caractéristique nulle) et \(a \in \mathbb{K}\). Alors \(a\) est racine de multiplicité exactement \(m\) si et seulement si :
\(P(a) = P^\prime(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(m)}(a) \neq 0\)
Idée de la démonstration. On écrit la formule de Taylor pour le polynôme \(P\) au point \(a\) (exacte, car \(P\) est un polynôme) :
\(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X – a)^k\)
La plus petite puissance de \((X-a)\) qui apparaît avec un coefficient non nul est précisément \((X-a)^m\) où \(m\) est le plus petit indice tel que \(P^{(m)}(a) \neq 0\). On peut alors factoriser \((X-a)^m\) : la multiplicité vaut \(m\). ∎
Exemple : montrer que \(1\) est racine triple de \(P = X^4 – 3X^3 + 3X^2 – X\) n’est pas vrai… vérifions soigneusement. Prenons plutôt \(P = X^3 – 3X^2 + 3X – 1 = (X-1)^3\).
On calcule : \(P(1) = 1 – 3 + 3 – 1 = 0\).
\(P^\prime(X) = 3X^2 – 6X + 3\), donc \(P^\prime(1) = 3 – 6 + 3 = 0\).
\(P^{\prime\prime}(X) = 6X – 6\), donc \(P^{\prime\prime}(1) = 0\).
\(P^{(3)}(X) = 6\), donc \(P^{(3)}(1) = 6 \neq 0\).
Les annulations s’arrêtent à l’ordre \(3\) : \(1\) est bien racine de multiplicité \(3\). ✓
Ce critère est l’outil clé pour prouver qu’une racine est multiple sans connaître la factorisation complète. Il joue un rôle central dans l’étude du caractère scindé à racines simples d’un polynôme, condition essentielle de la diagonalisabilité en réduction.
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III. Combien de racines ? Les théorèmes fondamentaux
On vient de voir comment une racine se manifeste. Reste la question du nombre : un polynôme de degré \(n\) peut-il avoir autant de racines qu’on veut ? La réponse, négative et précise, structure toute la théorie.
A. Le nombre de racines est borné par le degré
Théorème — Majoration par le degré
Un polynôme non nul \(P \in \mathbb{K}[X]\) de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines distinctes dans \(\mathbb{K}\). Mieux : la somme des multiplicités de ses racines est inférieure ou égale à \(n\).
Démonstration. Si \(a_1, \dots, a_r\) sont des racines distinctes de multiplicités \(m_1, \dots, m_r\), alors les polynômes \((X – a_i)^{m_i}\) sont premiers entre eux deux à deux, donc leur produit divise \(P\) :
\(\left(\textstyle\prod_{i=1}^{r} (X – a_i)^{m_i}\right) \,\Big|\, P\)
En passant aux degrés : \(m_1 + \cdots + m_r \leq \deg P = n\). ∎
Conséquence majeure (principe d’identité). Si un polynôme de degré \(\leq n\) admet \(n+1\) racines distinctes, alors il est nul. C’est l’argument qui justifie l’unicité du polynôme interpolateur de Lagrange : deux polynômes de degré \(\leq n\) qui coïncident en \(n+1\) points sont égaux.
B. 🟠 Sur ℂ : le théorème de d’Alembert-Gauss
Sur \(\mathbb{R}\), un polynôme peut n’avoir aucune racine (comme \(X^2 + 1\)). Sur \(\mathbb{C}\), la situation est radicalement plus simple, et c’est l’un des résultats les plus importants de toutes les mathématiques.
Théorème — d’Alembert-Gauss (théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\). On dit que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos.
Conséquence : tout polynôme \(P \in \mathbb{C}[X]\) de degré \(n \geq 1\) est scindé sur \(\mathbb{C}\) :
\(P = a_n \displaystyle\prod_{k=1}^{n} (X – \alpha_k)\)
où \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) sont ses racines, répétées selon leur multiplicité. Un polynôme de degré \(n\) a donc exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité dans \(\mathbb{C}\).
Ce théorème a une portée immense : il garantit l’existence des racines complexes, ce qui permet par exemple d’étudier les racines de l’unité et, plus loin, de comprendre pourquoi le polynôme caractéristique d’une matrice complexe est toujours scindé. Pour approfondir le cas particulier de \(z^n = 1\), consulte le cours sur les racines n-ièmes de l’unité.
Piège classique : « scindé » et « à racines simples » ne sont PAS synonymes. Un polynôme est scindé dès qu’il se factorise en produit de facteurs de degré 1 (les racines peuvent être multiples). Il est scindé à racines simples seulement si toutes ses multiplicités valent 1. Exemple : \((X-1)^2(X-2)\) est scindé mais pas à racines simples.
C. 🟠 Racines complexes d’un polynôme réel
Pour un polynôme à coefficients réels, les racines complexes obéissent à une symétrie remarquable.
Propriété — Conjugaison des racines
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\). Si \(\alpha \in \mathbb{C}\) est racine de \(P\) de multiplicité \(m\), alors son conjugué \(\overline{\alpha}\) est aussi racine de \(P\) avec la même multiplicité \(m\).
Démonstration (cas racine simple). Écrivons \(P = \sum a_k X^k\) avec les \(a_k \in \mathbb{R}\). Alors, en utilisant \(\overline{a_k} = a_k\) :
\(P(\overline{\alpha}) = \displaystyle\sum_k a_k \overline{\alpha}^{\,k} = \sum_k \overline{a_k \alpha^k} = \overline{\sum_k a_k \alpha^k} = \overline{P(\alpha)} = \overline{0} = 0\)
Donc \(\overline{\alpha}\) est racine. ∎
Corollaire : les racines complexes non réelles d’un polynôme réel vont par paires conjuguées. Un polynôme réel de degré impair a donc toujours au moins une racine réelle (les complexes s’annulant deux par deux). Et tout polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) se factorise en produit de facteurs de degré 1 (racines réelles) et de degré 2 à discriminant négatif (paires conjuguées).
IV. Relations entre coefficients et racines (formules de Viète)
Voici l’un des résultats les plus utiles — et les plus sous-exploités par les élèves. Quand un polynôme est scindé, on peut relier directement ses coefficients aux sommes et produits de ses racines, sans jamais calculer ces racines. C’est un outil redoutable en concours.
A. 🟢 Les cas du degré 2 et du degré 3
Degré 2. Si \(P = aX^2 + bX + c\) a pour racines \(x_1, x_2\) (dans \(\mathbb{C}\)), alors :
\(x_1 + x_2 = -\displaystyle\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 x_2 = \displaystyle\frac{c}{a}\)
La preuve est immédiate : en développant \(a(X – x_1)(X – x_2) = aX^2 – a(x_1 + x_2)X + a\,x_1 x_2\) et en identifiant avec \(aX^2 + bX + c\).
Degré 3. Si \(P = aX^3 + bX^2 + cX + d\) a pour racines \(x_1, x_2, x_3\), alors :
\(x_1 + x_2 + x_3 = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \displaystyle\frac{c}{a}\)
\(x_1 x_2 x_3 = -\displaystyle\frac{d}{a}\)
B. 🟠 Le cas général : fonctions symétriques élémentaires
Théorème — Formules de Viète (cas général)
Soit \(P = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0\) un polynôme scindé de racines \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) (comptées avec multiplicité). On note \(\sigma_k\) la \(k\)-ième fonction symétrique élémentaire des racines (somme de tous les produits de \(k\) racines distinctes par les indices). Alors :
\(\sigma_k = \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_k \leq n} \alpha_{i_1}\cdots\alpha_{i_k} = (-1)^k\,\displaystyle\frac{a_{n-k}}{a_n}\)
En particulier \(\sigma_1 = \sum \alpha_i = -\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_n}\) (somme) et \(\sigma_n = \prod \alpha_i = (-1)^n \displaystyle\frac{a_0}{a_n}\) (produit).
Comment retenir : développe \(a_n \prod_{i=1}^{n}(X – \alpha_i)\) et identifie les coefficients. Le coefficient de \(X^{n-k}\) récolte tous les produits de \(k\) racines, avec le signe \((-1)^k\) venant des \(k\) facteurs \((-\alpha_i)\) choisis.
Exemple d’application (sans calculer les racines). Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(P = X^3 – 2X^2 + 5X – 1\). Calculer \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\).
Par Viète : \(\sigma_1 = x_1+x_2+x_3 = 2\) et \(\sigma_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = 5\).
On utilise l’identité \(x_1^2+x_2^2+x_3^2 = \sigma_1^2 – 2\sigma_2\) :
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 2^2 – 2 \times 5 = 4 – 10 = -6\)
Résultat obtenu sans jamais résoudre l’équation. (Que la somme des carrés soit négative confirme que les racines ne sont pas toutes réelles.)
Les formules de Viète sont l’outil idéal pour les problèmes où l’on connaît une relation entre les racines (par exemple « les trois racines sont en progression arithmétique ») : on traduit la contrainte en équations sur les \(\sigma_k\).
V. Méthode : trouver les racines d’un polynôme
Passons à la pratique. Voici la stratégie générale, des cas simples du lycée aux polynômes de degré supérieur rencontrés en prépa.
Méthode en 5 étapes
- Reconnaître le degré. Degré 2 → discriminant. Degré \(\geq 3\) → chercher une racine pour abaisser le degré.
- Chercher une racine évidente. Tester les valeurs simples \(0, 1, -1, 2, -2\). Pour un polynôme à coefficients entiers, toute racine rationnelle \(p/q\) (sous forme irréductible) vérifie \(p \mid a_0\) et \(q \mid a_n\).
- Factoriser par \((X – a)\). Une fois une racine \(a\) trouvée, effectuer la division euclidienne par \(X – a\) (ou l’identification, ou la méthode de Horner) pour obtenir \(P = (X-a)Q\).
- Recommencer sur \(Q\). Itérer jusqu’à un facteur de degré \(\leq 2\) qu’on sait résoudre directement.
- Conclure dans le bon corps. Préciser si l’on cherche les racines réelles ou complexes. Sur \(\mathbb{R}\), certains facteurs de degré 2 (discriminant négatif) sont irréductibles.
Exemple complet — degré 3. Résoudre \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0\).
Racine évidente : les diviseurs entiers de \(a_0 = -6\) sont \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). On teste \(x = 1\) : \(1 – 6 + 11 – 6 = 0\). Donc \(1\) est racine.
Factorisation : la division de \(P\) par \((X-1)\) donne \(P = (X-1)(X^2 – 5X + 6)\).
Résolution du trinôme : \(X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3)\) (racines \(2\) et \(3\)).
Conclusion : \(P = (X-1)(X-2)(X-3)\), les racines sont \(1, 2, 3\), toutes simples. ✓
Astuce de vérification par Viète : ici \(1+2+3 = 6 = -\displaystyle\frac{-6}{1}\) ✓ et \(1 \times 2 \times 3 = 6 = -\displaystyle\frac{-6}{1}\) ✓. En 10 secondes, tu confirmes que ta factorisation est exacte.
Pour un traitement détaillé, étape par étape, du cas cubique (avec le cas où aucune racine n’est évidente), consulte la méthode dédiée : factoriser un polynôme de degré 3.
VI. Exercices corrigés
Mets en pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante ; essaie de chercher avant de déplier la correction.
Exercice 1 — Racine double et multiplicité (★)
Déterminer la multiplicité de la racine \(2\) du polynôme \(P = X^3 – 5X^2 + 8X – 4\).
Correction. On calcule les dérivées en \(2\).
\(P(2) = 8 – 20 + 16 – 4 = 0\).
\(P^\prime(X) = 3X^2 – 10X + 8\), donc \(P^\prime(2) = 12 – 20 + 8 = 0\).
\(P^{\prime\prime}(X) = 6X – 10\), donc \(P^{\prime\prime}(2) = 12 – 10 = 2 \neq 0\).
Les annulations s’arrêtent à l’ordre 2 : \(2\) est racine de multiplicité \(2\). On a d’ailleurs \(P = (X-2)^2(X-1)\).
Exercice 2 — Exploiter Viète (★★)
Soient \(a, b, c\) les racines de \(X^3 + 2X^2 – X + 5\). Calculer \(\displaystyle\frac{1}{a} + \displaystyle\frac{1}{b} + \displaystyle\frac{1}{c}\).
Correction. On met au même dénominateur :
\(\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c} = \displaystyle\frac{bc + ac + ab}{abc} = \displaystyle\frac{\sigma_2}{\sigma_3}\)
Par Viète sur \(X^3 + 2X^2 – X + 5\) (donc \(a_3=1, a_2=2, a_1=-1, a_0=5\)) :
\(\sigma_2 = \displaystyle\frac{a_1}{a_3} = -1 \qquad \sigma_3 = -\displaystyle\frac{a_0}{a_3} = -5\)
D’où \(\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c} = \displaystyle\frac{-1}{-5} = \displaystyle\frac{1}{5}\).
Exercice 3 — Racines complexes d’un polynôme réel (★★)
On sait que \(1 + 2i\) est racine de \(P = X^3 – 3X^2 + 7X – 5 \in \mathbb{R}[X]\). Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
Correction. Comme \(P\) est à coefficients réels et que \(1+2i\) est racine, son conjugué \(1 – 2i\) est aussi racine. Le produit des facteurs associés est réel :
\((X – (1+2i))(X – (1-2i)) = (X-1)^2 – (2i)^2 = X^2 – 2X + 1 + 4 = X^2 – 2X + 5\)
Donc \(X^2 – 2X + 5\) divise \(P\). La division donne \(P = (X^2 – 2X + 5)(X – 1)\).
Vérification de la troisième racine \(1\) : \(P(1) = 1 – 3 + 7 – 5 = 0\) ✓. Factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\) : \(P = (X-1)(X^2 – 2X + 5)\), le second facteur étant irréductible sur \(\mathbb{R}\) (discriminant \(-16\) < \(0\)).
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Exercice 4 — Raisonnement (★★★)
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré \(n\) tel que \(P\) et \(P^\prime\) aient une racine commune \(a\). Montrer que \(a\) est racine multiple de \(P\).
Correction. Par hypothèse, \(P(a) = 0\) et \(P^\prime(a) = 0\). D’après la caractérisation différentielle de la multiplicité, \(a\) est racine de \(P\) de multiplicité \(m\) où \(m\) est le plus petit entier tel que \(P^{(m)}(a) \neq 0\). Comme \(P(a) = P^\prime(a) = 0\), on a \(m \geq 2\). Donc \(a\) est racine de multiplicité au moins \(2\) : elle est multiple. ∎
Réciproque vraie : une racine multiple de \(P\) (multiplicité \(\geq 2\)) est toujours racine de \(P^\prime\). C’est exactement le critère utilisé pour détecter qu’un polynôme n’est pas à racines simples : \(P\) a une racine multiple si et seulement si \(\gcd(P, P^\prime) \neq 1\).
Exercice 5 — Synthèse type concours (★★★★)
Déterminer tous les \(\lambda \in \mathbb{R}\) pour lesquels le polynôme \(P = X^3 – 3X + \lambda\) admet une racine double dans \(\mathbb{C}\).
Correction. \(P\) a une racine double \(a\) si et seulement si \(P(a) = 0\) et \(P^\prime(a) = 0\).
\(P^\prime(X) = 3X^2 – 3 = 3(X^2 – 1)\), donc \(P^\prime(a) = 0 \iff a = 1\) ou \(a = -1\).
Cas \(a = 1\) : \(P(1) = 1 – 3 + \lambda = \lambda – 2 = 0\), d’où \(\lambda = 2\).
Cas \(a = -1\) : \(P(-1) = -1 + 3 + \lambda = \lambda + 2 = 0\), d’où \(\lambda = -2\).
Conclusion : \(P\) admet une racine double si et seulement si \(\lambda \in \{-2,\ 2\}\). Pour \(\lambda = 2\) : \(P = (X-1)^2(X+2)\). Pour \(\lambda = -2\) : \(P = (X+1)^2(X-2)\).
Lecture experte : l’ensemble des \(\lambda\) critiques correspond à l’annulation du discriminant de la cubique. La condition « racine double » est précisément « \(P\) et \(P^\prime\) ont un facteur commun », ce qui ramène à un calcul de résultant.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Erreur 1 — Confondre nombre de racines et degré sur ℝ.
❌ Copie fautive : « \(P\) est de degré 3 donc il a 3 racines. »
🔍 Diagnostic : c’est vrai dans \(\mathbb{C}\) (comptées avec multiplicité), pas dans \(\mathbb{R}\). \(X^3 + X = X(X^2+1)\) n’a qu’une racine réelle.
✅ Correction : sur \(\mathbb{C}\), un polynôme de degré \(n\) a exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité. Sur \(\mathbb{R}\), il en a au plus \(n\).
Erreur 2 — Oublier de compter la multiplicité.
❌ Copie fautive : « \((X-1)^2(X-3)\) a deux racines. »
🔍 Diagnostic : il a deux racines distinctes, mais trois racines comptées avec multiplicité. La distinction est cruciale dès qu’on invoque d’Alembert-Gauss ou les formules de Viète.
✅ Correction : préciser systématiquement « distinctes » ou « avec multiplicité ».
Erreur 3 — Appliquer Viète à un polynôme non scindé.
🔍 Diagnostic : les formules de Viète supposent que le polynôme est scindé (toutes les racines existent dans le corps). Sur \(\mathbb{R}\), elles ne sont valables que si toutes les racines sont réelles. En cas de doute, travaille sur \(\mathbb{C}\) où tout polynôme est scindé.
Erreur 4 — Erreur de signe dans Viète.
🔍 Diagnostic : pour le produit des racines, le signe est \((-1)^n\). En degré 3, le produit vaut \(-\displaystyle\frac{a_0}{a_3}\) (signe moins), pas \(+\displaystyle\frac{a_0}{a_3}\). Vérifie toujours avec un petit exemple connu.
VIII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une copie de concours, les questions sur les racines sont souvent l’occasion de gagner — ou de perdre — des points faciles selon la rigueur de rédaction.
Les attendus d’un correcteur exigeant :
- Préciser le corps de travail. Écris explicitement « cherchons les racines dans \(\mathbb{C}\) » ou « dans \(\mathbb{R}\) ». Le nombre de racines en dépend.
- Justifier l’existence avant de manipuler. Avant d’écrire « soient \(x_1, \dots, x_n\) les racines », invoque d’Alembert-Gauss (sur \(\mathbb{C}\)) ou l’hypothèse « \(P\) scindé ».
- Compter avec multiplicité. Quand tu utilises Viète, précise que les racines sont comptées avec multiplicité — sinon les formules sont fausses.
- Pour une multiplicité, utiliser le critère des dérivées. C’est plus propre et plus rapide que la division itérée. Énonce la caractérisation avant de l’appliquer.
- Vérifier par Viète. Après une factorisation, contrôle somme et produit des racines : un correcteur valorise une réponse auto-vérifiée.
IX. Tableau récapitulatif
| Situation | Nombre de racines | Outil clé |
|---|---|---|
| Degré 2 sur \(\mathbb{R}\) | 0, 1 (double) ou 2 selon \(\Delta\) | Discriminant \(\Delta = b^2-4ac\) |
| Degré \(n\) sur \(\mathbb{C}\) | Exactement \(n\) (avec multiplicité) | d’Alembert-Gauss |
| Degré \(n\) sur \(\mathbb{R}\) | Au plus \(n\) ; les complexes par paires | Conjugaison des racines |
| Racine de multiplicité \(m\) | \(P(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0\), \(P^{(m)}(a)\neq 0\) | Critère des dérivées |
| Somme / produit des racines | \(\sigma_1 = -\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_n}\), \(\sigma_n = (-1)^n\displaystyle\frac{a_0}{a_n}\) | Formules de Viète |
X. Questions fréquentes
C'est quoi la racine d'un polynôme ?
Une racine d’un polynôme \(P\) est une valeur \(a\) qui annule le polynôme, c’est-à-dire telle que \(P(a) = 0\). Chercher les racines de \(P\) revient à résoudre l’équation \(P(x) = 0\). Une racine \(a\) correspond toujours à une factorisation par \((X – a)\).
Combien de racines a un polynôme de degré n ?
Dans \(\mathbb{C}\), un polynôme de degré \(n\) a exactement \(n\) racines comptées avec leur multiplicité (théorème de d’Alembert-Gauss). Dans \(\mathbb{R}\), il en a au plus \(n\) : certaines racines peuvent être complexes et donc absentes du corps réel.
Quelle est la différence entre racine simple et racine double ?
Une racine est simple (multiplicité 1) si \(P(a)=0\) mais \(P^\prime(a)\neq 0\) : la courbe traverse l’axe. Elle est double (multiplicité 2) si \(P(a)=P^\prime(a)=0\) et \(P^{\prime\prime}(a)\neq 0\) : la courbe est tangente à l’axe sans le traverser. La multiplicité mesure « combien de fois » le facteur \((X-a)\) divise \(P\).
Comment trouver la somme et le produit des racines sans les calculer ?
Grâce aux formules de Viète. Pour \(aX^2+bX+c\), la somme des racines vaut \(-\displaystyle\frac{b}{a}\) et le produit \(\displaystyle\frac{c}{a}\). En degré \(n\), la somme vaut \(-\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_n}\) et le produit \((-1)^n\displaystyle\frac{a_0}{a_n}\). Aucune résolution de l’équation n’est nécessaire.
Quelle est la différence entre une racine d'un polynôme et une racine de fonction polynôme ?
Il n’y en a essentiellement aucune sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) : une racine du polynôme \(P\) (objet algébrique) est exactement un zéro de la fonction polynomiale \(x\mapsto P(x)\). La distinction est conceptuelle : en algèbre on parle de divisibilité par \((X-a)\), en analyse on parle de zéro de la courbe. L’étude du signe relève, elle, du cours sur la fonction polynôme du second degré.
Comment trouver une racine évidente ?
On teste d’abord les petites valeurs : \(0, 1, -1, 2, -2\). Pour un polynôme à coefficients entiers, toute racine rationnelle \(\displaystyle\frac{p}{q}\) (irréductible) vérifie \(p \mid a_0\) et \(q \mid a_n\) : on liste donc les diviseurs du terme constant et du coefficient dominant.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les racines : leur définition, leur nombre, leur multiplicité et leurs relations avec les coefficients. Pour approfondir, voici les chapitres directement connectés :
- La division euclidienne des polynômes — l’outil pour factoriser par \((X-a)\).
- Factoriser un polynôme de degré 3 — la méthode pas à pas sur le cubique.
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire — où la notion de racine simple devient cruciale.
- Le polynôme caractéristique — dont les racines sont les valeurs propres en réduction.
- Pour les racines de l’équation \(z^n = 1\), voir les racines n-ièmes de l’unité.
- Le polynôme de Lagrange — application directe du principe d’identité.
Et pour t’entraîner intensivement, retrouve tous les exercices corrigés de polynômes (prépa).
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