Dernière mise à jour : 15/10/2026.
Un coin de feuille, l’angle d’une fenêtre, le croisement de deux rues : les angles droits sont partout autour de toi. En mathématiques, quand deux droites se croisent en formant un angle droit, on dit qu’elles sont perpendiculaires et on écrit \((d) \perp (d^\prime)\). Tu vas apprendre ici à les reconnaître à l’équerre, à les tracer, et à éviter l’erreur la plus fréquente : confondre « perpendiculaire » et « vertical ».
📚 Repères de niveau
- CM1 – CM2 : reconnaître et tracer des droites perpendiculaires.
- 6e : notation \(\perp\), distance d’un point à une droite.
- 🔵 Seconde – Première : coefficients directeurs, vecteurs orthogonaux et vecteur normal.
- 🔵 Terminale : droites perpendiculaires ou orthogonales dans l’espace.
Cadre : les propriétés ci-dessous concernent les droites du plan. Deux droites parallèles ont la même direction : elles sont soit strictement parallèles (aucun point commun), soit confondues. Les figures présentent le plus souvent des droites distinctes.
I. Définition : deux droites qui se coupent à angle droit
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°. On note alors \((d) \perp (d^\prime)\), qui se lit « la droite d est perpendiculaire à la droite d prime ». Le petit carré dessiné à leur point de croisement signale cet angle droit.
Définition — Droites perpendiculaires
Deux droites \((d)\) et \((d^\prime)\) sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. On écrit \((d) \perp (d^\prime)\).
Retiens bien deux choses. D’abord, deux droites perpendiculaires se coupent toujours : elles ont un point commun, le point d’intersection. Ensuite, l’angle formé mesure exactement 90° — pas 89°, pas 91°. C’est ce qui les distingue de deux droites simplement sécantes, qui se coupent elles aussi mais avec un angle quelconque.
A. « Angle perpendiculaire » ou « angle droit » ?
On entend souvent « angle perpendiculaire ». Cette expression n’existe pas en mathématiques. Un angle, lui, est droit (90°). Ce sont les droites qui sont perpendiculaires entre elles. Autrement dit : deux droites perpendiculaires forment un angle droit.
À ne pas dire : « un angle perpendiculaire ».
À dire : « un angle droit », ou « deux droites perpendiculaires ». Pour tout revoir sur l’angle droit, son codage et sa mesure, consulte le cours sur l’angle droit.
B. Perpendiculaire ne veut pas dire verticale
Beaucoup d’élèves pensent qu’une droite perpendiculaire est forcément « debout », verticale. C’est faux. Le mot vient du latin et désigne le fil à plomb : la perpendicularité décrit une relation entre deux droites, pas la position d’une seule droite sur la feuille.
Deux droites peuvent être toutes les deux obliques (penchées) et parfaitement perpendiculaires l’une à l’autre. Ce qui compte, c’est l’angle droit entre elles, pas leur inclinaison par rapport au bord de la page.
II. Le symbole ⊥ et le codage de l’angle droit
Le symbole de la perpendicularité est \(\perp\). On l’écrit entre les noms des deux droites : \((AB) \perp (CD)\) signifie « la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CD) ». Sur une figure, on ne répète pas les mots : on dessine simplement un petit carré au point d’intersection.
Ce petit carré est essentiel. Sans lui, un lecteur ne peut pas savoir si l’angle est vraiment droit ou s’il en a juste l’air. En géométrie, on ne devine pas un angle droit : on le code. Pour la saisie du symbole au clavier et les autres notations, tout est détaillé dans le cours sur le couple droites parallèles et perpendiculaires.
Toute la leçon sur les droites perpendiculaires à imprimer
Définition, symbole ⊥, codage de l’angle droit, tracé à l’équerre et figures usuelles : la fiche à garder sous les yeux.
📄 Télécharger la fiche de coursIdéale pour réviser avant un contrôle de 6e.
III. Reconnaître deux droites perpendiculaires avec l’équerre
Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, on utilise l’équerre, car elle possède un angle droit. La méthode tient en trois gestes : on place le sommet de l’angle droit de l’équerre sur le point d’intersection des deux droites, on fait coïncider un côté de l’angle droit avec la première droite, puis on regarde si l’autre côté suit exactement la seconde droite.
Si les deux côtés de l’équerre longent parfaitement les deux droites, alors elles sont perpendiculaires. Si l’un des deux « déborde » ou laisse un espace, elles ne le sont pas.
L’astuce du coin de feuille : si tu n’as pas d’équerre, le coin d’une feuille de papier forme un angle droit parfait. Tu peux t’en servir pour un contrôle rapide, exactement comme avec une équerre.
IV. Tracer la perpendiculaire passant par un point
Pour tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par un point \(A\), aligne un côté de l’angle droit de l’équerre sur \((d)\). Fais glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par \(A\), puis trace le long de ce côté. Si \(A\) appartient à \((d)\), le sommet de l’angle droit se place sur \(A\). Si \(A\) est extérieur à \((d)\), le sommet reste sur \((d)\). Dans le plan, il existe une seule perpendiculaire par ce point.
Cette construction mérite une page entière, avec une figure pour chaque geste et toutes les variantes (point sur la droite, point en dehors, tracé au compas). Retrouve la méthode complète pas à pas dans le guide pour tracer une droite parallèle ou perpendiculaire.
V. Segments, demi-droites et figures usuelles
La perpendicularité ne concerne pas que des droites entières : on parle aussi de segments perpendiculaires ou de demi-droites perpendiculaires, du moment qu’ils forment un angle droit. On la retrouve dans presque toutes les figures de géométrie du collège.
A. Diagonales perpendiculaires : le losange et le carré
Dans un losange, les deux diagonales sont toujours perpendiculaires : elles se coupent en formant un angle droit. Attention : des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas, à elles seules, à prouver qu’un quadrilatère est un losange. Le carré, qui est un losange particulier, a lui aussi ses diagonales perpendiculaires. Pour approfondir cette figure, va voir le cours sur le losange.
B. Dans un triangle : hauteur et triangle rectangle
Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Et dans un triangle rectangle, deux des côtés sont justement perpendiculaires : ils forment l’angle droit du triangle. La perpendicularité est donc partout dès qu’on parle de hauteurs et d’angles droits.
VI. La distance d’un point à une droite
La distance d’un point à une droite est la longueur du plus court chemin entre ce point et la droite. Et ce plus court chemin suit toujours la perpendiculaire à la droite passant par le point. On trace donc la perpendiculaire, on repère son pied (le point où elle rencontre la droite), et on mesure le segment obtenu.
C’est une notion utile dès la 6e. Attention : si tu mesures un segment « en biais », tu obtiens une longueur plus grande que la vraie distance. Seul le segment perpendiculaire donne la bonne réponse.
Erreur classique : mesurer un segment oblique entre le point et la droite. La distance, c’est toujours la longueur du segment perpendiculaire. Au lycée, cette distance se calcule même par une formule : voir le cours sur la distance d’un point à une droite.
VII. Perpendiculaire et médiatrice
La médiatrice d’un segment est un cas particulier très utile de droite perpendiculaire : c’est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu. Elle réunit donc deux conditions à la fois : être perpendiculaire au segment et couper ce segment en son milieu. Tout est expliqué dans le cours sur la médiatrice.
VIII. 🔵 Au lycée : perpendicularité et calcul
À partir de la Seconde, on ne se contente plus de l’équerre : on vérifie la perpendicularité par le calcul, grâce aux coordonnées. Voici les trois outils que tu rencontreras, avec leurs hypothèses exactes — c’est précisément ce que beaucoup de résumés oublient.
A. 🔵 Le critère m × m′ = −1 et ses hypothèses
Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales de coefficients directeurs \(m\) et \(m^\prime\) sont perpendiculaires si et seulement si :
Propriété — Critère des coefficients directeurs
Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales de coefficients directeurs \(m\) et \(m^\prime\) sont perpendiculaires si et seulement si \(m \times m^\prime = -1\).
Pourquoi −1 et pas 0 ? Un vecteur directeur de la première droite est \(\vec{u}(1\,;\,m)\), et un vecteur directeur de la seconde est \(\vec{v}(1\,;\,m^\prime)\). Les droites sont perpendiculaires exactement quand ces vecteurs sont orthogonaux, donc quand leur produit scalaire est nul :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + m \times m^\prime = 0\), d’où \(m \times m^\prime = -1\).
Les deux hypothèses sont indispensables. Il faut un repère orthonormé (sinon la formule est fausse) et deux droites non verticales (une droite verticale n’a pas de coefficient directeur). Cas à part : une droite verticale d’équation \(x = a\) est perpendiculaire à toute droite horizontale \(y = b\) — mais cela, le critère ne peut pas le voir. Pour tout revoir sur les équations, consulte le cours sur l’équation de droite.
B. 🔵 Vecteurs orthogonaux et vecteur normal
Plus généralement, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c’est-à-dire si leur produit scalaire est nul. On peut aussi raisonner avec un vecteur normal : un vecteur normal à une droite est un vecteur perpendiculaire à cette droite. Deux droites sont perpendiculaires quand le vecteur directeur de l’une est colinéaire au vecteur normal de l’autre. Pour la méthode de calcul, voir vecteurs orthogonaux et vecteur normal.
C. 🔵 Perpendiculaires ou orthogonales ? Le cas de l’espace
En Terminale, dans l’espace, on distingue deux mots. Perpendiculaires se dit de deux droites qui sont à la fois orthogonales et sécantes (elles se coupent). Orthogonales se dit de deux droites dont les directions font un angle droit, même si elles ne se coupent pas.
Exemple sur un cube \(ABCDEFGH\) : les arêtes \((AB)\) et \((EH)\) sont orthogonales (leurs directions sont perpendiculaires) mais pas perpendiculaires, car elles ne se coupent jamais. Pour le calcul avec le produit scalaire, va voir le produit scalaire dans l’espace.
🟠 Vers la prépa : l’orthogonalité se généralise à tout espace euclidien, avec la projection orthogonale et le supplémentaire orthogonal. La perpendicularité de deux droites du collège n’en est que le premier cas.
IX. Exemples d’application
Voici trois exemples corrigés pas à pas, du plus simple au plus riche. Pour t’entraîner davantage, les séries complètes se trouvent sur les pages d’exercices du cocon.
Exercice 1 — Lire un codage ★
Sur une figure, les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(O\) avec un petit carré dessiné en \(O\). Que peut-on écrire ?
Voir la correction de l’exercice 1
Le petit carré code un angle droit au point d’intersection. Les deux droites se coupent donc en formant un angle droit.
On écrit : \((AB) \perp (CD)\).
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
Exercice 2 — Vrai ou faux justifié ★★
On sait que \((d_1) \perp (d_2)\) et que \((d_2) \perp (d_3)\). Peut-on en conclure que \((d_1) \perp (d_3)\) ?
Voir la correction de l’exercice 2
Faux. La perpendicularité ne se transmet pas comme ça.
Si \((d_1) \perp (d_2)\) et \((d_2) \perp (d_3)\), alors \((d_1)\) et \((d_3)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite \((d_2)\). Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On a donc \((d_1)\) // \((d_3)\), et non \((d_1) \perp (d_3)\).
L’erreur à éviter : croire que « perpendiculaire + perpendiculaire = perpendiculaire ». C’est le contraire : on obtient deux droites parallèles.
Exercice 3 — 🔵 Vérifier par le calcul (Seconde) ★★★
Dans un repère orthonormé, la droite \((d)\) a pour coefficient directeur \(3\) et la droite \((d^\prime)\) a pour coefficient directeur \(-\displaystyle\frac{1}{3}\). Ces droites sont-elles perpendiculaires ?
Voir la correction de l’exercice 3
On est dans un repère orthonormé et les deux droites ne sont pas verticales : on peut appliquer le critère.
\(m \times m^\prime = 3 \times \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = -1\)Le produit vaut \(-1\), donc le critère est vérifié.
Les droites (d) et (d′) sont bien perpendiculaires.
X. Erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges que l’on retrouve le plus souvent dans les copies.
❌ « Un angle perpendiculaire. »
Un angle est droit, ce sont les droites qui sont perpendiculaires. ✅ On dit « deux droites perpendiculaires » et « un angle droit ».
❌ « Perpendiculaire = verticale. »
Deux droites obliques peuvent être perpendiculaires. ✅ La perpendicularité est une relation entre deux droites, pas une position.
❌ Oublier le petit carré.
Un dessin seul ne prouve pas qu’un angle est droit : il faut une donnée de l’énoncé, un codage ou une justification. ✅ On code toujours l’angle droit sur la figure.
❌ 🔵 Appliquer \(m \times m^\prime = -1\) à une droite verticale ou dans un repère non orthonormé.
✅ Le critère exige un repère orthonormé et deux droites non verticales. La droite verticale se traite à part.
XI. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre droites parallèles et perpendiculaires ?
Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit. Deux droites parallèles ne se coupent jamais : elles gardent toujours le même écart. Autrement dit, les perpendiculaires se croisent (à 90°), les parallèles ne se croisent pas du tout.
Deux droites perpendiculaires sont-elles toujours sécantes ?
Oui, dans le plan. Puisqu’elles se coupent en formant un angle droit, elles ont forcément un point commun : ce sont des droites sécantes, avec un angle particulier de 90°. La perpendicularité est un cas particulier de sécance.
Une droite verticale et une droite horizontale sont-elles toujours perpendiculaires ?
Oui, dans un repère habituel. Une droite horizontale et une droite verticale forment toujours un angle droit, donc elles sont perpendiculaires. C’est d’ailleurs le cas que le critère des coefficients directeurs ne peut pas traiter, car la verticale n’a pas de coefficient directeur.
Quelle est la différence entre perpendiculaire et orthogonal ?
Dans le plan au collège, les deux reviennent au même. Dans l’espace (Terminale), on distingue : deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes ; elles sont seulement orthogonales si leurs directions font un angle droit sans qu’elles se coupent, comme \((AB)\) et \((EH)\) dans un cube \(ABCDEFGH\) nommé dans l’ordre habituel.
Pourquoi le produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires vaut-il moins un ?
Parce que leurs vecteurs directeurs \((1\,;\,m)\) et \((1\,;\,m^\prime)\) doivent être orthogonaux, donc leur produit scalaire doit être nul : \(1 + m \times m^\prime = 0\), ce qui donne \(m \times m^\prime = -1\). Valable uniquement dans un repère orthonormé, pour des droites non verticales.
XII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître, tracer et justifier une perpendicularité, du collège jusqu’au lycée. Pour continuer :
- Droites sécantes : définition, méthode et cas particuliers
- L’angle droit : définition, symbole, mesure et tracé
- 14 exercices corrigés sur les angles en 5ème
- Symétrie CM2 : 12 exercices corrigés, dont une évaluation
Rédigé par Zakaria Laouar — Professeur de mathématiques, diplômé de l’École Polytechnique. +7 ans d’enseignement, +500 élèves accompagnés. Découvrir le professeur
