Ton contrôle de géométrie approche et tu hésites encore entre la formule de l’aire du losange et celle du carré ? Bonne nouvelle : l’aire d’un losange se calcule très simplement, à partir de ses deux diagonales. Dans ce cours, tu vas comprendre d’où vient cette formule (et pourquoi on divise par 2), apprendre à l’appliquer pas à pas, calculer aussi son périmètre, et éviter les pièges qui coûtent des points.
I. Le losange : rappel et propriétés
Avant de calculer une aire, il faut savoir reconnaître la figure. Un losange, ce n’est ni un carré posé de travers au hasard, ni un simple « diamant » : c’est un quadrilatère bien précis avec des propriétés très utiles pour le calcul.
Définition — Le losange
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. C’est un cas particulier de parallélogramme : ses côtés opposés sont donc parallèles.
A. Les 4 propriétés d’un losange
Pour calculer son aire ou son périmètre, retiens ces quatre propriétés :
- Ses 4 côtés ont la même longueur (on la note souvent \(c\)).
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c’est un parallélogramme).
- Ses diagonales sont perpendiculaires : elles forment un angle droit en se croisant.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
Ces deux dernières propriétés sur les diagonales sont la clé de tout ce cours : ce sont elles qui rendent le calcul de l’aire aussi simple.
II. La formule de l’aire d’un losange
Lorsque les longueurs des deux diagonales sont données, voici la formule à utiliser.
Formule — Aire du losange avec les diagonales
Si un losange a pour diagonales de longueurs \(d\) et \(D\), alors son aire est :
\(A = \displaystyle\frac{d \times D}{2}\)
On multiplie les deux diagonales, puis on divise par 2.
A. D’où vient cette formule ? (la démonstration)
Diviser par 2, ce n’est pas magique. Traçons un rectangle autour du losange, dont les côtés passent par les sommets et sont parallèles aux diagonales. Ce rectangle a alors pour dimensions les longueurs des deux diagonales, \(d\) et \(D\).
Son aire vaut donc \(d \times D\). Et si tu observes bien la figure, le losange occupe exactement la moitié de ce rectangle : les quatre petits triangles laissés en dehors du losange se recollent parfaitement pour former une copie du losange. D’où le partage par 2.
Comment retenir : pense « diagonales fois diagonales, sur deux ». Comme le triangle et le trapèze, le losange a un « divisé par 2 » dans sa formule. Le rectangle et le carré, eux, n’en ont pas.
Le formulaire d’aires, périmètres et volumes
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III. Calculer l’aire d’un losange : la méthode pas à pas
Maintenant que tu connais la formule, voici comment l’appliquer sans te tromper, en 3 étapes.
- Repère les deux diagonales \(d\) et \(D\) sur la figure, et vérifie qu’elles sont dans la même unité (si l’une est en cm et l’autre en mm, convertis d’abord).
- Multiplie les deux longueurs : \(d \times D\).
- Divise le résultat par 2, et n’oublie pas l’unité d’aire (cm², m²…).
Exemple : un losange a des diagonales de 8 cm et 6 cm. Quelle est son aire ?
On applique la formule :
\(A = \displaystyle\frac{8 \times 6}{2} = \displaystyle\frac{48}{2} = 24\)
L’aire du losange est de 24 cm².
L’unité du résultat est toujours une unité de surface. Si tu hésites sur les conversions (par exemple passer des cm² aux m²), va voir la fiche conversion des unités de mesure.
IV. L’aire d’un losange sans les diagonales
Et si on ne te donne pas les diagonales, mais un côté et une hauteur ? C’est possible, car un losange est un parallélogramme. Tu peux alors utiliser l’autre formule de l’aire.
Formule — Aire avec un côté et la hauteur
Si un losange a un côté de longueur \(c\) (une base) et une hauteur \(h\) relative à ce côté, alors :
\(A = c \times h\)
C’est exactement la formule de l’aire d’un parallélogramme : base multipliée par la hauteur.
Exemple : un losange a un côté de 5 cm et une hauteur de 4 cm. Son aire est :
\(A = 5 \times 4 = 20\)
L’aire vaut 20 cm².
Attention : la hauteur \(h\) n’est pas un côté du losange. C’est la distance perpendiculaire entre deux côtés parallèles opposés. Ne confonds jamais la hauteur avec le côté.
Retiens qu’un losange possède donc deux formules d’aire : celle avec les diagonales (la plus fréquente) et celle avec un côté et la hauteur. Tu choisis selon les données de l’énoncé.
V. Le périmètre d’un losange
Le périmètre, c’est le tour de la figure. Et là, le losange est champion de simplicité : comme ses quatre côtés sont égaux, il suffit de connaître un seul côté.
Formule — Périmètre du losange
Si un losange a un côté de longueur \(c\), alors son périmètre est :
\(P = 4 \times c\)
Exemple : un losange a un côté de 7 cm. Son périmètre est :
\(P = 4 \times 7 = 28\)
Le périmètre vaut 28 cm (une longueur, donc en cm, pas en cm²).
Erreur classique : additionner les diagonales pour trouver le périmètre. Il faut additionner les quatre côtés. Si seules les diagonales sont données, on doit d’abord retrouver la longueur d’un côté, par exemple avec Pythagore une fois ce théorème étudié.
VI. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction : c’est comme ça qu’on progresse vraiment.
Exercice 1 — Aire avec les diagonales ★
Un losange a une petite diagonale de 6 cm et une grande diagonale de 10 cm. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule des diagonales :
\(A = \displaystyle\frac{6 \times 10}{2} = \displaystyle\frac{60}{2} = 30\)L’aire du losange est de 30 cm².
Exercice 2 — Périmètre d’un losange ★
Un losange a un côté de 9 cm. Calcule son périmètre.
Voir la correction de l’exercice 2
Les 4 côtés sont égaux, donc :
\(P = 4 \times 9 = 36\)Le périmètre est de 36 cm.
Exercice 3 — Aire avec côté et hauteur ★★
Un losange a un côté de 8 cm et une hauteur de 5 cm relative à ce côté. On ne connaît pas les diagonales. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 3
Comme on n’a pas les diagonales, on utilise la formule base multipliée par hauteur :
\(A = 8 \times 5 = 40\)L’aire vaut 40 cm². Ici, il aurait été faux d’utiliser les diagonales, puisqu’on ne les connaît pas.
Exercice 4 — Retrouver une diagonale ★★
Un losange a une aire de 24 cm² et une diagonale de 8 cm. Quelle est la longueur de l’autre diagonale ?
Voir la correction de l’exercice 4
On part de la formule \(A = \displaystyle\frac{d \times D}{2}\), donc \(d \times D = 2 \times A\).
\(d \times 8 = 2 \times 24 = 48\)Il reste à trouver le nombre qui, multiplié par 8, donne 48 :
\(d = \displaystyle\frac{48}{8} = 6\)L’autre diagonale mesure 6 cm.
Exercice 5 — Prolongement avec Pythagore : retrouver le périmètre ★★★
Un losange a des diagonales de 6 cm et 8 cm. Peux-tu calculer son périmètre ? (Indice : utilise les propriétés des diagonales.)
Voir la correction de l’exercice 5
Les diagonales se coupent en leur milieu et à angle droit. Elles découpent donc le losange en 4 triangles rectangles identiques, dont les deux côtés de l’angle droit sont les demi-diagonales :
\(\displaystyle\frac{6}{2} = 3\) cm et \(\displaystyle\frac{8}{2} = 4\) cm.
Le côté du losange est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. On applique le théorème de Pythagore :
\(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)Donc \(c = 5\) cm (car \(5 \times 5 = 25\)).
Le périmètre est alors :
\(P = 4 \times 5 = 20\)Le périmètre vaut 20 cm.
VII. Les erreurs fréquentes
Voici les pièges qui coûtent le plus de points aux élèves sur le losange. Repère-les maintenant, tu ne les feras plus le jour du contrôle.
Piège n°1 — Oublier de diviser par 2. Beaucoup écrivent \(A = d \times D\). C’est faux : ce serait l’aire du rectangle qui entoure le losange. La bonne formule est \(A = \displaystyle\frac{d \times D}{2}\).
Piège n°2 — Confondre aire et périmètre. L’aire utilise les diagonales et s’exprime en cm². Le périmètre utilise les côtés et s’exprime en cm. Ce sont deux grandeurs différentes. Si le doute revient souvent, relis les pièges classiques de géométrie.
Piège n°3 — Prendre la hauteur pour un côté. Dans la formule \(A = c \times h\), \(h\) est une distance perpendiculaire, pas la longueur d’un côté du losange.
VIII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un losange ?
Pour calculer l’aire d’un losange, on multiplie les longueurs de ses deux diagonales, puis on divise par 2. Si les diagonales mesurent \(d\) et \(D\), l’aire vaut \(A = \displaystyle\frac{d \times D}{2}\). Le résultat s’exprime toujours en unité de surface (cm², m²…).
Quelle est la formule de l’aire d’un losange ?
La formule principale est \(A = \displaystyle\frac{d \times D}{2}\), où \(d\) et \(D\) sont les deux diagonales. Il existe une seconde formule, \(A = c \times h\) (côté multiplié par la hauteur), utile quand on ne connaît pas les diagonales.
Comment calculer l’aire d’un losange sans les diagonales ?
Si on ne connaît pas les diagonales mais un côté \(c\) et la hauteur \(h\) associée, on utilise la formule du parallélogramme : \(A = c \times h\). La hauteur est la distance perpendiculaire entre deux côtés opposés, pas la longueur d’un côté.
Comment calculer le périmètre d’un losange ?
Comme les quatre côtés d’un losange sont égaux, le périmètre se calcule avec \(P = 4 \times c\), où \(c\) est la longueur d’un côté. Le périmètre s’exprime en unité de longueur (cm, m…), jamais en cm².
Quelles sont les 4 propriétés d’un losange ?
Un losange a quatre côtés de même longueur, des côtés opposés parallèles (c’est un parallélogramme), des diagonales perpendiculaires, et des diagonales qui se coupent en leur milieu. Ces propriétés des diagonales expliquent pourquoi son aire se calcule si facilement.
Quelle est la différence entre l’aire d’un losange et celle d’un carré ?
Le carré est un losange dont les quatre angles sont droits ; ses diagonales sont de même longueur. Pour un carré, \(A=c\times c\). Pour un losange quelconque, on peut utiliser \(A=\displaystyle\frac{d\times D}{2}\) ou côté × hauteur. La seule longueur du côté ne suffit pas à déterminer son aire.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’aire et le périmètre du losange. Pour continuer ton travail sur les aires et périmètres :
- Aire d’un hexagone régulier et des polygones réguliers : formule et méthode
- Formulaire des aires, périmètres et volumes du collège
- Aires et périmètres en 6ème : 15 exercices corrigés pas à pas
- 12 exercices de fractions CM1 corrigés (avec PDF)
- Le polyèdre : définition, noms des solides et solides de Platon
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