En 5ème, les angles changent de rôle : tu ne te contentes plus de les mesurer au rapporteur, tu apprends à les calculer sans instrument et à justifier tes réponses. Angles opposés par le sommet, alternes-internes, correspondants, somme des angles d’un triangle : ces propriétés sont au cœur du chapitre « angles et parallélisme », et elles reviennent dans tous les contrôles. Voici 14 exercices classés par difficulté croissante, chacun corrigé pas à pas. Tu commences par des calculs directs, puis tu avances vers des figures complètes et une évaluation type avec barème. Essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction : c’est comme ça qu’on progresse vraiment.
Les propriétés à connaître avant de commencer
Avant de te lancer, voici les six propriétés que tu vas utiliser dans tous les exercices. Garde-les sous les yeux : en 5ème, savoir quelle propriété s’applique compte autant que le calcul lui-même.
Les propriétés clés des angles en 5ème
- Angles opposés par le sommet : quand deux droites se croisent, les angles opposés sont égaux.
- Angles complémentaires : leur somme vaut 90°. Angles supplémentaires : leur somme vaut 180°.
- Angles correspondants : si deux droites sont parallèles, les angles correspondants formés par une sécante sont égaux.
- Angles alternes-internes : si deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes formés par une sécante sont égaux.
- Somme des angles d’un triangle : les trois angles d’un triangle ont toujours une somme égale à 180°.
Ces propriétés en main, commençons par des calculs simples pour prendre confiance.
Exercices d’application directe (★)
Ces cinq premiers exercices se résolvent en une ou deux étapes. L’objectif : reconnaître la bonne propriété et faire le calcul juste.
Exercice 1 — Deux angles supplémentaires ★
Deux angles sont supplémentaires. L’un mesure 115°. Quelle est la mesure de l’autre ?
Voir la correction de l’exercice 1
Deux angles supplémentaires ont une somme égale à 180°. On cherche donc l’angle manquant.
180° − 115° = 65°.
L’autre angle mesure 65°.
Exercice 2 — Deux angles complémentaires ★
Deux angles sont complémentaires. L’un mesure 37°. Quelle est la mesure de l’autre ?
Voir la correction de l’exercice 2
Deux angles complémentaires ont une somme égale à 90°.
90° − 37° = 53°.
L’autre angle mesure 53°.
Attention à ne pas confondre : complémentaires = 90°, supplémentaires = 180°.
Exercice 3 — Angles opposés par le sommet ★
Deux droites se coupent en un point O. L’un des quatre angles formés mesure 72°. Donne la mesure des trois autres angles.
Voir la correction de l’exercice 3
L’angle opposé par le sommet à l’angle de 72° lui est égal : il mesure donc 72°.
Les deux autres angles sont adjacents à l’angle de 72° : ils forment avec lui un angle plat (180°). Chacun mesure :
180° − 72° = 108°.
Les trois autres angles mesurent donc 72°, 108° et 108°.
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Exercice 4 — Reconnaître les paires d’angles ★
Deux droites (d) et (d’) sont coupées par une sécante. On observe les angles formés. Parmi les paires suivantes, indique lesquelles sont des angles correspondants et lesquelles sont des angles alternes-internes : a) deux angles du même côté de la sécante, l’un au-dessus de (d), l’autre au-dessus de (d’) ; b) deux angles de part et d’autre de la sécante, tous les deux entre (d) et (d’).
Voir la correction de l’exercice 4
a) Deux angles placés du même côté de la sécante et à la même position par rapport à chaque droite sont des angles correspondants.
b) Deux angles placés de part et d’autre de la sécante et entre les deux droites sont des angles alternes-internes.
Astuce : « alterne » veut dire de chaque côté, « interne » veut dire à l’intérieur (entre les deux droites).
Exercice 5 — Alternes-internes et parallèles ★
Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Une sécante forme avec (d) un angle de 54°. L’angle alterne-interne formé avec (d’) est noté \(\widehat{x}\). Quelle est la mesure de \(\widehat{x}\) ?
Voir la correction de l’exercice 5
Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Donc les angles alternes-internes formés par la sécante sont égaux.
\(\widehat{x} = 54^{\circ}\).
L’angle \(\widehat{x}\) mesure 54°.
Le mot « parallèles » est indispensable : sans lui, on ne pourrait rien conclure.
Exercices d’approfondissement (★★)
Ces exercices demandent de combiner deux propriétés ou d’enchaîner deux étapes. Prends le temps de repérer la propriété utile à chaque étape.
Exercice 6 — Angles correspondants ★★
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Une sécante les coupe. Un angle vaut 128°. Calcule la mesure de l’angle correspondant, puis celle de son angle supplémentaire sur la même droite.
Voir la correction de l’exercice 6
Étape 1 : les droites sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux. L’angle correspondant mesure 128°.
Étape 2 : sur une même droite, deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires :
180° − 128° = 52°.
L’angle supplémentaire mesure 52°.
Exercice 7 — Le troisième angle d’un triangle ★★
Dans un triangle ABC, l’angle en A mesure 45° et l’angle en B mesure 63°. Calcule la mesure de l’angle en C.
Voir la correction de l’exercice 7
La somme des trois angles d’un triangle vaut 180°. On additionne les deux angles connus :
45° + 63° = 108°.
Puis on retire du total :
180° − 108° = 72°.
L’angle en C mesure 72°.
Exercice 8 — Opposés puis supplémentaires ★★
Deux droites se coupent en O. On note les quatre angles \(\widehat{a}\), \(\widehat{b}\), \(\widehat{c}\) et \(\widehat{d}\) dans l’ordre autour du point. On sait que \(\widehat{a} = 63^{\circ}\). Calcule \(\widehat{b}\), \(\widehat{c}\) et \(\widehat{d}\) en justifiant chaque réponse.
Voir la correction de l’exercice 8
\(\widehat{b}\) est adjacent à \(\widehat{a}\) et forme avec lui un angle plat. Ils sont supplémentaires :
180° − 63° = 117°, donc \(\widehat{b} = 117^{\circ}\).
\(\widehat{c}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{a}\), donc il lui est égal : \(\widehat{c} = 63^{\circ}\).
\(\widehat{d}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{b}\), donc \(\widehat{d} = 117^{\circ}\).
Vérification : 63° + 117° + 63° + 117° = 360°, ce qui correspond bien à un tour complet. ✓
Exercice 9 — Triangle et parallèles ★★
Dans un triangle ABC, la parallèle au côté (BC) passant par A forme avec (AB) et (AC) deux angles alternes-internes avec les angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\). Si \(\widehat{B} = 55^{\circ}\) et \(\widehat{C} = 68^{\circ}\), retrouve \(\widehat{A}\) grâce aux angles autour de A, puis vérifie avec la somme des angles du triangle.
Voir la correction de l’exercice 9
La parallèle à (BC) passant par A reporte, par les angles alternes-internes, un angle de 55° et un angle de 68° de chaque côté de A.
Autour de A, ces deux angles et l’angle \(\widehat{A}\) forment un angle plat (180°) :
\(\widehat{A} = 180^{\circ}- 55^{\circ}- 68^{\circ} = 57^{\circ}\).
Vérification avec la somme des angles du triangle : 57° + 55° + 68° = 180°. ✓
C’est exactement la démonstration de la propriété « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » !
Exercice 10 — Triangle isocèle ★★
Un triangle DEF est isocèle en D : les angles à la base \(\widehat{E}\) et \(\widehat{F}\) sont égaux. L’angle au sommet \(\widehat{D}\) mesure 44°. Calcule \(\widehat{E}\) et \(\widehat{F}\).
Voir la correction de l’exercice 10
La somme des angles du triangle vaut 180°. On enlève d’abord l’angle au sommet :
180° − 44° = 136°.
Ce reste se partage à parts égales entre les deux angles à la base, car ils sont égaux :
136° ÷ 2 = 68°.
Donc \(\widehat{E} = \widehat{F} = 68^{\circ}\).
Exercices de synthèse et évaluation type (★★★)
On arrive au niveau d’un vrai contrôle. Ici, calculer ne suffit plus : il faut rédiger une justification propre. Avant de commencer, voici la structure attendue.
Comment rédiger une justification en 3 temps :
- 1. Je cite la propriété (« Les droites sont parallèles… »).
- 2. Je vérifie l’hypothèse (« …donc les angles alternes-internes sont égaux »).
- 3. Je conclus avec le résultat (« …donc l’angle mesure 54° »).
Une justification complète cite l’hypothèse utile, la propriété appliquée, puis le calcul et sa conclusion. Un résultat seul ne montre pas le raisonnement.
Exercice 11 — Figure avec deux parallèles ★★★
Les droites (d) et (d’) sont parallèles, coupées par une sécante. Un angle intérieur formé avec (d) mesure 103°. Calcule, en justifiant à chaque fois : l’angle correspondant sur (d’), un angle alterne-interne, et l’angle opposé par le sommet à l’angle de 103°.
Voir la correction de l’exercice 11
Angle correspondant : les droites (d) et (d’) sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux. L’angle correspondant mesure 103°.
Angle alterne-interne : les droites (d) et (d’) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux. Il mesure 103°.
Angle opposé par le sommet : deux angles opposés par le sommet sont égaux. Il mesure 103°.
Les trois angles valent donc tous 103°, chacun justifié par sa propre propriété.
Exercice 12 — Rédiger une justification complète ★★★
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Une sécante coupe (AB) en M et (CD) en N. L’angle \(\widehat{AMN}\) mesure 112°. Rédige, étape par étape, la justification qui permet de trouver la mesure de l’angle \(\widehat{MND}\) (alterne-interne de \(\widehat{AMN}\)).
Voir la correction de l’exercice 12
Voici la rédaction attendue sur une copie :
« Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les angles \(\widehat{AMN}\) et \(\widehat{MND}\) sont des angles alternes-internes formés par la sécante. Donc ils sont égaux. \(\widehat{MND} = \widehat{AMN} = 112^{\circ}\). »
Les 3 temps sont bien présents : je cite (parallèles), je nomme la configuration (alternes-internes), je conclus (112°). C’est exactement ce qu’attend ton professeur.
Exercice 13 — Problème à plusieurs étapes ★★★
Dans un triangle RST, l’angle \(\widehat{R}\) mesure 38°. La droite passant par T et parallèle à (RS) forme avec (RT) un angle alterne-interne égal à \(\widehat{R}\). De plus, l’angle \(\widehat{S}\) mesure 74°. Calcule \(\widehat{T}\) de deux manières différentes : avec la somme des angles du triangle, puis avec les angles autour de T formés par la parallèle.
Voir la correction de l’exercice 13
Méthode 1 — somme des angles du triangle :
\(\widehat{T} = 180^{\circ}- 38^{\circ}- 74^{\circ} = 68^{\circ}\).
Méthode 2 — angles autour de T : la parallèle à (RS) passant par T reporte, par alternes-internes, un angle de 38° (venant de \(\widehat{R}\)) et un angle de 74° (venant de \(\widehat{S}\)) de part et d’autre de \(\widehat{T}\). Ces trois angles forment un angle plat :
\(\widehat{T} = 180^{\circ}- 38^{\circ}- 74^{\circ} = 68^{\circ}\).
Les deux méthodes donnent 68° : c’est cohérent, et c’est aussi la démonstration visuelle de la somme des angles d’un triangle.
Exercice 14 — Évaluation type (sur 10 points) ★★★
Sujet complet, comme en contrôle. 1) Deux angles supplémentaires : l’un mesure 88°, calcule l’autre (2 pts). 2) Les droites (d) et (d’) sont parallèles ; un angle correspondant vaut 61°, donne la mesure de son correspondant en justifiant (3 pts). 3) Dans un triangle ABC, \(\widehat{A} = 90^{\circ}\) et \(\widehat{B} = 37^{\circ}\) ; calcule \(\widehat{C}\) (2 pts). 4) Deux droites se coupent en O ; un angle mesure 125°, donne les trois autres (3 pts).
Voir la correction et le barème de l’exercice 14
1) Angles supplémentaires : 180° − 88° = 92°. (2 pts : 1 pt pour la propriété, 1 pt pour le calcul)
2) « Les droites (d) et (d’) sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux : l’angle correspondant mesure 61°. » (3 pts : 1 pt citation du parallélisme, 1 pt propriété des correspondants, 1 pt conclusion)
3) \(\widehat{C} = 180^{\circ}- 90^{\circ}- 37^{\circ} = 53^{\circ}\). (2 pts)
4) Angle opposé par le sommet : 125°. Les deux angles adjacents : 180° − 125° = 55° chacun. Donc 125°, 55° et 55°. (3 pts : 1,5 pt pour l’opposé justifié, 1,5 pt pour les adjacents)
Total : /10. Perds-tu des points sur les justifications ? C’est le réflexe à travailler en priorité en 5ème.
Les erreurs fréquentes à éviter
Ces trois erreurs reviennent dans presque tous les contrôles de 5ème. Les repérer maintenant t’évitera de perdre des points bêtement.
Erreur 1 — Oublier l’hypothèse de parallélisme.
❌ « Les angles alternes-internes sont égaux, donc l’angle mesure 54°. »
Diagnostic : la propriété ne fonctionne que si les deux droites sont parallèles. Sans cette mention, la justification est fausse.
✅ « Les droites sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux : l’angle mesure 54°. »
Erreur 2 — Confondre complémentaires et supplémentaires.
❌ Pour deux angles supplémentaires dont l’un vaut 115°, écrire 90° − 115° (résultat négatif).
Diagnostic : complémentaires = 90°, supplémentaires = 180°. Le mot « supplémentaires » impose 180°.
✅ 180° − 115° = 65°.
Erreur 3 — Prendre deux angles pour correspondants alors qu’ils sont alternes-internes.
❌ Nommer « correspondants » deux angles situés de part et d’autre de la sécante.
Diagnostic : correspondants = même côté de la sécante, même position. Alternes-internes = de part et d’autre, entre les deux droites.
✅ Observe toujours la position par rapport à la sécante avant de nommer la paire.
Maintenant que tu connais les pièges, voici les réponses aux questions que se posent le plus souvent les élèves de 5ème.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre angles alternes-internes et correspondants ?
Les deux paires concernent deux droites coupées par une sécante. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante et occupent la même position par rapport à chaque droite. Les angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et situés entre les deux droites. Dans les deux cas, ils sont égaux uniquement si les droites sont parallèles.
Comment reconnaître deux angles correspondants ?
Imagine que tu décales un angle le long de la sécante d’une droite vers l’autre, sans le tourner. L’angle qui se superpose exactement est son correspondant. Visuellement, ils forment un motif en « F » (droit ou retourné). Ils sont du même côté de la sécante.
Faut-il que les droites soient parallèles pour que les angles alternes-internes soient égaux ?
Oui, c’est indispensable. Si les droites ne sont pas parallèles, les angles alternes-internes existent toujours, mais ils ne sont pas égaux. C’est pourquoi toute justification doit commencer par citer le parallélisme avant d’appliquer la propriété.
Comment calculer le troisième angle d’un triangle ?
La somme des trois angles d’un triangle vaut toujours 180°. Pour trouver le troisième angle, tu additionnes les deux angles connus, puis tu soustrais ce total de 180°. Par exemple, avec 45° et 63° : 180° − (45° + 63°) = 72°.
Les angles opposés par le sommet sont-ils toujours égaux ?
Oui, sans condition. Dès que deux droites se croisent, les deux angles opposés par le sommet (situés « en face » l’un de l’autre) sont toujours égaux. Contrairement aux alternes-internes et aux correspondants, cette propriété ne demande aucun parallélisme.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les angles et le parallélisme en 5ème. Pour continuer à progresser :
- La bissectrice d’un angle : définition, tracé au compas et propriétés
- Angles adjacents et opposés par le sommet : cours de 5ème
- 15 exercices corrigés sur les angles en 6ème
- 12 Exercices Trigonométrie 3ème Corrigés + PDF
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