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L’épreuve de Mathématiques B/L 2026, commune aux ENS (Paris-PSL, Lyon, Paris-Saclay), à l’ENSAE et à l’ENSAI, propose trois problèmes indépendants en quatre heures, sans calculatrice. Le sujet balaie l’algèbre linéaire (projecteurs, noyaux, rang), les probabilités (discrètes et continues, avec un volet convergence) et l’analyse (étude d’une fonction intégrale avec développement limité). La difficulté est progressive dans chaque problème : des questions d’entrée abordables laissent place à des finales exigeantes, particulièrement dans le Problème C. Un sujet équilibré mais sélectif.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Problème A – Partie I (Q1–Q3) | Application linéaire, produits matriciels | Accessible | Matrice, noyau, trace, valeurs propres, projecteur |
| Problème A – Partie I (Q4–Q5) | Projecteurs généraux et rang | Élevé | Projecteur, diagonalisabilité, rang, noyau |
| Problème A – Partie II (Q6–Q8) | Projecteurs symétriques et bases orthonormées | Élevé | Familles orthonormées, produit scalaire, endomorphismes |
| Problème B – Partie I (Q9–Q12) | Probabilités discrètes | Accessible | Loi de Bernoulli, loi binomiale, corrélation |
| Problème B – Partie I (Q13) | Parité d’une somme binomiale | Élevé | Formule du binôme, limites, fonction génératrice |
| Problème B – Partie II (Q14–Q16) | Loi de Pareto et maximum | Élevé | Fonction de répartition, densité, convergence |
| Problème C (Q17–Q23) | Étude d’une fonction intégrale | Très élevé | DL, intégrales paramétriques, dérivabilité, récurrence |
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Structure et thèmes du sujet
Problème A — Algèbre linéaire et projecteurs
Le problème s’articule en deux parties. La Partie I débute par l’étude d’une application linéaire \(a : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) donnée explicitement. On calcule sa matrice \(A\), son noyau, sa trace, puis les produits \(P = A^{\mathrm{T}}A\) et \(Q = AA^{\mathrm{T}}\) (où \(A^{\mathrm{T}}\) désigne la matrice transposée). On montre que \(Q\) est un projecteur. Le problème s’élargit ensuite à une matrice \(B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})\) quelconque, avec \(R = B^{\mathrm{T}}B\) projecteur et \(S = BB^{\mathrm{T}}\) diagonalisable : on établit que \(S\) est aussi un projecteur et que \(B\), \(R\) et \(S\) partagent le même rang.
La Partie II considère deux projecteurs symétriques \(U\) et \(W\) de même rang \(r\), des bases orthonormées de leurs images, et construit un endomorphisme \(c\) qui envoie une base sur l’autre. L’objectif est d’exprimer \(U\) en fonction de la matrice \(C\) de \(c\), aboutissant à \(U = C^{\mathrm{T}}C\).
Problème B — Probabilités discrètes et continues
La Partie I modélise \(n\) lancers indépendants d’une pièce de probabilité \(\displaystyle\frac{1}{n}\). On étudie les variables de Bernoulli \(X_k\) et leur somme \(S\) qui suit une loi binomiale. Le sujet demande calculs d’espérances (dont \(E[2^{X_1}]\)), de probabilité conditionnelle, du coefficient de corrélation entre \(X_1\) et \(S\), puis introduit une fonction \(f_n(x)\) pour déterminer la probabilité que \(S\) soit pair et sa limite.
La Partie II étudie une variable \(Z\) de type Pareto, de fonction de répartition \(F_Z(x) = 1 – \displaystyle\frac{1}{x}\) pour \(x \geq 1\). On examine la densité, la question de l’existence de l’espérance, puis le maximum normalisé \(M_n = \displaystyle\frac{1}{n}\max(Z_1, \ldots, Z_n)\) : sa fonction de répartition, l’existence de son espérance, et la convergence de sa CDF.
Problème C — Analyse d’une fonction intégrale
On étudie d’abord \(h(t) = t^2 e^{-t^2}\) (limites, points d’inflexion, graphe), puis la fonction \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\int_x^{2x} e^{-t^2}\,dt\). Le programme est complet : domaine, parité, encadrement, limites, convergence d’une intégrale généralisée, dérivée, tableau de variations, développement limité en 0, existence d’un paramètre \(\alpha_x\), et une généralisation \(f_n(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\int_x^{2x} t^n e^{-t^2}\,dt\) avec relation de récurrence.
Note : les sous-questions (17b) et (17c) ne sont pas lisibles sur le document d’origine et ne sont donc pas traitées dans cette analyse.
Notions et chapitres testés
- Algèbre linéaire : applications linéaires, matrices d’endomorphismes, noyau et rang, trace, valeurs propres et vecteurs propres, matrices transposées, projecteurs (\(Q^2 = Q\)), familles et bases orthonormées, produit scalaire canonique.
- Probabilités discrètes : loi de Bernoulli, loi binomiale, espérance, variance, covariance et coefficient de corrélation, formule du binôme de Newton, probabilités conditionnelles.
- Probabilités continues : fonction de répartition, densité, espérance (existence et calcul), maximum de variables iid, convergence simple d’une suite de fonctions de répartition.
- Analyse : étude de fonction (limites, dérivées, convexité, points d’inflexion), intégrales paramétriques, encadrement d’intégrales, développements limités (jusqu’à l’ordre 6), intégrales généralisées (convergence), intégration par parties, récurrence sur des familles de fonctions.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet 2026 se situe dans la lignée des épreuves B/L récentes (2023–2025) par son architecture en trois problèmes indépendants mêlant algèbre, probabilités et analyse. La difficulté globale est moyenne à élevée. Les premières questions de chaque problème sont très abordables et permettent d’engranger des points ; c’est une constante de cette épreuve.
Le Problème A est sans doute le plus classique : le passage de l’exemple concret (matrice 3×3) au cas général est un schéma fréquent dans les sujets ENS B/L. Le Problème B est légèrement plus original que les années précédentes, notamment par l’utilisation de la fonction \(f_n\) pour capturer la parité de \(S\) et par la partie Pareto–maximum, qui touche à la théorie des valeurs extrêmes. Le Problème C est le plus exigeant : les dernières questions (DL en 0, existence de \(\alpha_x\), récurrence pour \(f_n\)) demandent une réelle aisance calculatoire et conceptuelle. Comparé à 2024, le poids de l’analyse est plus marqué.
Pièges et points techniques délicats
Q1b – Noyau de A : Attention à ne pas oublier de résoudre le système complet. Le noyau est de dimension 1, ce qui est cohérent avec le rang 2 déduit de la trace et des calculs ultérieurs. Vérifie bien que le vecteur trouvé est non nul et satisfait les trois équations.
Q3a – Montrer que Q est un projecteur : Il faut calculer \(Q^2 = AA^{\mathrm{T}}AA^{\mathrm{T}}\). L’astuce est de reconnaître que \(A^{\mathrm{T}}A\) apparaît au centre. Si tu as déjà identifié les propriétés de \(P = A^{\mathrm{T}}A\), utilise-les.
Q4b – S est un projecteur : C’est la question clé de la Partie I générale. Après avoir montré \(S^3 = S^2\), il faut exploiter la diagonalisabilité de \(S\) : ses valeurs propres vérifient \(\lambda^3 = \lambda^2\), donc \(\lambda \in \{0, 1\}\). Or une matrice diagonalisable à valeurs propres dans \(\{0,1\}\) est un projecteur. Ne saute pas l’argument de diagonalisabilité, il est indispensable.
Q5a – ker(R) = ker(B) : Le sens ker(B) ⊂ ker(R) est immédiat. Pour le sens réciproque, le piège classique est d’oublier d’utiliser le produit scalaire : si \(B^{\mathrm{T}}Bx = 0\), alors \(\Vert Bx \Vert^2 = x^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}Bx = 0\).
Q9d – E[2^{X_1 – X_2}] : Par indépendance, \(E[2^{X_1 – X_2}] = E[2^{X_1}] \cdot E[2^{-X_2}]\). Ne confonds pas \(E[2^{-X_2}]\) avec \(\displaystyle\frac{1}{E[2^{X_2}]}\) — c’est une erreur fréquente.
Q14c – Espérance de Z : L’intégrale \(\int_1^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{x}\,dx\) diverge. La réponse est que Z n’admet pas d’espérance. Ne conclus pas trop vite à l’existence.
Q21b–Q21c – DL de f en 0 : Le passage du DL de \(e^{-t^2}\) à celui de \(f(x)\) nécessite d’intégrer terme à terme entre \(x\) et \(2x\), puis de diviser par \(x\). Vérifie soigneusement les puissances de 2 qui apparaissent dans les bornes.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Problème A
Q1–Q3 : Calcul direct de la matrice \(A\) colonne par colonne, résolution du système linéaire pour le noyau. Pour les produits \(P\) et \(Q\), calcul matriciel posé. La vérification \(Q^2 = Q\) utilise l’associativité et les propriétés de \(P\).
Q4–Q5 : Pour \(S^3 = S^2\), développer en insérant \(R = B^{\mathrm{T}}B\) et utiliser \(R^2 = R\). Pour le projecteur, raisonner sur le polynôme minimal via la diagonalisabilité. Le lien noyau-rang passe par la formule du rang.
Q6–Q8 : Compléter en base orthonormée par Gram-Schmidt ou argument de dimension. La question Q7 utilise le fait qu’une base orthonormée détermine un endomorphisme par ses produits scalaires. Pour Q8d, calculer \(C^{\mathrm{T}}C\) et montrer l’égalité avec \(U\) via Q7.
Problème B
Q9–Q12 : Calculs directs sur la loi de Bernoulli. Pour le coefficient de corrélation, utiliser \(E[SX_1] = E[X_1^2] + (n-1)E[X_1]E[X_2]\) par indépendance. Le résultat \(\rho = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) est élégant et à commenter : la corrélation décroît avec \(n\).
Q13 : Reconnaître \(f_n(x)\) comme \(\left(\displaystyle\frac{x}{n} + 1 – \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\) par la formule du binôme. Pour la parité de \(S\), utiliser l’astuce classique \(p_n = \displaystyle\frac{f_n(1) + f_n(-1)}{2}\), puis passer à la limite avec \((1 – \displaystyle\frac{2}{n})^n \to e^{-2}\).
Q14–Q16 : Vérification des propriétés de CDF (croissance, limites, continuité à droite). Pour \(M_n\), la CDF s’obtient par indépendance : \(F_{M_n}(x) = (F_Z(nx))^n\). L’espérance de \(M_n\) n’existe pour aucun \(n \geq 2\) car la queue de \(1 – F_{M_n}(x)\) décroît en \(\displaystyle\frac{1}{x}\). La limite de la CDF est \(e^{-1/x}\) pour \(x > 0\) : c’est bien une CDF valide (type Fréchet).
Problème C
Q17 : Étude classique de \(h(t) = t^2 e^{-t^2}\) par dérivation. Points d’inflexion obtenus en résolvant \(h^{\prime\prime}(t) = 0\).
Q18–Q19 : Le domaine est \(\mathbb{R}^*\). La parité se démontre par changement de variable \(u = -t\). L’encadrement utilise la monotonie de \(e^{-t^2}\) sur \([x, 2x]\) pour \(x > 0\).
Q20 : La dérivée se calcule par \(f(x) = \displaystyle\frac{F(2x) – F(x)}{x}\) où \(F\) est une primitive de \(e^{-t^2}\). On obtient \(xf^\prime(x) + f(x) = 2e^{-4x^2} – e^{-x^2}\), ce qui montre que \(f\) est décroissante sur \(]0, +\infty[\).
Q21 : Intégrer le DL de \(e^{-t^2} = 1 – t^2 + \displaystyle\frac{t^4}{2} – \cdots\) entre \(x\) et \(2x\), puis diviser par \(x\). Le DL de \(f\) en 0 est \(f(x) = 1 – \displaystyle\frac{7}{3}x^2 + o(x^2)\).
Q22–Q23 : L’existence de \(\alpha_x\) découle de l’encadrement strict \(e^{-4x^2} < f(x) < e^{-x^2}\). Pour \(f_n\), l’intégration par parties avec \(u = t^{n-1}\) et \(dv = te^{-t^2}\,dt\) fournit la récurrence.
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise les projecteurs : Les matrices vérifiant \(M^2 = M\) reviennent très régulièrement dans les épreuves B/L. Entraîne-toi sur les propriétés spectrales (valeurs propres dans \(\{0,1\}\)), les liens entre noyau et image, et les projecteurs orthogonaux (\(M^{\mathrm{T}} = M\)).
Développements limités et intégrales : Le Problème C est typique des questions qui départagent. Tu dois être capable d’intégrer un DL terme à terme entre des bornes dépendant d’un paramètre, rapidement et sans erreur. Travaille régulièrement les DL à l’ordre 4 ou 6 et leur composition.
- Algèbre linéaire : Travaille les produits \(A^{\mathrm{T}}A\) et \(AA^{\mathrm{T}}\) de manière systématique. Sache démontrer que \(\ker(A^{\mathrm{T}}A) = \ker(A)\) : c’est un classique absolu.
- Probabilités : Les calculs sur la loi binomiale avec paramètre \(p = \displaystyle\frac{1}{n}\) (régime « poissonien ») sont fréquents. Entraîne-toi aussi sur les distributions à queue lourde (Pareto) et les statistiques d’ordre (maximum).
- Analyse : La fonction \(e^{-t^2}\) et ses intégrales (liées à l’intégrale de Gauss) apparaissent souvent. Sois à l’aise avec les encadrements d’intégrales et les tableaux de variations de fonctions définies par des intégrales.
- Gestion du temps : Avec trois problèmes indépendants, commence par celui où tu te sens le plus à l’aise. Les premières questions de chaque problème sont conçues pour être rapides : ne les néglige pas, elles constituent le socle de la note.
