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Le sujet de Maths du concours G2E 2026 (filière BCPST) est composé de deux problèmes indépendants, pour une durée totale de 4 heures, sans calculatrice. Le Problème 1 part d’un calcul d’intégrale classique pour aboutir à un dénombrement de points à coordonnées entières dans un disque, avant de conclure sur la convergence en loi de variables aléatoires discrètes. Le Problème 2 étudie les matrices de carré nul (nilpotentes d’indice 2), puis la réduction d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\), avant une application probabiliste autour d’un dé. L’ensemble est d’un niveau modéré à élevé, bien calibré pour le concours G2E, avec quelques passages techniques exigeant rigueur et méthode.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Problème 1 – Partie A (Q1-3) | Calcul d’intégrale par substitution | Accessible | Changement de variable, intégration par parties, arctan |
| Problème 1 – Partie B (Q4-6) | Dénombrement de points entiers dans un disque | Élevé | Partie entière, sommes de Riemann, équivalents |
| Problème 1 – Partie C (Q7-10) | Convergence en loi et moyenne empirique | Élevé | Loi de Bernoulli, indépendance, théorème de Cesàro |
| Problème 2 – Partie A (Q1-3) | Matrices de carré nul | Accessible | Valeurs propres, matrices symétriques, nilpotence |
| Problème 2 – Partie B (Q4-6) | Réduction d’un endomorphisme nilpotent | Élevé | Noyau, rang, changement de base |
| Problème 2 – Partie C (Q7-9) | Probabilités avec un dé | Accessible | Loi géométrique, indépendance, calcul matriciel |
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Structure et thèmes du sujet
Problème 1 : De l’intégrale au dénombrement géométrique
La Partie A (questions 1 à 3) est un calcul d’intégrale classique. On étudie deux fonctions \(\varphi(t) = \displaystyle\frac{t^2 – 1}{t^2 + 1}\) et \(\psi(t) = \displaystyle\frac{t}{t^2 + 1} + \arctan(t)\), puis on calcule \(I = \int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,\mathrm{d}x\) via le changement de variable \(x = \varphi(t)\), suivi d’une intégration par parties. On retrouve enfin le résultat \(I = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) par interprétation géométrique (aire d’un quart de disque).
La Partie B (questions 4 à 6) s’intéresse au dénombrement des points à coordonnées entières dans le disque \(D_n\) de rayon \(n\). Par des arguments de symétrie et des encadrements à l’aide de la partie entière, on montre que \(\mathrm{Card}(D_n) \sim \pi n^2\) grâce à une somme de Riemann qui converge vers l’intégrale \(I = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) calculée en Partie A.
La Partie C (questions 7 à 10) introduit des variables aléatoires \(X_n\) et \(Y_n\) uniformes sur \(\{-n, \ldots, n\}\), et construit \(Z_n\) comme indicatrice de l’événement \(X_n^2 + Y_n^2 \leq n^2\). On étudie la convergence en loi de \(Z_n\) vers une loi de Bernoulli de paramètre \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), puis le comportement de la moyenne empirique via le théorème de Cesàro.
Problème 2 : Matrices nilpotentes et probabilités
La Partie A (questions 1 à 3) étudie les matrices nilpotentes d’indice 2 dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On montre que toute valeur propre est nulle, qu’une matrice symétrique de carré nul est la matrice nulle, et que pour les matrices \(2 \times 2\), la condition \(A^m = O_2\) avec \(m \in \{1, 2, 3\}\) entraîne toujours \(A^2 = O_2\).
La Partie B (questions 4 à 6) est un exercice de réduction : on montre qu’un endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^3\) vérifiant \(u^2 = 0\) admet une matrice canonique \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & \varepsilon \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) avec \(\varepsilon \in \{0, 1\}\). La construction de la base adaptée mobilise noyau, rang et arguments d’algèbre linéaire fine.
La Partie C (questions 7 à 9) modélise des lancers de dé successifs par des variables aléatoires suivant une loi géométrique (décalée). On conclut par le calcul de la probabilité qu’une matrice triangulaire supérieure aléatoire soit de carré nul, reliant ainsi les parties A et C du problème.
Notions et chapitres testés
- Analyse : fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\), dérivation de quotients, intégrales généralisées, changement de variable dans une intégrale, intégration par parties, sommes de Riemann et convergence vers une intégrale.
- Algèbre linéaire : valeurs propres, réduction d’endomorphismes, noyau et image, familles libres, changement de base, matrices nilpotentes.
- Probabilités : loi uniforme discrète, loi de Bernoulli, loi géométrique, espérance et variance, indépendance mutuelle, convergence en loi, théorème de Cesàro.
- Dénombrement : partie entière, cardinalité par symétrie, encadrements.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet G2E 2026 est globalement d’un niveau modéré, bien représentatif du concours. Les questions d’entrée de chaque partie (Q1, Q4, Q7 du Problème 1 ; Q1a, Q4, Q7 du Problème 2) sont accessibles et permettent d’engranger des points rapidement. La difficulté monte progressivement, les passages les plus exigeants étant la construction de la base en Partie B du Problème 2 et les encadrements fins de la Partie B du Problème 1.
Par rapport aux années antérieures, on retrouve l’esprit du G2E : un mélange équilibré d’analyse, d’algèbre et de probabilités, avec un fil conducteur cohérent à l’intérieur de chaque problème. L’originalité de ce sujet réside dans la connexion élégante entre le calcul intégral (Partie A), le dénombrement géométrique (Partie B) et la modélisation probabiliste (Partie C) du Problème 1, qui s’articulent autour du résultat \(I = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Pièges et points techniques délicats
Q2a – Changement de variable : Le piège principal est d’oublier de justifier les hypothèses du théorème de changement de variable pour une intégrale généralisée. Il faut vérifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), strictement croissante sur \([1, +\infty[\), que \(\varphi(1) = 0\) et \(\lim_{t \to +\infty} \varphi(t) = 1\). Le calcul de \(1 – \varphi(t)^2\) nécessite une identité remarquable : c’est \(\displaystyle\frac{4t^2}{(t^2+1)^2}\).
Q2b – Intégration par parties : Le choix des fonctions \(u\) et \(v^\prime\) n’est pas évident. Il faut poser \(u(t) = t\) et \(v^\prime(t) = \displaystyle\frac{8t}{(t^2+1)^3}\), dont une primitive est \(v(t) = \displaystyle\frac{-2}{(t^2+1)^2}\). Ne pas oublier de vérifier que le crochet converge bien en \(+\infty\).
Q5a – Décomposition par symétrie : Beaucoup de candidats oublient de traiter séparément l’origine, les points sur les axes et les points dans les quadrants ouverts. Le raisonnement exige de distinguer clairement ces trois catégories.
Q2c du Problème 2 – Raisonnement par l’absurde : Si \(A^2 \neq O_2\) et \(A^3 = O_2\), la famille \((X, AX, A^2X)\) est libre dans \(\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\). Or cet espace est de dimension 2 : la contradiction vient de l’existence de 3 vecteurs libres en dimension 2. L’argument de liberté utilise la multiplication successive par \(A\) et le fait que \(A^3 = O_2\).
Q9 du Problème 2 – Matrice triangulaire de carré nul : Le calcul de \(A^2\) fait apparaître une condition supplémentaire au-delà de la nullité de la diagonale : il faut \(X_2 X_5 = 0\). Beaucoup de candidats risquent de ne pas identifier cette condition non triviale provenant de l’entrée \((1,3)\) de \(A^2\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Problème 1
Q1 : Dérivation classique par la règle du quotient pour \(\varphi\), et somme des dérivées pour \(\psi\) (utiliser \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\arctan(t) = \displaystyle\frac{1}{1+t^2}\)). On obtient \(\varphi^\prime(t) = \displaystyle\frac{4t}{(t^2+1)^2}\) et \(\psi^\prime(t) = \displaystyle\frac{2}{(t^2+1)^2}\).
Q2 : Après le changement de variable, l’intégration par parties utilise astucieusement \(\psi\) comme primitive. La valeur finale \(I = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) découle de \(\psi(+\infty) – \psi(1) = \displaystyle\frac{\pi}{4} – \displaystyle\frac{1}{2}\).
Q3 : La courbe \(y = \sqrt{1-x^2}\) est le demi-cercle supérieur de l’équation du cercle \(x^2 + y^2 = 1\). L’intégrale \(I\) représente l’aire du quart de disque dans le premier quadrant, soit \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Q5-6 : La somme de Riemann \(R_n = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}\sqrt{1 – \left(\displaystyle\frac{x}{n}\right)^2}\) converge vers \(\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{\pi}{4}\). L’encadrement de \(\mathrm{Card}(Q_n)\) entre \(n^2 R_n + 1 – n\) et \(n^2 R_n\) donne l’équivalent \(\mathrm{Card}(Q_n) \sim \displaystyle\frac{\pi n^2}{4}\), d’où \(\mathrm{Card}(D_n) \sim \pi n^2\).
Problème 2
Q1b : Si \(Av = \lambda v\) avec \(v \neq 0\) et \(A^2 = O_n\), alors \(\lambda^2 v = 0\), d’où \(\lambda = 0\).
Q1c : Pour une matrice symétrique, \(A^2 = O_n\) implique \(A^{\top}A = O_n\), ce qui donne \(\Vert Av \Vert^2 = 0\) pour tout vecteur \(v\).
Q5-6 : La clé est de construire un vecteur \(a\) tel que \((u(a), a)\) soit libre (par l’absurde : si \(u(a) = \lambda a\) alors \(\lambda = 0\), contradiction avec \(u \neq 0\)). Ensuite, la fonction linéaire \(\varphi : x \mapsto (x_1, u(x)_1)\) de rang 2 permet de construire la bonne base via son noyau.
Q7-9 du Problème 2 : Les \(X_i\) suivent chacune la loi \(\mathcal{G}(\displaystyle\frac{1}{6})\) décalée (nombre d’échecs avant un succès). Pour la question 9, le calcul de \(A^2\) montre que \(A^2 = O_3\) si et seulement si \(X_1 = X_4 = X_6 = 0\) et \(X_2 X_5 = 0\), ce qui donne \(P(A^2 = O_3) = \displaystyle\frac{11}{7776}\).
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise les intégrales généralisées : Le changement de variable vers une borne infinie est un grand classique du G2E. Entraîne-toi à justifier rigoureusement chaque hypothèse (régularité, bijectivité, comportement aux bornes). Revois aussi le lien entre sommes de Riemann et intégrales — c’est un thème récurrent.
Travaille les matrices nilpotentes : Ce sujet montre qu’elles apparaissent sous de multiples angles : valeurs propres, réduction, matrices symétriques, produits \(MN/NM\). Entraîne-toi à manipuler la condition \(A^m = 0\) et ses conséquences sur le rang et le noyau.
Voici les priorités de révision si tu vises le G2E :
- Analyse : Changement de variable, intégration par parties, sommes de Riemann, séries et intégrales généralisées. Savoir interpréter géométriquement une intégrale est un atout précieux.
- Algèbre linéaire : Réduction d’endomorphismes (pas seulement la diagonalisation, mais aussi les formes canoniques pour les endomorphismes nilpotents), théorème du rang, construction explicite de bases adaptées.
- Probabilités : Lois discrètes classiques (Bernoulli, géométrique, uniforme), indépendance, convergence en loi, et les théorèmes de type Cesàro. Sache relier un modèle probabiliste à un résultat d’analyse ou d’algèbre.
- Transversalité : Ce sujet illustre parfaitement comment les trois domaines s’articulent. Habitue-toi à des sujets où le résultat d’analyse sert en probabilités, ou où l’algèbre rejoint les probabilités dans la dernière question.
Enfin, ne néglige pas la rédaction : les questions « justifier avec soin les hypothèses » (comme en Q2a) rapportent des points de rigueur que beaucoup de candidats perdent par précipitation. Prends le temps de bien poser chaque argument, particulièrement pour les changements de variable et les raisonnements par l’absurde.
