Les entiers naturels sont les nombres “pour compter”. On les retrouve partout au collège (comparaison, calculs, problèmes) et ils servent aussi de base à l’arithmétique au lycée et en prépa.
À lire avant de commencer. Cette page traite spécifiquement des entiers naturels \(\mathbb{N}\). Pour la version complète (avec les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\), les opérations avec signes, etc.), consulte la page pilier : nombres entiers.
Pour t’entraîner : tu trouveras une banque d’exercices (corrigés + PDF) sur exercices nombres entiers et une page dédiée collège sur exercices nombres entiers 6ème.
Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? (Définition)
Définition intuitive et exemples
Un nombre entier naturel est un nombre positif qui permet de compter des objets entiers. Il ne possède pas de partie décimale (pas de virgule) et n’est pas négatif.
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif ou nul. L’ensemble de tous les nombres entiers naturels est infini. On peut les lister ainsi : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Voici quelques exemples pour bien distinguer ce qui appartient ou non à cette catégorie :
- Exemples : 0, 1, 15, 100, 2026 sont des entiers naturels.
- Contre-exemples :
- -5 n’est pas un entier naturel (il est négatif).
- 3,14 n’est pas un entier naturel (il a une partie décimale non nulle).
- \(\frac{1}{2}\) n’est pas un entier naturel.
La notation mathématique officielle : \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{N}^*\)
En mathématiques, la rigueur passe par l’utilisation des bonnes notations. L’ensemble des entiers naturels se note avec une lettre majuscule à double barre : \(\mathbb{N}\).
On écrit cet ensemble sous forme d’extension (entre accolades) :
\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\}\)
Il existe une variante très fréquente dans les exercices, notamment en prépa ou au lycée, qui désigne l’ensemble des entiers naturels privé de zéro (strictement positifs). On ajoute une étoile en exposant :
Notation importante :
- \(\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, …\}\) (tous les entiers naturels sauf 0).
- Le symbole \(\in\) signifie « appartient à ». Exemple : \(5 \in \mathbb{N}\).
- Le symbole \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ». Exemple : \(-2 \notin \mathbb{N}\).
ℕ est un ensemble infini
L’ensemble des entiers naturels est infini : il n’existe pas de « plus grand entier naturel ». Pour tout entier naturel \(n\), on peut toujours former son successeur \(n + 1\), qui est également un entier naturel.
Cette propriété distingue \(\mathbb{N}\) d’ensembles finis comme {1, 2, 3, 4, 5} qui contient exactement 5 éléments.
Propriété fondamentale (axiome de Peano)
Tout entier naturel \(n\) possède un successeur unique, noté \(n + 1\) ou \(S(n)\), qui est également un entier naturel. Il n’existe pas de dernier entier naturel.
Exemples et contre-exemples d’entiers naturels
Pour bien comprendre ce qu’est un entier naturel, il est essentiel de savoir reconnaître ce qui en est un et ce qui n’en est pas.
Exemples d’entiers naturels
Voici des nombres qui appartiennent à l’ensemble \(\mathbb{N}\) :
- \(0\) (le plus petit entier naturel)
- \(5\)
- \(42\)
- \(1\,000\)
- \(1\,000\,000\) (un million)
- \(10^{100}\) (un googol, nombre gigantesque mais entier naturel)
On note leur appartenance avec le symbole \(\in\) :
\(5 \in \mathbb{N}\) (« 5 appartient à \(\mathbb{N}\) »)
Ce qui N’est PAS un entier naturel (contre-exemples)
Les nombres suivants n’appartiennent pas à \(\mathbb{N}\) :
- Nombres négatifs : \(-1\), \(-5\), \(-100\) (ce sont des entiers relatifs négatifs, dans \(\mathbb{Z}\) mais pas dans \(\mathbb{N}\))
- Nombres décimaux non entiers : \(2{,}5\), \(3{,}14\), \(0{,}999\)
- Fractions non entières : \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{7}{5}\)
- Nombres irrationnels : \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\)
On note leur non-appartenance avec \(\notin\) :
\(-3 \notin \mathbb{N}\) (« -3 n’appartient pas à \(\mathbb{N}\) »)
Cas particuliers et pièges classiques
Attention aux pièges !
- \(2{,}0\) est-il un entier naturel ? OUI ! L’écriture décimale \(2{,}0\) représente le nombre \(2\), qui est bien un entier naturel. La présence d’une virgule suivie de zéros ne change rien : \(2{,}0 = 2{,}00 = 2 \in \mathbb{N}\).
- \(\frac{6}{2}\) est-il un entier naturel ? OUI ! Cette fraction se simplifie : \(\frac{6}{2} = 3 \in \mathbb{N}\). Ce qui compte, c’est le résultat du calcul, pas l’écriture.
- \(\frac{7}{2}\) est-il un entier naturel ? NON ! Car \(\frac{7}{2} = 3{,}5\), qui n’est pas un nombre entier.
- \(0{,}999\ldots\) (avec une infinité de 9) est-il un entier naturel ? C’est un piège subtil ! Mathématiquement, \(0{,}999\ldots = 1\), donc oui, c’est un entier naturel. Mais dans l’usage courant, on préfère l’écriture \(1\).
Place dans les ensembles de nombres
Pour exceller en mathématiques, il faut comprendre comment \(\mathbb{N}\) s’emboîte dans les autres ensembles de nombres.
Différence entre entiers naturels et entiers relatifs
La confusion est fréquente. La différence tient en un point : le signe.
- Les entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) sont tous positifs ou nuls.
- Les nombres entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\)) incluent les entiers naturels ET les entiers négatifs (-1, -2, -3…).
La chaîne d’inclusion (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\)…)
Tout entier naturel est aussi un entier relatif. On dit que \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\). Cela s’écrit \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
Voici la hiérarchie complète que vous retrouverez tout au long de votre scolarité :
Inclusions successives :
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Cela signifie que tout nombre entier naturel est aussi un réel, mais la réciproque est fausse.
Propriétés fondamentales des entiers naturels
L’ensemble \(\mathbb{N}\) possède des propriétés mathématiques essentielles qui le distinguent des autres ensembles de nombres.
L’ordre sur ℕ (relation ≤)
Les entiers naturels sont naturellement ordonnés : on peut toujours comparer deux entiers naturels et déterminer lequel est le plus petit.
Pour deux entiers naturels \(m\) et \(n\), on note :
- \(m\) < \(n\) (« \(m\) est strictement inférieur à \(n\) »)
- \(m\) ≤ \(n\) (« \(m\) est inférieur ou égal à \(n\) »)
Propriétés de l’ordre sur ℕ
L’ordre sur \(\mathbb{N}\) est un ordre total, c’est-à-dire qu’il vérifie :
- Réflexivité : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(n\) ≤ \(n\)
- Antisymétrie : si \(m\) ≤ \(n\) et \(n\) ≤ \(m\), alors \(m = n\)
- Transitivité : si \(m\) ≤ \(p\) et \(p\) ≤ \(n\), alors \(m\) ≤ \(n\)
- Totalité : pour tous \(m, n \in \mathbb{N}\), on a \(m\) ≤ \(n\) ou \(n\) ≤ \(m\)
Principe du bon ordre (tout sous-ensemble non vide admet un minimum)
Une propriété fondamentale de \(\mathbb{N}\) est le principe du bon ordre (ou « principe de la borne inférieure ») :
Principe du bon ordre
Toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un plus petit élément (un minimum).
Autrement dit : si \(A \subset \mathbb{N}\) et \(A \neq \emptyset\), alors il existe \(m \in A\) tel que pour tout \(a \in A\), \(m \leq a\).
Exemple : l’ensemble {5, 12, 3, 100, 7} admet pour minimum 3.
Ce principe est très utile pour les démonstrations par l’absurde et les raisonnements en arithmétique.
Récurrence sur les entiers naturels [Lycée / Prépa]
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration fondamentale reposant sur la structure de \(\mathbb{N}\).
Principe de récurrence
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant d’un entier naturel \(n \geq n_0\).
Si :
- Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie
- Hérédité : pour tout \(n \geq n_0\), si \(P(n)\) est vraie, alors \(P(n+1)\) est vraie
Alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\).
La récurrence est enseignée dès la classe de terminale et largement utilisée en classe préparatoire pour démontrer des formules de sommes, des inégalités, des propriétés de suites, etc.
Nous verrons plus loin comment appliquer ce principe dans des exercices concrets.
Opérations et propriétés dans \(\mathbb{N}\)
Addition et Multiplication (Opérations internes)
L’ensemble \(\mathbb{N}\) est dit « stable » pour l’addition et la multiplication. Cela signifie simplement que :
- Si vous additionnez deux entiers naturels, le résultat est toujours un entier naturel.
- Si vous multipliez deux entiers naturels, le résultat est toujours un entier naturel.
Les limites : Soustraction et Division
C’est ici que les mathématiques deviennent intéressantes. Certaines opérations nous font « sortir » de l’ensemble \(\mathbb{N}\).
- La soustraction : L’opération \(3 – 5\) donne -2. Ce résultat n’est pas dans \(\mathbb{N}\). Pour rendre la soustraction toujours possible, les mathématiciens ont inventé les entiers relatifs.
- La division : L’opération \(1 \div 2\) donne 0,5. Ce n’est pas un entier. Pour diviser deux entiers naturels tout en restant dans le monde des entiers, on utilise la division euclidienne (avec quotient et reste).
Focus : La somme des \(n\) premiers entiers naturels
C’est une formule classique que l’on rencontre souvent (suites arithmétiques, démonstrations par récurrence). La somme des entiers de 1 à \(n\) est donnée par une formule simple, attribuée au mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Formule de la somme :
Pour tout entier naturel \(n\) :
\(S_n = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Cette formule est particulièrement utile pour calculer rapidement des sommes, notamment dans l’étude des suites arithmétiques et des nombres entiers consécutifs.
Représentation des entiers naturels
Sur la droite numérique
Les entiers naturels peuvent être représentés visuellement sur une droite numérique horizontale. Chaque entier naturel correspond à un point sur cette droite, espacés régulièrement.
Voici une représentation schématique des premiers entiers naturels :
0────1────2────3────4────5────6────7────8────9────10────→ - • • • • • • • • • •
Sur cette droite :
- Les points représentent les entiers naturels
- La distance entre deux entiers consécutifs est constante (unité)
- La flèche indique que la droite se poursuit indéfiniment vers la droite
- Il n’y a pas de points à gauche de 0 dans \(\mathbb{N}\) (pas de nombres négatifs)
Comparer deux entiers naturels (méthode rapide)
Pour comparer deux entiers naturels, on peut suivre une méthode très fiable :
- Comparer le nombre de chiffres : celui qui a le plus de chiffres est le plus grand.
- Si le nombre de chiffres est le même : comparer chiffre par chiffre, de gauche à droite.
Exemple. Comparer \(5382\) et \(542\).
Le premier a 4 chiffres, le second a 3 chiffres. Donc \(5382\) est plus grand que \(542\).
L’arithmétique dans \(\mathbb{N}\) (Pour aller plus loin)
L’ensemble des entiers naturels est le terrain de jeu favori de l’arithmétique. C’est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers.
Multiples, diviseurs et nombres premiers
Dans \(\mathbb{N}\), on s’intéresse particulièrement aux relations de divisibilité. Certains nombres ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes : ce sont les nombres premiers. Ils sont considérés comme les « briques élémentaires » qui permettent de construire tous les autres entiers par multiplication.
Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre, il existe des techniques efficaces appelées règles de divisibilité.
La division euclidienne
Comme vu précédemment, la division exacte n’est pas toujours possible dans \(\mathbb{N}\). La division euclidienne permet de résoudre ce problème en introduisant un reste. C’est le fondement de nombreux algorithmes puissants.
Exercices d’application corrigés
Voici quelques exercices pour vérifier votre compréhension des définitions et notations. Pour un entraînement plus complet, consultez notre page dédiée aux exercices sur les nombres entiers.
Exercice 1 : Appartenance aux ensembles
Compléter avec \(\in\) ou \(\notin\) :
- 5 … \(\mathbb{N}\)
- -4 … \(\mathbb{N}\)
- 3,0 … \(\mathbb{N}\)
- \(\frac{4}{2}\) … \(\mathbb{N}\)
Voir la correction
1. \(5 \in \mathbb{N}\) (C’est un entier positif).
2. \(-4 \notin \mathbb{N}\) (C’est un entier négatif, il appartient à \(\mathbb{Z}\)).
3. \(3,0 \in \mathbb{N}\) (Attention au piège : 3,0 est égal à 3, c’est un entier).
4. \(\frac{4}{2} \in \mathbb{N}\) (Car \(\frac{4}{2} = 2\), qui est bien un entier).
Exercice 2 : Calcul de somme (Gauss)
Calculer la somme de tous les entiers naturels de 1 à 100 sans utiliser de calculatrice, en utilisant la formule vue dans le cours.
Voir la correction
On cherche à calculer \(S = 1 + 2 + … + 100\).
On utilise la formule avec \(n = 100\) :
\(S = \frac{100(100+1)}{2}\)
\(S = \frac{100 \times 101}{2}\)
\(S = 50 \times 101\)
\(S = 5050\)
Questions fréquentes (FAQ)
Est-ce que 0 est un entier naturel ?
Oui, absolument. Dans la convention mathématique française (et internationale standard ISO 80000-2), zéro est le premier des entiers naturels. L’ensemble qui commence à 1 est noté \(\mathbb{N}^*\).
Un nombre à virgule peut-il être un entier naturel ?
En règle générale, non. Un nombre comme 3,14 ou 2,5 n’est pas un entier. Cependant, méfiez-vous des écritures trompeuses : 5,0 ou \(\frac{10}{2}\) sont des entiers naturels « déguisés », car ils sont égaux à 5.
Quel est le plus grand nombre entier naturel ?
Il n’y en a pas. L’ensemble \(\mathbb{N}\) est infini. Pour n’importe quel nombre entier très grand que vous imaginez, on peut toujours calculer son successeur en ajoutant 1.
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