Dans l’univers de l’arithmétique, la notion de nombres consécutifs est l’une des premières portes vers l’abstraction mathématique. C’est un concept intuitif que l’on manipule dès l’école primaire, mais dont la formalisation algébrique devient un outil puissant au collège et au lycée pour résoudre des problèmes complexes.
Que vous cherchiez à résoudre une énigme sur la somme de trois nombres ou à démontrer une propriété de divisibilité en prépa, tout commence ici. Avant de plonger, n’hésitez pas à revoir la définition complète des nombres entiers si le concept de base vous semble flou.
Qu’est-ce que des nombres entiers consécutifs ?
Définition intuitive et exemples
Des nombres entiers consécutifs sont simplement des nombres entiers qui se suivent dans l’ordre croissant, sans interruption. Pour passer de l’un à l’autre, on ajoute toujours 1.
Définition : Deux nombres entiers sont dits consécutifs si leur différence est égale à 1. Si l’on note \(n\) le premier nombre, le suivant est \(n+1\).
Exemples :
- \(14\) et \(15\) sont consécutifs.
- \(99\), \(100\) et \(101\) sont trois entiers consécutifs.
Attention aux pièges !
C’est une erreur fréquente au collège : confondre « nombres qui se suivent » et « nombres entiers consécutifs ». La nature du nombre (entier) est fondamentale.
Le piège des décimaux : Les nombres \(2,5\) et \(3,5\) ont bien une différence de 1, mais ce ne sont pas des entiers consécutifs car ce ne sont pas des entiers. De même, \(2\) et \(4\) sont des entiers, mais ils ne sont pas consécutifs (il manque le 3).
Et les nombres négatifs ?
La définition s’applique également aux nombres négatifs. Pour bien comprendre cela, il faut maîtriser l’ordre sur les relatifs (savoir que \(-4\) est plus grand que \(-5\)).
Si vous avez un doute, prenez le temps de comprendre les entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\)). Sur une droite graduée, on voit bien que :
- \(-5\) et \(-4\) sont consécutifs (car \(-4 = -5 + 1\)).
- \(-1\), \(0\) et \(1\) sont trois entiers consécutifs.
La notation algébrique : la clé pour résoudre les exercices
C’est ici que l’on passe de l’observation (« ce sont 1, 2 et 3 ») à la démonstration mathématique. En classe de 4ème, 3ème et au lycée, on ne vous demandera plus de deviner des nombres, mais de les trouver par le calcul littéral.
Noter deux entiers consécutifs
En mathématiques, on utilise une lettre (souvent \(n\), \(k\) ou \(x\)) pour désigner un nombre entier quelconque. C’est l’outil de base de la modélisation.
Pour écrire deux entiers consécutifs, on note :
- Le premier : \(n\)
- Le second : \(n+1\)
Noter trois entiers consécutifs (l’astuce Excellence Maths)
Pour trois entiers, la notation naturelle est : \(n\), \(n+1\) et \(n+2\). Cependant, pour résoudre des équations de sommes, il existe une astuce d’expert qui simplifie les calculs.
Astuce de symétrie : Plutôt que de noter trois nombres consécutifs \(n\), \(n+1\) et \(n+2\), essayez de les noter : \(https://www.google.com/search?q=n-1\), \(n\) et \(n+1\). Pourquoi ? Parce que si vous les additionnez, les « 1 » s’annulent : latex + n + (n+1) = 3n[/latex]. C’est beaucoup plus simple à manipuler !
La somme d’entiers consécutifs (Formule de Gauss)
Une question revient souvent dans les concours et les énigmes : comment calculer rapidement la somme d’une longue liste de nombres qui se suivent ? C’est le célèbre problème résolu par le mathématicien Carl Friedrich Gauss alors qu’il n’était qu’écolier.
La somme des \(n\) premiers entiers
Pour additionner tous les entiers de \(1\) jusqu’à \(n\), il est inutile de les taper un par un sur la calculatrice. Il existe une formule puissante :
Formule de la somme des \(n\) premiers entiers :
Pour tout entier \(n \ge 1\), la somme \(S = 1 + 2 + 3 + \dots + n\) est donnée par :
Exemple historique (Gauss) :
Calculons la somme des entiers de 1 à 100.
Ici, \(n = 100\).
\(S = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050\).
Comment additionner n’importe quelle suite d’entiers ?
Parfois, la somme ne commence pas à 1 (par exemple : la somme de 50 à 100). Dans ce cas, nous sommes face à une suite arithmétique.
La méthode infaillible consiste à multiplier le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.
Formule générale :
Somme = (Nombre de termes) \(\times \frac{\text{Premier} + \text{Dernier}}{2}\)
Attention au piège : Le nombre de termes entre deux entiers \(a\) et \(b\) (inclus) n’est pas \(b – a\), mais \(b – a + 1\).
Application : Calculons la somme des entiers de \(10\) à \(20\).
- Premier terme : \(10\)
- Dernier terme : \(20\)
- Nombre de termes : \(20 – 10 + 1 = 11\) termes.
Le calcul est : \(11 \times \frac{10 + 20}{2} = 11 \times 15 = 165\).
Problèmes inverses : Retrouver les nombres à partir de la somme
C’est un classique des devoirs surveillés. On vous donne le résultat (la somme) et vous devez retrouver les entiers.
Retrouver 2 consécutifs à partir de la somme
On pose l’équation avec \(n\) et \(n+1\).
Méthode :
\(n + (n+1) = S \Rightarrow 2n + 1 = S \Rightarrow n = \frac{S-1}{2}\)
Condition : Pour que cela fonctionne, \(S\) doit être impair (sinon \(S-1\) n’est pas divisible par 2).
Retrouver 3 consécutifs (L’astuce de la moyenne)
Si la somme de 3 entiers consécutifs vaut \(S\), alors l’entier du milieu est exactement le tiers de la somme.
Démonstration rapide :
Posons les entiers \(n-1\), \(n\) et \(n+1\).
Leur somme est \(3n\).
Donc \(3n = S \Rightarrow n = \frac{S}{3}\).
Il suffit de diviser la somme par 3 pour trouver le nombre du milieu !
Exemple : « La somme de trois entiers consécutifs vaut 72. Lesquels ? »
On divise 72 par 3 : \(72 \div 3 = 24\).
L’entier du milieu est 24. Les nombres sont donc 23, 24 et 25.
Propriétés arithmétiques des sommes et produits
Les nombres consécutifs possèdent des structures cachées très utiles pour les démonstrations, notamment si vous étudiez les critères de divisibilité.
Propriétés des sommes
- Somme de 2 consécutifs : Elle est toujours impaire. En effet, \(n + (n+1) = 2n + 1\).
- Somme de 3 consécutifs : Elle est toujours multiple de 3 (comme vu ci-dessus, elle vaut \(3n\)).
- Somme de 4 consécutifs : Attention, elle n’est pas forcément multiple de 4 !
La somme vaut \(4n + 6\). Or 6 n’est pas divisible par 4.
Propriétés des produits (Bonus divisibilité)
Le produit d’entiers consécutifs donne des résultats de divisibilité systématiques.
Théorèmes :
- Le produit de 2 entiers consécutifs est toujours pair (divisible par 2).
Raison : Il y a forcément un nombre pair parmi les deux. - Le produit de 3 entiers consécutifs est toujours divisible par 6.
Raison : Il contient au moins un nombre pair et forcément un multiple de 3.
Exercices corrigés (progressifs)
Tu veux t’entraîner plus largement sur l’arithmétique et les entiers ? Retrouve aussi :
Niveau 1 — Reconnaître / écrire des entiers consécutifs
- Dire si les suites suivantes sont des entiers consécutifs : \(12,13,14\) ; \(-5,-4,-3\) ; \(7,9,11\).
- Écrire les 4 entiers consécutifs qui commencent à \(20\).
- Écrire 5 entiers consécutifs dont le plus petit est \(n\).
- Écrire 3 entiers consécutifs dont l’entier du milieu est \(x\).
Niveau 2 — Sommes (2, 3, k)
- Calculer la somme de \(48\) et de l’entier consécutif suivant.
- Montrer que la somme de 3 entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
- La somme de 3 entiers consécutifs vaut \(159\). Déterminer ces entiers.
- La somme de 4 entiers consécutifs vaut \(74\). Déterminer ces entiers (si possible).
Niveau 3 — Problèmes inverses (retrouver n)
- Deux entiers consécutifs ont pour somme \(100\). Est-ce possible ? Justifier.
- Trouver 5 entiers consécutifs dont la somme vaut \(135\).
- On cherche \(k\) entiers consécutifs de somme \(S\). Donner une expression du premier entier en fonction de \(k\) et \(S\).
Niveau 4 — Produits & divisibilité (bonus)
- Montrer que le produit de 2 entiers consécutifs est toujours pair.
- Montrer que le produit de 3 entiers consécutifs est toujours multiple de 6.
Corrections — Niveau 1
1) Oui ; oui ; non (écart 2).
2) \(20,21,22,23\).
3) \(n,n+1,n+2,n+3,n+4\).
4) \(x-1,x,x+1\).
Corrections — Niveau 2
5) \(48+49=97\).
6) Avec \(n-1,n,n+1\), somme \(3n\).
7) \(3n=159 \Rightarrow n=53\), donc \(52,53,54\).
8) \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=74 \Rightarrow 4n+6=74 \Rightarrow n=17\), donc \(17,18,19,20\).
Corrections — Niveau 3
9) Non : \(n+(n+1)=2n+1\) est impair, donc ne peut pas valoir 100.
10) 5 consécutifs : \(n-2,n-1,n,n+1,n+2\), somme \(5n\). Donc \(5n=135 \Rightarrow n=27\) : \(25,26,27,28,29\).
11) Avec \(n,n+1,\ldots,n+k-1\), \(S=kn+\frac{k(k-1)}{2}\), donc \(n=\frac{S-\frac{k(k-1)}{2}}{k}\).
Corrections — Niveau 4
12) Parmi \(n\) et \(n+1\), l’un est pair, donc produit pair.
13) Parmi \(n,n+1,n+2\), il y a un pair et un multiple de 3, donc produit multiple de \(6\).
Questions fréquentes (FAQ)
Combien y a-t-il de nombres entiers consécutifs ?
Il existe une infinité de nombres entiers, donc une infinité de suites de nombres consécutifs. On peut toujours trouver un successeur à un nombre entier en lui ajoutant 1.
Est-ce que 0 et 1 sont consécutifs ?
Oui, tout à fait. Dans l’ensemble des entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) comme dans celui des entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\)), le nombre qui suit immédiatement \(0\) est \(1\).
Peut-on avoir des entiers consécutifs négatifs ?
Oui. Par exemple, \(-10\) et \(-9\) sont consécutifs. Attention à l’ordre : \(-9\) est plus grand que \(-10\) (il est plus proche de zéro).
Quelle différence avec les nombres premiers jumeaux ?
Des nombres entiers consécutifs ont une différence de 1 (ex: 3 et 4). Des nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers qui ont une différence de 2 (ex: 11 et 13, ou 17 et 19). Ils ne sont pas consécutifs (sauf le couple 2 et 3, qui est l’unique exception).
