Cette page regroupe 33 exercices corrigés sur la fonction exponentielle, classés par compétence et par difficulté croissante. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, rédigée avec la rigueur attendue en devoir surveillé.
Les exercices couvrent tout le programme sur la fonction exp, de la Première jusqu’à la Prépa : simplification, équations, inéquations, dérivation, limites et problèmes de synthèse. Trois niveaux de difficulté sont proposés : ⭐ (Première), ⭐⭐ (Terminale), ⭐⭐⭐ (type Bac / Prépa).
Pour revoir les propriétés et la théorie, consultez notre cours complet sur la fonction exponentielle. Tous les exercices sont aussi disponibles en PDF téléchargeable.
Tableau récapitulatif des exercices
Utilisez ce tableau pour naviguer directement vers l’exercice qui correspond à votre besoin.
| N° | Compétence | Niveau | Difficulté |
|---|---|---|---|
| 1 à 3 | Simplifier des expressions avec exp | Première | ⭐ |
| 4 à 6 | Simplifier des expressions composées | 1ère – Term. | ⭐⭐ |
| 7 | Exponentielle en base a | Terminale | ⭐⭐ |
| 8 à 10 | Résoudre des équations (injectivité) | Première | ⭐ |
| 11 à 13 | Équations avec factorisation | 1ère – Term. | ⭐⭐ |
| 14 à 15 | Équations avec changement de variable | Terminale | ⭐⭐⭐ |
| 16 à 17 | Inéquations directes | Première | ⭐ |
| 18 à 20 | Signe d’une expression avec exp | 1ère – Term. | ⭐⭐ |
| 21 à 23 | Dérivée de fonctions avec exp | Première | ⭐ – ⭐⭐ |
| 24 à 26 | Étude de variations complète | Terminale | ⭐⭐⭐ |
| 27 à 28 | Limites et croissances comparées | Terminale | ⭐⭐ – ⭐⭐⭐ |
| 29 à 30 | Problèmes de synthèse (type Bac) | Terminale | ⭐⭐⭐ |
| 31 à 32 | Problèmes de modélisation | Terminale | ⭐⭐⭐ |
| 33 | Pour aller plus loin (Prépa) | MPSI / PCSI | ⭐⭐⭐+ |
Simplifier des expressions avec la fonction exponentielle
Les exercices de cette section mobilisent les propriétés algébriques de la fonction exp : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\), \(e^{-a} = \frac{1}{e^a}\), \(\left(e^a\right)^n = e^{na}\). L’objectif est de ramener chaque expression à la forme \(e^k\) avec \(k\) le plus simple possible.
Exercices de calcul direct (⭐)
Exercice 1. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(e^3 \times e^7\) b) \(\frac{e^9}{e^4}\) c) \(\left(e^2\right)^5\) d) \(e^{-3} \times e^{3}\)
Voir la correction
a) \(e^3 \times e^7 = e^{3+7} = e^{10}\)
b) \(\frac{e^9}{e^4} = e^{9-4} = e^{5}\)
c) \(\left(e^2\right)^5 = e^{2 \times 5} = e^{10}\)
d) \(e^{-3} \times e^{3} = e^{-3+3} = e^{0} = 1\)
Exercice 2. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(\frac{e^5 \times e^{-2}}{e^3}\) b) \(\frac{(e^3)^4}{e^{10}}\) c) \(\frac{1}{e^{-7}}\)
Voir la correction
a) \(\frac{e^5 \times e^{-2}}{e^3} = e^{5+(-2)-3} = e^{0} = 1\)
b) \(\frac{(e^3)^4}{e^{10}} = \frac{e^{12}}{e^{10}} = e^{2}\)
c) \(\frac{1}{e^{-7}} = e^{7}\)
Exercice 3. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(e \times e^4 \times e^{-6}\) b) \(\left(\frac{e^{-1}}{e^{2}}\right)^3\) c) \(\frac{e^8 \times (e^3)^{-2}}{e^{-1}}\)
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a) \(e \times e^4 \times e^{-6} = e^{1+4+(-6)} = e^{-1}\)
b) \(\left(\frac{e^{-1}}{e^{2}}\right)^3 = \left(e^{-1-2}\right)^3 = \left(e^{-3}\right)^3 = e^{-9}\)
c) \(\frac{e^8 \times (e^3)^{-2}}{e^{-1}} = e^{8 + 3 \times (-2) – (-1)} = e^{8 – 6 + 1} = e^{3}\)
Exercices avec expressions composées (⭐⭐)
Exercice 4. Soit \(x\) un réel. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(e^{2x+1} \times e^{3x-4}\) b) \(\frac{e^{5x}}{e^{2x+1}}\) c) \((e^{x-1})^3\)
Voir la correction
a) \(e^{2x+1} \times e^{3x-4} = e^{(2x+1)+(3x-4)} = e^{5x-3}\)
b) \(\frac{e^{5x}}{e^{2x+1}} = e^{5x-(2x+1)} = e^{3x-1}\)
c) \((e^{x-1})^3 = e^{3(x-1)} = e^{3x-3}\)
Exercice 5. Soit \(x\) un réel. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(\frac{e^{2x+3} \times e^{-x+1}}{e^{x+7}}\) b) \(\frac{(e^{x})^2 – e^{2x}}{e^x}\)
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a) \(\frac{e^{2x+3} \times e^{-x+1}}{e^{x+7}} = e^{(2x+3)+(-x+1)-(x+7)} = e^{-3}\)
b) On remarque que \((e^x)^2 = e^{2x}\), donc \((e^x)^2 – e^{2x} = e^{2x} – e^{2x} = 0\). Par conséquent, le quotient vaut \(0\).
Exercice 6. Soit \(x\) un réel. Simplifier l’expression \(A(x) = \frac{e^{3x} + e^x}{e^{2x} + 1}\).
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On factorise le numérateur par \(e^x\) :
\(A(x) = \frac{e^x(e^{2x} + 1)}{e^{2x} + 1} = e^x\)La simplification est possible car \(e^{2x} + 1\) > \(0\) pour tout réel \(x\).
Exercice 7. On rappelle que pour tout réel \(a\) > \(0\), l’exponentielle de base \(a\) est définie par \(a^x = e^{x \ln a}\). Simplifier ou calculer les expressions suivantes.
a) \(2^3 \times 2^5\) b) \(\frac{3^{x+1}}{3^{2x}}\) c) \((5^x)^2 \times 5^{-x}\) d) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(4^x = 8\).
Voir la correction
a) \(2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\).
b) \(\frac{3^{x+1}}{3^{2x}} = 3^{(x+1)-2x} = 3^{1-x}\).
c) \((5^x)^2 \times 5^{-x} = 5^{2x} \times 5^{-x} = 5^{2x-x} = 5^x\).
d) On passe par la fonction exp : \(4^x = 8\) s’écrit \(e^{x \ln 4} = e^{\ln 8}\). Par injectivité : \(x \ln 4 = \ln 8\), soit \(x = \frac{\ln 8}{\ln 4} = \frac{3\ln 2}{2\ln 2} = \frac{3}{2}\). L’unique solution est \(S = \left\{\frac{3}{2}\right\}\).
Erreur classique : écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\). C’est faux ! L’exponentielle transforme les sommes en produits : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\).
Résoudre des équations avec la fonction exponentielle
La résolution d’équations exponentielles repose sur deux propriétés fondamentales de la fonction exp : l’injectivité (\(e^a = e^b \Leftrightarrow a = b\)) et le fait que l’exponentielle ne s’annule jamais. Pour les cas plus complexes, on utilise un changement de variable \(X = e^x\).
Équations de la forme \(e^{f(x)} = e^{g(x)}\) (⭐)
Exercice 8. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
a) \(e^{2x-1} = e^{x+3}\) b) \(e^{x^2} = e^{4}\) c) \(e^{3x+5} = 1\)
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a) Par injectivité : \(2x – 1 = x + 3\), soit \(x = 4\). L’unique solution est \(S = \{4\}\).
b) Par injectivité : \(x^2 = 4\), soit \(x = 2\) ou \(x = -2\). Donc \(S = \{-2 ; 2\}\).
c) Or \(1 = e^0\), donc l’équation devient \(e^{3x+5} = e^0\). Par injectivité : \(3x + 5 = 0\), soit \(x = -\frac{5}{3}\). Donc \(S = \left\{-\frac{5}{3}\right\}\).
Exercice 9. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{-x} = e^{2x-6}\).
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Par injectivité : \(-x = 2x – 6\), soit \(-3x = -6\), donc \(x = 2\). L’unique solution est \(S = \{2\}\).
Exercice 10. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{x^2 – 3x} = e^{-2}\).
Voir la correction
Par injectivité : \(x^2 – 3x = -2\), soit \(x^2 – 3x + 2 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 9 – 8 = 1\) > \(0\). Les deux racines sont \(x_1 = \frac{3 – 1}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\). Donc \(S = \{1 ; 2\}\).
Équations avec factorisation (⭐⭐)
Méthode : lorsqu’une équation contient un produit avec \(e^{f(x)}\), on utilise le fait que l’exponentielle ne s’annule jamais. Ainsi \(P(x) \times e^{f(x)} = 0 \Leftrightarrow P(x) = 0\).
Exercice 11. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((2x + 5)\,e^x = 0\).
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Pour tout réel \(x\), \(e^x \neq 0\). Donc l’équation équivaut à \(2x + 5 = 0\), soit \(x = -\frac{5}{2}\). L’unique solution est \(S = \left\{-\frac{5}{2}\right\}\).
Exercice 12. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^x – 5x\,e^x = 0\).
Voir la correction
On factorise par \(e^x\) : \(e^x(1 – 5x) = 0\).
Or \(e^x \neq 0\) pour tout réel \(x\). Donc \(1 – 5x = 0\), soit \(x = \frac{1}{5}\). L’unique solution est \(S = \left\{\frac{1}{5}\right\}\).
Exercice 13. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((x^2 + 2x + 5)\,e^{3x} = 0\).
Voir la correction
Puisque \(e^{3x} \neq 0\), l’équation équivaut à \(x^2 + 2x + 5 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 4 – 20 = -16\) < \(0\). L’équation n’admet aucune solution réelle. Donc \(S = \emptyset\).
Équations avec changement de variable \(X = e^x\) (⭐⭐⭐)
Exercice 14. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x} – 3e^x + 2 = 0\).
Voir la correction
On pose \(X = e^x\), avec \(X\) > \(0\). Comme \(e^{2x} = (e^x)^2 = X^2\), l’équation devient \(X^2 – 3X + 2 = 0\).
Le discriminant vaut \(\Delta = 9 – 8 = 1\). Les racines sont \(X_1 = 1\) et \(X_2 = 2\). Les deux sont strictement positives, donc admissibles.
Si \(e^x = 1\), alors \(x = 0\). Si \(e^x = 2\), alors \(x = \ln 2\).
L’ensemble des solutions est \(S = \{0 ; \ln 2\}\).
Exercice 15. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2e^{2x} + e^x – 3 = 0\).
Voir la correction
On pose \(X = e^x\) avec \(X\) > \(0\). L’équation devient \(2X^2 + X – 3 = 0\).
Le discriminant vaut \(\Delta = 1 + 24 = 25\). Les racines sont \(X_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1\) et \(X_2 = \frac{-1 – 5}{4} = -\frac{3}{2}\).
Seul \(X_1 = 1\) est strictement positif. On résout \(e^x = 1\), d’où \(x = 0\). L’ensemble des solutions est \(S = \{0\}\).
Résoudre des inéquations et étudier des signes
La fonction exp est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), ce qui permet de résoudre les inéquations par comparaison des exposants. De plus, \(e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\) : le signe d’un produit \(P(x) \times e^{f(x)}\) ne dépend que de \(P(x)\).
Inéquations directes (⭐)
Exercice 16. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.
a) \(e^{2x-1} \leq e^{3}\) b) \(e^{x+2}\) > \(e^{5-x}\)
Voir la correction
a) La fonction exponentielle est strictement croissante, donc \(e^{2x-1} \leq e^3 \Leftrightarrow 2x – 1 \leq 3\), soit \(x \leq 2\). L’ensemble des solutions est \(S = \left]-\infty ; 2\right]\).
b) De même : \(e^{x+2}\) > \(e^{5-x} \Leftrightarrow x + 2\) > \(5 – x\), soit \(2x\) > \(3\), d’où \(x\) > \(\frac{3}{2}\). L’ensemble des solutions est \(S = \left]\frac{3}{2} ; +\infty\right[\).
Exercice 17. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(1 – e^{x^2 – 1}\) > \(0\).
Voir la correction
L’inéquation équivaut à \(e^{x^2 – 1}\) < \(1 = e^0\), donc \(x^2 – 1\) < \(0\), soit \(x^2\) < \(1\).
Cela donne \(-1\) < \(x\) < \(1\). L’ensemble des solutions est \(S = ]-1 ; 1[\).
Signe d’une expression contenant l’exponentielle (⭐⭐)
Rappel essentiel : \(e^x\) est strictement positif pour tout réel \(x\). Le signe d’un produit \(P(x) \times e^{f(x)}\) ne dépend donc que du signe de \(P(x)\).
Exercice 18. Déterminer le signe de \(f(x) = (3x + 2)\,e^x\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
Puisque \(e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f(x)\) est celui de \(3x + 2\).
On a \(3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}\), et \(3x + 2\) > \(0 \Leftrightarrow x\) > \(-\frac{2}{3}\).
Conclusion : \(f(x)\) < \(0\) sur \(\left]-\infty ; -\frac{2}{3}\right[\), \(f\!\left(-\frac{2}{3}\right) = 0\), et \(f(x)\) > \(0\) sur \(\left]-\frac{2}{3} ; +\infty\right[\).
Exercice 19. Déterminer le signe de \(g(x) = e^{2x} – e^{x+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
On factorise : \(g(x) = e^{2x} – e^{x+1} = e^{2x} – e \times e^x = e^x(e^x – e)\).
Or \(e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\). Le signe de \(g(x)\) est donc celui de \(e^x – e\).
Or \(e^x – e = 0 \Leftrightarrow e^x = e^1 \Leftrightarrow x = 1\). Et comme l’exponentielle est strictement croissante : \(e^x\) < \(e \Leftrightarrow x\) < \(1\).
Conclusion : \(g(x)\) < \(0\) sur \(]-\infty ; 1[\), \(g(1) = 0\), et \(g(x)\) > \(0\) sur \(]1 ; +\infty[\).
Exercice 20. Déterminer le signe de \(h(x) = (x^2 – x – 6)\,e^{-2x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
Puisque \(e^{-2x}\) > \(0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(h(x)\) est celui de \(x^2 – x – 6\).
Le discriminant vaut \(\Delta = 1 + 24 = 25\). Les racines sont \(x_1 = \frac{1 – 5}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\).
Le coefficient dominant est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
Conclusion : \(h(x)\) > \(0\) sur \(]-\infty ; -2[\, \cup\, ]3 ; +\infty[\), \(h(-2) = h(3) = 0\), et \(h(x)\) < \(0\) sur \(]-2 ; 3[\).
Dérivation de fonctions exponentielles
On applique ici les formules de dérivation de la fonction exp et de ses composées. La règle fondamentale est : si \(u\) est dérivable, alors \((e^u)’ = u’ \times e^u\). Besoin de revoir les formules ? Consultez notre tableau des dérivées usuelles ou la méthode pas à pas pour calculer une dérivée.
Dérivée de fonctions simples avec \(e^x\) (⭐)
Exercice 21. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\).
a) \(f(x) = 3x^2 + e^x\) b) \(g(x) = 5e^x – 2x + 1\) c) \(h(x) = x \times e^x\)
Voir la correction
a) \(f'(x) = 6x + e^x\) (somme classique).
b) \(g'(x) = 5e^x – 2\).
c) On utilise la formule du produit : \(h'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1 + x)\,e^x\).
Dérivée de fonctions composées \(e^{u(x)}\) (⭐⭐)
Erreur n°1 en DS : oublier le facteur \(u’\) dans la dérivée de \(e^{u(x)}\). On a \((e^u)’ = u’ \times e^u\), et non pas simplement \(e^u\).
Exercice 22. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
a) \(f(x) = e^{3x+1}\) sur \(\mathbb{R}\) b) \(g(x) = e^{-x^2}\) sur \(\mathbb{R}\) c) \(h(x) = (2x + 1)\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\)
Voir la correction
a) On pose \(u(x) = 3x + 1\), donc \(u'(x) = 3\). Ainsi \(f'(x) = 3\,e^{3x+1}\).
b) On pose \(u(x) = -x^2\), donc \(u'(x) = -2x\). Ainsi \(g'(x) = -2x\,e^{-x^2}\).
c) Produit de \(u(x) = 2x+1\) et \(v(x) = e^{-x}\). On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\).
\(h'(x) = 2\,e^{-x} + (2x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big(2 – (2x+1)\big) = (1 – 2x)\,e^{-x}\)Exercice 23. Calculer la dérivée de \(f(x) = \frac{e^x}{x}\) sur \(]\,0 ; +\infty\,\).
Voir la correction
On applique la formule du quotient avec \(u(x) = e^x\) et \(v(x) = x\).
\(f'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{e^x \times x – e^x \times 1}{x^2} = \frac{(x – 1)\,e^x}{x^2}\)Étude de variations complète (⭐⭐⭐)
Exercice 24. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x\,e^{-x}\).
1. Calculer \(f'(x)\). 2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
1. Produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = e^{-x}\). On a \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = -e^{-x}\).
\(f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) = (1 – x)\,e^{-x}\)2. Puisque \(e^{-x}\) > \(0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1 – x\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). On a \(f'(x)\) > \(0\) sur \(]-\infty ; 1[\) et \(f'(x)\) < \(0\) sur \(]1 ; +\infty[\).
La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]-\infty ; 1]\) et strictement décroissante sur \([1 ; +\infty[\). Elle admet un maximum en \(x = 1\), avec \(f(1) = e^{-1}\).
Exercice 25. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = (x^2 + 3x – 2)\,e^x\).
1. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(g'(x) = (x^2 + 5x + 1)\,e^x\). 2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(0\).
Voir la correction
1. On pose \(u(x) = x^2 + 3x – 2\) et \(v(x) = e^x\). Alors \(u'(x) = 2x + 3\) et \(v'(x) = e^x\).
\(g'(x) = (2x+3)\,e^x + (x^2+3x-2)\,e^x = \big(x^2 + 3x – 2 + 2x + 3\big)\,e^x = (x^2 + 5x + 1)\,e^x\)2. On calcule \(g(0) = (0 + 0 – 2)\,e^0 = -2\) et \(g'(0) = (0 + 0 + 1)\,e^0 = 1\). L’équation de la tangente est \(y = g'(0)(x – 0) + g(0) = x – 2\).
Exercice 26. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\,e^{-x}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser. 2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
1. Produit de \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = e^{-x}\). On a \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = -e^{-x}\).
\(f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = x\,e^{-x}(2 – x)\)2. Puisque \(e^{-x}\) > \(0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(2 – x)\). Ce produit s’annule en \(x = 0\) et \(x = 2\), et il est positif sur \(]0 ; 2[\).
\(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), strictement croissante sur \([0 ; 2]\), et strictement décroissante sur \([2 ; +\infty[\). On a \(f(0) = 0\) (minimum local) et \(f(2) = 4\,e^{-2}\) (maximum local).
Limites et croissances comparées avec l’exponentielle
En Terminale, on apprend que la fonction exp « l’emporte » sur toute puissance de \(x\) en \(+\infty\). Ces résultats, appelés croissances comparées, permettent de lever les formes indéterminées.
Croissances comparées : pour tout entier naturel \(n \geq 1\), on a \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0\). Autrement dit, en \(+\infty\), l’exponentielle domine toute puissance de \(x\).
Limites directes et par composition (⭐⭐)
Exercice 27. Déterminer les limites suivantes.
a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{1-x}\) b) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{x^2}\) c) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x – e^x + 1)\)
Voir la correction
a) Quand \(x \to +\infty\), on a \(1 – x \to -\infty\), donc \(e^{1-x} \to 0\).
b) Quand \(x \to -\infty\), on a \(x^2 \to +\infty\), donc \(e^{x^2} \to +\infty\).
c) On écrit \(x – e^x + 1 = e^x\!\left(\frac{x}{e^x} – 1 + \frac{1}{e^x}\right)\). Or par croissance comparée, \(\frac{x}{e^x} \to 0\) et \(\frac{1}{e^x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). Donc l’expression entre parenthèses tend vers \(-1\), et \(e^x \to +\infty\). Conclusion : \(\lim_{x \to +\infty} (x – e^x + 1) = -\infty\).
Croissances comparées et formes indéterminées (⭐⭐⭐)
Exercice 28. Déterminer les limites suivantes.
a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x}\) b) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,e^x\) c) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x}\) d) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x – x}{e^{2x} + 1}\)
Voir la correction
a) On écrit \(x\,e^{-x} = \frac{x}{e^x}\). Par croissance comparée : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0\).
b) On pose \(X = -x\). Quand \(x \to -\infty\), \(X \to +\infty\). On a \(x\,e^x = -X\,e^{-X} = -\frac{X}{e^X}\). Par croissance comparée : \(\frac{X}{e^X} \to 0\) quand \(X \to +\infty\). Donc \(\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0\).
c) On écrit \(x^2\,e^{-x} = \frac{x^2}{e^x}\). Par croissance comparée (avec \(n = 2\)) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0\).
d) On divise numérateur et dénominateur par \(e^{2x}\) : \(\frac{e^x – x}{e^{2x} + 1} = \frac{e^{-x} – x\,e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}\). Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-x} \to 0\), \(x\,e^{-2x} \to 0\) (croissance comparée) et \(e^{-2x} \to 0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x – x}{e^{2x} + 1} = \frac{0}{1} = 0\).
Problèmes de synthèse et exercices type Bac
Ces exercices mobilisent toutes les compétences précédentes : dérivation, étude de signes, limites, tangente, et parfois modélisation. C’est le format le plus courant en devoir surveillé et au Baccalauréat.
Méthode type Bac : l’étude d’une fonction contenant l’exponentielle suit presque toujours le même schéma : domaine de définition → dérivée → signe de la dérivée → tableau de variations → limites aux bornes → asymptotes → tangente(s) remarquable(s).
Étude complète de fonction (type Bac) (⭐⭐⭐)
Exercice 29. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x + 4)\,e^{-x}\).
1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). 2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. 3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\).
Voir la correction
1. Limites
En \(+\infty\) : on écrit \(f(x) = \frac{2x+4}{e^x}\). Par croissance comparée, \(\frac{2x+4}{e^x} \to 0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\). L’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
En \(-\infty\) : quand \(x \to -\infty\), \(2x + 4 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\). Donc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
2. Dérivation et variations
On pose \(u(x) = 2x + 4\) et \(v(x) = e^{-x}\). On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\).
\(f'(x) = 2\,e^{-x} + (2x+4)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 – 2x – 4) = (-2x – 2)\,e^{-x} = -2(x+1)\,e^{-x}\)Puisque \(e^{-x}\) > \(0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-2(x+1)\), c’est-à-dire l’opposé du signe de \(x + 1\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1\). On a \(f'(x)\) > \(0\) sur \(]-\infty ; -1[\) et \(f'(x)\) < \(0\) sur \(]-1 ; +\infty[\).
La fonction \(f\) admet un maximum en \(x = -1\) avec \(f(-1) = 2e\).
3. Tangente en \(x = 0\)
\(f(0) = 4\) et \(f'(0) = -2 \times 1 \times 1 = -2\). L’équation de la tangente est \(y = -2x + 4\).
Exercice 30. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = e^{2x} – 4e^x + 3\).
1. Résoudre \(g(x) = 0\). 2. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). 3. Déterminer les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). 4. Déterminer l’ensemble des réels \(x\) tels que \(g(x) \leq 0\).
Voir la correction
1. On pose \(X = e^x\) avec \(X\) > \(0\). L’équation \(g(x) = 0\) devient \(X^2 – 4X + 3 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 16 – 12 = 4\). Les racines sont \(X_1 = 1\) et \(X_2 = 3\), toutes deux strictement positives.
On résout : \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\) et \(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3\). Donc \(S = \{0 \,;\, \ln 3\}\).
2. On dérive directement : \(g'(x) = 2e^{2x} – 4e^x = 2e^x(e^x – 2)\).
Puisque \(2e^x\) > \(0\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(e^x – 2\). Or \(e^x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\), et \(e^x\) < \(2 \Leftrightarrow x\) < \(\ln 2\).
Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty ; \ln 2]\) et strictement croissante sur \([\ln 2 ; +\infty[\). Le minimum est atteint en \(x = \ln 2\) : \(g(\ln 2) = 4 – 8 + 3 = -1\).
3. En \(+\infty\) : le terme \(e^{2x}\) domine, donc \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). En \(-\infty\) : \(e^{2x} \to 0\) et \(e^x \to 0\), donc \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 3\). La droite \(y = 3\) est asymptote horizontale en \(-\infty\).
4. D’après le tableau de variations, \(g(0) = 0\), \(g(\ln 2) = -1\) < \(0\) et \(g(\ln 3) = 0\). La fonction \(g\) est négative exactement entre ses deux zéros : \(g(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [0 ; \ln 3]\).
Problèmes de modélisation (⭐⭐⭐)
Exercice 31. On injecte un médicament à un patient à l’instant \(t = 0\). La concentration du médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par la fonction \(C\) définie pour \(t \geq 0\) par \(C(t) = 5t\,e^{-0{,}5t}\), où \(t\) est le temps écoulé en heures.
1. Calculer \(C'(t)\). 2. Déterminer au bout de combien de temps la concentration est maximale. 3. Déterminer la limite de \(C(t)\) quand \(t \to +\infty\) et interpréter.
Voir la correction
1. On pose \(u(t) = 5t\) et \(v(t) = e^{-0{,}5t}\). On a \(u'(t) = 5\) et \(v'(t) = -0{,}5\,e^{-0{,}5t}\).
\(C'(t) = 5\,e^{-0{,}5t} + 5t \times (-0{,}5\,e^{-0{,}5t}) = 5\,e^{-0{,}5t}(1 – 0{,}5t) = 5(1 – 0{,}5t)\,e^{-0{,}5t}\)2. Puisque \(e^{-0{,}5t}\) > \(0\), le signe de \(C'(t)\) est celui de \(1 – 0{,}5t\). On a \(C'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
\(C'(t)\) > \(0\) sur \(]0 ; 2[\) et \(C'(t)\) < \(0\) sur \(]2 ; +\infty[\). La concentration est maximale à \(t = 2\) heures, avec \(C(2) = 10\,e^{-1} \approx 3{,}68\) mg/L.
3. On écrit \(C(t) = 5 \times \frac{t}{e^{0{,}5t}}\). Par croissance comparée, \(\frac{t}{e^{0{,}5t}} \to 0\) quand \(t \to +\infty\). Donc \(\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0\). Interprétation : à long terme, le médicament est entièrement éliminé de l’organisme.
![Tableau de variations de C(t) = 5te^(-0,5t) : croissante sur [0;2], max 3,68 en t=2, décroissante après](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variations-ex31.png)
Exercice 32. Une population de bactéries se développe dans un milieu de culture dont la capacité maximale est de \(10\,000\) individus. On modélise l’effectif de la population au temps \(t\) (en heures) par la fonction \(N\) définie pour \(t \geq 0\) par \(N(t) = \frac{10\,000}{1 + 24\,e^{-0{,}3t}}\).
1. Calculer \(N(0)\) et interpréter. 2. Déterminer la limite de \(N(t)\) quand \(t \to +\infty\) et interpréter. 3. Montrer que \(N'(t) = \frac{72\,000\,e^{-0{,}3t}}{(1 + 24\,e^{-0{,}3t})^2}\) et en déduire les variations de \(N\). 4. Au bout de combien d’heures la population atteint-elle \(5\,000\) individus ?
Voir la correction
1. \(N(0) = \frac{10\,000}{1 + 24} = \frac{10\,000}{25} = 400\). La population initiale compte 400 bactéries.
2. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0{,}3t} \to 0\), donc \(N(t) \to \frac{10\,000}{1 + 0} = 10\,000\). La population tend vers la capacité maximale du milieu : c’est un modèle de croissance logistique.
3. On écrit \(N(t) = 10\,000 \times (1 + 24\,e^{-0{,}3t})^{-1}\). En dérivant (fonction composée avec la dérivée de \(u^{-1}\)) :
\(N'(t) = 10\,000 \times \frac{-(-0{,}3) \times 24\,e^{-0{,}3t}}{(1 + 24\,e^{-0{,}3t})^2} = \frac{10\,000 \times 7{,}2\,e^{-0{,}3t}}{(1 + 24\,e^{-0{,}3t})^2} = \frac{72\,000\,e^{-0{,}3t}}{(1 + 24\,e^{-0{,}3t})^2}\)Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout \(t \geq 0\), donc \(N'(t)\) > \(0\) : la fonction \(N\) est strictement croissante sur \([0 ; +\infty[\). La population augmente en permanence, mais de plus en plus lentement.
4. On résout \(N(t) = 5\,000\) : \(\frac{10\,000}{1 + 24\,e^{-0{,}3t}} = 5\,000\), soit \(1 + 24\,e^{-0{,}3t} = 2\), d’où \(24\,e^{-0{,}3t} = 1\), puis \(e^{-0{,}3t} = \frac{1}{24}\).
En passant par la fonction exp : \(-0{,}3t = \ln\!\left(\frac{1}{24}\right) = -\ln 24\), soit \(t = \frac{\ln 24}{0{,}3} \approx \frac{3{,}178}{0{,}3} \approx 10{,}6\) heures.
Pour aller plus loin : niveau Prépa (⭐⭐⭐+)
Exercice 33. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x – 1 – x\).
1. Étudier les variations de \(f\) et en déduire que pour tout réel \(x\) : \(e^x \geq 1 + x\). 2. En déduire que pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e\). 3. Montrer que la suite \(\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)\) converge vers \(e\).
Voir la correction
1. \(f'(x) = e^x – 1\). Or \(e^x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\). De plus, \(f'(x)\) < \(0\) sur \(]-\infty ; 0[\) et \(f'(x)\) > \(0\) sur \(]0 ; +\infty[\).
La fonction \(f\) admet un minimum global en \(x = 0\), et \(f(0) = e^0 – 1 – 0 = 0\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x) \geq 0\), soit \(e^x \geq 1 + x\).
2. On applique l’inégalité \(e^x \geq 1 + x\) en posant \(x = \frac{1}{n}\) : on obtient \(e^{1/n} \geq 1 + \frac{1}{n}\). En élevant les deux membres (positifs) à la puissance \(n\) : \(e \geq \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).
3. On admet (ou on montre par étude de \(g(x) = \ln(1+x) – x + \frac{x^2}{2}\)) que \(\ln(1+x) \geq x – \frac{x^2}{2}\) pour \(x\) > \(0\). Avec \(x = \frac{1}{n}\) :
\(n \ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) \geq n\!\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2}\right) = 1 – \frac{1}{2n}\)Or \(1 – \frac{1}{2n} \to 1\) quand \(n \to +\infty\), et on a déjà montré que \(n\ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leq 1\). Par encadrement (théorème des gendarmes), \(n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) \to 1\), donc \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\).
Erreurs fréquentes sur la fonction exponentielle
Voici les pièges les plus courants sur la fonction exp, à éviter absolument en DS comme au Bac.
Piège n°1 : écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\). C’est faux. L’exponentielle d’une somme est un produit : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\).
Piège n°2 : oublier \(u’\) dans la dérivée de \(e^{u(x)}\). La formule correcte est \((e^u)’ = u’ \times e^u\). Par exemple, la dérivée de \(e^{3x}\) est \(3e^{3x}\), et non \(e^{3x}\).
Piège n°3 : confondre \(e^{-x}\) et \(-e^x\). Ce sont deux expressions totalement différentes : \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\) > \(0\), tandis que \(-e^x\) < \(0\) pour tout réel \(x\).
Piège n°4 : écrire que \(e^x = 0\) a une solution. L’exponentielle ne s’annule jamais : \(e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\). Si un produit \(P(x) \times e^{f(x)} = 0\), seul \(P(x)\) peut valoir \(0\).
Piège n°5 : oublier de vérifier \(X\) > \(0\) lors du changement de variable \(X = e^x\). Puisque l’exponentielle est strictement positive, seules les racines strictement positives du polynôme en \(X\) sont admissibles.
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Questions fréquentes sur les exercices d’exponentielle
Comment dériver une fonction exponentielle e^{u(x)} ?
On applique la formule de dérivation des fonctions composées : la dérivée de \(e^{u(x)}\) est \(u'(x) \times e^{u(x)}\). Il ne faut surtout pas oublier le facteur \(u'(x)\) devant l’exponentielle. Par exemple, la dérivée de \(e^{3x+1}\) est \(3\,e^{3x+1}\).
Pourquoi l'exponentielle ne s'annule-t-elle jamais ?
Par définition, la fonction exponentielle vérifie \(e^x = e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\). Intuitivement, comme \(e^x = \frac{1}{e^{-x}}\), si \(e^x\) s’annulait, on aurait une division par zéro. En pratique, cela signifie que dans une équation \(P(x) \times e^{f(x)} = 0\), seul le facteur \(P(x)\) peut être nul.
»Comment
On passe au logarithme népérien des deux côtés : \(e^{f(x)} = k \Leftrightarrow f(x) = \ln k\), à condition que \(k\) > \(0\). Si \(k \leq 0\), l’équation n’a aucune solution car l’exponentielle est toujours strictement positive. Pour approfondir, consultez notre page sur la fonction logarithme.
Quelle est la différence entre e^x et exp(x) ?
Aucune : ce sont deux notations pour la même fonction. La notation \(\exp(x)\) est utilisée dans les définitions formelles et dans les premières leçons, tandis que \(e^x\) est l’écriture courante qui utilise le nombre d’Euler \(e \approx 2{,}718\). On passe de l’une à l’autre librement.
Comment lever une forme indéterminée avec l'exponentielle ?
Les formes indéterminées les plus courantes sont de type « \(+\infty \times 0\) ». On utilise les résultats de croissances comparées : \(\frac{e^x}{x^n} \to +\infty\) en \(+\infty\), et \(x^n\,e^x \to 0\) en \(-\infty\). L’idée est de réécrire l’expression sous forme de quotient pour appliquer ces résultats.
Quels sont les pièges classiques au Bac sur l'exponentielle ?
Les cinq erreurs les plus fréquentes sont : oublier \(u’\) dans \((e^u)’ = u’e^u\), écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\) au lieu de \(e^a \times e^b\), confondre \(e^{-x}\) et \(-e^x\), affirmer que \(e^x = 0\) a une solution, et oublier la condition \(X\) > \(0\) lors d’un changement de variable \(X = e^x\).
Quelle est la limite de xe^{-x} en +∞ ?
C’est une forme indéterminée « \(+\infty \times 0\) ». On réécrit \(x\,e^{-x} = \frac{x}{e^x}\). Par croissance comparée, l’exponentielle l’emporte sur \(x\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0\). Ce résultat est à connaître par cœur.
Comment utiliser le changement de variable X = e^x ?
On pose \(X = e^x\), ce qui transforme \(e^{2x}\) en \(X^2\), \(e^{3x}\) en \(X^3\), etc. L’équation initiale devient un polynôme en \(X\). On résout ce polynôme, puis on ne garde que les racines \(X\) > \(0\) (car \(e^x\) est toujours strictement positif). Pour chaque racine \(X_0\) admissible, on résout \(e^x = X_0\), soit \(x = \ln X_0\).
L'exponentielle est-elle toujours croissante ?
Oui. La fonction \(x \mapsto e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier. C’est d’ailleurs cette propriété qui permet de résoudre les équations et inéquations : \(e^a = e^b \Leftrightarrow a = b\) et \(e^a \leq e^b \Leftrightarrow a \leq b\). En revanche, une fonction composée comme \(e^{-x}\) peut être décroissante.
Où trouver un cours complet sur la fonction exponentielle ?
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Pour aller plus loin
Vous souhaitez approfondir un aspect particulier de la fonction exponentielle ou élargir vos révisions ? Voici les ressources complémentaires du site :
- Cours complet sur la fonction exponentielle — définition, propriétés, démonstrations et courbe
- Fonction logarithme népérien — la fonction réciproque de l’exponentielle
- Tableau des dérivées usuelles — toutes les formules de dérivation
- Calculer une dérivée pas à pas — méthode générale
- Les grandes familles de fonctions en maths — vue d’ensemble
- Exercices sur les fonctions en seconde — pour consolider les bases
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