Tu sais déjà tracer la médiatrice d’un segment. Mais que se passe-t-il quand tu traces les trois médiatrices des trois côtés d’un même triangle ? Un petit miracle géométrique : elles se croisent toutes au même endroit. Et ce point cache un secret utile, le centre du cercle qui passe par les trois sommets. C’est tout l’objet de ce cours de 5ème.
I. C’est quoi la médiatrice d’un triangle ?
Un triangle a trois côtés. Chaque côté est un segment, et chaque segment possède sa propre médiatrice. Un triangle a donc trois médiatrices : une pour chaque côté.
Avant d’aller plus loin, rappelle-toi ce qu’est la médiatrice d’un segment : c’est la droite qui coupe le segment en son milieu, en formant un angle droit avec lui.
Définition — Médiatrice d’un côté d’un triangle
La médiatrice d’un côté d’un triangle est la droite qui passe par le milieu de ce côté et qui lui est perpendiculaire. Comme un triangle a trois côtés, il possède trois médiatrices.
La médiatrice est définie à partir d’un côté : elle lui est perpendiculaire et passe par son milieu. Elle ne passe pas nécessairement par un sommet. Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base passe justement par le sommet principal.
II. Quelles sont les trois médiatrices d’un triangle ?
Trace les trois médiatrices d’un triangle, celle du côté AB, celle du côté BC et celle du côté AC. Surprise : elles ne partent pas dans tous les sens. Elles se coupent toutes les trois au même point.
Propriété — Les médiatrices sont concourantes
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul et même point. On dit qu’elles sont concourantes. Ce point de rencontre est souvent noté \(O\).
Ce n’est pas un hasard, et voici l’idée qui explique tout. Rappelle-toi la propriété clé de la médiatrice d’un segment : tous ses points sont à égale distance des deux extrémités du segment.
Suis le raisonnement, c’est plus simple que ça en a l’air :
- Le point \(O\) est sur la médiatrice de \(AB\) : donc \(O\) est à la même distance de \(A\) et de \(B\).
- Le point \(O\) est aussi sur la médiatrice de \(BC\) : donc \(O\) est à la même distance de \(B\) et de \(C\).
- Conclusion : \(O\) est à la même distance de \(A\), de \(B\) et de \(C\) en même temps.
Comme \(O\) est à égale distance de \(A\) et de \(C\), il est forcément aussi sur la médiatrice de \(AC\). Voilà pourquoi les trois médiatrices passent toutes par ce point : c’est le seul endroit à égale distance des trois sommets.
Le petit truc à retenir : tu n’as besoin de tracer que deux médiatrices pour trouver le point \(O\). La troisième passera automatiquement par ce point. Elle sert juste à vérifier ton tracé !
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Les repères essentiels, la méthode et des vérifications à garder sous la main.
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III. Le point O et le cercle circonscrit
On vient de voir que le point \(O\) est à la même distance des trois sommets \(A\), \(B\) et \(C\). Appelons cette distance \(R\). Que se passe-t-il si tu plantes la pointe du compas en \(O\) et que tu ouvres le compas de la longueur \(R\) ?
Tu traces un cercle qui passe exactement par les trois sommets du triangle. Ce cercle porte un nom.
Définition — Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son centre est le point \(O\) où se croisent les trois médiatrices, et son rayon est la distance de \(O\) à un sommet.
Le mot « circonscrit » veut dire « tracé autour » : le cercle entoure le triangle en s’appuyant sur ses trois sommets. C’est exactement l’inverse du cercle inscrit, qui se loge à l’intérieur du triangle et se construit, lui, avec les bissectrices.
IV. Comment tracer les médiatrices d’un triangle ?
Passons à la pratique. Pour tracer les médiatrices d’un triangle et son cercle circonscrit, tu as besoin d’une règle et d’un compas. Voici la méthode, étape par étape.
- Trace la médiatrice du premier côté au compas. Choisis une ouverture strictement supérieure à la moitié du côté. Depuis chacune de ses extrémités, trace des arcs de part et d’autre en gardant la même ouverture. La droite passant par les deux intersections est la médiatrice.
- Trace la médiatrice d’un deuxième côté de la même façon.
- Repère le point \(O\), à l’intersection des deux médiatrices.
- Vérifie avec la troisième médiatrice : elle doit passer par \(O\). Si ce n’est pas le cas, c’est qu’un tracé est imprécis.
- Trace le cercle circonscrit : pointe le compas en \(O\), ouvre-le jusqu’à un sommet, et fais le tour. Le cercle doit passer par les trois sommets.
Conseil de tracé : garde le même écartement de compas pour les deux arcs d’une même médiatrice, sinon tu ne tombes pas sur le milieu. Et taille bien ton crayon : en géométrie, un trait épais, c’est une erreur d’un millimètre qui décale tout.
Tu veux revoir la construction pas à pas d’une seule médiatrice, avec la méthode à la règle et à l’équerre en plus de celle au compas ? Tout est détaillé dans le cours sur la médiatrice d’un segment.
V. Cas particuliers : triangle rectangle, isocèle, équilatéral
Le point \(O\) ne se place pas toujours au même endroit. Selon la forme du triangle, il peut être à l’intérieur, sur un côté, ou même à l’extérieur. Trois cas méritent que tu les connaisses par cœur.
A. Le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le point \(O\) tombe pile sur le milieu de l’hypoténuse (le côté le plus long, celui en face de l’angle droit). Le cercle circonscrit a donc l’hypoténuse pour diamètre.
B. Le triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base (le côté « différent ») passe par le sommet principal. Elle est en même temps la médiatrice, la médiane, la hauteur et la bissectrice de ce sommet : c’est aussi l’axe de symétrie du triangle. Tu retrouveras cette idée dans le cours sur la symétrie axiale.
C. Le triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, les trois médiatrices sont aussi les trois axes de symétrie. Le point \(O\) est parfaitement au centre de la figure, et il joue tous les rôles à la fois : centre du cercle circonscrit et du cercle inscrit.
🟠 Pour aller plus loin (4ème) : quand le triangle a un angle obtus (plus grand qu’un angle droit), le point \(O\) sort du triangle ! Le cercle circonscrit existe toujours, mais son centre se trouve à l’extérieur de la figure. Trace-le pour vérifier : c’est déroutant la première fois.
VI. Exercices corrigés
À toi de jouer. Prends ta règle et ton compas, ces quatre exercices vont du plus simple au petit raisonnement. Cherche vraiment avant d’ouvrir les corrections.
Exercice 1 — Combien de médiatrices ? ★
On considère un triangle \(ABC\). Combien de médiatrices possède ce triangle ? Passent-elles par un sommet ou par le milieu d’un côté ?
Voir la correction de l’exercice 1
Un triangle a trois côtés : \(AB\), \(BC\) et \(AC\). Chaque côté a sa médiatrice, donc le triangle possède trois médiatrices.
Chaque médiatrice passe par le milieu d’un côté et lui est perpendiculaire. Elle peut aussi passer par le sommet opposé, par exemple pour la base d’un triangle isocèle.
Exercice 2 — Tracer le cercle circonscrit ★★
Trace un triangle \(RST\) quelconque de ton choix. Construis les médiatrices des côtés \(RS\) et \(ST\), place leur point d’intersection \(O\), puis trace le cercle circonscrit au triangle.
Voir la correction de l’exercice 2
On trace les deux médiatrices au compas (deux arcs depuis chaque extrémité, puis la droite qui joint les croisements).
Les deux médiatrices se coupent au point \(O\). Ce point est à égale distance de \(R\), \(S\) et \(T\).
On pointe le compas en \(O\), on l’ouvre jusqu’à \(R\), et on trace le cercle. Vérification : le cercle doit passer aussi par \(S\) et par \(T\). S’il passe par les trois sommets, ton tracé est juste.
Exercice 3 — Le triangle rectangle ★★
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). Son hypoténuse \(BC\) mesure 8 cm. Où se trouve le centre du cercle circonscrit ? Quel est le rayon de ce cercle ?
Voir la correction de l’exercice 3
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Ici, c’est le milieu de \(BC\).
Le cercle a donc \(BC\) pour diamètre. Le rayon est la moitié du diamètre :
\(R = \displaystyle\frac{8}{2} = 4\) cm.
Le rayon du cercle circonscrit vaut 4 cm.
Exercice 4 — Le raisonnement de l’équidistance ★★★
Le point \(O\) est le centre du cercle circonscrit à un triangle \(ABC\). On sait que \(OA = 5\) cm. Peux-tu donner sans mesurer la longueur \(OB\) et la longueur \(OC\) ? Explique pourquoi.
Voir la correction de l’exercice 4
Le point \(O\) est le centre du cercle circonscrit : ce cercle passe par les trois sommets. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc tous les trois sur le cercle.
Or, tous les points d’un cercle sont à la même distance du centre : cette distance, c’est le rayon. Donc :
\(OA = OB = OC = 5\) cm.
On n’a rien mesuré : on a juste utilisé le fait que \(O\) est à égale distance des trois sommets. C’est exactement ce qui explique que les médiatrices se croisent en ce point.
VII. Erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent sans arrêt dans les copies. Repère-les maintenant, tu gagneras des points au contrôle.
Erreur 1 — Confondre médiatrice et médiane. La médiatrice passe par le milieu d’un côté et lui est perpendiculaire. La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. Elles peuvent coïncider dans un triangle isocèle, mais ce n’est pas vrai en général.
Erreur 2 — Oublier l’angle droit. Une droite qui passe par le milieu d’un côté mais qui n’est pas perpendiculaire n’est pas une médiatrice. Il faut les deux conditions : milieu et angle droit.
Erreur 3 — Croire que O est toujours à l’intérieur. Il est à l’intérieur si les trois angles sont aigus ; au milieu de l’hypoténuse si le triangle est rectangle ; à l’extérieur si un angle est obtus.
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi la médiatrice d’un triangle ?
La médiatrice d’un côté d’un triangle est la droite qui passe par le milieu de ce côté et qui lui est perpendiculaire. Comme un triangle a trois côtés, il possède trois médiatrices. Elles se coupent toutes au centre du cercle circonscrit.
Quelle est la différence entre médiatrice et médiane ?
La médiatrice d’un côté passe par son milieu et lui est perpendiculaire. La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, sans être nécessairement perpendiculaire à ce côté. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base.
Quelle est la différence entre médiatrice et bissectrice dans un triangle ?
La médiatrice concerne un côté (milieu + angle droit) et sert à trouver le cercle circonscrit. La bissectrice concerne un angle : elle le coupe en deux angles égaux et sert à trouver le cercle inscrit. Ce sont deux objets différents à ne pas confondre : le détail est dans le cours sur la bissectrice d’un angle.
Pourquoi les trois médiatrices se coupent-elles au même point ?
Parce que chaque médiatrice contient les points à égale distance des deux extrémités de son côté. Le point de croisement de deux médiatrices se retrouve donc à égale distance des trois sommets : c’est le seul point qui a cette propriété, et la troisième médiatrice passe forcément par lui.
Où se trouve le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle ?
Il se trouve exactement au milieu de l’hypoténuse, c’est-à-dire le côté le plus long, en face de l’angle droit. Le cercle circonscrit a alors l’hypoténuse pour diamètre.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant tracer les médiatrices d’un triangle et son cercle circonscrit. Pour continuer à explorer les transformations et la géométrie du collège :
- Homothétie : le cours complet de 3ème
- Construire une homothétie de rapport k (3ème)
- Le triangle isocèle rectangle : définition, propriétés, angles et aire
- Au lycée, tu repéreras ces figures dans un quadrillage grâce aux coordonnées : Repère orthonormé : définition, différences et méthode
