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Nier une conjonction, nier une union, nier un énoncé quantifié : ces trois opérations reviennent constamment en colle et en concours, et c’est exactement ce que gèrent les lois de De Morgan. Tu vas voir qu’elles ont deux visages — logique et ensembliste — reliés par la même idée : nier inverse « et » et « ou ». Objectif de cette fiche : savoir les énoncer, les démontrer proprement et les appliquer sans erreur.
I. Énoncé des lois de De Morgan
Les lois de De Morgan existent sous deux formes parfaitement parallèles : une forme logique (sur les propositions) et une forme ensembliste (sur les parties d’un ensemble). C’est leur dualité qui fait toute leur puissance.
A. Version logique (propositions)
Théorème — Lois de De Morgan (logique)
Pour toutes propositions \(P\) et \(Q\) :
\(\neg(P \wedge Q) \Longleftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)\)
\(\neg(P \vee Q) \Longleftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)\)
Autrement dit : la négation d’un « et » est un « ou » de négations, et la négation d’un « ou » est un « et » de négations. Le connecteur bascule en passant la barre de négation à travers les parenthèses.
B. Version ensembliste (complémentaires)
Soit \(E\) un ensemble de référence. Pour une partie \(A\) de \(E\), on note \(\overline{A}\) son complémentaire dans \(E\).
Théorème — Lois de De Morgan (ensembles)
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d’un ensemble \(E\) :
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
Le passage au complémentaire échange l’intersection et la réunion. Cette forme se déduit directement de la version logique : appartenir à \(\overline{A \cap B}\) signifie « ne pas être dans \(A\) et \(B\) », c’est-à-dire « ne pas être dans \(A\) ou ne pas être dans \(B\) ».
Comment retenir (la règle des 3 gestes) : pour nier une expression, tu fais trois choses en même temps — (1) tu fais entrer la négation, (2) tu inverses \(\wedge \leftrightarrow \vee\) (ou \(\cap \leftrightarrow \cup\)), (3) tu nies chaque terme. Oublier l’étape (2) est l’erreur n°1 en concours.
C. Extension : énoncés quantifiés
Les lois de De Morgan se prolongent naturellement aux quantificateurs, vus comme des « et » et des « ou » infinis. C’est l’outil indispensable pour nier un énoncé en début d’année de prépa.
Négation d’un énoncé quantifié
Pour une propriété \(P(x)\) :
\(\neg\big(\forall x,\ P(x)\big) \Longleftrightarrow \exists x,\ \neg P(x)\)
\(\neg\big(\exists x,\ P(x)\big) \Longleftrightarrow \forall x,\ \neg P(x)\)
On retrouve le même mécanisme : le quantificateur bascule (\(\forall \leftrightarrow \exists\)) et la propriété est niée. Le \(\forall\) joue le rôle du \(\wedge\), le \(\exists\) celui du \(\vee\).
II. Méthode : nier une expression en 4 étapes
La question récurrente n’est pas « quelle est la loi de De Morgan ? » mais « comment nier proprement cette expression ? ». Voici la méthode systématique, valable aussi bien pour une formule logique que pour une expression quantifiée.
- Repère la structure globale : l’expression est-elle une conjonction (« et »), une disjonction (« ou »), une implication, un énoncé quantifié ? Identifie le connecteur le plus extérieur.
- Fais entrer la négation d’un cran en appliquant De Morgan : inverse le connecteur (\(\wedge \to \vee\), \(\vee \to \wedge\), \(\forall \to \exists\), \(\exists \to \forall\)).
- Descends récursivement : chaque sous-expression désormais niée est retraitée par la même méthode, jusqu’aux propositions atomiques.
- Nie les propositions atomiques en inversant les relations : \(=\) devient \(\neq\), \(\leq\) devient \(\gt \), etc. Aucune négation ne doit subsister devant une parenthèse.
Cas de l’implication. Avant d’appliquer De Morgan à une implication, réécris-la : \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \((\neg P) \vee Q\). Sa négation est donc \(P \wedge (\neg Q)\). C’est une source d’erreur classique : la négation de « si P alors Q » n’est pas une implication, c’est « P est vrai et pourtant Q est faux ».
La méthode pour nier n’importe quelle expression
Les 4 étapes, les deux versions des lois et le piège de l’implication, condensés sur une fiche recto-verso à garder sous la main pour les colles.
📄 Télécharger la fiche méthodeLe réflexe « inverser le connecteur » ancré pour de bon.
A. Quand utiliser De Morgan, et quelle autre technique sinon ?
De Morgan est l’outil de la négation locale d’un énoncé. Mais ce n’est qu’une technique parmi celles qui manipulent des énoncés logiques. Ce tableau te situe par rapport aux méthodes voisines.
| Technique | Quand l’utiliser | Quand l’éviter |
|---|---|---|
| Lois de De Morgan | Nier une conjonction, une disjonction ou un énoncé quantifié ; simplifier le complémentaire d’une union/intersection. | Pour démontrer un énoncé : De Morgan transforme, elle ne prouve pas. Tu auras besoin d’un raisonnement en plus. |
| Contraposée | Prouver \(P \Rightarrow Q\) est plus simple via \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) (De Morgan sert souvent à expliciter \(\neg Q\)). | Quand l’hypothèse directe se manipule déjà bien. |
| Raisonnement par l’absurde | Supposer la négation de la conclusion ; De Morgan fournit cette négation. | Quand une preuve directe existe (préférable en concours). |
| Table de vérité | Vérifier ou démontrer une équivalence logique sur peu de variables (≤ 3). | Avec des quantificateurs sur ensembles infinis : la table ne s’applique plus. |
| Double inclusion | Démontrer une égalité d’ensembles comme \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\). | Quand un argument par équivalence logique directe est plus court. |
En clair : De Morgan est rarement une fin en soi. Elle est le moteur de négation qui alimente la contraposée et l’absurde. Voyons maintenant comment la démontrer rigoureusement.
III. Les deux démonstrations à connaître
En colle, on te demandera l’une des deux : la preuve logique par table de vérité ou la preuve ensembliste par double inclusion (ou par équivalences). Maîtriser les deux montre que tu as compris la dualité.
A. Démonstration logique par table de vérité
Démontrons \(\neg(P \wedge Q) \Longleftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)\) en dressant la table de vérité des deux membres. On note V (vrai) et F (faux).
| \(P\) | \(Q\) | \(P \wedge Q\) | \(\neg(P \wedge Q)\) | \(\neg P\) | \(\neg Q\) | \((\neg P)\vee(\neg Q)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
Les colonnes \(\neg(P \wedge Q)\) et \((\neg P)\vee(\neg Q)\) coïncident sur les quatre lignes : les deux propositions ont la même valeur de vérité pour toute valuation. L’équivalence est donc démontrée. ∎
La seconde loi \(\neg(P \vee Q) \Longleftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)\) se prouve de façon identique (à toi de la rédiger en exercice).
B. Démonstration ensembliste par équivalences
Démontrons \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\). Le procédé naturel est de partir d’un élément quelconque et de raisonner par équivalences logiques — où De Morgan logique intervient justement à l’étape centrale.
Preuve. Soit \(x \in E\). On a la chaîne d’équivalences :
\(x \in \overline{A \cap B} \iff x \notin A \cap B\)
\(\iff \neg\big(x \in A \ \wedge\ x \in B\big)\)
\(\iff (x \notin A) \ \vee\ (x \notin B) \quad \text{(De Morgan logique)}\)
\(\iff (x \in \overline{A}) \ \vee\ (x \in \overline{B})\)
\(\iff x \in \overline{A} \cup \overline{B}\)
Les deux ensembles ont les mêmes éléments, donc \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\). ∎
On peut aussi rédiger cette preuve par double inclusion (\(\subset\) puis \(\supset\)), mais la rédaction par équivalences est plus économique à condition que chaque étape soit bien une équivalence (un seul faux pas et il faut tout reprendre en double inclusion).
C. 🔴 Généralisation à n termes
Par récurrence, De Morgan se généralise à une famille finie — et même quelconque pour les versions ensemblistes.
Forme générale. Pour des propositions \(P_1, \dots, P_n\) :
\(\neg\left(\bigwedge_{i=1}^{n} P_i\right) \Longleftrightarrow \bigvee_{i=1}^{n} \neg P_i\)
Et pour une famille \((A_i)_{i \in I}\) de parties de \(E\) (avec \(I\) quelconque) :
\(\overline{\bigcap_{i \in I} A_i} = \bigcup_{i \in I} \overline{A_i} \qquad \overline{\bigcup_{i \in I} A_i} = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}\)
Remarque : la version ensembliste vaut pour une famille infinie, là où la version logique passe par une récurrence sur un nombre fini de propositions. C’est un point que les correcteurs aiment voir mentionné.
IV. Exemples résolus, du lycée à la prépa
On passe à la pratique. Trois exemples gradués pour ancrer le réflexe « repérer la structure, inverser le connecteur, nier chaque terme ».
A. 🔵 Exemple guidé — négation simple
Énoncé. Nier la proposition : « \(x \geq 0\) et \(x \leq 5\) ».
Résolution. Structure : une conjonction « et ». On applique De Morgan : le « et » devient « ou », et on nie chaque terme.
Négation de \(x \geq 0\) : \(x \lt 0\). Négation de \(x \leq 5\) : \(x \gt 5\).
Résultat : « \(x \lt 0\) ou \(x \gt 5\) ». Concrètement, dire que \(x\) n’est pas dans \([0\,;5]\) revient à dire qu’il est strictement en dessous ou strictement au-dessus.
B. 🟠 Exemple — simplification ensembliste
Énoncé. Simplifier \(\overline{\overline{A} \cup B}\) dans un ensemble \(E\).
Résolution. On applique De Morgan ensembliste au complémentaire de l’union :
\(\overline{\overline{A} \cup B} = \overline{\overline{A}} \cap \overline{B}\)
Or \(\overline{\overline{A}} = A\) (involution du complémentaire). D’où :
\(\overline{\overline{A} \cup B} = A \cap \overline{B}\)
Interprétation : les éléments qui sont dans \(A\) mais pas dans \(B\) — c’est exactement la différence \(A \setminus B\).
C. 🔴 Exemple concours — négation d’un énoncé quantifié
Énoncé. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Écrire la négation de la définition de la continuité de \(f\) en \(a\) :
\(\forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ |x-a| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| \leq \varepsilon\)
Résolution. On fait descendre la négation quantificateur par quantificateur (\(\forall \leftrightarrow \exists\)), puis on nie l’implication via \(\neg(P \Rightarrow Q) \iff P \wedge \neg Q\) :
\(\exists \varepsilon \gt 0,\ \forall \delta \gt 0,\ \exists x \in \mathbb{R},\ |x-a| \leq \delta \ \wedge\ |f(x)-f(a)| \gt \varepsilon\)
Lecture : il existe une marge \(\varepsilon\) qu’aucun \(\delta\) ne permet de garantir — on peut toujours trouver un \(x\) proche de \(a\) dont l’image reste loin de \(f(a)\). C’est précisément la discontinuité.
Cet exemple est le grand classique : maîtriser De Morgan, c’est savoir nier une définition « epsilon-delta » sans paniquer. Garde la fiche méthode sous la main pour t’entraîner.
V. Erreurs fréquentes (copies commentées)
Trois fautes reviennent quasi systématiquement. Les voici diagnostiquées sur des copies réelles.
❌ Copie fautive 1 : « La négation de \(x \geq 0\) et \(x \leq 5\) est \(x \lt 0\) et \(x \gt 5\). »
Diagnostic : le connecteur n’a pas été inversé. L’étudiant a nié chaque terme mais a gardé le « et ». Or aucun réel n’est à la fois < 0 et > 5 : la négation serait toujours fausse, donc la proposition de départ toujours vraie — absurde.
✅ Correction : \(x \lt 0\) ou \(x \gt 5\). Le « et » devient « ou ».
❌ Copie fautive 2 : « \(\neg(P \Rightarrow Q) = (\neg P) \Rightarrow (\neg Q)\). »
Diagnostic : on ne « De Morgan » pas une implication telle quelle, et la négation d’une implication n’est jamais une implication. Il fallait d’abord réécrire \(P \Rightarrow Q\) sous la forme \((\neg P) \vee Q\).
✅ Correction : \(\neg(P \Rightarrow Q) \iff P \wedge (\neg Q)\).
❌ Copie fautive 3 : « \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}\). »
Diagnostic : confusion entre les deux lois. Le complémentaire d’une intersection donne une réunion de complémentaires, pas une intersection. Un contre-exemple suffit à s’en convaincre : avec \(A \cap B = \emptyset\), le membre de gauche vaut \(E\) tout entier, alors que \(\overline{A} \cap \overline{B}\) peut être strictement plus petit.
✅ Correction : \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\).
Le fil conducteur de ces trois erreurs : on oublie de basculer le connecteur. Inscris-le comme réflexe — c’est l’étape (2) de la méthode.
VI. Exercices d’application
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Démonstration (★)
Démontrer la seconde loi logique \(\neg(P \vee Q) \Longleftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)\) par une table de vérité.
Voir la correction de l'exercice 1
On dresse la table sur les quatre valuations de \((P,Q)\) :
— \(P \vee Q\) vaut F uniquement pour \((F,F)\), donc \(\neg(P\vee Q)\) vaut V uniquement pour \((F,F)\).
— \((\neg P)\wedge(\neg Q)\) vaut V uniquement quand \(P\) et \(Q\) sont tous deux F, soit \((F,F)\).
Les deux colonnes coïncident (V seulement sur la ligne (F,F), F ailleurs), d’où l’équivalence. ∎
Exercice 2 — Simplification ensembliste (★★)
Soient \(A, B, C\) trois parties de \(E\). Simplifier \(\overline{A \cup (B \cap C)}\).
Voir la correction de l'exercice 2
On applique De Morgan au complémentaire de l’union :
\(\overline{A \cup (B \cap C)} = \overline{A} \cap \overline{B \cap C}\)
Puis De Morgan au second facteur :
\(= \overline{A} \cap (\overline{B} \cup \overline{C})\)
On peut développer par distributivité : \(= (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap \overline{C})\).
Exercice 3 — Négation quantifiée (★★★)
Soit \((u_n)\) une suite réelle. Écrire la négation de : « \((u_n)\) est majorée », c’est-à-dire de \(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq M\).
Voir la correction de l'exercice 3
On fait descendre la négation à travers les deux quantificateurs (\(\exists \to \forall\), \(\forall \to \exists\)) et on nie la relation finale (\(\leq\) devient \(\gt \)) :
\(\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n \gt M\)
Lecture : aucun réel ne majore la suite — pour tout candidat majorant \(M\), un terme de la suite finit par le dépasser. C’est la définition d’une suite non majorée.
Exercice 4 — Raisonnement (★★★)
Montrer que pour deux parties \(A, B\) de \(E\) : \(A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}\), et expliquer le lien avec la contraposée.
Voir la correction de l'exercice 4
Par définition, \(A \subset B\) signifie \(\forall x,\ (x \in A \Rightarrow x \in B)\). Or l’implication \(x \in A \Rightarrow x \in B\) est équivalente à sa contraposée \(x \notin B \Rightarrow x \notin A\), soit \(x \in \overline{B} \Rightarrow x \in \overline{A}\). En quantifiant, cela donne exactement \(\overline{B} \subset \overline{A}\). D’où l’équivalence.
Lien : l’inclusion entre complémentaires est la traduction ensembliste de la contraposée. De Morgan et contraposée travaillent main dans la main. ∎
Pour t’entraîner davantage (relations binaires, produit cartésien, quantificateurs en contexte), va voir les exercices corrigés du chapitre Ensembles et applications.
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
En colle comme en écrit, l’usage de De Morgan se juge à la propreté du geste. Voici les attendus.
À écrire sur la copie.
- Nomme la loi quand tu l’utilises : « par les lois de De Morgan » suffit, mais ne laisse pas une inversion \(\wedge \to \vee\) apparaître sans justification — le correcteur veut voir que tu sais ce que tu fais.
- Choisis ton mode de preuve d’égalité d’ensembles et tiens-le. Soit tu raisonnes par équivalences (\(x \in \dots \iff \dots\)) du début à la fin, soit par double inclusion. Ne mélange pas.
- Pour une preuve par équivalences, vérifie que chaque \(\iff\) est réellement réversible. Au moindre doute, repli sur la double inclusion : c’est plus long mais imparable.
- Négation quantifiée : descends un quantificateur à la fois, dans l’ordre, sans en sauter. Et traite l’implication en dernier (réécriture \(\neg(P\Rightarrow Q)\iff P\wedge\neg Q\)).
Erreur qui coûte cher au correcteur : écrire la négation d’une définition epsilon-delta « à l’instinct » en oubliant de basculer un \(\forall\) en \(\exists\). C’est éliminatoire sur une question de cours. Entraîne-toi à le faire mécaniquement.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la première loi de De Morgan ?
La première loi concerne la négation d’une conjonction : \(\neg(P \wedge Q) \iff (\neg P) \vee (\neg Q)\). En version ensembliste, elle s’écrit \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\). Idée clé : nier un « et » donne un « ou ».
Quelle est la formule de De Morgan ?
Il y a deux formules duales. En logique : \(\neg(P \wedge Q) \iff (\neg P)\vee(\neg Q)\) et \(\neg(P \vee Q) \iff (\neg P)\wedge(\neg Q)\). En ensembles : \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) et \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\). Dans tous les cas, la négation (ou le complémentaire) échange « et » et « ou ».
Comment se souvenir facilement de la loi de De Morgan ?
Retiens « la barre casse et inverse » : quand la négation traverse une parenthèse, elle se distribue sur chaque terme et le connecteur bascule (\(\wedge \leftrightarrow \vee\), \(\cap \leftrightarrow \cup\), \(\forall \leftrightarrow \exists\)). Le seul vrai piège est d’oublier de basculer le connecteur.
Quelle est la différence entre De Morgan logique et De Morgan ensembliste ?
Ce sont les deux faces d’une même règle. La version logique porte sur des propositions et utilise la négation \(\neg\) ; la version ensembliste porte sur des parties et utilise le complémentaire \(\overline{\phantom{A}}\). La version ensembliste se démontre justement à partir de la version logique, en traduisant « \(x \in \overline{A}\) » par « \(x \notin A\) ». Avantage de la version ensembliste : elle reste valable pour une famille infinie d’ensembles.
De Morgan s'applique-t-elle aux quantificateurs ?
Oui, c’est même son usage le plus courant en prépa. On a \(\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)\) et \(\neg(\exists x, P(x)) \iff \forall x, \neg P(x)\). Le \(\forall\) se comporte comme un « et » infini, le \(\exists\) comme un « ou » infini. C’est l’outil pour nier une définition de continuité ou de convergence.
À quoi servent concrètement les lois de De Morgan ?
Elles servent à nier proprement un énoncé (étape indispensable du raisonnement par l’absurde et de la contraposée), à simplifier des expressions ensemblistes (complémentaires d’unions/intersections) et, en informatique, à simplifier des conditions logiques et des circuits. En prépa, leur usage central est la négation des énoncés quantifiés.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant énoncer, démontrer et appliquer les lois de De Morgan. Pour consolider le chapitre :
- Connecteurs logiques et tables de vérité — l’outil qui sert à démontrer la version logique.
- Quantificateurs ∀ et ∃ — pour maîtriser la négation des énoncés quantifiés.
- Raisonnement par l’absurde et contraposée — où De Morgan fournit le moteur de négation.
- Théorie des ensembles (cours complet) — les opérations \(\cup\), \(\cap\) et le complémentaire.
- Exercices corrigés Ensembles et applications (Prépa) — pour s’entraîner en conditions concours.
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