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En début d’année de prépa, la logique est le tout premier chapitre : c’est la grammaire commune à toutes les démonstrations que tu écriras pendant deux ans. Une table de vérité est l’outil le plus concret de cette grammaire : elle répond mécaniquement à la question « cette phrase logique est-elle vraie ? » en examinant tous les cas possibles. Dans cet article, tu vas apprendre à lire et construire une table pour chaque connecteur (négation, ET, OU, implication, équivalence), à démontrer des équivalences logiques et à éviter les pièges classiques — notamment la fameuse implication « vraie par défaut ».
Cadrage : ce cours traite les tables de vérité de la logique propositionnelle mathématique (celle des raisonnements et des démonstrations). Il ne traite pas les circuits électroniques, les bascules ni les portes logiques matérielles, qui relèvent d’une autre discipline.
I. Proposition, valeur de vérité et table
Tout part de la notion de proposition : une phrase mathématique à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité unique.
Définition — Proposition et valeur de vérité
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai (noté V, ou 1), soit faux (noté F, ou 0), mais jamais les deux à la fois. La valeur V ou F attribuée est appelée sa valeur de vérité.
Exemples : \(2+2=4\) est vraie ; \(3\) > \(5\) est fausse ; « \(x\) > \(0\) » n’est pas une proposition tant que \(x\) n’est pas fixé (c’est un prédicat).
À partir de propositions élémentaires, on construit des propositions composées à l’aide des connecteurs logiques. La valeur de vérité d’une proposition composée ne dépend que des valeurs de vérité de ses composantes : c’est exactement ce que décrit une table de vérité.
Définition — Table de vérité
La table de vérité d’une proposition composée est le tableau qui, à chaque combinaison possible des valeurs de vérité de ses propositions élémentaires, associe la valeur de vérité de la proposition composée.
Si la proposition dépend de \(n\) propositions élémentaires, la table possède \(2^n\) lignes.
Cette formule \(2^n\) est essentielle : avec 1 variable la table a 2 lignes, avec 2 variables 4 lignes, avec 3 variables 8 lignes. Elle découle directement du fait que chaque proposition élémentaire peut prendre 2 valeurs indépendamment des autres — c’est un cas particulier du produit cartésien appliqué à l’ensemble \(\{V,F\}\).
A. À quoi sert une table de vérité ?
Une table de vérité sert essentiellement à trois choses en mathématiques :
- Définir le sens exact d’un connecteur (que veut dire précisément « ou » ? que vaut une implication fausse ?) ;
- Démontrer qu’une équivalence logique est toujours vraie (par exemple les lois de De Morgan) ;
- Prouver qu’une proposition est une tautologie (toujours vraie) ou une contradiction (toujours fausse).
II. Les cinq connecteurs et leurs tables
Voici les cinq connecteurs fondamentaux. Chacun est entièrement défini par sa table : c’est la seule chose à retenir, tout le reste s’en déduit.
A. La négation ¬P
La négation inverse la valeur de vérité : elle transforme le vrai en faux et réciproquement.
| \(P\) | \(\neg P\) |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
On lit : « non \(P\) ». On note aussi \(\neg P\) ou \(\overline{P}\). Nier deux fois redonne la proposition de départ : \(\neg(\neg P) \Leftrightarrow P\) (double négation).
B. La conjonction (ET) : P ∧ Q
La conjonction « \(P\) et \(Q\) » n’est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies simultanément.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \wedge Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
La conjonction correspond, du côté ensembliste, à l’intersection : l’ensemble des \(x\) vérifiant « \(P(x)\) et \(Q(x)\) » est l’intersection des deux ensembles solutions.
C. La disjonction (OU inclusif) : P ∨ Q
La disjonction « \(P\) ou \(Q\) » est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie. C’est un « ou » inclusif : il autorise le cas où les deux sont vraies.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \vee Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Erreur classique : confondre le « ou » mathématique avec le « ou » du langage courant. Quand on dit « fromage ou dessert », on sous-entend « l’un ou l’autre mais pas les deux » : c’est un ou exclusif. En mathématiques, le \(\vee\) est toujours inclusif : \(P \vee Q\) est vraie même quand \(P\) et \(Q\) sont toutes deux vraies.
La disjonction correspond, du côté ensembliste, à la réunion ∪.
Toutes les tables de vérité et équivalences logiques sur une fiche
Les 5 connecteurs, la méthode en 5 étapes, De Morgan et la contraposée : l’essentiel du chapitre condensé en 1 page à garder sous les yeux.
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D. L’implication : P ⟹ Q
L’implication « si \(P\) alors \(Q\) » est le connecteur le plus subtil, et celui qui déroute le plus les débutants. Voici sa table.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
La seule ligne où l’implication est fausse est celle où \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse : une promesse « si l’hypothèse est vraie, la conclusion l’est aussi » n’est trahie que si l’hypothèse tient mais que la conclusion tombe. Dans tous les autres cas, l’implication est vraie.
Le point clé : l’implication « vide ». Quand \(P\) est fausse, \(P \Rightarrow Q\) est vraie quelle que soit \(Q\). On dit qu’elle est « vraie par vacuité ». Exemple : « s’il pleut des billets de 500 €, je suis riche » est une implication vraie… simplement parce que son hypothèse ne se réalise jamais. En maths : « \(0=1 \Rightarrow\) tout » est vraie. C’est exactement ce qui rend le raisonnement par l’absurde valide.
Une équivalence à connaître par cœur, car elle relie l’implication aux trois connecteurs précédents :
\((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee Q)\)Tu peux le vérifier en comparant la colonne \(P \Rightarrow Q\) ci-dessus à la colonne \(\neg P \vee Q\). C’est cette identité qui donne accès, via la négation, au raisonnement par l’absurde et par contraposée.
E. L’équivalence : P ⟺ Q
L’équivalence « \(P\) si et seulement si \(Q\) » est vraie exactement lorsque \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Leftrightarrow Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
L’équivalence est la conjonction des deux implications réciproques : \((P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow \big((P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P)\big)\). En pratique, démontrer une équivalence revient donc à démontrer les deux implications (« sens direct » et « réciproque »).
F. 🟠 Le OU exclusif (XOR) : P ⊻ Q
Complément fréquent en prépa et en NSI : le ou exclusif, noté \(P \oplus Q\) ou \(P \oplus Q\), vrai lorsque \(P\) et \(Q\) ont des valeurs différentes.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \oplus Q\) |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
On remarque que \(P \oplus Q\) est exactement la négation de l’équivalence : \((P \oplus Q) \Leftrightarrow \neg(P \Leftrightarrow Q)\).
III. Méthode : construire une table de vérité pas à pas
Maintenant que chaque connecteur est défini, construire la table d’une formule quelconque devient purement mécanique. Voici la méthode fiable en 5 étapes.
- Compter les variables. Repérer les propositions élémentaires distinctes (\(P\), \(Q\), \(R\)…). Le nombre de lignes est \(2^n\).
- Lister toutes les combinaisons. Remplir les colonnes de gauche de façon systématique (par convention : la première variable V sur la moitié haute, F sur la moitié basse, puis on divise par deux à chaque colonne). Cela garantit qu’aucun cas n’est oublié.
- Décomposer la formule. Ajouter une colonne intermédiaire par sous-formule, des plus internes (parenthèses, négations) vers les plus externes.
- Remplir colonne par colonne en appliquant la table du connecteur concerné à partir des colonnes déjà calculées.
- Lire la colonne finale et conclure (tautologie si tout est V, contradiction si tout est F, sinon proposition contingente).
Exemple modèle 🔵 : construire la table de \(\neg(P \wedge Q)\) à 2 variables.
Deux variables donc \(2^2 = 4\) lignes. On calcule d’abord \(P \wedge Q\), puis sa négation.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \wedge Q\) | \(\neg(P \wedge Q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
La colonne finale n’est ni tout-V ni tout-F : la proposition est contingente. Nous verrons dans la section suivante qu’elle est équivalente à \(\neg P \vee \neg Q\) — c’est l’une des lois de De Morgan.
Exemple 🟠 (3 variables) : vérifier la transitivité de l’implication, c’est-à-dire que \(\big((P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow R)\big) \Rightarrow (P \Rightarrow R)\) est une tautologie.
Trois variables donc \(2^3 = 8\) lignes. On calcule \(P \Rightarrow Q\), \(Q \Rightarrow R\), leur conjonction, \(P \Rightarrow R\), puis l’implication finale. Ligne après ligne, la colonne finale ne contient que des V : la formule est bien une tautologie. C’est la justification logique du fameux « enchaînement d’implications » dans les démonstrations.
IV. Tautologies, contradictions et équivalences logiques
Les tables de vérité ne servent pas qu’à définir : elles permettent de démontrer des lois logiques une fois pour toutes.
Définition — Tautologie et contradiction
Une proposition composée est une tautologie si elle est vraie pour toutes les valeurs de vérité de ses variables (colonne finale entièrement V). Elle est une contradiction (ou antilogie) si elle est fausse dans tous les cas.
Deux propositions \(A\) et \(B\) sont logiquement équivalentes, noté \(A \equiv B\) ou \(A \Leftrightarrow B\), lorsqu’elles ont la même colonne finale ; de façon équivalente, lorsque \(A \Leftrightarrow B\) est une tautologie.
A. Les équivalences classiques
Voici les équivalences logiques les plus utilisées en prépa. Chacune se démontre en dressant les deux tables et en constatant l’égalité des colonnes finales.
| Nom | Équivalence |
|---|---|
| Double négation | \(\neg(\neg P) \Leftrightarrow P\) |
| De Morgan (1) | \(\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)\) |
| De Morgan (2) | \(\neg(P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P \wedge \neg Q)\) |
| Implication | \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee Q)\) |
| Contraposée | \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)\) |
| Négation d’une implication | \(\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (P \wedge \neg Q)\) |
| Distributivité | \(P \wedge (Q \vee R) \Leftrightarrow (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\) |
B. Démonstration de la contraposée par table de vérité ⋆
Démontrons l’équivalence \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)\), qui fonde le raisonnement par contraposée.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) | \(\neg Q\) | \(\neg P\) | \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
Les colonnes \(P \Rightarrow Q\) et \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) sont identiques ligne par ligne : les deux propositions sont donc logiquement équivalentes. ∎
C’est cette équivalence qui autorise, quand une implication est difficile à prouver directement, de démontrer plutôt sa contraposée — technique détaillée dans le cours sur le raisonnement par contraposée.
C. Le pont vers De Morgan et les quantificateurs
Les lois de De Morgan possèdent une double lecture : une version logique (démontrable par table de vérité, comme ci-dessus pour \(\neg(P\wedge Q)\)) et une version ensembliste sur les complémentaires. Cette double preuve est développée dans le cours dédié aux lois de De Morgan.
Enfin, De Morgan se généralise à la négation d’énoncés quantifiés : nier « pour tout \(x\), \(P(x)\) » donne « il existe \(x\) tel que non \(P(x)\) ». C’est l’objet du cours sur les quantificateurs ∀ et ∃, qui prolonge naturellement les connecteurs vus ici.
V. Exemples d’application
Voici trois exemples représentatifs. Pour t’entraîner intensivement, la banque complète se trouve sur la page exercices corrigés ensembles et applications (Prépa).
Exemple 1 🔵 — Montrer que \(P \vee \neg P\) est une tautologie (principe du tiers exclu).
Correction : une variable, deux lignes. Si \(P\) est V, alors \(P \vee \neg P\) vaut V ; si \(P\) est F, alors \(\neg P\) est V donc \(P \vee \neg P\) vaut encore V. La colonne finale est V, V : c’est une tautologie. Toute proposition est vraie ou fausse, jamais entre les deux.
Exemple 2 🟠 — Prouver la première loi de De Morgan \(\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)\) par table de vérité.
Correction : on compare la colonne \(\neg(P\wedge Q)\) (déjà obtenue au III : F, V, V, V) à celle de \(\neg P \vee \neg Q\).
Pour (V,V) : \(\neg P \vee \neg Q = F \vee F = F\). Pour (V,F) : \(F \vee V = V\). Pour (F,V) : \(V \vee F = V\). Pour (F,F) : \(V \vee V = V\).
On obtient F, V, V, V, identique à la colonne de \(\neg(P\wedge Q)\). L’équivalence est démontrée. ∎
Exemple 3 🔴 (raisonnement) — Sans table de vérité, expliquer pourquoi \(\neg(P \Rightarrow Q)\) équivaut à \(P \wedge \neg Q\), et en déduire la négation de « pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\) ».
Correction : une implication n’est fausse que dans le cas unique « hypothèse vraie, conclusion fausse ». Nier \(P \Rightarrow Q\), c’est donc affirmer précisément ce cas : \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse, soit \(P \wedge \neg Q\). La négation d’une implication n’est jamais une implication.
Pour l’énoncé quantifié, la négation de « pour tout \(x\), (\(x^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)) » est « il existe \(x\) tel que \(x^2 \geq 0\) et \(x\) < \(0\) ». Le réel \(x = -1\) convient : c’est un contre-exemple, l’énoncé initial est donc faux.
VI. Pièges classiques à éviter
La logique propositionnelle est un domaine où les erreurs sont sournoises car « intuitives ». Voici les trois pièges qui coûtent le plus de points en colle et en concours.
Piège n°1 — Croire que « faux ⟹ quelque chose » est faux.
❌ Copie fautive : « L’implication \(0=1 \Rightarrow 2=3\) est fausse car les deux membres sont faux. »
🔍 Diagnostic : l’élève applique la table de l’équivalence à l’implication. Or dès que l’hypothèse est fausse, l’implication est vraie, quelle que soit la conclusion.
✅ Correction : \(0=1 \Rightarrow 2=3\) est vraie (par vacuité). Seule \(V \Rightarrow F\) est fausse.
Piège n°2 — Confondre réciproque et contraposée.
❌ Copie fautive : « L’implication \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(Q \Rightarrow P\). »
🔍 Diagnostic : la réciproque \(Q \Rightarrow P\) n’est pas équivalente à \(P \Rightarrow Q\) en général (leurs tables diffèrent). Seule la contraposée \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) l’est.
✅ Correction : \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)\), mais \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\) sont indépendantes.
Piège n°3 — Mal nier une conjonction ou une disjonction.
❌ Copie fautive : « \(\neg(P \wedge Q)\) = \(\neg P \wedge \neg Q\). »
🔍 Diagnostic : oubli de l’inversion ∧ ↔ ∨ dans les lois de De Morgan.
✅ Correction : \(\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)\). La négation d’un « et » est un « ou », et réciproquement.
VII. 🔴 Pour aller plus loin : les 16 connecteurs binaires
Un point rarement expliqué ailleurs, et pourtant éclairant. Une table de vérité à 2 variables possède \(4\) lignes ; la colonne finale est donc une suite de 4 valeurs (V ou F). Il existe exactement \(2^4 = 16\) telles colonnes, donc 16 connecteurs binaires possibles.
Parmi eux se trouvent tous ceux que nous avons vus (ET, OU, ⟹, ⟺, XOR), mais aussi la contradiction (colonne tout-F), la tautologie (colonne tout-V), le NON-ET (NAND) et le NON-OU (NOR). Un résultat remarquable de la logique : tout connecteur, quel que soit son nombre de variables, peut s’exprimer uniquement à partir de la négation et de la conjonction (ou à partir du seul NAND). C’est ce qu’on appelle un système complet de connecteurs — une idée qui prolonge naturellement ce chapitre vers la théorie de la démonstration.
Bonus interactif : un générateur de table de vérité en français est en cours d’intégration sur cette page. Il te permettra de saisir une formule (avec ¬ ∧ ∨ ⟹ ⟺) et d’obtenir la table complète, colonnes intermédiaires comprises. En attendant, la méthode en 5 étapes du III te rend totalement autonome.
VIII. Questions fréquentes
C'est quoi une table de vérité ?
Une table de vérité est un tableau qui donne la valeur de vérité (vrai ou faux) d’une proposition logique pour chaque combinaison possible des valeurs de ses composantes élémentaires. Si la proposition dépend de n variables, la table comporte 2^n lignes. Elle sert à définir les connecteurs, à démontrer des équivalences et à repérer les tautologies.
Comment construire une table de vérité ?
En cinq étapes : (1) compter les variables et déterminer le nombre de lignes (2^n) ; (2) lister systématiquement toutes les combinaisons de V et F ; (3) décomposer la formule en sous-formules ; (4) remplir une colonne par sous-formule, du plus interne au plus externe, en appliquant la table de chaque connecteur ; (5) lire la colonne finale pour conclure.
Pourquoi une implication avec une hypothèse fausse est-elle vraie ?
Parce qu’une implication ne fait qu’une promesse : « si l’hypothèse est vraie, alors la conclusion l’est aussi ». Cette promesse n’est trahie que lorsque l’hypothèse est vraie mais la conclusion fausse (ligne V ⟹ F). Dans tous les autres cas, y compris quand l’hypothèse est fausse, l’implication est vraie « par vacuité ». C’est précisément ce qui rend valide le raisonnement par l’absurde.
Quelle est la différence entre le OU inclusif et le OU exclusif ?
Le OU inclusif (∨), celui des mathématiques, est vrai dès qu’au moins une des deux propositions est vraie, y compris quand les deux le sont. Le OU exclusif (⊻ ou XOR) est vrai uniquement quand exactement une des deux est vraie : il devient faux si les deux sont vraies. En mathématiques, « ou » signifie toujours le OU inclusif, sauf mention explicite du contraire.
Quelle est la différence entre une table de vérité et un diagramme de Venn ?
Les deux décrivent la même logique mais dans deux langages. La table de vérité travaille sur des propositions (vrai/faux) et le connecteur (∧, ∨, ¬). Le diagramme de Venn travaille sur des ensembles et les opérations correspondantes (intersection, réunion, complémentaire). Le ET correspond à ∩, le OU à ∪, la négation au complémentaire : ce sont deux facettes du même chapitre, c’est pourquoi les lois de De Morgan admettent une double lecture.
À quoi servent les tables de vérité concrètement ?
En mathématiques, elles fondent toute la démonstration : elles justifient le raisonnement par contraposée, par l’absurde, l’enchaînement d’implications et la négation correcte d’énoncés. Elles servent aussi à prouver rigoureusement des équivalences logiques (De Morgan, distributivité) que l’on manipule ensuite sans y penser dans les preuves.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les connecteurs et la construction des tables de vérité. Pour consolider et prolonger :
- Les lois de De Morgan : double démonstration logique et ensembliste
- Raisonnement par l’absurde et par contraposée
- Les quantificateurs ∀ et ∃ et la négation d’énoncés quantifiés
- Théorie des ensembles : le cours complet du cocon
- Exercices corrigés : ensembles, applications et logique (Prépa)
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