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En maths, un contre-exemple est l’arme la plus économique qui existe : un seul cas bien choisi suffit à faire tomber une propriété annoncée pour « tous » les nombres, toutes les fonctions ou toutes les suites. Là où prouver « pour tout » demande une démonstration complète, réfuter ne demande qu’un exemple. Encore faut-il savoir le trouver et le rédiger correctement. Voici la méthode.
Qu’est-ce qu’un contre-exemple en maths ?
Un contre-exemple sert à réfuter une proposition, c’est-à-dire à montrer qu’elle est fausse. Il ne s’applique pas à n’importe quelle affirmation : il vise les propositions universelles, celles qui commencent par « pour tout » ou « tout … est … ».
Définition — Contre-exemple
Soit une proposition de la forme « pour tout \(x\), la propriété \(P(x)\) est vraie ». Un contre-exemple est un objet \(x_0\) précis pour lequel \(P(x_0)\) est fausse. Son existence prouve que la proposition universelle est fausse.
Reformulé en langage courant : si quelqu’un affirme « tous les corbeaux sont noirs », il suffit d’exhiber un seul corbeau blanc pour le contredire. En maths, c’est exactement pareil, mais avec des nombres ou des fonctions.
Ce mécanisme repose sur la négation d’un énoncé quantifié. La négation de « pour tout \(x\), \(P(x)\) » est « il existe \(x\) tel que \(P(x)\) est faux ». Trouver un contre-exemple, c’est donc rendre vraie cette négation en exhibant ce fameux \(x\). Pour approfondir ce point, va voir les quantificateurs ∀ et ∃.
L’asymétrie clé : un exemple ne prouve jamais une propriété universelle, mais un seul contre-exemple la détruit. Vérifier une formule sur 100 valeurs ne démontre rien ; trouver une seule valeur qui la met en défaut suffit à conclure.
Contre-exemple, exception ou cas particulier : ne pas confondre
Trois mots reviennent souvent et sèment la confusion. Un contre-exemple réfute, un cas particulier illustre, et une « exception » relève du langage courant, pas des maths. Le tableau ci-dessous fixe les idées.
| Notion | Ce qu’elle fait | Effet sur une proposition « pour tout x, P(x) » |
|---|---|---|
| Contre-exemple | Un \(x_0\) où \(P(x_0)\) est faux | Prouve que la proposition est fausse |
| Cas particulier | Un \(x_0\) où \(P(x_0)\) est vrai | Ne prouve rien (illustre au mieux) |
| Exception | Mot du langage courant | N’existe pas en maths : une propriété fausse pour un cas est fausse, point |
Retiens surtout ce piège de vocabulaire : en mathématiques, une propriété universelle n’a pas d’« exception ». Dès qu’un cas la contredit, elle est fausse dans sa formulation universelle — il faudra la reformuler avec une hypothèse supplémentaire.
La méthode du contre-exemple en fiche recto-verso
Les 4 étapes, les cas limites à tester en réflexe et un modèle de rédaction prêt à recopier sur ta copie.
📄 Télécharger la fiche méthodeGratuit — prêt à imprimer et à glisser dans ton classeur.
Quand utiliser un contre-exemple ?
Le contre-exemple n’est qu’un outil parmi d’autres. La question centrale est : dois-je prouver ou réfuter ? Si l’énoncé te demande de montrer qu’une propriété est vraie pour tout objet, un exemple ne suffira jamais. Si au contraire tu penses qu’elle est fausse, un contre-exemple est la voie la plus rapide.
| Indice dans l’énoncé | Objectif | Méthode adaptée |
|---|---|---|
| « Cette proposition est-elle vraie ? » (tu penses que non) | Réfuter | Contre-exemple |
| « La réciproque est-elle vraie ? » | Souvent réfuter | Contre-exemple |
| « Montrer que pour tout \(x\), \(P(x)\) » | Prouver | Démonstration directe, récurrence ou absurde |
| « Il existe \(x\) tel que… » | Prouver une existence | Exhiber un exemple (ce n’est pas un contre-exemple) |
| « Étudier tous les cas selon le signe de \(x\) » | Prouver en séparant | Disjonction de cas |
Attention au sens de la démonstration : exhiber un objet qui vérifie une existence (« il existe un \(x\) tel que … ») est un exemple, pas un contre-exemple. Le contre-exemple ne sert qu’à faire tomber un « pour tout ».
La méthode pas à pas pour trouver un contre-exemple
Chercher un contre-exemple au hasard est une perte de temps. Il faut procéder méthodiquement, en explorant d’abord les cas les plus simples et les cas « limites ».
Étape 1 — Repérer la proposition universelle. Identifie le « pour tout » (parfois caché : « le carré d’un nombre est plus grand que ce nombre » est un « pour tout nombre »).
Étape 2 — Écrire ce que doit vérifier le contre-exemple. Nie la propriété. Tu cherches un objet \(x_0\) tel que \(P(x_0)\) soit fausse. Formule précisément cette condition.
Étape 3 — Explorer les cas simples et les cas limites. Les contre-exemples se cachent presque toujours dans les mêmes endroits : \(0\), \(1\), les nombres négatifs, les fractions entre \(0\) et \(1\), l’ensemble vide, ou les valeurs qui « cassent » l’hypothèse implicite.
Étape 4 — Vérifier, puis rédiger. Une fois un candidat trouvé, vérifie explicitement que la propriété est bien fausse pour lui. Un contre-exemple non vérifié n’a aucune valeur sur une copie.
Le réflexe des cas limites : avant de chercher loin, teste \(0\), \(1\), \(-1\) et \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Dans la grande majorité des exercices de lycée, le contre-exemple est là.
Exemples résolus par niveau
La même méthode s’applique de la Seconde à la prépa : seule change la nature des objets manipulés (nombres, puis suites, puis fonctions).
🟢 Seconde — le carré d’un nombre
Proposition : « Pour tout nombre \(x\), on a \(x^2\) > \(x\). » Vraie ou fausse ?
Étape 3 (cas limites) : testons une fraction entre \(0\) et \(1\). Prenons \(x_0 = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Vérification : \(x_0^2 = \displaystyle\frac{1}{4}\) et \(\displaystyle\frac{1}{4}\) < \(\displaystyle\frac{1}{2}\). La propriété \(x^2\) > \(x\) est donc fausse pour \(x_0 = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Conclusion : la proposition est fausse. ∎
🟢 Première — suites bornées
Proposition : « Toute suite bornée est convergente. »
Contre-exemple : la suite définie par \(u_n = (-1)^n\). Elle est bornée (tous ses termes valent \(-1\) ou \(1\)), mais elle ne converge pas : elle oscille entre \(-1\) et \(1\) sans se stabiliser.
Conclusion : une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. La proposition est fausse. ∎
🟡 Terminale — dérivée qui s’annule
Proposition : « Si \(f^\prime(a) = 0\), alors \(f\) admet un extremum en \(a\). »
Contre-exemple : la fonction \(f(x) = x^3\) et le point \(a = 0\). On a \(f^\prime(x) = 3x^2\), donc \(f^\prime(0) = 0\).
Vérification : pourtant \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (car \(f^\prime(x) = 3x^2 \geq 0\)). Elle n’admet donc aucun extremum en \(0\) : c’est un point d’inflexion à tangente horizontale.
Conclusion : une dérivée nulle n’implique pas un extremum. La proposition est fausse. ∎
🔴 Prépa — continuité et dérivabilité
Proposition : « Toute fonction continue sur \(\mathbb{R}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). »
Contre-exemple : la fonction valeur absolue \(f(x) = \vert x \vert\). Elle est continue sur \(\mathbb{R}\), mais elle n’est pas dérivable en \(0\) : le taux d’accroissement tend vers \(-1\) à gauche et \(+1\) à droite, donc la limite n’existe pas.
Conclusion : la continuité n’entraîne pas la dérivabilité. La proposition est fausse. ∎
En prépa, la banque de contre-exemples classiques est un véritable outil de travail (voir la section « Pour aller plus loin »).
Rédiger un contre-exemple sur ta copie
Un bon contre-exemple mal rédigé perd des points. Le correcteur attend une structure fixe, en trois temps. Voici le modèle rédigé intégralement.
Modèle de rédaction :
« La proposition est fausse. En effet, considérons \(x_0 = \ldots\). On a alors \(P(x_0) : \ldots\) (calcul explicite), ce qui contredit l’énoncé. Le nombre \(x_0\) est donc un contre-exemple, et la proposition est fausse. »
Trois points font la différence sur une copie :
- Annoncer d’abord la conclusion (« la proposition est fausse »). Le correcteur sait immédiatement où tu vas.
- Un seul contre-exemple suffit : inutile d’en donner trois. Un objet bien choisi et vérifié vaut mieux que dix candidats flous.
- Vérifier explicitement par un calcul. Écrire « prenons \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) » sans montrer que \(\displaystyle\frac{1}{4}\) < \(\displaystyle\frac{1}{2}\) est incomplet.
Les erreurs fréquentes
Voici les fautes que l’on voit le plus souvent en classe et en colle, avec leur correction.
Erreur 1 — Croire qu’un exemple prouve une propriété universelle.
❌ Copie fautive : « \(2^2 = 4\) > \(2\), donc \(x^2\) > \(x\) pour tout \(x\). »
🔍 Diagnostic : un cas qui vérifie ne prouve rien pour « tous » les nombres.
✅ Correction : pour prouver un « pour tout », il faut une démonstration générale ; pour le réfuter, un contre-exemple (\(\displaystyle\frac{1}{2}\)) suffit.
Erreur 2 — Donner un « contre-exemple » qui vérifie en fait la propriété.
❌ Copie fautive : réfuter « toute suite croissante diverge » avec \(u_n = n\).
🔍 Diagnostic : \(u_n = n\) diverge bien, donc elle confirme la propriété, elle ne la contredit pas.
✅ Correction : il faut une suite croissante qui converge, comme \(u_n = 1 - \displaystyle\frac{1}{n}\), qui croît et tend vers \(1\).
Erreur 3 — Confondre la proposition et sa réciproque.
🔍 Diagnostic : réfuter « si \(f\) est dérivable alors \(f\) est continue » (qui est vraie !) au lieu de sa réciproque.
✅ Correction : identifie bien quelle implication tu cherches à casser. La réciproque « si \(f\) est continue alors \(f\) est dérivable » est, elle, fausse (\(\vert x \vert\)).
Une dernière erreur, plus discrète : oublier de vérifier son contre-exemple. En colle comme au concours, un candidat proposé sans vérification est compté comme non traité.
Pour aller plus loin : contre-exemples classiques en prépa
🔴 En classe préparatoire et en L1, le contre-exemple devient un réflexe permanent : dès qu’un énoncé « pour tout » semble trop beau, on cherche le cas qui le fait tomber. Certains contre-exemples sont si utiles qu’ils deviennent des objets à connaître par cœur.
- Récurrence : 15 Exercices Corrigés de Terminale (avec PDF)
- Théorème Fondamental de l’Arithmétique : Cours, Démonstration et Exercices Corrigés
- Arithmétique : Définition, Théorèmes et Cours, du Collège à la Prépa
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
Ces exemples montrent que le contre-exemple n’est pas qu’un truc scolaire : c’est un moteur de la recherche mathématique, servant à délimiter précisément le domaine de validité des théorèmes. Pour t’entraîner au niveau supérieur, va voir les 20 exercices corrigés d’ensembles, applications et relations (Prépa).
Exercices corrigés
Applique la méthode. Cherche d’abord le contre-exemple toi-même avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 (★). La proposition « la somme de deux nombres impairs est impaire » est-elle vraie ?
Voir la correction — Exercice 1
La proposition est fausse. Considérons \(3\) et \(5\), deux nombres impairs. Leur somme vaut \(3 + 5 = 8\), qui est pair. On a donc un contre-exemple : la proposition est fausse (la somme de deux impairs est toujours paire). ∎
Exercice 2 (★). Vrai ou faux : « pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = x\) » ?
Voir la correction — Exercice 2
La proposition est fausse. Prenons \(x_0 = -3\). Alors \(x_0^2 = 9\) et \(\sqrt{9} = 3 \neq -3\). Donc \(\sqrt{x_0^2} \neq x_0\) : contre-exemple trouvé. En réalité \(\sqrt{x^2} = \vert x \vert\). ∎
Exercice 3 (★★). « Si un produit \(ab = 0\) alors \(a = 0\). » Réfute cette proposition.
Voir la correction — Exercice 3
La proposition est fausse. Considérons \(a = 5\) et \(b = 0\) : on a \(ab = 0\) avec \(a \neq 0\). Ce cas contredit la proposition : \(a\) peut être non nul si \(b = 0\). La règle correcte est : \(ab = 0\) équivaut à \(a = 0\) ou \(b = 0\). ∎
Exercice 4 (★★). Un élève affirme : « toute fonction croissante sur \(\mathbb{R}\) tend vers \(+\infty\) ». A-t-il raison ?
Voir la correction — Exercice 4
Non, la proposition est fausse. Considérons \(f(x) = \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\), qui est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et pourtant elle tend vers \(1\) en \(+\infty\), pas vers \(+\infty\). Une fonction croissante peut être bornée : contre-exemple validé. ∎
Exercice 5 (★★★). Raisonnement : « si \(f\) et \(g\) ne sont pas dérivables en \(a\), alors \(f + g\) n’est pas dérivable en \(a\). » Réfute cette proposition.
Voir la correction — Exercice 5
La proposition est fausse. Considérons \(f(x) = \vert x \vert\) et \(g(x) = -\vert x \vert\). Aucune des deux n’est dérivable en \(0\). Pourtant leur somme \(f(x) + g(x) = 0\) est la fonction nulle, dérivable partout, y compris en \(0\). La somme de deux fonctions non dérivables peut donc être dérivable : contre-exemple validé. ∎
Le contre-exemple selon ton niveau
| 🟢 Seconde | 🟡 Terminale | 🔴 Prépa & L1 |
|---|---|---|
| Réfuter une propriété de nombres ou de fonctions simples | Contre-exemples avec suites et fonctions (dérivées, continuité) | Contre-exemples classiques d’analyse, rigueur de rédaction en colle |
Selon ton niveau, retrouve l’accompagnement adapté : cours de Seconde, cours de Terminale ou prépa scientifique.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un contre-exemple en maths ?
Un contre-exemple est un cas précis qui rend fausse une proposition universelle (« pour tout … »). Par exemple, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) est un contre-exemple à « le carré d’un nombre est toujours plus grand que ce nombre », car \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{1}{4}\) est plus petit que \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Comment faire un contre-exemple ?
Repère la proposition « pour tout », écris ce que ton contre-exemple doit vérifier, explore les cas simples et limites (\(0\), \(1\), nombres négatifs, fractions), puis vérifie explicitement par un calcul que la propriété est bien fausse pour ta valeur.
Un seul contre-exemple suffit-il ?
Oui. Un unique contre-exemple bien choisi et vérifié suffit à prouver qu’une proposition universelle est fausse. Inutile d’en donner plusieurs : le correcteur attend un cas net, pas une accumulation.
Quelle est la différence entre un contre-exemple et un cas particulier ?
Un contre-exemple est un cas où la propriété est fausse : il réfute la proposition. Un cas particulier est un cas où la propriété est vraie : il illustre, mais ne prouve rien. Vérifier une formule sur cent cas particuliers ne la démontre jamais.
Peut-on démontrer une propriété avec des exemples ?
Non. Aucun nombre d’exemples ne prouve une propriété universelle : il faut une démonstration générale (calcul, récurrence, ou absurde). C’est l’asymétrie fondamentale : on prouve par démonstration, on réfute par contre-exemple.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le raisonnement par contre-exemple. Pour consolider tes bases en logique et démonstration :
- Récurrence : 15 Exercices Corrigés de Terminale (avec PDF)
- Théorème Fondamental de l’Arithmétique : Cours, Démonstration et Exercices Corrigés
- Arithmétique : Définition, Théorèmes et Cours, du Collège à la Prépa
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
