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Tu tombes sur \(\sqrt{72}\) dans un exercice de Pythagore et ta calculatrice affiche 8,485281374… ? Ce n’est pas une bonne réponse : au collège comme au lycée, on te demande une valeur exacte, c’est-à-dire \(6\sqrt{2}\). Simplifier une racine carrée, c’est justement écrire ce nombre sous sa forme la plus courte et la plus propre. Dans cet article, tu vas apprendre une méthode en 3 étapes qui marche à tous les coups, avec des exemples déroulés du début à la fin.
I. La propriété qui rend tout possible
Avant la méthode, il faut connaître une seule règle. C’est elle qui permet de « couper » une racine carrée en deux morceaux, dont l’un se simplifie.
Propriété — Racine carrée d’un produit
Pour deux nombres positifs \(a\) et \(b\) :
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.
Cette règle est le cœur de toute la méthode. L’idée est simple : si un nombre sous la racine peut s’écrire comme un carré parfait multiplié par autre chose, alors on sort le carré parfait de la racine.
Rappelle-toi qu’un carré parfait est le carré d’un nombre entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Leur racine carrée « tombe juste » :
\(\sqrt{4} = 2 \quad ; \quad \sqrt{9} = 3 \quad ; \quad \sqrt{36} = 6 \quad ; \quad \sqrt{100} = 10\)Le réflexe à avoir : quand tu vois une racine carrée « moche » comme \(\sqrt{72}\), cherche le plus grand carré parfait qui divise 72. Ici c’est 36, car \(72 = 36 \times 2\). C’est tout le secret.
II. Simplifier, calculer ou rationaliser : quoi faire, quand ?
« Simplifier une racine carrée » n’est pas la seule chose qu’on peut faire avec un radical. Avant de te lancer, assure-toi que c’est bien la simplification qu’on te demande. Le tableau ci-dessous te situe la méthode par rapport aux techniques voisines.
| Ce qu’on te demande | La bonne technique | Ce que tu obtiens | Exemple |
|---|---|---|---|
| Écrire le nombre sous sa forme exacte la plus courte | Simplifier (cette page) | Une valeur exacte : \(a\sqrt{b}\) | \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) |
| Obtenir une valeur numérique approchée | Calculer | Un nombre décimal approché | \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) |
| Enlever la racine d’un dénominateur | Rationaliser (expression conjuguée) | Une fraction sans racine en bas | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| Décomposer un grand nombre difficile | Décomposition en facteurs premiers | Un produit de nombres premiers | \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) |
Retiens la distinction essentielle : simplifier donne une valeur exacte (avec le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\)), alors que calculer donne une valeur approchée (un nombre à virgule). Ce sont deux objectifs différents. Passons maintenant à la méthode elle-même.
La fiche méthode « Simplifier une racine carrée »
Les 3 étapes, l’arbre de décision et un exemple modèle sur une seule page recto-verso, à imprimer.
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III. La méthode en 3 étapes
Voici la méthode qui fonctionne à tous les coups. Elle repose entièrement sur la propriété de la partie I.
Méthode — Simplifier une racine carrée
- Étape 1. Cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
- Étape 2. Écris le nombre comme un produit : (ce carré parfait) × (ce qui reste).
- Étape 3. Sépare la racine avec la propriété du produit, puis sors le carré parfait de la racine.
Déroulons ces trois étapes sur \(\sqrt{72}\) :
Exemple guidé — Simplifier \(\sqrt{72}\)
Étape 1 : le plus grand carré parfait qui divise 72 est 36 (car \(72 = 36 \times 2\)).
Étape 2 : \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}\)
Étape 3 : \(\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
Résultat : \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). C’est la forme simplifiée exacte.
Le piège du « pas assez simplifié » : si tu prends un carré parfait qui n’est pas le plus grand, tu obtiens une réponse encore simplifiable. Exemple : \(\sqrt{72} = \sqrt{4 \times 18} = 2\sqrt{18}\). Ce n’est pas faux, mais \(\sqrt{18}\) se simplifie encore ! Pour éviter ça, prends toujours le plus grand carré parfait dès le départ.
IV. Exemples résolus, du plus simple au plus corsé
On monte progressivement en difficulté. Les badges t’indiquent le niveau : 🟢 pour la 3ème, 🟡 pour la Seconde.
🟢 Exemple 1 — \(\sqrt{50}\)
Le plus grand carré parfait divisant 50 est 25 (car \(50 = 25 \times 2\)).
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
🟢 Exemple 2 — \(\sqrt{48}\)
Le plus grand carré parfait divisant 48 est 16 (car \(48 = 16 \times 3\)).
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\)
🟡 Exemple 3 — Une somme de racines : \(\sqrt{12} + \sqrt{27}\)
On simplifie chaque racine séparément :
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\)
Les deux ont le même « \(\sqrt{3}\) » : on peut les additionner comme des objets identiques.
\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
🟡 Exemple 4 — Une fraction : \(\displaystyle\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}\)
On peut d’abord regrouper sous une seule racine : \(\displaystyle\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\).
Ici la simplification tombe même sur un nombre entier : bonne nouvelle !
V. L’autre méthode : la décomposition en facteurs premiers
Quand le nombre sous la racine est grand et que tu ne « vois » pas tout de suite le bon carré parfait, il existe une méthode systématique et infaillible : la décomposition en facteurs premiers.
Principe : décompose le nombre en facteurs premiers, puis regroupe les facteurs par paires identiques. Chaque paire sort de la racine sous forme d’un seul facteur.
Simplifier \(\sqrt{360}\)
Décomposition : \(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\).
On regroupe les paires : \(360 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 2 \times 5\).
Chaque paire sort en un seul facteur : le \((2\times 2)\) donne 2, le \((3 \times 3)\) donne 3. Il reste \(2 \times 5 = 10\) sous la racine.
\(\sqrt{360} = 2 \times 3 \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}\)
Les deux méthodes donnent le même résultat. Utilise le repérage direct du carré parfait pour les petits nombres, et la décomposition en facteurs premiers pour les grands nombres qui te résistent.
VI. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — Découper une somme comme un produit
❌ Copie fautive : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Diagnostic : la propriété du produit ne marche que pour une multiplication, jamais pour une addition.
✅ Correction : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Retiens : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Erreur n°2 — Oublier de finir la simplification
❌ Copie fautive : \(\sqrt{32} = 2\sqrt{8}\).
Diagnostic : 4 divise bien 32, mais ce n’est pas le plus grand carré parfait, et \(\sqrt{8}\) se simplifie encore.
✅ Correction : \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\).
Erreur n°3 — Multiplier le facteur sorti par le facteur resté
❌ Copie fautive : \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 9 \times 2 = 18\) (l’élève « oublie » la racine).
Diagnostic : seul le carré parfait sort de la racine, l’autre facteur reste sous le symbole.
✅ Correction : \(\sqrt{18} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
VII. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton brouillon avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Simplifier une racine simple ★
Simplifie \(\sqrt{75}\).
Voir la correction de l’exercice 1
Le plus grand carré parfait divisant 75 est 25, car \(75 = 25 \times 3\).
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)Résultat : \(\sqrt{75} = \mathbf{5\sqrt{3}}\).
Exercice 2 — Un nombre plus grand ★★
Simplifie \(\sqrt{500}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Le plus grand carré parfait divisant 500 est 100, car \(500 = 100 \times 5\).
\(\sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5}\)Résultat : \(\sqrt{500} = \mathbf{10\sqrt{5}}\).
Exercice 3 — Une somme de racines 🟡 ★★
Écris \(\sqrt{8} + \sqrt{18}- \sqrt{2}\) sous la forme \(a\sqrt{2}\).
Voir la correction de l’exercice 3
On simplifie chaque racine pour faire apparaître \(\sqrt{2}\) partout :
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\) \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)On remplace, puis on additionne comme des objets identiques :
\(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}- \sqrt{2} = (2 + 3- 1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)Résultat : \(\mathbf{4\sqrt{2}}\).
Exercice 4 — Raisonnement avec Pythagore 🟡 ★★★
Un triangle est rectangle. Ses deux côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 12 cm. Sans calculatrice, donne la longueur exacte simplifiée de l’hypoténuse.
Voir la correction de l’exercice 4
D’après le théorème de Pythagore, si \(h\) est l’hypoténuse :
\(h^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180\)Donc \(h = \sqrt{180}\). On simplifie : le plus grand carré parfait divisant 180 est 36, car \(180 = 36 \times 5\).
\(\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\)L’hypoténuse mesure exactement \(\mathbf{6\sqrt{5}}\) cm. C’est bien un exemple où simplifier est indispensable : Pythagore fait presque toujours apparaître des racines carrées à simplifier.
Besoin de plus d’entraînement ? Retrouve nos 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème) pour t’exercer jusqu’à l’automatisme.
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VIII. Questions fréquentes
Comment simplifier une racine carrée sans calculatrice ?
En trois étapes : cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine, écris ce nombre comme un produit (carré parfait × ce qui reste), puis sors le carré parfait de la racine. Par exemple, \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\). Aucune calculatrice n’est nécessaire, seulement la table des carrés parfaits.
Peut-on simplifier toutes les racines carrées ?
Non. Une racine carrée se simplifie uniquement si le nombre sous la racine possède un carré parfait comme facteur (autre que 1). Par exemple, \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{2}\) ou \(\sqrt{3}\) ne se simplifient pas : ils sont déjà sous leur forme la plus simple. En revanche \(\sqrt{12}\) se simplifie en \(2\sqrt{3}\).
Quelle est la différence entre simplifier et calculer une racine carrée ?
Simplifier donne une valeur exacte conservant le symbole racine (comme \(5\sqrt{2}\)). Calculer donne une valeur approchée sous forme de nombre décimal (comme \(7{,}07\)). Au collège, on demande presque toujours la forme exacte simplifiée. Pour la valeur approchée, consulte notre méthode pour calculer une racine carrée sans calculatrice.
Comment simplifier racine carrée de 12 ?
Le plus grand carré parfait divisant 12 est 4, car \(12 = 4 \times 3\). Donc \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). La forme simplifiée de \(\sqrt{12}\) est \(2\sqrt{3}\).
Comment simplifier une fraction contenant des racines carrées ?
Deux cas. Si la racine est au numérateur, simplifie-la puis réduis la fraction : \(\displaystyle\frac{\sqrt{18}}{3} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}\). Si la racine est au dénominateur, il faut la faire disparaître grâce à l’expression conjuguée : c’est ce qu’on appelle rationaliser le dénominateur.
À quoi sert de savoir simplifier une racine carrée ?
C’est indispensable pour donner des résultats exacts en géométrie, notamment avec le théorème de Pythagore où les longueurs sont souvent des racines carrées. C’est aussi la base pour additionner des racines, résoudre des équations irrationnelles et travailler avec des nombres comme la racine carrée de 2 au lycée.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant simplifier n’importe quelle racine carrée. Pour continuer à progresser :
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème)
- Simplifier une fraction : la méthode expliquée pas à pas
- Les puissances de 2 : tableau de 2⁰ à 2²⁰, calcul et exemples
- Au lycée, simplifier les racines devient un réflexe pour dériver et intégrer : découvre le Tableau des dérivées usuelles : formules, règles et exemples.
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