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Une somme double est une somme indexée par deux indices, par exemple \(i\) et \(j\). On la calcule en sommant d’abord sur un indice, puis sur l’autre. Deux situations gouvernent tout le chapitre : le domaine rectangulaire (les indices varient indépendamment) et le domaine triangulaire (un indice dépend de l’autre). Cet article te donne la méthode complète, les démonstrations et les exercices.
Au programme — Prépa 1re année (MPSI, PCSI, MP2I, aussi ECG1 et BCPST1), chapitre « Calculs algébriques » : sommes doubles, interversion des sommes, sommes triangulaires, produit de deux sommes. Le réflexe « dessiner le domaine d’indices » est aussi utile en spé (produit matriciel, Cauchy-Schwarz).
I. Qu’est-ce qu’une somme double ?
Une somme double additionne des nombres \(a_{i,j}\) rangés dans un tableau à deux entrées, repérés par une ligne \(i\) et une colonne \(j\). L’écriture la plus courante est :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} a_{i,j}\)Le symbole intérieur se lit « pour chaque \(i\) fixé, je somme sur tous les \(j\) » ; le symbole extérieur ajoute ensuite tous ces résultats. L’ensemble des couples \((i,j)\) parcourus s’appelle le domaine d’indices — c’est un sous-ensemble du produit cartésien des deux intervalles d’entiers.
Définition — Somme double rectangulaire
Lorsque \(i\) varie de \(1\) à \(n\) et \(j\) de \(1\) à \(m\) indépendamment, on parle de somme double rectangulaire. Le domaine est le rectangle \(\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}\), soit \(n\times m\) termes.
Visualiser le domaine comme une grille de points est le geste le plus rentable du chapitre : toutes les techniques qui suivent reviennent à relire cette grille dans un autre ordre.
II. Somme rectangulaire : intervertir les deux sommes
Sur un domaine rectangulaire, on peut toujours échanger l’ordre des deux sommes : sommer ligne par ligne ou colonne par colonne revient au même, puisqu’on additionne exactement les mêmes termes.
Propriété — Interversion sur un rectangle
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} a_{i,j} \;=\; \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_{i,j}\)
Les bornes de chaque indice étant constantes, elles ne changent pas lors de l’échange.
Le cas le plus utile est celui où le terme général se factorise en un facteur ne dépendant que de \(i\) et un autre ne dépendant que de \(j\). On peut alors sortir chaque facteur de la somme sur l’autre indice :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} b_i\,c_j \;=\; \left(\sum_{i=1}^{n} b_i\right)\!\left(\sum_{j=1}^{m} c_j\right)\)
Exemple : calculer \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} i\,j\).
Le terme \(i\,j\) est un produit séparé : \(b_i = i\) et \(c_j = j\). Donc
\(\displaystyle S = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\!\left(\sum_{j=1}^{n} j\right) = \left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)
Vérification pour \(n=2\) : \(1\cdot1+1\cdot2+2\cdot1+2\cdot2 = 9\), et \((2\cdot3/2)^2 = 9\) ✓
Cette factorisation s’appuie sur les sommes usuelles rassemblées sur la page sommes et produits. La possibilité de séparer le terme et la forme du domaine sont deux questions différentes. Étudions maintenant un domaine triangulaire.
La fiche-méthode « Sommes doubles » en recto-verso
Interversion, domaine triangulaire, produit de deux sommes : tout le protocole des 4 étapes et les formules usuelles réunis sur une fiche recto-verso imprimable.
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III. Somme triangulaire : réécrire les bornes
Lorsque les bornes d’un indice dépendent de l’autre, le domaine doit être décrit précisément : il n’est pas nécessairement triangulaire. Ici, la condition \(1\leq i\leq j\leq n\) définit un triangle d’indices.
On peut l’écrire de deux façons, selon l’indice qu’on fixe en premier :
\(\displaystyle\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{i,j} \;=\; \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} a_{i,j} \;=\; \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} a_{i,j}\)
Le réflexe qui évite toutes les erreurs : quand on intervertit une somme triangulaire, les bornes dépendantes changent de place. Si \(j\) est fixé et \(i\) va de \(1\) à \(j\), alors en fixant \(i\), c’est \(j\) qui va de \(i\) à \(n\). Lis-le directement sur le dessin du domaine.
Une somme triangulaire se relie souvent à une somme rectangulaire par une symétrie. Si \(a_{i,j}\) est symétrique (c’est-à-dire \(a_{i,j}=a_{j,i}\)), le carré complet se décompose en triangle inférieur + triangle supérieur − diagonale :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,j} = 2\!\!\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! a_{i,j} + \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}\)
Ne pas confondre avec les nombres triangulaires. Le mot « triangulaire » désigne ici la forme du domaine d’indices. Les « nombres triangulaires » \(1, 3, 6, 10,\dots\) sont une autre notion : ce sont les valeurs de la somme des n premiers entiers \(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\).
IV. Produit de deux sommes et carré d’une somme
Un point souvent flou : la différence entre une somme de produits et un produit de sommes. Ce sont deux objets distincts.
Propriété — Développer un produit de sommes
\(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\!\left(\sum_{j=1}^{m} b_j\right) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} a_i\,b_j\)
Un produit de deux sommes est donc une somme double rectangulaire. En revanche, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) (la somme des produits « terme à terme ») n’a rien à voir : on y impose \(i=j\).
Le cas du carré d’une somme est l’application la plus demandée en colle :
\(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_i a_j = \sum_{i=1}^{n} a_i^{2} + 2\!\!\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! a_i a_j\)
On a isolé la diagonale \(i=j\) (qui donne \(\sum a_i^2\)) et regroupé les deux triangles symétriques (facteur \(2\)). Ce découpage est au cœur de nombreuses inégalités, dont l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
V. Méthode : calculer une somme double en 4 étapes
Face à n’importe quelle somme double, applique toujours le même protocole.
- Dessine le domaine d’indices. Rectangle ? Triangle ? Autre forme (par exemple \(|i-j|\leq 1\)) ? C’est l’étape qui débloque tout.
- Choisis l’ordre de sommation le plus simple. Fixe l’indice qui rend la somme intérieure calculable avec une formule connue.
- Calcule la somme intérieure, puis la somme extérieure. Réutilise les sommes usuelles (\(\sum k\), \(\sum k^2\), géométrique…).
- Vérifie sur une petite valeur (\(n=2\) ou \(n=3\)) en comptant les termes à la main.
Pour savoir quelle technique dégainer selon la tête du problème, voici le tableau de décision à mémoriser.
| Comment reconnaître | Domaine | Technique à appliquer |
|---|---|---|
| Terme séparable \(a_{i,j}=b_i c_j\) | Rectangle | Factoriser en produit de deux sommes |
| Terme non séparable, bornes constantes | Rectangle | Intervertir, sommer dans l’ordre le plus facile |
| Condition \(i \leq j\) (ou \(i \lt j\)) | Triangle | Réécrire les bornes ou utiliser rectangle − diagonale |
| Terme \(\min(i,j)\), \(\max(i,j)\), \(|i-j|\) | À découper | Partager le carré en triangles selon le signe de \(i-j\) |
Pour aller plus loin que la somme double, deux techniques voisines prennent le relais : la somme télescopique (termes qui s’annulent deux à deux) et la transformation d’Abel, qui se démontre justement par interversion d’une somme double.
A. 🔴 Rédiger une interversion dans une copie
En colle comme en DS, le correcteur attend trois choses précises lors d’une interversion.
Ce que vérifie le correcteur :
- Le domaine est décrit en une ligne : « on somme sur les couples \((i,j)\) tels que \(1 \leq i \leq j \leq n\) ».
- Les bornes sont écrites avant et après l’échange, sans saut logique.
- La justification tient en une phrase : « les deux écritures décrivent le même domaine d’indices ».
Un simple dessin au brouillon suffit à ne jamais te tromper de bornes ; sur la copie, c’est la phrase qui compte.
VI. Applications classiques
Les sommes doubles ne sont pas un jeu formel : elles structurent plusieurs chapitres entiers.
- Produit matriciel. Le coefficient \((i,j)\) de \(AB\) est une somme simple, mais la trace \(\mathrm{tr}(AB)=\sum_i\sum_k a_{i,k}b_{k,i}\) est une somme double qu’on intervertit pour prouver \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\) (voir le produit matriciel).
- Inégalité de Cauchy-Schwarz. Le découpage carré = diagonale + triangles mène directement à l’identité de Lagrange.
- Sommes de coefficients binomiaux. L’identité de Vandermonde se démontre par une somme double issue du développement de \((1+x)^p(1+x)^q\).
VII. Erreurs fréquentes
Erreur 1 — Intervertir des bornes dépendantes sans les recalculer.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=i}^{n}\sum_{i=1}^{n} a_{i,j}\)
Diagnostic : la borne \(j=i\) n’a plus de sens une fois \(i\) passé à l’intérieur. On a gardé les bornes « telles quelles ».
✅ Correction : fixer \(j\), puis faire varier \(i\) de \(1\) à \(j\) : \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} a_{i,j}\).
Erreur 2 — Confondre produit de sommes et somme de produits.
❌ Écrire \(\displaystyle\left(\sum_{i} a_i\right)\!\left(\sum_{j} b_j\right) = \sum_{i} a_i b_i\).
Diagnostic : le membre de gauche parcourt tous les couples \((i,j)\) (\(n^2\) termes), le membre de droite seulement la diagonale (\(n\) termes).
✅ Le bon développement est \(\displaystyle\sum_{i}\sum_{j} a_i b_j\).
VIII. Exercices corrigés
Six exercices classés par difficulté croissante. Essaie-les avant d’ouvrir la correction. Pour des séries mixtes et une évaluation type DS, rends-toi sur la page Exercices sommes et produits.
Exercice 1 — Produit de deux sommes ★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} i\,j\).
Voir la correction de l’exercice 1
Le terme se sépare en \(i\times j\) sur un domaine rectangulaire :
\(\displaystyle S = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\!\left(\sum_{j=1}^{n} j\right) = \left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)
Vérification \(n=2\) : somme des termes \(=9\), formule \(=9\) ✓. Résultat : \(\displaystyle S=\displaystyle\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).
Exercice 2 — Somme rectangulaire d’une somme ★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (i+j)\).
Voir la correction de l’exercice 2
On sépare par linéarité : \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} j\).
Pour la première somme, \(i\) ne dépend pas de \(j\) : \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n} i = n\,i\), donc \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} n\,i = n\cdot\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\). Par symétrie la seconde vaut autant.
\(\displaystyle S = 2\cdot\displaystyle\frac{n^2(n+1)}{2} = n^2(n+1)\)Vérification \(n=2\) : \(2+3+3+4=12\), et \(4\cdot3=12\) ✓.
Exercice 3 — Compter un domaine triangulaire ★★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1\).
Voir la correction de l’exercice 3
Cette somme compte le nombre de couples \((i,j)\) avec \(i\leq j\). On fixe \(j\), alors \(i\) va de \(1\) à \(j\), soit \(j\) choix :
\(\displaystyle S = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} 1 = \sum_{j=1}^{n} j = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\)C’est bien le nombre de paires non ordonnées avec répétition. Vérification \(n=2\) : couples \((1,1),(1,2),(2,2)\) soit \(3=\displaystyle\frac{2\cdot3}{2}\) ✓.
Garde la méthode des sommes doubles sous la main
Le protocole en 4 étapes, les formules usuelles et le dessin du domaine triangulaire sur une fiche recto-verso à imprimer.
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Exercice 4 — Somme triangulaire de produits ★★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} i\,j\).
Voir la correction de l’exercice 4
On relie le triangle au carré complet. On sait que \(\displaystyle\sum_{i,j} i\,j = \left(\sum i\right)^2\). Le carré se décompose en triangle strict (\(i \lt j\)) × 2 plus la diagonale :
\(\displaystyle \left(\sum i\right)^2 = 2\!\!\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! i\,j + \sum_{i=1}^{n} i^2\)Or \(\displaystyle S = \sum_{i \lt j} i\,j + \sum_{i} i^2\) (triangle = strict + diagonale). On en tire :
\(\displaystyle S = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\sum i\right)^2 + \displaystyle\frac{1}{2}\sum i^2\)En remplaçant par les formules usuelles et en factorisant :
\(\displaystyle S = \displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}\)Vérification \(n=2\) : \(1+2+4=7\) (couples \((1,1),(1,2),(2,2)\)), et la formule donne \(\displaystyle\frac{2\cdot3\cdot4\cdot7}{24}=7\) ✓.
Exercice 5 — Somme du minimum ★★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \min(i,j)\).
Voir la correction de l’exercice 5
Astuce : \(\displaystyle\min(i,j) = \sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}_{k\leq i}\,\mathbf{1}_{k\leq j}\) (on compte les entiers \(k\) inférieurs à la fois à \(i\) et \(j\)). On intervertit alors les trois sommes :
\(\displaystyle S = \sum_{k=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{k\leq i}\right)\!\left(\sum_{j=1}^{n}\mathbf{1}_{k\leq j}\right) = \sum_{k=1}^{n} (n-k+1)^2\)
En posant \(m=n-k+1\), \(m\) parcourt \(1,\dots,n\) :
\(\displaystyle S = \sum_{m=1}^{n} m^2 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)Vérification \(n=2\) : \(1+1+1+2=5\) et \(\displaystyle\frac{2\cdot3\cdot5}{6}=5\) ✓.
Exercice 6 — Somme de l’écart |i − j| ★★★
Calculer \(\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |i-j|\).
Voir la correction de l’exercice 6
La diagonale \(i=j\) donne \(0\). Par symétrie \(|i-j|=|j-i|\), on regroupe les deux triangles :
\(\displaystyle S = 2\!\!\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! (j-i)\)On regroupe selon la différence \(d=j-i\), qui va de \(1\) à \(n-1\) ; pour chaque \(d\) il y a \(n-d\) couples :
\(\displaystyle \sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! (j-i) = \sum_{d=1}^{n-1} d\,(n-d) = n\sum_{d=1}^{n-1} d- \sum_{d=1}^{n-1} d^2\)
\(\displaystyle = n\cdot\displaystyle\frac{(n-1)n}{2}- \displaystyle\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \displaystyle\frac{n(n-1)(n+1)}{6}\)
D’où \(\displaystyle S = 2\cdot\displaystyle\frac{n(n^2-1)}{6} = \displaystyle\frac{n(n^2-1)}{3}\).
Vérification \(n=2\) : \(0+1+1+0=2\) et \(\displaystyle\frac{2\cdot3}{3}=2\) ✓.
IX. Questions fréquentes
Comment calculer une somme double ?
En quatre étapes : dessiner le domaine d’indices (rectangle ou triangle), choisir l’ordre de sommation le plus commode, calculer la somme intérieure puis la somme extérieure avec les sommes usuelles, et vérifier sur une petite valeur de \(n\). Sur un rectangle, si le terme se factorise, on remplace la somme double par un produit de deux sommes simples.
Quelle différence entre somme rectangulaire et somme triangulaire ?
Dans une somme rectangulaire, les deux indices varient indépendamment (\(n\times m\) termes) et on peut toujours intervertir librement. Dans une somme triangulaire, une condition comme \(i\leq j\) lie les indices : lors de l’interversion, les bornes dépendantes doivent être recalculées. Le dessin du domaine évite toute erreur.
Peut-on toujours intervertir les deux sommes ?
Oui pour une somme double finie : additionner dans un autre ordre ne change pas le total. Il faut seulement recalculer correctement les bornes quand elles dépendent d’un indice. Attention, cette liberté disparaît pour les sommes infinies (séries doubles), où l’interversion exige des conditions adaptées, par exemple la convergence absolue ou la positivité des termes.
Quelle est la différence entre produit de sommes et somme de produits ?
Un produit de sommes \(\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_j\right)\) parcourt tous les couples \((i,j)\) : si chaque somme contient \(n\) termes, c’est une somme double de \(n^2\) termes ; avec \(n\) et \(m\) termes, elle en contient \(nm\). Une somme de produits \(\sum a_i b_i\) n’a qu’un indice et \(n\) termes : c’est la diagonale du carré. Les confondre est l’erreur la plus fréquente du chapitre.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’interversion et les sommes triangulaires. Pour consolider la branche coefficients binomiaux et le dénombrement :
