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En maths, le symbole Σ (sigma majuscule) se lit « somme de » : l’écriture \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k\) désigne la somme \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\). Cette notation condense une longue addition en une seule expression compacte. Son cousin \(\displaystyle\prod\) (pi majuscule) fait la même chose pour les multiplications. Dans ce cours, tu vas apprendre à lire ces symboles, à calculer avec, et à connaître les sommes à retenir par cœur.
📘 Au programme
- 🔵 Première : la notation Σ apparaît dans les sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques.
- 🔵 Terminale spécialité : raisonnement par récurrence, combinatoire et dénombrement (factorielle, triangle de Pascal).
- 🟠 Prépa (MPSI, PCSI, MP2I) : chapitre « Calculs algébriques » — règles de Σ et Π, changement d’indice, sommes doubles et télescopiques.
Repères de niveau : les premières sommes se travaillent au lycée ; les manipulations systématiques de Σ et Π sont approfondies en prépa.
I. Que signifie le symbole Σ en maths ?
Le symbole Σ sert à écrire une addition de plusieurs termes sans tout recopier. Au lieu d’écrire \(1 + 2 + 3 + 4 + 5\), on écrit \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k\). Trois ingrédients composent cette écriture : un indice (ici \(k\)), des bornes (de 1 à 5) et un terme général (ici \(k\)).
Définition — La notation sigma
Soit \(m\) et \(n\) deux entiers avec \(m \leq n\), et \(u_m, u_{m+1}, \dots, u_n\) des nombres. On note :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} u_k = u_m + u_{m+1} + \cdots + u_n\)
L’entier \(k\) est l’indice de sommation (ou indice muet), \(m\) et \(n\) sont les bornes. Cette somme comporte exactement \(n- m + 1\) termes.
Le point le plus important à retenir : l’indice \(k\) est muet. Il n’existe qu’à l’intérieur de la somme et on peut le renommer librement. Ainsi \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i\) et \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n} j\) désignent exactement le même nombre.
A. Comment écrire une somme avec Σ
Pour traduire une addition en notation Σ, repère le motif qui se répète. Par exemple, la somme des nombres impairs \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)\) a pour terme général \(2k-1\) lorsque \(k\) va de 1 à \(n\) :
\(\displaystyle 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)\)Exemple : écrire \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{8} + \displaystyle\frac{1}{16}\) avec Σ.
Le terme général est \(\displaystyle\frac{1}{2^k}\), avec \(k\) de 1 à 4 :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} \displaystyle\frac{1}{2^k}\)
B. Σ, ∑ et σ : la lettre, le symbole et comment les taper
Il existe une subtilité typographique que est utile pour saisir les formules correctement. Le caractère Σ (U+03A3) est la lettre grecque sigma majuscule, tandis que le caractère ∑ (U+2211) est l’opérateur mathématique de sommation. Ils se ressemblent mais ce ne sont pas les mêmes caractères. En LaTeX, on écrit la lettre avec \Sigma et l’opérateur avec \sum.
Pour les saisir : dans Word pour Windows, tape le code 2211 puis Alt+X pour obtenir ∑, ou 03A3 puis Alt+X pour Σ. En HTML, écris ∑ (∑) ou Σ (Σ). Caractères prêts à copier : Σ ∑ Π ∏.
Ne pas confondre : le sigma minuscule σ (U+03C3) ne désigne pas une somme. En statistiques, il représente l’écart-type. Si tu cherches ce sens, consulte notre cours sur l’écart-type.
II. Les règles de calcul avec Σ
Une fois la notation comprise, trois règles suffisent pour manipuler presque toutes les sommes. Elles reposent sur les propriétés de l’addition.
Propriétés — Linéarité et Chasles
- Linéarité : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k\)
- Facteur constant : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} \lambda\, a_k = \lambda \sum_{k=m}^{n} a_k\)
- Somme d’une constante : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} \lambda = (n- m + 1)\,\lambda\)
- Relation de Chasles, pour \(m \leq p < n\) : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k\)
Attention : la linéarité ne concerne que l’addition et le facteur constant. On ne peut pas écrire en général \(\displaystyle\sum a_k b_k = \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\). Un produit de deux sommes donne une somme double (voir section V).
A. Le changement d’indice
Le changement d’indice sert à « décaler » les bornes d’une somme pour la comparer à une autre. C’est l’outil central du chapitre « Calculs algébriques » en prépa. Posons \(j = k- 1\) dans \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k\) : quand \(k = 1\) alors \(j = 0\), et quand \(k = n\) alors \(j = n-1\). D’où :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{j=0}^{n-1} u_{j+1}\)Comment retenir : à chaque changement d’indice, réécris les deux bornes et le terme général. Une somme qui « glisse » sans que les bornes bougent est l’erreur n°1 des copies de prépa.
La fiche récap’ Σ et Π que tu gardes sous les yeux
Toutes les règles de calcul, les 4 sommes usuelles et les pièges classiques, condensés sur une fiche prête à imprimer.
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III. Le produit Π : notation et règles
Le symbole Π (pi majuscule) joue pour la multiplication le rôle que Σ joue pour l’addition. Il permet d’écrire un produit de plusieurs facteurs de façon compacte.
Définition — La notation pi
\(\displaystyle\prod_{k=m}^{n} u_k = u_m \times u_{m+1} \times \cdots \times u_n\)
Exemple fondamental : la factorielle s’écrit \(\displaystyle n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times \cdots \times n\).
Le lien entre Σ et Π passe par le logarithme : le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes, donc \(\displaystyle \ln\left(\prod_{k=m}^{n} u_k\right) = \sum_{k=m}^{n} \ln(u_k)\) (pour des \(u_k\) strictement positifs).
A. Somme vide, produit vide : pourquoi 0 et 1
Que vaut une somme dont il ne reste aucun terme ? Par convention, une somme vide vaut 0 et un produit vide vaut 1. Ces conventions ne sont pas arbitraires : elles rendent la relation de Chasles toujours vraie et expliquent pourquoi \(0! = 1\). Le détail de cette justification est développé sur la page pourquoi 0! = 1.
IV. Les sommes usuelles à connaître
Quatre sommes reviennent sans arrêt, du bac aux concours. Les connaître par cœur te fait gagner un temps précieux.
| Somme | Résultat | Nom |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\) | \(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) | Somme de Gauss |
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\) | \(\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) | Somme des carrés |
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3\) | \(\displaystyle\left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) | Somme des cubes |
| \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k\) | \(\displaystyle\frac{1- q^{n+1}}{1- q}\) (si \(q \neq 1\)) | Somme géométrique |
A. La somme des n premiers entiers (somme de Gauss)
La légende raconte que Gauss, enfant, additionna \(1 + 2 + \cdots + 100\) en un instant. L’astuce : apparier le premier et le dernier terme, le deuxième et l’avant-dernier… Chaque paire vaut 101, et il y a 50 paires, d’où \(50 \times 101 = 5050\). En général :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\)
Cette formule est aussi la base de la somme d’une suite arithmétique. Pour l’approche collège sur les nombres entiers consécutifs, une démonstration élémentaire est disponible.
B. La somme des carrés et des cubes
La somme des carrés se démontre élégamment par télescopage de \((k+1)^3- k^3\), ou par raisonnement par récurrence. Fait remarquable pour les cubes : leur somme est exactement le carré de la somme de Gauss, soit \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2\).
C. La somme géométrique
La somme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k\) est au cœur de la somme d’une suite géométrique. Elle se démontre par la méthode \(qS- S\) et conduit à la factorisation de \(a^n- b^n\), très utile en analyse.
🟠 Pour la prépa : au-delà des carrés et des cubes, les sommes de puissances p-ièmes \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^p\) se calculent avec les polynômes de Bernoulli.
V. Télescopage, sommes doubles et au-delà
Deux techniques de calcul s’ajoutent aux règles de base et constituent le cœur du chapitre « Calculs algébriques » en prépa.
La somme télescopique exploite l’annulation des termes consécutifs : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (a_{k+1}- a_k) = a_{n+1}- a_0\). Tous les termes intermédiaires disparaissent deux à deux. C’est une technique redoutable pour calculer des sommes comme \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\). La méthode complète est détaillée sur la page somme télescopique.
Les sommes doubles interviennent dès qu’on multiplie deux sommes ou qu’on somme sur deux indices. On peut intervertir l’ordre de sommation, à condition de bien gérer les bornes qui dépendent l’une de l’autre (sommes triangulaires sur \(1 \leq i \leq j \leq n\)). Tout est expliqué sur la page sommes doubles.
🟠 Pour aller plus loin en prépa : la transformation d’Abel (sommation par parties) généralise le télescopage et permet d’étudier des séries comme \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\sin(k)}{k}\). Elle est l’analogue discret de l’intégration par parties.
VI. Factorielle, coefficients binomiaux et binôme de Newton
La branche « produits » du chapitre mène tout droit à la combinatoire. La factorielle \(n! = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} k\) compte le nombre de façons d’ordonner \(n\) objets.
Le coefficient binomial \({n \choose k}\) se lit dans le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Une propriété-clé : la somme d’une ligne du triangle vaut \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n\).
Enfin, la formule du binôme de Newton relie tout cela :
\(\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\, a^k\, b^{n-k}\)VII. Exemples d’application corrigés
Trois exemples pour mettre en pratique les règles de cette page. Pour t’entraîner davantage, direction la page exercices sommes et produits.
Exercice 1 — Calculer une somme simple ★
Calcule \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (3k + 2)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On utilise la linéarité et la somme d’une constante :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (3k + 2) = 3\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 2\)Avec \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k = \displaystyle\frac{10 \times 11}{2} = 55\) et \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} 2 = 10 \times 2 = 20\) :
\(\displaystyle 3 \times 55 + 20 = 165 + 20 = 185\)Le résultat est 185.
Exercice 2 — Un changement d’indice ★★
Montre que \(\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{1}{k-1} = \sum_{j=1}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{j}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Posons \(j = k- 1\). Quand \(k = 2\), on a \(j = 1\) ; quand \(k = n\), on a \(j = n- 1\). Le terme général \(\displaystyle\frac{1}{k-1}\) devient \(\displaystyle\frac{1}{j}\).
En réécrivant les deux bornes et le terme :
\(\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{1}{k-1} = \sum_{j=1}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{j}\)L’égalité est démontrée. C’est le même nombre écrit avec un indice décalé.
Exercice 3 — Reconnaître un télescopage ★★
Calcule \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(\displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+1}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 3
Écrivons les premiers et derniers termes pour voir les annulations :
\(\displaystyle \left(\displaystyle\frac{1}{1}- \displaystyle\frac{1}{2}\right) + \left(\displaystyle\frac{1}{2}- \displaystyle\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\displaystyle\frac{1}{n}- \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\)
Chaque terme négatif s’annule avec le terme positif suivant. Il ne reste que le tout premier et le tout dernier :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(\displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+1}\right) = 1- \displaystyle\frac{1}{n+1} = \displaystyle\frac{n}{n+1}\)
Vérification pour \(n = 1\) : la somme vaut \(\displaystyle 1- \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\), et \(\displaystyle\frac{1}{1+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\) ✓. Le résultat est \(\displaystyle\frac{n}{n+1}\).
VIII. Erreurs fréquentes à éviter
Ces pièges reviennent constamment dans les copies. Les repérer t’évite de perdre des points bêtement.
Erreur 1 — Compter \(n- m\) termes au lieu de \(n- m + 1\). Une somme de \(k=3\) à \(k=7\) comporte \(7- 3 + 1 = 5\) termes (3, 4, 5, 6, 7), pas 4.
Erreur 2 — Distribuer la somme sur un produit. \(\displaystyle\sum (a_k b_k)\) n’est pas égal à \(\displaystyle\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\). Développer ce produit donne une somme double.
Erreur 3 — Croire que \(\displaystyle\left(\sum a_k\right)^2 = \sum a_k^2\). Le carré d’une somme contient aussi tous les doubles produits. C’est faux dès deux termes : \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\).
Erreur 4 — Réutiliser l’indice muet hors de la somme. L’indice lié à \(\sum\) n’est pas une variable disponible après le calcul. Un \(k\) extérieur doit être défini séparément ; on renomme alors l’indice intérieur, par exemple \(k\sum_{j=1}^{n}u_j\), pour éviter toute confusion.
IX. Questions fréquentes
Que veut dire le symbole Σ en maths ?
Le symbole Σ (sigma majuscule) signifie « somme de ». L’écriture \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k\) désigne l’addition \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\). Il condense une longue addition en une seule expression, avec un indice, deux bornes et un terme général.
Quelle est la différence entre Σ et Π ?
Σ (sigma) note une somme : les termes sont additionnés. Π (pi) note un produit : les termes sont multipliés. Par exemple \(\displaystyle\sum_{k=1}^{3} k = 6\) tandis que \(\displaystyle\prod_{k=1}^{3} k = 6\) aussi ici, mais \(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k = 10\) et \(\displaystyle\prod_{k=1}^{4} k = 24\).
Comment lire et prononcer le symbole Σ ?
On lit \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k\) : « somme pour k allant de 1 à n de u indice k ». En anglais, on dit « the sum from k equals 1 to n of u sub k ».
Comment calculer une somme avec sigma ?
On applique trois règles : la linéarité (séparer les additions), le facteur constant (sortir les constantes), puis on remplace par les sommes usuelles connues (Gauss, carrés, géométrique). Pour les cas difficiles, on utilise le télescopage ou le changement d’indice.
Que vaut 1 + 2 + … + 100 ?
Cette somme vaut 5050. On applique la formule de Gauss \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = \displaystyle\frac{100 \times 101}{2} = 5050\). C’est le calcul que Gauss aurait fait enfant en appariant les termes.
Est-il vrai que 1 + 2 + 3 + … = moins 1 douzième ?
Non, pas au sens usuel. La somme \(1 + 2 + 3 + \cdots\) diverge vers l’infini. La valeur \(-\displaystyle\frac{1}{12}\) vient d’un prolongement de la fonction zêta de Riemann, une construction avancée hors programme qui ne correspond pas à une addition classique.
Comment taper le symbole Σ dans Word ou en LaTeX ?
Dans Word, tape le code 2211 puis Alt+X pour l’opérateur ∑, ou 03A3 puis Alt+X pour la lettre Σ. En LaTeX, utilise \sum pour l’opérateur de somme et \Sigma pour la lettre grecque.
Σ et ∑ sont-ils le même caractère ?
Non. Σ (U+03A3) est la lettre grecque sigma majuscule, utilisée aussi hors maths. ∑ (U+2211) est l’opérateur mathématique de sommation. Ils se ressemblent mais ont des codes différents et, en LaTeX, des commandes distinctes (\Sigma contre \sum).
X. Parcours par niveau : de la Première à la prépa
Les sommes et produits se construisent par couches, de la Première jusqu’à la deuxième année de prépa. Ce tableau te montre le fil rouge.
| Niveau | Notions clés | Page à consulter |
|---|---|---|
| Première | Notation Σ, sommes de suites arithmétiques et géométriques | Somme de Gauss, suite géométrique |
| Terminale | Récurrence, factorielle, triangle de Pascal, binôme | Factorielle, triangle de Pascal |
| Prépa 1re année | Règles de Σ et Π, changement d’indice, télescopage, sommes doubles | Somme télescopique, sommes doubles |
| Prépa 2e année | Séries, transformation d’Abel, formule de Stirling | Transformation d’Abel |
🟠 Si tu passes au supérieur, ces techniques forment le premier chapitre de MPSI/PCSI. Pour anticiper, consulte le programme de maths MPSI et notre comparatif du niveau en maths de la terminale à la prépa.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la notation Σ, les règles de calcul et les sommes usuelles. Pour approfondir la branche combinatoire et arithmétique :
- Coefficient Binomial : Formule, Démonstration et Calcul — du Lycée à la Prépa
- Permutations en Mathématiques : Formule n!, Démonstration et Exercices Corrigés
- 20 Exercices de Dénombrement Corrigés — Terminale et Prépa
- Les Congruences en Mathématiques : Cours, Exercices et Arithmétique Modulaire
- Après le lycée, les sommes doubles débouchent sur un résultat majeur de l’algèbre euclidienne : Inégalité de Cauchy-Schwarz : Cours, Propriétés et Exercices Corrigés.
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Terminale et la prépa.
