MP2I

Fiches de cours et méthodes

Polynômes

Les polynômes cyclotomiques : cours, propriétés et irréductibilité

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur En 1796, Gauss démontre que l’on peut construire à la règle et au compas un polygone régulier à 17 côtés — un résultat resté hors de portée depuis l’Antiquité. La clé de cette prouesse […]

Zakaria Laouar
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2026-06-23
Polynômes

Polynôme minimal et polynôme annulateur : cours, propriétés et méthodes

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Tu sais déjà que pour étudier un endomorphisme, on cherche ses valeurs propres et on essaie de le diagonaliser. Mais comment savoir, sans calculer les sous-espaces propres un par un, si une matrice est […]

Zakaria Laouar
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2026-06-23
Polynômes

Polynôme scindé, irréductible et unitaire : cours et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Pourquoi certains polynômes se factorisent-ils entièrement en produits de facteurs de degré 1, alors que d’autres « résistent » ? Sur , tout se factorise complètement ; sur , non. C’est précisément cette idée […]

Zakaria Laouar
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2026-06-23
Polynômes

Le polynôme caractéristique : cours, propriétés et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Pour diagonaliser une matrice, déterminer ses valeurs propres ou comprendre sa structure, tout passe par un seul objet : le polynôme caractéristique. C’est lui qui transforme un problème de géométrie (chercher des vecteurs propres) […]

Zakaria Laouar
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2026-06-23
Polynômes

Les polynômes orthogonaux : cours, propriétés et familles classiques

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Derrière les noms d’Hermite, Laguerre ou Tchebychev se cache une même idée : appliquer la géométrie euclidienne (orthogonalité, projections) à l’espace des polynômes, grâce à un produit scalaire défini par une intégrale pondérée. Cette […]

Zakaria Laouar
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2026-06-23
Polynômes

Le polynôme de Legendre : cours, propriétés et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Quand on cherche à approcher une fonction sur un segment, la base canonique est commode pour calculer, mais catastrophique pour projeter : ces polynômes ne sont pas orthogonaux. Les polynômes de Legendre résolvent exactement […]

Zakaria Laouar
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2026-06-19
Polynômes

Le théorème de Cayley-Hamilton : énoncé, démonstration et applications

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Une matrice peut-elle être « racine » de son propre polynôme caractéristique ? C’est exactement ce qu’affirme le théorème de Cayley-Hamilton, l’un des résultats les plus utiles de la réduction des endomorphismes. Il transforme […]

Zakaria Laouar
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2026-06-19
Polynômes

Le polynôme interpolateur de Lagrange : méthode, exemples et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur On te donne quelques points du plan, et on te demande de faire passer une courbe « propre » par chacun d’eux. C’est exactement le problème d’interpolation polynomiale, et le polynôme de Lagrange en […]

Zakaria Laouar
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2026-06-19
Polynômes

La division euclidienne des polynômes : méthode, exemples et exercices

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Tu sais poser une division entre deux nombres entiers. La division euclidienne des polynômes obéit exactement à la même logique : on cherche un quotient et un reste, mais cette fois dans l’anneau . […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17
Polynômes

Les polynômes de Tchebychev : cours, propriétés et démonstrations

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Comment exprimer uniquement à l’aide de ? Comment construire le polynôme unitaire qui « oscille le moins » sur un intervalle ? Les polynômes de Tchebychev répondent à ces deux questions d’un seul geste. […]

Zakaria Laouar
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2026-06-17