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Gain d’un jeu, nombre de succès, temps d’attente : en mathématiques, dès qu’on associe un nombre au résultat d’une expérience aléatoire, on définit une variable aléatoire. Au programme de Première spécialité et au cœur de la Terminale, cette notion est le pont entre les probabilités et le calcul — elle donne accès à l’espérance, la variance, l’écart-type et à toutes les lois de probabilité classiques. Tu trouveras ici les définitions, les formules essentielles, un panorama des lois et des exemples d’application corrigés — le tout conforme au programme officiel 2025-2026.
📚 Tout le cours « Variables Aléatoires »
- 📖 Variable aléatoire : cours complet (cette page)
- → Espérance : formule, calcul et définition
- → Variance : formule, calcul et définition
- → Écart-type : formule, calcul et définition
- → Loi binomiale : cours et propriétés
- → Loi normale : cours et propriétés
- → Table de la loi normale centrée réduite
- → Loi de Poisson : cours et propriétés
- → Loi uniforme : discrète et continue
- → Loi exponentielle : cours et propriétés
- → Fonction de répartition et densité
- → Loi géométrique : cours et propriétés
- ✏️ Exercices loi binomiale corrigés
- ✏️ Exercices variables aléatoires corrigés
I. Définition et types de variables aléatoires
A. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
Quand on réalise une expérience aléatoire — lancer un dé, tirer une carte, chronométrer un temps d’attente —, chaque résultat possible est une issue. L’ensemble de toutes les issues forme l’univers, noté \(\Omega\).
Une variable aléatoire est une règle qui attribue un nombre réel à chaque issue de l’expérience.
Définition — Variable aléatoire
Soit une expérience aléatoire d’univers \(\Omega\). Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue \(\omega\) de \(\Omega\) :
\(X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}\)
Notations courantes : on écrit \(P(X = k)\) pour la probabilité que \(X\) prenne la valeur \(k\), et \(P(a \leq X \leq b)\) pour la probabilité que \(X\) soit comprise entre \(a\) et \(b\). L’ensemble des valeurs prises par \(X\) est noté \(X(\Omega)\).
Exemple : on lance un dé équilibré à 6 faces. On note \(X\) le résultat obtenu. Alors \(X\) est une variable aléatoire avec \(X(\Omega) = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}\). L’événement \((X = 4)\) signifie « le dé affiche 4 », et \(P(X = 4) = \displaystyle\frac{1}{6}\).
À retenir : une variable aléatoire n’est pas un nombre fixe — c’est une grandeur dont la valeur dépend du hasard. Le mot « variable » signifie qu’on ne connaît pas sa valeur à l’avance. Le mot « aléatoire » signifie que cette valeur est déterminée par une expérience de hasard.
B. Variable aléatoire discrète
Définition — Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire est dite discrète lorsqu’elle ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs. On note \(X(\Omega) = \{x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n\}\) cet ensemble de valeurs.
C’est le type de variable aléatoire le plus courant au lycée. Voici des exemples classiques :
- Le résultat d’un lancer de dé : \(X \in \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}\)
- Le nombre de bonnes réponses à un QCM de 10 questions : \(X \in \{0,\, 1,\, \ldots,\, 10\}\)
- Le nombre de clients arrivés en une heure : \(X \in \mathbb{N}\) (dénombrable)
La loi d’une VA discrète se résume dans un tableau de probabilités, comme tu le verras dans la section suivante.
C. Variable aléatoire continue
Définition — Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire est dite continue lorsque l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle de \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{R}\) tout entier). Sa loi est décrite par une fonction de densité.
Les variables aléatoires continues apparaissent dès que la grandeur mesurée peut prendre « n’importe quelle valeur » dans un intervalle :
- La taille d’un individu pris au hasard (valeurs dans \([0{,}50\,;\, 2{,}50]\) environ)
- Le temps d’attente à un guichet (valeurs dans \([0\,;\, +\infty[\))
- La durée de vie d’un composant électronique
Attention : pour une VA continue, \(P(X = a) = 0\) pour toute valeur \(a\). Cela ne signifie pas que l’événement est impossible ! Les probabilités se calculent sur des intervalles : \(P(a \leq X \leq b)\). Ce calcul fait intervenir les intégrales.
Les outils de description des VA continues — fonction de répartition et densité de probabilité — sont développés dans une page dédiée.
🟡 En prépa — Définition formelle
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle est une application \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) telle que, pour tout réel \(a\), l’ensemble \(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq a\}\) appartient à la tribu \(\mathcal{A}\). Cette condition de mesurabilité garantit que \(P(X \leq a)\) est bien défini pour tout \(a \in \mathbb{R}\).
Tu sais maintenant ce qu’est une variable aléatoire et distinguer le cas discret du cas continu. Mais comment décrire précisément les valeurs qu’elle prend et leurs probabilités ? C’est le rôle de la loi de probabilité.
II. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
A. Loi d’une variable aléatoire discrète
Définition — Loi de probabilité (cas discret)
La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète \(X\) prenant les valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) est la donnée de toutes les probabilités \(P(X = x_i)\). Elle vérifie la condition de normalisation :
\(\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1\)
On la représente dans un tableau de loi. Voici un exemple complet.
Exemple : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Le joueur gagne 10 € si c’est un as, 5 € si c’est un roi, et 0 € sinon. Soit \(X\) le gain.
| Valeur \(x_i\) | 0 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(P(X = x_i)\) | \(\displaystyle\frac{24}{32} = \displaystyle\frac{3}{4}\) | \(\displaystyle\frac{4}{32} = \displaystyle\frac{1}{8}\) | \(\displaystyle\frac{4}{32} = \displaystyle\frac{1}{8}\) |
Vérification : \(\displaystyle\frac{3}{4} + \displaystyle\frac{1}{8} + \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{6}{8} + \displaystyle\frac{1}{8} + \displaystyle\frac{1}{8} = 1\) ✓
Pour des variables aléatoires prenant davantage de valeurs, un diagramme en bâtons permet de visualiser la loi. Voici celui de la somme de deux dés :
La forme en « triangle » montre que la valeur \(X = 7\) est la plus probable (\(P(X = 7) = \displaystyle\frac{6}{36} = \displaystyle\frac{1}{6}\)), tandis que les valeurs extrêmes 2 et 12 sont les plus rares.
B. Fonction de répartition et densité
Pour les variables aléatoires continues, on ne peut pas dresser un tableau de loi (il y a une infinité de valeurs). La loi est alors décrite par deux outils complémentaires :
- La fonction de répartition \(F\), définie par \(F(x) = P(X \leq x)\) pour tout réel \(x\).
- La fonction de densité \(f\), telle que \(P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\).
Lien entre les deux : la densité est la dérivée de la fonction de répartition : \(f(x) = F^\prime(x)\). Inversement, \(F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\). Retiens aussi que la densité n’est pas une probabilité — c’est une « concentration de probabilité ». Pour obtenir une probabilité, il faut intégrer sur un intervalle.
Ces concepts sont développés en détail dans notre cours sur la fonction de répartition et la densité de probabilité.
La loi de probabilité contient toute l’information sur une variable aléatoire. Mais en pratique, on a souvent besoin de résumer cette information en quelques nombres clés.
III. Espérance, variance et écart-type
Trois indicateurs suffisent à caractériser l’essentiel du comportement d’une variable aléatoire : l’espérance (quelle valeur « en moyenne » ?), la variance et l’écart-type (quelle dispersion autour de cette moyenne ?).
A. Espérance
Définition — Espérance (cas discret)
L’espérance d’une variable aléatoire discrète \(X\) prenant les valeurs \(x_1, \ldots, x_n\) est :
\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)\)
Interprétation : l’espérance est la valeur moyenne que prendrait \(X\) si l’on répétait l’expérience un très grand nombre de fois. C’est un résultat fondamental de la théorie des probabilités appelé loi des grands nombres.
Exemple : pour un dé équilibré, \(E(X) = 1 \times \displaystyle\frac{1}{6} + 2 \times \displaystyle\frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{21}{6} = 3{,}5\). En lançant le dé 1 000 fois, la moyenne des résultats sera très proche de 3,5.
Propriétés essentielles :
- Linéarité : pour tous réels \(a\) et \(b\), \(E(aX + b) = a \cdot E(X) + b\).
- Additivité : \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\), toujours vraie, même si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
Retrouve les démonstrations et les formules avancées (formule de transfert, espérance conditionnelle) dans le cours complet sur l’espérance.
B. Variance et écart-type
L’espérance indique « le centre ». Mais deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance tout en se comportant très différemment :
La variance mesure cette dispersion.
Définition — Variance
La variance de \(X\) est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance :
\(V(X) = \sum_{i=1}^{n} \big(x_i – E(X)\big)^2 \cdot P(X = x_i)\)
Formule de König-Huygens (plus rapide pour calculer) :
\(V(X) = E(X^2) – \big(E(X)\big)^2\)
Calcule d’abord \(E(X)\) et \(E(X^2) = \displaystyle\sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)\), puis soustrais.
Définition — Écart-type
L’écart-type est la racine carrée de la variance :
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
Il s’exprime dans la même unité que \(X\), ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.
Propriétés essentielles :
- \(V(X) \geq 0\) toujours, et \(V(X) = 0\) si et seulement si \(X\) est constante.
- \(V(aX + b) = a^2 \cdot V(X)\) — une translation ne change pas la dispersion.
- Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\).
Retrouve toutes les méthodes de calcul dans les cours dédiés à la variance et à l’écart-type.
C. Tableau récapitulatif des formules
| Indicateur | VA discrète | VA continue |
|---|---|---|
| Espérance \(E(X)\) | \(\displaystyle\sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\) | \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x)\,dx\) |
| Variance \(V(X)\) | \(E(X^2) – \big(E(X)\big)^2\) | \(E(X^2) – \big(E(X)\big)^2\) |
| Écart-type \(\sigma(X)\) | \(\sqrt{V(X)}\) | \(\sqrt{V(X)}\) |
🟡 En prépa — Résultats avancés
- Formule de transfert : \(E\big(g(X)\big) = \displaystyle\sum_{i} g(x_i) \cdot P(X = x_i)\). Permet de calculer \(E(X^2)\) directement sans déterminer la loi de \(X^2\).
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), \(P\big(|X – E(X)| \geq \varepsilon\big) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\varepsilon^2}\). Très utile pour les problèmes de convergence en probabilité.
L’espérance, la variance et l’écart-type permettent de résumer toute variable aléatoire en quelques nombres. Mais certaines situations reviennent si souvent en probabilités qu’on leur a donné un nom et des formules dédiées : ce sont les lois classiques.
IV. Panorama des lois classiques
A. Lois discrètes
Loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\) : une seule épreuve avec deux issues — succès (probabilité \(p\)) ou échec (probabilité \(1 – p\)). \(X\) vaut 1 en cas de succès, 0 sinon. C’est la brique élémentaire de toutes les lois discrètes.
Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,\, p)\) : nombre de succès dans \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes. C’est la loi la plus importante du programme de Terminale. Formule : \(P(X = k) = {n \choose k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\).
Loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) : modélise le nombre d’événements rares sur un intervalle de temps ou d’espace (nombre de pannes, d’appels téléphoniques, de mutations génétiques). Formule : \(P(X = k) = e^{-\lambda}\,\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\).
Loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) : nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès. C’est la loi « sans mémoire » discrète : \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}\, p\).
Loi uniforme discrète \(\mathcal{U}(\{1,\, \ldots,\, n\})\) : toutes les valeurs sont équiprobables. Exemple : le résultat d’un dé équilibré.
Comment choisir la bonne loi ?
- Succès ou échec sur une seule épreuve → Bernoulli
- Nombre de succès sur \(n\) épreuves indépendantes → Loi binomiale
- Événements rares, fréquence moyenne \(\lambda\) → Loi de Poisson
- Attente du premier succès → Loi géométrique
- Tirage équiprobable parmi \(n\) valeurs → Loi uniforme discrète
- Mesure fluctuant autour d’une moyenne → Loi normale
- Temps d’attente sans mémoire → Loi exponentielle
- Tirage au hasard dans un intervalle → Loi uniforme continue
B. Lois continues
Loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)\) : la célèbre « courbe en cloche ». C’est le modèle de référence pour les phénomènes naturels — tailles, erreurs de mesure, notes d’examen. Le paramètre \(\mu\) fixe le centre de la courbe, \(\sigma\) son étalement. La table de la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,\, 1)\) permet de lire les probabilités associées.
Loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) : modélise un temps d’attente « sans mémoire » (durée de vie d’un composant, temps entre deux arrivées de clients). Sa densité est \(f(x) = \lambda\, e^{-\lambda x}\) pour \(x \geq 0\).
Loi uniforme continue \(\mathcal{U}([a\,;\,b])\) : tirage « au hasard » d’un nombre réel dans l’intervalle \([a\,;\,b]\). La densité est constante : \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{b – a}\) sur \([a\,;\,b]\).
Le tableau ci-dessous récapitule toutes les lois classiques avec leurs paramètres, leur espérance et leur variance :
| Loi | Notation | \(E(X)\) | \(V(X)\) | Usage typique |
|---|---|---|---|---|
| Bernoulli | \(\mathcal{B}(p)\) | \(p\) | \(p(1-p)\) | Succès / échec |
| Binomiale | \(\mathcal{B}(n,\, p)\) | \(np\) | \(np(1-p)\) | Nombre de succès |
| Poisson | \(\mathcal{P}(\lambda)\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | Événements rares |
| Géométrique | \(\mathcal{G}(p)\) | \(\displaystyle\frac{1}{p}\) | \(\displaystyle\frac{1-p}{p^2}\) | Attente du 1er succès |
| Uniforme discrète | \(\mathcal{U}(\{1,\ldots,n\})\) | \(\displaystyle\frac{n+1}{2}\) | \(\displaystyle\frac{n^2-1}{12}\) | Tirage équiprobable |
| Normale | \(\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) | Mesures, erreurs |
| Exponentielle | \(\mathcal{E}(\lambda)\) | \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) | \(\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}\) | Temps d’attente |
| Uniforme continue | \(\mathcal{U}([a\,;\,b])\) | \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\) | \(\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}\) | Tirage dans un intervalle |
Passons maintenant à la pratique avec trois exemples qui mobilisent les notions de ce cours.
V. Exemples d’application
Exemple 1 — Lancer de dé
On lance un dé équilibré. Soit \(X\) le résultat. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
Solution : \(E(X) = \displaystyle\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\).
Pour la variance, on calcule d’abord \(E(X^2) = \displaystyle\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \displaystyle\frac{91}{6}\), puis \(V(X) = \displaystyle\frac{91}{6} – (3{,}5)^2 = \displaystyle\frac{91}{6} – \displaystyle\frac{49}{4} = \displaystyle\frac{35}{12} \approx 2{,}92\).
Exemple 2 — QCM et loi binomiale
Un QCM comporte 4 questions indépendantes, chacune avec 3 réponses possibles (une seule correcte). Un élève répond au hasard. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses. Identifier la loi de \(X\) et calculer \(E(X)\).
Solution : chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\). Il y a \(n = 4\) épreuves indépendantes, donc \(X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\, \displaystyle\frac{1}{3}\right)\). On en déduit \(E(X) = np = 4 \times \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{4}{3} \approx 1{,}33\). En répondant au hasard, on peut espérer environ 1 bonne réponse sur 4.
Exemple 3 — Loi uniforme continue
On choisit un réel au hasard dans l’intervalle \([0\,;\, 5]\). Soit \(X\) le nombre obtenu. Calculer \(P(1 \leq X \leq 3)\) et \(E(X)\).
Solution : \(X\) suit la loi uniforme continue sur \([0\,;\, 5]\). Donc \(P(1 \leq X \leq 3) = \displaystyle\frac{3 – 1}{5 – 0} = \displaystyle\frac{2}{5}\) et \(E(X) = \displaystyle\frac{0 + 5}{2} = 2{,}5\).
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les variables aléatoires et nos exercices dédiés à la loi binomiale.
Fiche de révision — Variables aléatoires
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — Confondre variable aléatoire et événement
❌ « La variable aléatoire est « obtenir un 6 ». »
✅ « Obtenir un 6 » est un événement, noté \((X = 6)\). La variable aléatoire \(X\) est la grandeur « résultat du dé », qui peut valoir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Un événement est un sous-ensemble de l’univers ; une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers.
Piège n°2 — Oublier la condition \(\sum P(X = x_i) = 1\)
❌ On propose un tableau de loi où la somme des probabilités vaut 0,95.
✅ La condition de normalisation est non négociable. Si la somme ne fait pas 1, le tableau ne définit pas une loi de probabilité valide. Vérifie toujours cette condition en premier — c’est la vérification la plus rapide et la plus rentable au bac.
Piège n°3 — Mélanger variance et écart-type
❌ « V(X) = 9, donc les valeurs de X sont dispersées de 9 autour de la moyenne. »
✅ La variance est en « unités au carré ». Pour interpréter la dispersion dans la même unité que \(X\), il faut prendre la racine carrée : l’écart-type vaut \(\sigma(X) = \sqrt{9} = 3\). C’est \(\sigma = 3\) qui mesure l’écart typique à la moyenne, pas \(V = 9\).
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une variable aléatoire en maths ?
Une variable aléatoire est une grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d’une expérience aléatoire. Formellement, c’est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience. Par exemple, si on lance un dé, le résultat obtenu est une variable aléatoire prenant les valeurs 1 à 6.
Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et continue ?
Une VA discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs (exemples : nombre de succès, score à un test). Sa loi se résume dans un tableau de probabilités. Une VA continue prend ses valeurs dans un intervalle de \(\mathbb{R}\) (exemples : temps d’attente, taille). Sa loi est décrite par une fonction de densité, et les probabilités se calculent par intégration sur un intervalle.
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?
Pour une VA discrète, multiplie chaque valeur possible par sa probabilité et additionne : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\). Pour les lois classiques, utilise directement les formules : \(E(X) = np\) (binomiale), \(E(X) = \lambda\) (Poisson), \(E(X) = \mu\) (normale), etc. Plus de détails dans le cours sur l’espérance.
Quelle est la différence entre variance et écart-type ?
La variance \(V(X)\) mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance, en « unités au carré ». L’écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) est sa racine carrée, exprimée dans la même unité que \(X\). Les deux mesurent la dispersion, mais l’écart-type est plus intuitif pour les interprétations concrètes.
Comment savoir quelle loi de probabilité utiliser ?
Identifie la situation dans l’énoncé :
- Nombre de succès sur \(n\) épreuves indépendantes → loi binomiale
- Événements rares sur un grand intervalle → loi de Poisson
- Mesures fluctuant autour d’une moyenne → loi normale
- Temps d’attente sans mémoire → loi exponentielle
En cas de doute, repère les mots-clés : « indépendantes », « au hasard », « durée de vie », « équiprobable ».
Les variables aléatoires sont-elles au programme de Première ou de Terminale ?
Les deux. En Première spécialité, tu découvres les VA discrètes, le tableau de loi, l’espérance et la variance. En Terminale, tu approfondis avec la loi binomiale, la loi normale et les applications au bac. En prépa, le formalisme se renforce (espace probabilisé, VA continues, démonstrations) et de nouvelles lois apparaissent (Poisson, exponentielle, géométrique).
À quoi servent les variables aléatoires dans la vie courante ?
Elles modélisent tous les phénomènes aléatoires quantitatifs : le contrôle qualité en usine (loi binomiale), les files d’attente et les réseaux (loi de Poisson, loi exponentielle), les sondages et les tests médicaux (loi normale), l’assurance et la finance (espérance de gain). Les probabilités appliquées reposent presque toujours sur les variables aléatoires.
Tu maîtrises maintenant les fondamentaux des variables aléatoires. Pour approfondir chaque notion :
- Espérance : formule, calcul et interprétation
- Variance : définition et méthodes de calcul
- Loi binomiale : la loi incontournable de Terminale
- Loi normale et courbe de Gauss
- Fonction de répartition et densité de probabilité
- Exercices corrigés sur les variables aléatoires
