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Tu connais déjà les suites arithmétiques et géométriques, où chaque terme se calcule directement à partir de son rang \(n\). Mais que faire quand un terme dépend du précédent, comme dans \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3\) ? C’est exactement le rôle des suites récurrentes : une suite qui se construit pas à pas, chaque terme fabriquant le suivant. Dans ce cours de Terminale, tu vas apprendre à les reconnaître, à calculer leurs termes, à les représenter avec la « toile d’araignée » et à étudier leur limite — jusqu’à une ouverture vers la prépa.
I. Qu’est-ce qu’une suite définie par récurrence ?
Une suite récurrente ne se donne pas par une formule « toute faite » en fonction de \(n\). Elle se donne par deux ingrédients : un premier terme et une règle qui explique comment passer d’un terme au suivant.
Définition — Suite définie par récurrence
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle stable par \(f\) (c’est-à-dire tel que si \(x \in I\) alors \(f(x) \in I\)). La suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 \in I\) et la relation
\(u_{n+1} = f(u_n) \quad \text{pour tout entier } n \geq 0\)
est appelée suite définie par récurrence (ou suite récurrente d’ordre 1).
La relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) s’appelle une relation de récurrence. Elle relie un terme et son suivant. La fonction \(f\) est parfois appelée la fonction itératrice de la suite.
A. La relation de récurrence, cœur du mécanisme
Une relation de récurrence, c’est une phrase mathématique qui dit : « pour obtenir le terme d’indice \(n+1\), applique telle opération au terme d’indice \(n\) ». Elle ne suffit pas à elle seule : sans premier terme, la suite est indéterminée.
Exemple : On pose \(u_0 = 2\) et, pour tout entier \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = 3u_n - 4\).
Ici la fonction itératrice est \(f(x) = 3x - 4\). On calcule :
\(u_1 = 3 \times 2 - 4 = 2\), puis \(u_2 = 3 \times 2 - 4 = 2\).
La suite est constante égale à \(2\) : on dit que \(2\) est un point fixe de \(f\) car \(f(2) = 2\). On y reviendra pour l’étude des limites.
B. Pourquoi le premier terme change tout
Modifie le point de départ, et toute la suite change. Avec la même règle \(u_{n+1} = 3u_n - 4\) mais \(u_0 = 3\), tu obtiens \(u_1 = 5\), \(u_2 = 11\), \(u_3 = 29\)… La suite « explose » vers \(+\infty\). C’est une différence majeure avec les suites arithmétiques ou géométriques, dont le comportement est fixé une fois pour toutes par la raison.
Comment reconnaître une suite récurrente : repère la présence de \(u_{n+1}\) et de \(u_n\) dans la même égalité. Si \(u_n\) apparaît seul en fonction de \(n\) (par exemple \(u_n = 2n + 5\)), la suite est explicite, pas récurrente.
II. Passer de un à un+1 : calculer les termes
La première compétence attendue, c’est de savoir « dérouler » la suite : à partir de \(u_0\), produire \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\)… On applique simplement la relation de récurrence, étape par étape.
A. La méthode en 3 réflexes
- Identifie la fonction itératrice \(f\) : dans \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\), on a \(f(x) = \sqrt{x + 6}\).
- Remplace \(u_n\) par sa valeur numérique dans \(f\) pour obtenir le terme suivant.
- Recommence : le terme que tu viens de calculer devient à son tour le point de départ.
Exemple : Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\).
\(u_1 = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3\)
\(u_2 = \sqrt{3 + 6} = 3\)
La suite reste constante égale à \(3\) : là encore, \(3\) est un point fixe puisque \(f(3) = \sqrt{9} = 3\). Avec \(u_0 = 10\) en revanche, \(u_1 = \sqrt{16} = 4\), \(u_2 = \sqrt{10} \approx 3{,}16\)… la suite décroît vers \(3\).
Toutes les méthodes sur les suites récurrentes en 1 page
Calcul des termes, toile d’araignée, limite par point fixe, algorithmes Python : la fiche récap’ à garder sous les yeux.
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B. Le piège de la mauvaise substitution
Erreur classique : confondre \(u_{n+1}\) et \(u_n + 1\).
❌ Copie fautive : « \(u_{n+1} = 2u_n + 1\) donc \(u_{n+1} = 2u_n + 1 = u_n + 1\)… »
Diagnostic : \(u_{n+1}\) désigne le terme suivant (indice \(n+1\)), tandis que \(u_n + 1\) est le terme actuel augmenté de 1. Ce ne sont pas les mêmes objets.
✅ Correction : \(u_{n+1}\) se lit « u indice n plus un ». Le \({+1}\) est en indice, jamais additionné au terme.
Une fois que tu sais dérouler une suite, une question naturelle se pose : comment savoir si elle est vraiment récurrente, ou si elle possède aussi une formule directe ?
III. Suite explicite ou suite récurrente : la vraie différence
C’est la question qui revient le plus souvent (et une PAA fréquente sur Google). Une même suite peut souvent s’écrire des deux façons ; elles répondent à deux besoins différents.
Deux façons de définir une suite
- Forme explicite : \(u_n\) s’exprime directement en fonction de \(n\). Exemple : \(u_n = 5 \times 2^n\). On calcule \(u_{100}\) instantanément.
- Forme récurrente : \(u_n\) s’exprime en fonction du terme précédent. Exemple : \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 2u_n\). Pour \(u_{100}\), il faut calculer les 100 termes précédents.
| Critère | Forme explicite | Forme récurrente |
|---|---|---|
| Écriture type | \(u_n = g(n)\) | \(u_{n+1} = f(u_n)\) |
| Exemple | \(u_n = 2n + 5\) | \(u_0 = 5,\ u_{n+1} = u_n + 2\) |
| Calcul de \(u_{100}\) | Direct, une ligne | Il faut les 100 termes précédents |
| Étude de la limite | Limite classique de \(g(n)\) | Via le point fixe et la monotonie |
| Idéal pour | Calcul rapide, formule fermée | Modéliser une évolution pas à pas |
Pour certaines suites récurrentes simples, on sait retrouver la forme explicite. C’est le cas des suites arithmétiques (\(u_{n+1} = u_n + r\) donne \(u_n = u_0 + nr\)) et des suites géométriques (\(u_{n+1} = q\,u_n\) donne \(u_n = u_0 \times q^n\)). Ce passage repose sur une démonstration par récurrence.
Astuce mémo : pour trancher, regarde de qui dépend \(u_n\). S’il dépend de \(n\) → explicite. S’il dépend d’un autre terme de la suite (\(u_{n-1}\), \(u_n\)…) → récurrente.
Pour les suites arithmétiques et géométriques, retrouve les formules dans les cours dédiés : suites arithmétiques et suites géométriques.
IV. Représentation graphique : la toile d’araignée
Voici l’outil visuel le plus puissant du chapitre, et souvent le plus mal compris. La construction « en escalier » ou « en toile d’araignée » permet de voir le comportement d’une suite récurrente sans calculer tous ses termes.
A. Le principe de la construction
On trace deux courbes dans un même repère :
- la courbe de la fonction \(f\) (celle qui définit la récurrence) ;
- la droite d’équation \(y = x\) (la « première bissectrice »).
La construction se fait alors ainsi, en partant de \(u_0\) sur l’axe des abscisses :
- Monte verticalement jusqu’à la courbe de \(f\) : l’ordonnée obtenue est \(f(u_0) = u_1\).
- Déplace-toi horizontalement jusqu’à la droite \(y = x\) : cela « ramène » \(u_1\) sur l’axe des abscisses.
- Recommence : monte vers la courbe pour obtenir \(u_2\), reviens sur \(y = x\), etc.
Ce que la toile d’araignée révèle : le point d’intersection entre la courbe de \(f\) et la droite \(y = x\) est un point fixe. Si l’escalier « s’enroule » vers ce point, la suite converge vers lui. S’il s’en éloigne, la suite diverge.
B. Lire le comportement d’un coup d’œil
Selon la forme de \(f\) au voisinage du point fixe, on distingue deux allures typiques :
- En escalier (marches régulières) : la suite est monotone, elle croît ou décroît vers la limite.
- En spirale (l’escalier tourne autour du point) : la suite oscille de part et d’autre de la limite tout en s’en approchant.
Piège de tracé : beaucoup d’élèves reportent \(u_1\) directement sur l’axe des abscisses « à l’œil ». Le rôle exact de la droite \(y = x\) est justement de faire ce report proprement : ne saute jamais cette étape horizontale, sinon la construction se décale.
La toile d’araignée ne remplace pas une démonstration, mais elle t’indique quoi démontrer : la monotonie, l’encadrement, et surtout la valeur de la limite. Passons à cette étude.
V. Étudier la limite d’une suite récurrente
C’est l’objectif le plus « noble » du chapitre. Contrairement à une suite explicite, on ne peut pas simplement calculer la limite de \(g(n)\) : il faut une stratégie en deux temps.
A. Le théorème du point fixe
Propriété — Limite éventuelle et point fixe
Soit \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\), avec \(f\) continue sur un intervalle \(I\). Si la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(L \in I\), alors \(L\) vérifie nécessairement :
\(L = f(L)\)
Autrement dit, la limite est un point fixe de \(f\).
Attention à la logique : ce résultat te donne les candidats à être la limite, à condition que la suite converge. Il ne prouve pas qu’elle converge. Il faut d’abord établir la convergence.
B. La stratégie complète
- Prouver que la suite converge. En Terminale, on utilise le plus souvent le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge. La monotonie et l’encadrement se démontrent par récurrence.
- Trouver la limite en résolvant l’équation \(L = f(L)\).
Exemple : Soit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\).
On admet (par récurrence) que la suite est décroissante et minorée par \(3\) : elle converge donc vers un réel \(L \geq 3\).
La fonction \(f(x) = \sqrt{x+6}\) est continue, donc \(L = f(L)\), soit :
\(L = \sqrt{L + 6} \iff L^2 = L + 6 \iff L^2 - L - 6 = 0\)
Les solutions sont \(L = 3\) et \(L = -2\). Comme \(L \geq 3\), on conclut \(L = 3\). ∎
L’étude des limites de suites s’appuie sur les théorèmes généraux : pour les revoir, consulte le cours sur les limites et les théorèmes de comparaison.
Erreur de raisonnement fréquente : écrire « \(L = f(L)\) donc la suite converge vers \(L\) ». C’est l’implication inverse ! Résoudre \(L = f(L)\) ne prouve jamais la convergence — cela suppose qu’elle est déjà acquise. Sans l’étape de monotonie/majoration, la rédaction est incomplète.
VI. Calculer une suite récurrente en Python
Le programme de Terminale attend que tu saches produire les termes d’une suite avec un algorithme. Pour une suite récurrente, c’est particulièrement naturel : la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) se traduit directement par une boucle.
A. Renvoyer le terme de rang n
L’idée : partir de \(u_0\), puis appliquer la règle \(n\) fois en écrasant la valeur courante.
def suite(n):
u = 10 # u_0
for k in range(n):
u = (u + 6) ** 0.5 # u devient f(u) = racine(u + 6)
return u
print(suite(5)) # affiche une valeur proche de 3B. Chercher un seuil
Autre grand classique du bac : trouver le plus petit rang \(n\) à partir duquel la suite franchit un seuil. Ici, on cherche quand \(u_n\) devient proche de la limite \(3\) à moins de \(0{,}01\).
def seuil():
u = 10
n = 0
while u - 3 > 0.01: # tant qu'on est loin de la limite
u = (u + 6) ** 0.5
n = n + 1
return n
print(seuil())Différence clé : une boucle for répond à « quel est le terme de rang \(n\) ? » (nombre d’itérations connu) ; une boucle while répond à « à partir de quand ? » (on s’arrête sur une condition). Choisir la bonne boucle est un réflexe attendu à l’épreuve.
La programmation d’une suite récurrente est aussi un excellent moyen de vérifier une conjecture (monotonie, limite) avant de la démontrer.
VII. 🔴 Extension prépa : au-delà de l’ordre 1
Tout ce qui précède concerne les suites récurrentes d’ordre 1 : chaque terme dépend d’un seul terme précédent. En classe préparatoire, on rencontre des récurrences plus riches.
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (prépa)
Ce sont les suites vérifiant une relation du type
\(u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n\)
où \(a\) et \(b\) sont des réels fixés. Chaque terme dépend des deux précédents. On les résout grâce à une équation caractéristique \(r^2 = a r + b\), dont les racines donnent la forme explicite de \(u_n\).
Le cas emblématique est la suite de Fibonacci : \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). La méthode complète (résolution par équation caractéristique, second membre, cas des racines complexes) est détaillée dans le cours dédié : suites récurrentes linéaires d’ordre 2.
Pour approfondir les récurrences où un terme dépend de tous les précédents, voir aussi la récurrence forte et double.
VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes qui coûtent le plus de points aux contrôles et au bac sur ce chapitre.
1. Oublier de justifier que l’intervalle est stable. Avant d’écrire « \(u_n \in I\) pour tout \(n\) », il faut vérifier que \(f\) envoie bien \(I\) dans \(I\). Sans cela, l’encadrement par récurrence ne tient pas.
2. Confondre limite de la suite et limite de la fonction. Écrire \(\lim u_n = \lim_{x \to +\infty} f(x)\) est faux. La limite d’une suite récurrente se cherche via \(L = f(L)\), pas via le comportement de \(f\) à l’infini.
3. Croire qu’une suite récurrente est forcément monotone. Beaucoup oscillent (allure en spirale). Ne suppose jamais la monotonie : démontre-la (souvent par récurrence, en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\)).
IX. Deux exercices pour t’entraîner
Un exercice de calcul direct, puis un exercice de raisonnement. Les corrigés sont pliables.
Exercice 1 (★) — Calcul de termes. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}u_n + 3\). Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\), puis détermine le point fixe de la fonction itératrice.
Voir la correction de l'exercice 1
\(u_1 = \displaystyle\frac{1}{2}\times 1 + 3 = 3{,}5\) ; \(u_2 = \displaystyle\frac{1}{2}\times 3{,}5 + 3 = 4{,}75\) ; \(u_3 = \displaystyle\frac{1}{2}\times 4{,}75 + 3 = 5{,}375\).
Point fixe : \(L = \displaystyle\frac{1}{2}L + 3\) donne \(\displaystyle\frac{1}{2}L = 3\), soit \(L = 6\). La suite semble croître vers \(6\).
Exercice 2 (★★) — Raisonnement. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\). On admet que la suite est croissante. Montre que si \((u_n)\) converge, sa limite vaut \(3\). Que faut-il ajouter pour conclure que la suite converge effectivement ?
Voir la correction de l'exercice 2
Si la suite converge vers \(L\), comme \(f(x) = \sqrt{2x+3}\) est continue, \(L = f(L)\) :
\(L = \sqrt{2L + 3} \iff L^2 = 2L + 3 \iff L^2 - 2L - 3 = 0\)
Les racines sont \(L = 3\) et \(L = -1\). Comme la suite est positive et croissante à partir de \(0\), on a \(L \geq 0\), donc \(L = 3\).
Pour conclure à la convergence, il faut prouver que la suite est majorée (par exemple par \(3\), par récurrence). Une suite croissante et majorée converge (théorème de la limite monotone).
Pour aller plus loin dans la pratique, retrouve une série complète sur la page exercices corrigés de récurrence.
X. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une suite récurrente ?
Une suite récurrente est une suite dont chaque terme se calcule à partir du précédent, grâce à une relation de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\), associée à un premier terme \(u_0\). On la construit pas à pas : \(u_0\) donne \(u_1\), qui donne \(u_2\), etc.
Comment savoir si une suite est récurrente ou explicite ?
Regarde de quoi dépend \(u_n\). Si l’expression contient un autre terme de la suite (\(u_{n-1}\), \(u_n\)…), la suite est récurrente. Si \(u_n\) s’écrit uniquement en fonction de \(n\) (par exemple \(u_n = 3n - 2\)), la suite est explicite.
Comment exprimer une suite récurrente en fonction de n ?
Ce n’est pas toujours possible simplement. Pour les suites arithmétiques et géométriques, on connaît la formule explicite. Pour une suite arithmético-géométrique (\(u_{n+1} = a u_n + b\)), on passe par une suite auxiliaire. Sinon, on étudie directement le comportement (monotonie, limite) sans forme explicite.
Comment trouver la limite d'une suite récurrente ?
En deux étapes. D’abord, on prouve que la suite converge (souvent avec le théorème de la limite monotone : croissante majorée, ou décroissante minorée). Ensuite, si \(f\) est continue, la limite \(L\) vérifie \(L = f(L)\) : on résout cette équation pour trouver \(L\).
Pourquoi trace-t-on la droite y = x pour une suite récurrente ?
La droite \(y = x\) sert à « reporter » chaque valeur calculée sur l’axe des abscisses pour recommencer l’itération. Son intersection avec la courbe de \(f\) donne les points fixes, c’est-à-dire les limites possibles de la suite. C’est le principe de la construction en toile d’araignée.
Quelle est la différence entre suite récurrente et suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est un cas particulier de suite récurrente, où l’on ajoute toujours la même raison : \(u_{n+1} = u_n + r\). Toutes les suites récurrentes ne sont pas arithmétiques : dans \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\), on n’ajoute pas une constante, donc la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
XI. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître, calculer, représenter et étudier une suite récurrente. Pour consolider :
- Le raisonnement par récurrence — l’outil indispensable pour démontrer monotonie et encadrement.
- Rédiger une récurrence en 3 étapes — la méthode pas à pas pour ne rien oublier sur la copie.
- Exercices corrigés de récurrence — pour t’entraîner avec un PDF téléchargeable.
- Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (prépa) — la suite logique en classe préparatoire.
- Limites — pour maîtriser les théorèmes de convergence.
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