Le triangle de Pascal : construction, formule de Pascal et propriétés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur

Un seul tableau de nombres, construit uniquement par des additions, et pourtant il contient à lui seul les coefficients binomiaux, les identités remarquables, la suite de Fibonacci et même une fractale. Le triangle de Pascal est l’un des objets les plus riches du programme de Terminale : une fois que tu sais le construire et le lire, tu développes \((a+b)^n\) sans effort et tu calcules un coefficient binomial sans factorielle. Dans cet article, tu vas apprendre à le construire ligne par ligne, à démontrer sa formule clé, et à exploiter ses propriétés jusqu’aux astuces de prépa.

I. Construire le triangle de Pascal, ligne par ligne

Pour construire le triangle de Pascal, on part d’un sommet contenant le nombre 1, puis chaque nombre d’une ligne est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui. Les deux bords du triangle sont toujours remplis de 1. C’est tout : le triangle entier se déduit par des additions successives, sans aucune formule.

Voici la règle en détail. On numérote les lignes à partir de 0 : la première ligne est la ligne 0 et ne contient qu’un seul 1. Pour passer d’une ligne à la suivante, on écrit un 1 à gauche, puis on additionne chaque paire de voisins de la ligne du dessus, et on termine par un 1 à droite.

A. Le triangle jusqu’à la ligne 10

Les premières lignes sont à connaître par cœur jusqu’à la ligne 5, car elles reviennent sans cesse dans les développements. Voici le tableau complet jusqu’à la ligne 10.

Remarque la dernière colonne : la somme d’une ligne double à chaque fois (1, 2, 4, 8…). On démontrera plus bas que la ligne \(n\) a pour somme \(2^n\).

B. Programmer le triangle en Python

En Terminale, tu manipules des listes en Python. Le triangle se construit en traduisant exactement la relation de Pascal : chaque nouvelle ligne se calcule à partir de la précédente.

# Triangle de Pascal jusqu'à la ligne n
def triangle_pascal(n):
    triangle = [[1]]                 # ligne 0
    for ligne in range(1, n + 1):
        prec = triangle[-1]          # ligne précédente
        nouvelle = [1]               # bord gauche
        for k in range(1, ligne):
            nouvelle.append(prec[k - 1] + prec[k])
        nouvelle.append(1)           # bord droit
        triangle.append(nouvelle)
    return triangle

for ligne in triangle_pascal(6):
    print(ligne)

Chaque terme intérieur, prec[k - 1] + prec[k], applique directement \(T(n,k) = T(n-1,k-1) + T(n-1,k)\). Comprendre le triangle, c’est déjà comprendre ce programme.

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Convention utile pour la suite : \({n\choose k}=0\) lorsque \(k<0\) ou \(k>n\). Les deux coefficients de bord valent 1.

II. Lire un coefficient binomial dans le triangle

Chaque nombre du triangle est un coefficient binomial. Le nombre situé à la ligne \(n\) et à la position \(k\) (en comptant à partir de 0) vaut \({n \choose k}\), qui se lit « \(k\) parmi \(n\) ». C’est pour cela que le triangle sert à calculer ces coefficients sans passer par les factorielles.

Par exemple, pour trouver \({5 \choose 2}\), on se place sur la ligne 5 (celle qui commence par 1, 5…) et on compte les positions à partir de 0 : position 0 donne 1, position 1 donne 5, position 2 donne 10. Donc \({5 \choose 2} = 10\). Pas de calcul, juste une lecture.

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III. La formule de Pascal et ses deux démonstrations

Le cœur du triangle est une égalité algébrique appelée relation de Pascal. C’est elle qui transforme la règle visuelle « chaque case est la somme des deux cases du dessus » en théorème démontrable, et c’est une démonstration attendue au programme de Terminale.

A. Démonstration par les factorielles

On part du membre de droite et on réduit au même dénominateur. En utilisant \({n-1 \choose k-1} = \displaystyle\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\) et \({n-1 \choose k} = \displaystyle\frac{(n-1)!}{k!\,(n-1-k)!}\) :

\({n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} = \displaystyle\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} + \displaystyle\frac{(n-1)!}{k!\,(n-1-k)!}\)

On met au même dénominateur \(k!\,(n-k)!\) en multipliant la première fraction par \(k\) et la seconde par \((n-k)\) :

\(= \displaystyle\frac{(n-1)!\,\big(k + (n-k)\big)}{k!\,(n-k)!} = \displaystyle\frac{(n-1)!\,\cdot n}{k!\,(n-k)!} = \displaystyle\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = {n \choose k}\)

L’égalité est démontrée. ∎

B. Démonstration combinatoire

Cette seconde preuve donne une interprétation concrète des trois coefficients. On veut compter le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\), c’est-à-dire \({n \choose k}\). On fixe un objet particulier, appelons-le \(a\), et on distingue deux cas, qui ne se recouvrent pas :

• on choisit \(a\) : il reste alors à choisir \(k-1\) objets parmi les \(n-1\) autres, soit \({n-1 \choose k-1}\) façons ;
• on ne choisit pas \(a\) : il faut choisir les \(k\) objets parmi les \(n-1\) autres, soit \({n-1 \choose k}\) façons.

Comme tout choix relève exactement de l’un ou l’autre cas, on additionne : \({n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}\). Cette preuve raconte pourquoi la règle fonctionne, alors que la première se contente de le vérifier par le calcul.

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IV. Triangle de Pascal et identités remarquables 🔵

La relation de Pascal est une belle propriété, mais à quoi sert concrètement ce triangle ? Sa première utilité, accessible dès la Seconde, est le développement des puissances d’une somme. Les nombres d’une ligne sont exactement les coefficients du développement de \((a+b)^n\).

Regarde la correspondance : la ligne 2 (1, 2, 1) donne \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), et la ligne 3 (1, 3, 3, 1) donne \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Il suffit de lire les coefficients et de faire décroître la puissance de \(a\) tout en faisant croître celle de \(b\).

Cette lecture se généralise à toute puissance via la formule du binôme de Newton, qui prolonge l’idée au-delà des petites puissances maniables à la main.

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V. Les propriétés du triangle

Au-delà des développements, le triangle cache un nombre impressionnant de régularités. En voici les quatre les plus marquantes, de la plus simple à la plus surprenante.

1. La symétrie. Chaque ligne se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche. Cela traduit l’égalité \({n \choose k} = {n \choose n-k}\) : choisir \(k\) objets parmi \(n\) revient à choisir ceux que l’on écarte, soit \(n-k\) objets.

2. La somme d’une ligne vaut \(2^n\). On l’a observée dans le tableau. La démonstration tient en une ligne : dans la formule du binôme, on pose \(a = b = 1\).

\(2^n = (1+1)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\,1^k\,1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\)

Autrement dit, la somme des coefficients d’une ligne est une des puissances de 2.

3. Les nombres de Fibonacci. Si on additionne les nombres situés sur les diagonales montantes du triangle, on retrouve la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… C’est une coïncidence magnifique entre deux objets a priori sans lien.

A. Pairs et impairs : le triangle de Sierpiński 🟠

Voici l’effet « wow » du triangle. Colorie en bleu toutes les cases impaires et laisse en blanc les cases paires : tu vois apparaître une fractale, le triangle de Sierpiński, faite de triangles emboîtés à l’infini. Cette structure se lit avec les congruences modulo 2 : la parité de \({n \choose k}\) suit un motif auto-similaire parfaitement régulier.

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VI. Un peu d’histoire

Blaise Pascal a exposé les propriétés de ce tableau dans son Traité du triangle arithmétique, rédigé en 1654 et publié en 1665. Son texte est d’ailleurs l’un des premiers où apparaît clairement le raisonnement par récurrence, qu’il emploie pour prouver les relations entre les nombres du triangle.

Mais Pascal n’en est pas l’inventeur : le même tableau était connu bien avant lui, en Perse (al-Karaji, puis Omar Khayyam vers le XIᵉ siècle) et en Chine (où on l’appelle le « triangle de Yang Hui », du nom d’un mathématicien du XIIIᵉ siècle). Le nom « triangle de Pascal » est donc un usage occidental consacré par l’histoire, plus qu’une attribution d’invention.

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VII. En prépa : la crosse de hockey 🟠

En classe préparatoire, le triangle devient un outil pour établir des identités sur les sommes de coefficients binomiaux. La plus célèbre est la règle de la crosse de hockey (hockey stick), ainsi nommée car les termes additionnés dessinent une crosse dans le triangle.

La démonstration la plus propre utilise le télescopage : par la relation de Pascal, \({i \choose k} = {i+1 \choose k+1}- {i \choose k+1}\). En sommant pour \(i\) de \(k\) à \(n\), les termes intermédiaires s’annulent deux à deux. C’est une application directe de la somme télescopique, une technique centrale du chapitre « Calculs algébriques » de sup.

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VIII. Exercices corrigés

Huit exercices classés par difficulté, des premières lignes du triangle aux identités de prépa. Essaie-les avant d’ouvrir la correction. Pour aller plus loin, retrouve une série complète dans les exercices de dénombrement corrigés.

Exercice 1 — Construire les lignes 0 à 6 ★

Construis le triangle de Pascal jusqu’à la ligne 6 sans utiliser de formule, uniquement par additions.

Voir la correction de l’exercice 1

On part de la ligne 0 (un seul 1) et on ajoute à chaque fois les voisins :

Ligne 0 : 1
Ligne 1 : 1   1
Ligne 2 : 1   2   1
Ligne 3 : 1   3   3   1
Ligne 4 : 1   4   6   4   1
Ligne 5 : 1   5   10   10   5   1
Ligne 6 : 1   6   15   20   15   6   1

Vérification : la case 15 de la ligne 6 vaut bien \(5 + 10 = 15\).

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Exercice 2 — Lire un coefficient binomial ★

Donne la valeur de \({6 \choose 2}\) et de \({6 \choose 4}\) en lisant le triangle. Que remarques-tu ?

Voir la correction de l’exercice 2

Ligne 6 : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. On compte à partir de la position 0.

Position 2 : \({6 \choose 2} = 15\). Position 4 : \({6 \choose 4} = 15\).

Les deux valeurs sont égales, ce qui illustre la symétrie \({6 \choose 2} = {6 \choose 6-2} = {6 \choose 4}\).

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Exercice 3 — Développer avec le triangle ★

Développe \((x+2)^3\) en t’appuyant sur la ligne 3 du triangle.

Voir la correction de l’exercice 3

Coefficients de la ligne 3 : 1, 3, 3, 1. Ici \(a = x\) et \(b = 2\) :

\((x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3\) \(= x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

Attention : il faut bien élever 2 aux puissances croissantes (\(2, 4, 8\)), pas seulement recopier les coefficients du triangle.

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Exercice 4 — Vérifier la relation de Pascal ★★

Sans construire toute la ligne, calcule \({8 \choose 3}\) sachant que \({7 \choose 2} = 21\) et \({7 \choose 3} = 35\).

Voir la correction de l’exercice 4

On applique la relation de Pascal \({8 \choose 3} = {7 \choose 2} + {7 \choose 3}\) :

\({8 \choose 3} = 21 + 35 = 56\)

Vérification dans le tableau : la ligne 8 est 1, 8, 28, 56, 70… et la position 3 vaut bien 56.

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Exercice 5 — Somme d’une ligne ★★

Sans additionner les onze nombres, donne la somme des coefficients de la ligne 10. Justifie.

Voir la correction de l’exercice 5

La somme des coefficients de la ligne \(n\) vaut \(2^n\). Pour \(n = 10\) :

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{10} {10 \choose k} = 2^{10} = 1024\)

Justification : on pose \(a = b = 1\) dans \((a+b)^{10}\), ce qui donne \((1+1)^{10} = 2^{10}\).

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Exercice 6 — Retrouver Fibonacci ★★

Additionne les nombres de la diagonale montante partant de la ligne 4 : \({4 \choose 0}\), \({3 \choose 1}\), \({2 \choose 2}\). Que trouves-tu ?

Voir la correction de l’exercice 6

On lit les valeurs : \({4 \choose 0} = 1\), \({3 \choose 1} = 3\), \({2 \choose 2} = 1\).

\(1 + 3 + 1 = 5\)

C’est un nombre de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8…). Chaque diagonale montante donne un terme de la suite : c’est la propriété remarquable du H2 V.

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Exercice 7 — Crosse de hockey 🟠 ★★★

Démontre que \(\displaystyle\sum_{i=2}^{5} {i \choose 2} = {6 \choose 3}\), puis vérifie numériquement.

Voir la correction de l’exercice 7

On utilise l’écriture télescopique issue de la relation de Pascal : \({i \choose 2} = {i+1 \choose 3}- {i \choose 3}\).

\(\displaystyle\sum_{i=2}^{5} {i \choose 2} = \sum_{i=2}^{5} \left( {i+1 \choose 3}- {i \choose 3} \right)\)

Les termes s’annulent deux à deux, il ne reste que les bornes :

\(= {6 \choose 3}- {2 \choose 3} = {6 \choose 3}- 0 = {6 \choose 3}\)

Vérification numérique : \({2 \choose 2} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2} = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\), et \({6 \choose 3} = 20\). \(\text{✓}\)

Rédaction attendue : toujours justifier le télescopage en écrivant le premier et le dernier terme survivants avant de simplifier.

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Exercice 8 — Parité et Sierpiński 🟠 ★★★

Dans la ligne 4 (1, 4, 6, 4, 1), combien de coefficients sont impairs ? Même question pour la ligne 7. Que remarques-tu ?

Voir la correction de l’exercice 8

Ligne 4 : 1, 4, 6, 4, 1 → impairs : 1 et 1, soit 2 coefficients impairs.

Ligne 7 : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 → tous impairs, soit 8 coefficients impairs.

Remarque : le nombre de coefficients impairs de la ligne \(n\) est une puissance de 2, égale à \(2^s\) où \(s\) est le nombre de 1 dans l’écriture binaire de \(n\) (théorème de Kummer). La ligne 7 (binaire 111, trois 1) donne \(2^3 = 8\), la ligne 4 (binaire 100, un seul 1) donne \(2^1 = 2\). C’est la clé de la fractale de Sierpiński.

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IX. Erreurs fréquentes

Trois pièges reviennent systématiquement chez les élèves. Les connaître, c’est éviter de perdre des points bêtement.

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X. Questions fréquentes

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XI. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la construction, la relation de Pascal et les propriétés du triangle. Pour poursuivre dans le cocon :

• Coefficient Binomial : Formule, Démonstration et Calcul — du Lycée à la Prépa
• Permutations en Mathématiques : Formule n!, Démonstration et Exercices Corrigés
• 20 Exercices de Dénombrement Corrigés — Terminale et Prépa
• Les Congruences en Mathématiques : Cours, Exercices et Arithmétique Modulaire

Repère historique : le catalogue de la BnF date l’édition du Traité du triangle arithmétique de 1665.