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La transformation d’Abel, aussi appelée sommation par parties, transforme une somme \(\displaystyle\sum a_k b_k\) en faisant apparaître les sommes partielles de \((b_k)\). C’est l’analogue discret de l’intégration par parties : elle sert surtout à prouver la convergence de séries comme \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\sin k}{k}\). Si ce résultat n’est pas admis par ton programme ou par le sujet, il faut le redémontrer avant de l’utiliser.
📌 Au programme
- Prépa 1re année (MPSI, PCSI, MP2I) : calcul de sommes, chapitre « Calculs algébriques ».
- Prépa 2e année (MP, PC, PSI) : critère d’Abel pour les séries numériques, à l’intérieur du chapitre « Séries ».
- Statut : vérifie les résultats admis dans ton programme et dans le sujet. À défaut, redémontre la transformation et le critère avant de les utiliser.
I. L’idée : une intégration par parties pour les sommes
Tu sais calculer \(\displaystyle\int_a^b u^\prime v\) en déplaçant la dérivée de \(u\) vers \(v\) grâce à l’intégration par parties. La transformation d’Abel fait exactement la même chose pour une somme : au lieu de dériver et de primitiver, on décale un indice et on somme partiellement.
Dans une intégrale, le couple \((u^\prime, v)\) devient \((u, v^\prime)\). Dans une somme \(\displaystyle\sum a_k b_k\), on garde \(a_k\) (l’analogue de \(v\), qu’on va « dériver » en formant \(a_{k+1}-a_k\)) et on « primitive » \(b_k\) en formant ses sommes partielles \(B_k\). Le dictionnaire est le suivant.
| Intégration par parties | Transformation d’Abel |
|---|---|
| Fonction \(v(x)\) | Suite \(a_k\) |
| Dérivée \(v^\prime(x)\) | Différence \(a_{k+1}-a_k\) |
| Fonction \(u^\prime(x)\) à primitiver | Suite \(b_k\) à sommer |
| Primitive \(u(x)\) | Somme partielle \(B_k=\displaystyle\sum_{j=m}^{k} b_j\) |
| Terme de bord \(\big[uv\big]_a^b\) | Terme de bord \(a_n B_n\) |
Cette parenté n’est pas qu’une image : c’est la façon de retrouver la formule quand on l’a oubliée en concours. Garder ce tableau en tête évite d’inverser les rôles de \(a_k\) et \(b_k\), l’erreur la plus fréquente.
A. L’analogue continu : la règle d’Abel pour les intégrales
Un pendant continu existe pour les intégrales généralisées : si \(f\) est une fonction réelle de classe \(C^1\), monotone de limite nulle, et si \(g\) est continue avec une primitive bornée sur \([a,+\infty[\), alors \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)g(t)\,dt\) converge. Une intégration par parties permet de le démontrer.
II. La formule de la transformation d’Abel
Voici le résultat central. On se donne deux suites \((a_k)\) et \((b_k)\), et on pose les sommes partielles \(B_k\) de la seconde.
Formule de la sommation par parties
Soit \((a_k)\) et \((b_k)\) deux suites. On pose \(B_k=\displaystyle\sum_{j=m}^{k} b_j\) pour \(k\geq m\), et par convention \(B_{m-1}=0\). Alors, pour tout \(n\geq m\) :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = a_n B_n- \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)\,B_k\)
Le premier terme \(a_n B_n\) est le terme de bord ; la somme restante porte sur les variations \(a_{k+1}-a_k\). Tout l’intérêt vient de là : si \((a_k)\) varie peu et si les \(B_k\) sont bornées, on obtient directement une majoration.
En notation Σ (lien avec le pilier)
La transformation d’Abel n’est rien d’autre qu’un jeu sur une somme double suivi d’un télescopage. Elle s’écrit entièrement dans le langage du symbole \(\Sigma\) détaillé dans le cours sur la notation sigma et les règles de calcul.
La transformation d’Abel sur une fiche recto-verso
Formule, démonstration et modèle de rédaction concours : tout ce qu’il faut pour redémontrer Abel sans trou dans ta copie.
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III. Démonstration (deux approches)
La formule n’est pas à admettre : elle se prouve en quelques lignes. Voici les deux démonstrations attendues, l’une par changement d’indice, l’autre par interversion d’une somme double.
A. Par changement d’indice
On part de la relation \(b_k = B_k- B_{k-1}\), valable pour tout \(k\geq m\) grâce à la convention \(B_{m-1}=0\). Alors :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = \sum_{k=m}^{n} a_k (B_k- B_{k-1}) = \sum_{k=m}^{n} a_k B_k- \sum_{k=m}^{n} a_k B_{k-1}\)
Dans la seconde somme, on pose \(j=k-1\) (décalage d’indice), puis on renomme \(j\) en \(k\) :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k B_{k-1} = \sum_{k=m-1}^{n-1} a_{k+1} B_{k} = \sum_{k=m}^{n-1} a_{k+1} B_{k}\)
(le terme \(k=m-1\) disparaît car \(B_{m-1}=0\)). En regroupant :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = a_n B_n + \sum_{k=m}^{n-1} (a_k- a_{k+1})\,B_k = a_n B_n- \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)\,B_k\) ∎ ∎
B. Par interversion d’une somme double
Posons \(D=\displaystyle\sum_{k=m}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k\). En développant \(B_k\) puis en intervertissant les sommes finies :
\(D=\displaystyle\sum_{j=m}^{n-1}b_j\sum_{k=j}^{n-1}(a_k-a_{k+1})\).
La somme intérieure télescope :
\(D=\displaystyle\sum_{j=m}^{n-1}b_j(a_j-a_n)=S_n-a_nB_n\), avec \(S_n=\displaystyle\sum_{j=m}^{n}a_jb_j\).
Ainsi \(S_n=a_nB_n+D\), ce qui est la formule annoncée. Pour \(n=m\), les sommes vides valent 0.
IV. Méthode en 3 étapes
En pratique, la transformation d’Abel sert à prouver la convergence d’une série \(\displaystyle\sum a_k b_k\) dont les termes changent de signe. Voici le réflexe à appliquer.
- Repérer le bon découpage. Identifie la suite \((a_k)\) monotone de limite nulle (typiquement \(a_k=\displaystyle\frac{1}{k}\) ou \(\displaystyle\frac{1}{k^\alpha}\) avec \(\alpha>0\)) et la suite \((b_k)\) dont les sommes partielles \(B_k\) sont bornées (typiquement \(b_k=\cos(k\theta)\) ou \(\sin(k\theta)\)).
- Appliquer la formule. Écris \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = a_n B_n- \sum_{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k\). N’oublie pas de poser \(B_{m-1}=0\).
- Majorer les deux morceaux. Le terme de bord \(a_n B_n \to 0\) car \(a_n\to 0\) et \((B_n)\) bornée. La somme restante converge absolument car \(\displaystyle\sum_{k=m}^{\infty}|a_{k+1}-a_k| = |a_m-\lim a_k|\) (somme télescopique, \((a_k)\) monotone) et \((B_k)\) bornée.
Vérification réflexe : teste toujours ton découpage sur \(n=1\) ou \(n=2\) avant de rédiger. Si \(a_1 b_1\) ne redonne pas la formule, c’est que tu as inversé \(a_k\) et \(b_k\).
Illustrons maintenant cette méthode sur l’exemple fondateur.
V. Quand utiliser la transformation d’Abel ?
Avant de dégainer Abel, assure-toi qu’aucune technique plus simple ne suffit. Le tableau suivant positionne la méthode face aux autres outils de convergence des séries.
| Technique | Quand l’utiliser | Quand l’éviter |
|---|---|---|
| Comparaison / équivalents | Terme général de signe constant | Terme oscillant (signe variable) |
| Critère spécial des séries alternées | \((-1)^k a_k\) avec \((a_k)\) décroissante vers 0 | Oscillation plus complexe que \((-1)^k\) |
| Télescopage | Terme s’écrivant \(u_{k+1}-u_k\) | Pas de forme télescopique visible |
| Transformation d’Abel | \(a_k b_k\) : \((a_k)\) monotone vers 0, \(B_k\) bornées | Convergence absolue évidente (comparaison plus rapide) |
En résumé : Abel est l’outil des séries semi-convergentes à oscillation trigonométrique, là où le critère des séries alternées est trop rigide et où la comparaison échoue faute de signe constant.
VI. Application 1 : les séries Σ sin(k)/k et Σ cos(kθ)/k
C’est l’exemple fondateur, tombé des dizaines de fois en concours. Montrons que \(\displaystyle\sum_{k\geq 1}\displaystyle\frac{\cos(k\theta)}{k}\) converge pour tout \(\theta\) non multiple de \(2\pi\).
On pose \(a_k=\displaystyle\frac{1}{k}\) (décroissante vers 0) et \(b_k=\cos(k\theta)\). La clé est de borner \(B_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)\). On passe par les complexes : \(B_n\) est la partie réelle de
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta} = e^{i\theta}\,\displaystyle\frac{e^{in\theta}-1}{e^{i\theta}-1}\)
d’où, puisque \(\vert e^{i\theta}-1\vert = 2\,\vert\sin(\theta/2)\vert\) :
\(\displaystyle |B_n| \leq \displaystyle\frac{2}{\vert e^{i\theta}-1\vert} = \displaystyle\frac{1}{\vert\sin(\theta/2)\vert}\)
Les \(B_n\) sont donc bornées (indépendamment de \(n\)). Par la méthode en 3 étapes, le terme de bord \(a_n B_n\to 0\) et la série des variations converge absolument : la série converge. Le même calcul avec \(b_k=\sin(k\theta)\) donne la convergence de \(\displaystyle\sum\displaystyle\frac{\sin k}{k}\) (cas \(\theta=1\)). On utilise ici les formules d’Euler pour relier cosinus et exponentielle complexe.
VII. Application 2 : le critère d’Abel pour les séries
En généralisant l’exemple précédent, on obtient un critère complet, à connaître pour toutes les séries numériques à termes oscillants.
Critère d’Abel
Si \((a_k)\) est une suite réelle monotone de limite nulle et si les sommes partielles \(B_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k\) sont bornées, alors la série \(\displaystyle\sum a_k b_k\) converge.
Ce critère contient le critère spécial des séries alternées : avec \(b_k=(-1)^k\), les sommes partielles valent \(0\) ou \(-1\), donc bornées, et on retrouve la convergence de \(\displaystyle\sum (-1)^k a_k\). Pour en maîtriser l’articulation avec les autres tests, va voir les critères de convergence d’une série numérique.
VIII. Application 3 : l’inégalité d’Abel
La transformation fournit aussi une majoration quantitative très utile dans les problèmes.
Inégalité d’Abel
Si \(a_m\geq a_{m+1}\geq\cdots\geq a_n\geq 0\) et si \(M=\displaystyle\max_{m\leq k\leq n}\vert B_k\vert\) (avec \(B_k=\displaystyle\sum_{j=m}^{k} b_j\)), alors :
\(\displaystyle\left\vert \sum_{k=m}^{n} a_k b_k \right\vert \leq a_m\, M\)
Démonstration éclair : dans la formule d’Abel, \(\vert a_n B_n\vert\leq a_n M\) et \(\big\vert\sum (a_{k+1}-a_k)B_k\big\vert \leq M\sum (a_k-a_{k+1}) = M(a_m-a_n)\) car \((a_k)\) décroît (télescopage). La somme des deux donne \(a_m M\).
Ne pas confondre
- La transformée d’Abel intégrale (imagerie médicale, physique) : autre objet, même nom de famille.
- Le lemme d’Abel et le théorème d’Abel des séries entières : résultats distincts sur le rayon de convergence, à ne jamais citer ici.
Maintenant que la technique est posée, voyons comment la restituer proprement dans une copie — c’est là que se gagnent les points.
IX. 🔴 Rédiger la transformation d’Abel dans une copie
Lorsque le résultat n’est pas admis dans le programme ou le sujet, rédige une redémonstration complète. Voici le modèle de rédaction en 5 lignes qui coche toutes les cases.
Modèle de rédaction (5 lignes)
- « Posons \(a_k=\dots\) et \(b_k=\dots\), puis \(B_k=\sum_{j=1}^{k} b_j\) avec \(B_0=0\). »
- « Par sommation par parties (transformation d’Abel), que je redémontre : … » (écris les 3 lignes de la démo B).
- « La suite \((a_k)\) est décroissante de limite nulle. »
- « Les sommes \((B_k)\) sont bornées par \(M\) car … » (donne le calcul de la borne).
- « Donc le terme de bord tend vers 0 et la série des variations converge absolument : la série converge. »
Ce que vérifie le correcteur : la convention \(B_0=0\) posée explicitement, le changement d’indice justifié, la monotonie de \((a_k)\) (pas seulement \(a_k\to 0\)) et le caractère borné des \(B_k\) démontré, pas affirmé. Pour les réflexes de copie généraux, vois les erreurs de rédaction en DS.
X. Erreurs fréquentes
Oublier le terme de bord. La formule n’est pas \(\sum a_k b_k = -\sum(a_{k+1}-a_k)B_k\) : le terme \(a_n B_n\) est indispensable. Une copie sans terme de bord est fausse, même si la conclusion « tombe juste ».
Confondre « limite nulle » et « monotone de limite nulle ». Le critère exige la monotonie. Avec \(a_k=\displaystyle\frac{(-1)^k}{k}\) (limite nulle mais non monotone), \(\sum\vert a_{k+1}-a_k\vert\) peut diverger et le raisonnement s’effondre.
Décaler les bornes à l’envers. Lors du changement d’indice \(j=k-1\), la borne haute passe de \(n\) à \(n-1\) et la borne basse de \(m\) à \(m-1\). Oublier d’absorber le terme \(k=m-1\) (nul grâce à \(B_{m-1}=0\)) casse la démonstration.
Croire que \((B_k)\) est toujours bornée. Si \(\theta\in 2\pi\mathbb{Z}\), alors \(\cos(k\theta)=1\) et \(B_n=n\to+\infty\) : la borne saute, et \(\sum\displaystyle\frac{1}{k}\) diverge. Toujours exclure ce cas.
XI. Exercices corrigés
Exercice 1 — Appliquer la formule ★★
Soit \(a_k=k\) et \(b_k=2^k\). En posant \(B_k=\sum_{j=1}^{k} 2^j = 2^{k+1}-2\), utilise la transformation d’Abel pour calculer \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\,2^k\).
Voir la correction de l’exercice 1
Ici \(a_{k+1}-a_k = 1\). La formule donne :
\(\displaystyle S_n = a_n B_n- \sum_{k=1}^{n-1} 1\cdot B_k = n(2^{n+1}-2)- \sum_{k=1}^{n-1}(2^{k+1}-2)\)
Or \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2^{k+1}-2) = (2^{n+1}-4)- 2(n-1) = 2^{n+1}-2n-2\).
D’où \(\displaystyle S_n = n\cdot 2^{n+1}-2n- 2^{n+1}+2n+2 = (n-1)2^{n+1}+2\).
Vérification (\(n=1\)) : \(S_1 = 0\cdot 4 + 2 = 2 = 1\cdot 2^1\) ✓.
Exercice 2 — Convergence trigonométrique ★★
Montre que \(\displaystyle\sum_{k\geq 1}\displaystyle\frac{\sin(k\theta)}{k}\) converge pour \(\theta\in\,]0;2\pi[\).
Voir la correction de l’exercice 2
On pose \(a_k=\displaystyle\frac{1}{k}\) (décroissante vers 0) et \(b_k=\sin(k\theta)\). Comme à la section VI, \(B_n=\mathrm{Im}\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta}\) vérifie \(\vert B_n\vert\leq \displaystyle\frac{1}{\vert\sin(\theta/2)\vert}\), borne finie car \(\theta\in\,]0;2\pi[\) donne \(\sin(\theta/2)\neq 0\).
Par le critère d’Abel, la série converge.
L’erreur à éviter : oublier d’exclure \(\theta\equiv 0\,[2\pi]\), où \(b_k=0\) (cas trivial) mais où la borne proviendrait d’une division par zéro.
Exercice 3 — Retrouver le critère des séries alternées ★★
Soit \((a_k)\) décroissante de limite nulle. En prenant \(b_k=(-1)^k\), démontre que \(\displaystyle\sum (-1)^k a_k\) converge via la transformation d’Abel.
Voir la correction de l’exercice 3
Les sommes partielles \(B_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\) valent \(-1\) si \(n\) impair, \(0\) si \(n\) pair : donc \(\vert B_n\vert\leq 1\), bornées.
La suite \((a_k)\) est décroissante de limite nulle. Les deux hypothèses du critère d’Abel sont réunies : la série converge.
Interprétation : le critère spécial des séries alternées est le cas particulier \(b_k=(-1)^k\) du critère d’Abel.
Exercice 4 — Un exposant plus faible ★★★
Étudie la nature de \(\displaystyle\sum_{k\geq 1}\displaystyle\frac{\cos(k)}{\sqrt{k}}\).
Voir la correction de l’exercice 4
On pose \(a_k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\), décroissante vers 0, et \(b_k=\cos k\). Comme \(1\notin 2\pi\mathbb{Z}\), \(\vert B_n\vert\leq \displaystyle\frac{1}{\vert\sin(1/2)\vert}=:M\), bornées.
Le critère d’Abel s’applique : la série converge.
À noter : elle ne converge pas absolument. En effet \(\displaystyle\frac{\vert\cos k\vert}{\sqrt{k}}\geq \displaystyle\frac{\cos^2 k}{\sqrt{k}} = \displaystyle\frac{1+\cos(2k)}{2\sqrt{k}}\) ; la partie \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{k}}\) diverge et \(\sum\displaystyle\frac{\cos(2k)}{2\sqrt{k}}\) converge (Abel), donc \(\sum\displaystyle\frac{\vert\cos k\vert}{\sqrt{k}}\) diverge. La série est semi-convergente.
Exercice 5 — Majorer une somme partielle ★★★
Soit \((a_k)\) décroissante positive et \(b_k=\sin(k)\). Montre que \(\displaystyle\left\vert\sum_{k=1}^{n} a_k\sin(k)\right\vert \leq \displaystyle\frac{a_1}{\vert\sin(1/2)\vert}\).
Voir la correction de l’exercice 5
On applique directement l’inégalité d’Abel avec \(a_m=a_1\) et \(B_k=\sum_{j=1}^{k}\sin j\), dont on a vu que \(\vert B_k\vert\leq \displaystyle\frac{1}{\vert\sin(1/2)\vert}=M\).
Comme \((a_k)\) est décroissante positive, l’inégalité d’Abel donne :
\(\displaystyle\left\vert\sum_{k=1}^{n} a_k\sin k\right\vert \leq a_1\cdot M = \displaystyle\frac{a_1}{\vert\sin(1/2)\vert}\)
L’erreur à éviter : appliquer la borne \(a_1 M\) sans vérifier la décroissance de \((a_k)\), hypothèse sans laquelle le télescopage des variations ne se contrôle plus.
Exercice 6 — Une série convergente pondérée par une suite monotone bornée ★★★
Soit \(\sum b_k\) une série convergente de sommes partielles \((B_k)\), et \((a_k)\) une suite monotone bornée. Montre que \(\sum a_k b_k\) converge.
Voir la correction de l’exercice 6
Comme \(\sum b_k\) converge, \((B_k)\) converge donc est bornée. La suite \((a_k)\) est monotone et bornée, donc converge vers une limite \(\ell\).
On écrit \(a_k = \ell + (a_k-\ell)\). Alors \(\sum a_k b_k = \ell\sum b_k + \sum (a_k-\ell)b_k\). La première série converge ; dans la seconde, \((a_k-\ell)\) est monotone de limite nulle et \((B_k)\) bornée : le critère d’Abel s’applique.
Donc \(\sum a_k b_k\) converge (c’est le théorème d’Abel « généralisé »).
XII. Questions fréquentes
Qu’est-ce que la transformation d’Abel ?
C’est une identité qui réécrit une somme \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k b_k\) en faisant apparaître les sommes partielles \(B_k\) de \((b_k)\) : \(\displaystyle\sum a_k b_k = a_n B_n- \sum (a_{k+1}-a_k)B_k\). C’est l’analogue discret de l’intégration par parties, utilisé surtout pour prouver la convergence de séries à termes oscillants.
Quel est le lien avec l’intégration par parties ?
Les deux déplacent une opération d’un facteur vers l’autre. Dans l’intégration par parties, on primitive \(u^\prime\) et on dérive \(v\) ; dans la transformation d’Abel, on somme \(b_k\) (en \(B_k\)) et on « dérive » \(a_k\) (en \(a_{k+1}-a_k\)). Même structure, même terme de bord.
Faut-il redémontrer la transformation d’Abel en concours ?
Oui si ces résultats ne font pas partie des résultats admis dans ton programme ou dans le sujet. Présente alors la convention \(B_{m-1}=0\), le calcul de la transformation et les hypothèses nécessaires au critère. Vérifie ce qui est explicitement autorisé dans ta filière.
Quelle différence entre transformation d’Abel et critère d’Abel ?
La transformation d’Abel est une identité algébrique (une réécriture de la somme). Le critère d’Abel est le théorème de convergence qui en découle : si \((a_k)\) est monotone de limite nulle et \((B_k)\) bornée, alors \(\sum a_k b_k\) converge. L’un est l’outil, l’autre le résultat.
XIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises la sommation par parties. Pour consolider la branche « coefficients et sommes » du programme de prépa :
- Coefficient Binomial : Formule, Démonstration et Calcul — du Lycée à la Prépa
- Permutations en Mathématiques : Formule n!, Démonstration et Exercices Corrigés
- 20 Exercices de Dénombrement Corrigés — Terminale et Prépa
- Les Congruences en Mathématiques : Cours, Exercices et Arithmétique Modulaire
