Un toit de maison, une jupe plissée, un champ irrégulier au bord d’une rivière : beaucoup de surfaces de la vie courante ont la forme d’un trapèze. Pour calculer leur aire, tu n’as besoin que de trois mesures et d’une seule formule. Dans cet article, tu vas comprendre d’où vient cette formule, apprendre à l’appliquer sans te tromper, et repérer les pièges qui coûtent des points en contrôle.
Définition — Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui possède au moins une paire de côtés opposés parallèles. Ces deux côtés s’appellent les bases : la grande base (souvent notée \(B\)) et la petite base (souvent notée \(b\)). La distance entre ces deux bases, mesurée perpendiculairement, est la hauteur \(h\).
I. Reconnaître un trapèze et ses éléments
Avant de calculer, repère les deux bases parallèles et la hauteur correspondante. Ce sont les trois longueurs utilisées directement dans la formule d’aire. Si la hauteur est inconnue, d’autres données peuvent parfois permettre de la retrouver.
A. Les deux bases et la hauteur
Les bases sont les au moins une paire de côtés opposés parallèles. La plus longue est la grande base \(B\), la plus courte est la petite base \(b\). La hauteur \(h\) est le segment qui va d’une base à l’autre en formant un angle droit. Attention : la hauteur n’est pas forcément un côté du trapèze, c’est souvent un segment tracé à l’intérieur.
B. Les différents types de trapèzes
Tous les trapèzes se calculent avec la même formule, mais certains ont un nom particulier :
- Le trapèze rectangle possède un côté latéral perpendiculaire aux bases : ce côté donne la hauteur.
- Le trapèze isocèle non parallélogramme a ses deux côtés latéraux de même longueur. Il possède un axe de symétrie perpendiculaire aux bases.
- Le trapèze quelconque n’a aucune propriété particulière.
II. La formule de l’aire d’un trapèze
Voici le cœur de l’article, la formule qui répond à la question « quelle est la formule du trapèze ». L’aire d’un trapèze est égale à la somme des deux bases, multipliée par la hauteur, puis divisée par 2.
Formule — Aire d’un trapèze
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\)
où \(B\) est la grande base, \(b\) la petite base et \(h\) la hauteur, toutes exprimées dans la même unité.
Comment la retenir : \(\displaystyle\frac{B + b}{2}\) est la moyenne des deux bases. Calculer l’aire d’un trapèze revient donc à calculer l’aire d’un rectangle qui aurait cette base moyenne et la même hauteur. C’est comme si tu remplaçais le trapèze par un rectangle « équilibré » entre ses deux bases.
Cette lecture est très pratique : si les deux bases étaient égales (\(B = b\)), le trapèze deviendrait un parallélogramme et la formule redonnerait bien base × hauteur. C’est un bon moyen de vérifier que tu n’as pas fait d’erreur. Pour approfondir ce lien, tu peux consulter le cours sur l’aire d’un parallélogramme.
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III. Pourquoi cette formule fonctionne : la démonstration
Deux constructions permettent de comprendre la formule : assembler deux copies du trapèze, ou le découper en deux triangles.
A. En collant deux trapèzes identiques
Prends ton trapèze, fais-en une copie, puis retourne la copie et colle-la contre l’original. Tu obtiens un parallélogramme dont la base mesure \(B + b\) et dont la hauteur est \(h\).
L’aire de ce parallélogramme vaut \((B + b) \times h\). Comme il est constitué de deux trapèzes identiques, l’aire d’un seul trapèze est la moitié :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\)B. En découpant le trapèze en deux triangles
Tu peux aussi tracer une diagonale du trapèze : elle le partage en deux triangles qui ont la même hauteur \(h\). Le premier a pour base \(B\), le second pour base \(b\). En additionnant leurs aires :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{B \times h}{2} + \displaystyle\frac{b \times h}{2} = \displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\)On retrouve exactement la même formule. Cette approche s’appuie sur l’aire d’un triangle, qui est la brique de base de presque toutes les formules d’aire du collège.
IV. Calculer l’aire d’un trapèze : la méthode pas à pas
Voici comment calculer l’aire d’un trapèze sans erreur, en quatre étapes.
- Repère les deux bases \(B\) et \(b\) : ce sont les côtés parallèles.
- Repère la hauteur \(h\) : la distance perpendiculaire entre les bases.
- Vérifie les unités : les trois longueurs doivent être dans la même unité. Sinon, convertis-les d’abord.
- Applique la formule \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\) et n’oublie pas d’écrire l’unité d’aire (en cm², m²…).
Exemple : Un trapèze a une grande base de 10 cm, une petite base de 6 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son aire.
On applique la formule :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(10 + 6) \times 5}{2} = \displaystyle\frac{16 \times 5}{2} = \displaystyle\frac{80}{2} = 40\)
L’aire du trapèze est de 40 cm².
Bon réflexe d’unités : si une longueur est donnée en mètres et une autre en centimètres, ne calcule surtout pas directement. Convertis tout dans la même unité avant. Pour t’entraîner, revois la conversion d’unités de mesure.
V. Les cas particuliers et le périmètre
La formule reste la même pour tous les trapèzes, mais deux cas reviennent souvent en contrôle.
A. Le trapèze rectangle
Beaucoup d’élèves cherchent comment calculer l’aire d’un trapèze rectangle (ou « trapèze droit »). Bonne nouvelle : c’est le cas le plus simple ! Dans un trapèze rectangle, un côté latéral est perpendiculaire aux bases : ce côté EST la hauteur. Tu n’as donc pas à la chercher, elle est déjà donnée.
Exemple : Un trapèze rectangle a des bases de 8 cm et 5 cm, et le côté perpendiculaire mesure 4 cm.
Ce côté de 4 cm est la hauteur, donc :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(8 + 5) \times 4}{2} = \displaystyle\frac{52}{2} = 26\)
L’aire vaut 26 cm².
B. Trapèze isocèle et trapèze sans hauteur donnée
La formule reste la même. Dans le cas isocèle non parallélogramme, les deux bases et un côté latéral permettent de retrouver la hauteur avec Pythagore, après avoir étudié ce théorème. Le petit triangle rectangle obtenu a pour côté horizontal la moitié de la différence des bases.
C. Le périmètre du trapèze
À ne pas confondre avec l’aire : le périmètre est la longueur du tour du trapèze. On additionne simplement ses quatre côtés. Contrairement à l’aire, il fait bien intervenir les deux côtés latéraux. Le résultat s’exprime en cm ou m (pas en cm²). Pour le tour d’autres figures, vois le périmètre d’un triangle.
VI. Tableau récapitulatif
| Grandeur | Formule | Unité du résultat |
|---|---|---|
| Aire | \(\displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\) | cm², m²… |
| Périmètre | somme des 4 côtés | cm, m… |
| Trapèze rectangle | le côté perpendiculaire = la hauteur | — |
VII. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Aire directe ★
Un trapèze a une grande base de 12 cm, une petite base de 8 cm et une hauteur de 6 cm. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement la formule :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(12 + 8) \times 6}{2} = \displaystyle\frac{20 \times 6}{2} = \displaystyle\frac{120}{2} = 60\)L’aire est de 60 cm².
Exercice 2 — Trapèze rectangle ★★
Un trapèze rectangle a des bases de 9 cm et 4 cm. Son côté perpendiculaire aux bases mesure 3 cm. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 2
Le côté perpendiculaire de 3 cm est la hauteur. On a donc :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(9 + 4) \times 3}{2} = \displaystyle\frac{13 \times 3}{2} = \displaystyle\frac{39}{2} = 19{,}5\)L’aire est de 19,5 cm².
Exercice 3 — Attention aux unités ★★
Un trapèze a une grande base de 2 m, une petite base de 150 cm et une hauteur de 80 cm. Calcule son aire en m².
Voir la correction de l’exercice 3
On convertit d’abord tout en mètres : 150 cm = 1,5 m et 80 cm = 0,8 m.
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(2 + 1{,}5) \times 0{,}8}{2} = \displaystyle\frac{3{,}5 \times 0{,}8}{2} = \displaystyle\frac{2{,}8}{2} = 1{,}4\)L’aire est de 1,4 m².
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Exercice 4 — Raisonner à l’envers ★★★
Un trapèze a une aire de 45 cm², une grande base de 10 cm et une hauteur de 6 cm. Quelle est la longueur de sa petite base ?
Voir la correction de l’exercice 4
On part de la formule : \(45 = \displaystyle\frac{(10 + b) \times 6}{2}\).
On multiplie les deux côtés par 2 : \((10 + b) \times 6 = 90\).
On divise par 6 : \(10 + b = 15\), donc \(b = 5\).
La petite base mesure 5 cm.
VIII. Les erreurs les plus fréquentes
Erreur n°1 — Oublier de diviser par 2. Beaucoup d’élèves écrivent \((B + b) \times h\)… mais ça, c’est l’aire du parallélogramme, soit le double du trapèze. Le « \(\div 2\) » est indispensable.
Erreur n°2 — Prendre un côté incliné comme hauteur. La hauteur est la distance perpendiculaire entre les bases. Un côté réellement incliné est plus long que cette distance ; dans un trapèze rectangle, le côté perpendiculaire aux bases est, lui, une hauteur.
Erreur n°3 — Confondre aire et périmètre. L’aire se donne en cm², le périmètre en cm. Si ton résultat n’a pas la bonne unité, c’est le signal d’une confusion.
IX. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un trapèze ?
On additionne les deux bases parallèles, on multiplie par la hauteur, puis on divise par 2. La formule est \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\). La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases, jamais un côté latéral.
Quelle est la formule du trapèze ?
Pour l’aire : \(\displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\), où \(B\) et \(b\) sont les deux bases et \(h\) la hauteur. Pour le périmètre, on additionne simplement les longueurs des quatre côtés.
Comment calculer l’aire d’un trapèze rectangle ?
On utilise la même formule que pour tout trapèze. La particularité : dans un trapèze rectangle, le côté perpendiculaire aux bases est directement la hauteur. Tu n’as donc pas à la chercher, elle est déjà donnée dans l’énoncé.
Comment calculer l’aire d’un trapèze sans la hauteur ?
Dans un trapèze isocèle dont les bases ont des longueurs différentes, on peut retrouver la hauteur à partir des deux bases et de la longueur d’un côté latéral : le petit triangle rectangle a pour côté horizontal la moitié de la différence des bases. Pythagore donne alors la hauteur. Pour un trapèze quelconque, il faut identifier les mesures qui permettent ce calcul ; tracer une hauteur ne suffit pas à la connaître.
Quelle est la différence entre l’aire d’un trapèze et celle d’un parallélogramme ?
La formule générale \(\displaystyle\frac{(B+b)\times h}{2}\) devient base × hauteur lorsque les deux bases ont la même longueur. Avec la définition inclusive retenue ici, un parallélogramme est donc un cas particulier de trapèze.
Peut-on calculer l’aire d’un trapèze en ligne ?
Un calculateur peut vérifier un résultat, à condition de saisir les deux bases et la hauteur dans la même unité. Pose d’abord ton calcul et vérifie l’unité d’aire ; utilise ensuite l’outil pour contrôler le résultat.
X. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire et le périmètre d’un trapèze, comprendre d’où vient la formule et éviter les pièges. Pour continuer ta progression sur les aires :
- Aire et périmètre d’un parallélogramme : formule, méthode et exercices
- Aire d’un hexagone régulier et des polygones réguliers : formule et méthode
- Aires et périmètres en 6ème : 15 exercices corrigés pas à pas
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